Sinais e Sistemas Mecatrónicos

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1 Sinais e Sistemas Mecatrónicos Filtros José Sá da Costa José Sá da Costa T14 - Filtros 1

2 Circuitos com Ampop s Relembremos Amplificador operacional (Ampop) Modelo do Ampop Implementação do Ampop Z i 2MΩ, v i 0 Z o 10Ω, K 10 5 a 10 9 v o 1 a 15V Símbolo do Ampop ideal v 0 = Kv i = K(v ip v in ) José Sá da Costa T14 - Filtros 2

3 Circuitos com Ampop s Relembremos Circuito inversor v 1 v i + v o v i R F = 0, v i = v o A v o = R F v 1 Circuito somador v 1 v i + v 2 v i R 2 v i = v o A v n v i R n + v 0 v i R f = 0 v o = R F v + R F v 1 R R F v 2 R n n José Sá da Costa T14 - Filtros 3

4 Circuitos com Ampop s Relembremos Amplificador não inversor v o = Av i v i = v 1 + R F v o Seguidor de tensão v o v 1 = A F = G 1 + GH = A 1 + A ( + R F ) + R F R F = 0, = v o v 1 = A F + R F = 1 José Sá da Costa T14 - Filtros 4

5 Circuitos com Ampop s Relembremos Circuito integrador No nó n temos v 1 + C dv o dt = 0 v o = 1 C v 1 dt Circuito diferenciador No nó n temos C 1 dv 1 dt + v o R = 0 v o = RC 1 dv 1 dt José Sá da Costa T14 - Filtros 5

6 Circuito de 1º ordem Circuitos com Ampop s i 1 = e i e', i R 2 = C d(e' e o ), i 1 dt 3 = e' e o R 2 Atendendo a que a corrente que flui para o Ampop é desprezável, teremos i 1 = i 2 + i 3 Logo e i e ' = C d(e' e o ) dt + e' e o R 2 Como e ' 0 resulta e i = C de o dt e o R 2 Aplicando transformadas de Laplace, com CI = 0 E o (s) E i (s) = R 2 R 2 Cs + 1 José Sá da Costa T14 - Filtros 6

7 Filtros Filtro Dispositivo que apenas deixa passar através dele a parte desejável do sinal, rejeitando a parte não desejável. Utilização de filtros Remoção de partes espúrias do sinal que afectam o desempenho dos sistemas (ruído, perturbações, componentes não desejáveis, etc.). Modificação da forma do sinal para uma forma mais adequada à sua utilização posterior. Em instrumentação e controlo os filtros são normalmente utilizados para remover componentes do sinal num intervalo específico de frequências. José Sá da Costa T14 - Filtros 7

8 Principais tipos de filtros Filtros Filtro é um dispositivo que apenas deixa passar através dele a parte desejável do sinal, rejeitando a parte não desejável. Filtro passa baixo Filtro passa alto José Sá da Costa T14 - Filtros 8

9 Principais tipos de filtros Filtros Filtro passa banda Filtro rejeita banda (notch) José Sá da Costa T14 - Filtros 9

10 Filtros Realização de filtros Os filtros podem ser realizados analogicamente e digitalmente. Aqui apenas iremos tratar dos filtros analógicos. Um filtro analógico pode ser realizado por componentes passivos e componentes activos. Filtro analógicos passivos Apenas utilizam componentes passivos, bastando o próprio sinal para alimentar o circuito. Filtro analógicos activos Utilizam simultaneamente elementos activos e passivos, sendo necessário a utilização de fonte de alimentação externa. Notar que é a dinâmica do filtro que vai determinar as partes do sinal que são aproveitadas e rejeitadas. José Sá da Costa T14 - Filtros 10

11 Filtros Filtro passa baixo de 1ª ordem Dispositivo que apenas deixa passar as componentes de baixa frequência. Filtro passivo de 1ª ordem G(jω) = 1 (τjω + 1), ω c = 1 τ Filtro activo de 1ª ordem José Sá da Costa T14 - Filtros 11

12 Filtros Filtro passa baixo Butterworth Duas soluções são possíveis para aumentar o decaimento dos filtros passa baixo: Pôr dois ou mais filtros idênticos em série (cascata) Neste caso na frequência de corte inicial teremos uma atenuação idêntica a -3 db por cada filtro utilizado, o que degrada as características do filtro, i.e. diminui a sua largura de banda. Utilizar filtros do tipo Butterworth Devido ao seu desenho especial não enferma do problema anterior. G(jw) = ω n 2 ω n 2 ω 2 + 2jζω n ω José Sá da Costa T14 - Filtros 12

13 Filtros Filtro passa alto Dispositivo que apenas deixa passar através dele as altas frequências do sinal. Filtro passa alto passivo G(jω) = τjω (τjω + 1), ω c = 1 τ Filtro passa alto activo José Sá da Costa T14 - Filtros 13

14 Filtros Filtro Passa banda Dispositivo que apenas deixa passar através dele as componentes do sinal num intervalo de frequências desejável. Filtro Passa banda passivo G(s) = τ 2 s, τ 1 τ 2 s 2 + (τ 1 + τ 2 + τ 3 )s + 1 τ 1 = C 1, τ 2 = R 2 C 2, τ 3 = C 2 Filtro Passa banda activo José Sá da Costa T14 - Filtros 14

15 Filtros Filtro passa banda de tipo ressonância No caso da banda passante ser muito estreita utiliza-se um filtro passa banda do tipo ressonância, i.e. com um par de pólos complexos conjugados. G(s) = τ 2 s, τ 1 τ 2 s 2 + (τ 1 + τ 2 + τ 3 )s + 2 τ 1 = C 1, τ 2 = R 2 C 2, τ 3 = C 2 José Sá da Costa T14 - Filtros 15

16 Filtros Filtro de rejeição de banda (notch) Dispositivo que rejeita as componentes de um sinal num intervalo muito estreito de frequências. G(s) = (τ 2 s 2 + 1) (τ 2 s 2 + 4τs + 1), τ = RC José Sá da Costa T14 - Filtros 16