Introdução Funções de aproximação de filtros. Transformação de frequências Aproximações de Butterworth, Chebychev, Bessel, elípticas

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1 Filtros Electrónica 5/6 José Machado da Silva ítor Grade Tavares Filtros Sumário Introdução Funções de aproximação de filtros Transformação de frequências Aproximações de utterworth, hebychev, essel, elípticas Síntese implementação de filtros T/A Passivos Activos Implementação de filtros TD/A Filtros de capacidades comutadas Electrónica 5/6

2 Filtros activos Eliminar as indutâncias. Os valores de L em I são da ordem da dezena de n. esultam, em geral, em circuitos de menores dimensões que o equivalente L. Permitem ganho > O comportamento é insensível ao valor da carga Soluções: Substituir as indutâncias de uma malha L por um circuito baseado em AmpOp, que apresente uma impedância de entrada indutiva. Síntese do sistema de equações diferenciais de primeira ordem (variáveis de estado, recorrendo a integradores de Miller. Síntese de biquads recorrendo a um único amplificador com realimentação. São filtros com aplicabilidade em situações onde <. Electrónica 5/6 Filtros activos ª ordem um AmpOp Topologia de auch 5 ( ( 5 5( As diferentes topologias de filtros são obtidas combinando convenientemente as cinco admitâncias Electrónica 5/6

3 Electrónica 5/6 5 Filtros activos ª ordem um AmpOp Topologia de auch passabaixo 5 ( e,, sabendo ; No caso de A Electrónica 5/6 6 Filtros activos ª ordem um AmpOp Topologia de auch passaalto ( ( ( ( ( e, sabendo, ; No caso de A

4 Electrónica 5/6 7 Filtros activos ª ordem um AmpOp Topologia de auch passabanda (,e, sabendo, ; A A A A ( ( ( ( Nocasode Electrónica 5/6 8 Filtros activos ª ordem um AmpOp Topologia de auch passabanda No caso de um filtro muito selectivo, i.e., em que é estreita A << A e conhecendoo ganho fixada por ser austada pode : s Dimensionamentodas

5 Electrónica 5/6 9 Filtros activos ª ordem um AmpOp Topologia de auch passabanda Grande selectividade k Se a selectividade pretendida for grande os quocientes / / resultam grandes ( ; Electrónica 5/6 Filtros activos ª ordem um AmpOp Topologia de auch passabanda Grande selectividade ( A k

6 Electrónica 5/6 Filtros activos ª ordem um AmpOp Topologia Salleney Não inversor ( ( ( ( ( ( Electrónica 5/6 Filtros activos ª ordem um AmpOp Topologia Salleney passabaixo Não inversor ( ( [ ] ( ; ( asiguais Nocasoderesistênci ( ( ( ( m m A Para, A, /(, m(/. Isto é útil para a implementação de filtros de utterworth em ascata, pois todos os filtros têm de apresentar a mesma, independente de. ( < Estabilidade requer

7 Electrónica 5/6 Filtros activos ª ordem um AmpOp Topologia Salleney passaalto ( ( ( [ ] ( ( ; ( ( ( ( m m A Electrónica 5/6 Filtros activos ª ordem um AmpOp Topologia Salleney passabanda ( ( [ ] ( ( ( ( ( [ ] ( ( m m A ( ; ( ; ( A selectividade pode ser controlada com o ganho tem de ser </ para que não haa instabilidade

8 Filtros Sensibilidade Mede a razão de variação de uma determinada grandeza relativamente a outra S S y x y x x x y y y x x y lim É sempre conveniente conhecerse x x a sensibilidade dos parâmetros dos x filtros ( n, o,,... em ordem às y resistências, condensadores, indutâncias, y e ganho dos amplificadores. Electrónica 5/6 5 Filtros activos Dificuldades de integração: Os condensadores em tecnologia MOS são de boa qualidade. No entanto condensadores de valor elevado ocupam uma área substancial (raramente se desenham condensadores com >pf. Para baixas frequências (áudio, o valor das resistências necessárias, considerando valores de capacidade razoáveis (pf, são exageradamente elevados (na ordem do MΩ. Embora o erro de emparelhamento entre dois componentes do mesmo tipo ( ou possa ser inferior a %, o valor absoluto é superior a %. Devido aos diferentes processos de fabrico associados a e, ε >%. Electrónica 5/6 6

9 Filtros activos Solução possível: Usar sempre o mesmo componente para definir os parâmetros do sistema (e.g. a constante de tempo, sendo a razão de valores o que a determina. Isto garante precisões muito boas (na ordem de,% A solução que os circuitos de condensadores comutados apresentam pode ser explicada como um processo de emulação de uma resistência através da comutação periódica da carga de um condensador. Electrónica 5/6 7 Filtros activos capacidades comutadas Princípio φ φ Electrónica 5/6 8

10 Filtros activos capacidades comutadas Princípio φ φ (t. Electrónica 5/6 9 Filtros activos capacidades comutadas Princípio T φ φ.( dv i I dt t T ' T I I ( ' (t. (t t. Se e forem constantes este resultado é exacto, no entanto se variarem no tempo á não é verdade. T/ Electrónica 5/6

11 Filtros activos capacidades comutadas Princípio φ φ a. Electrónica 5/6 Filtros activos capacidades comutadas Princípio φ φ onservação da carga: a a /( a../( a a./( a Electrónica 5/6

12 Filtros activos capacidades comutadas Princípio φ φ [ a /( a ] a /( a../( a a./( a Electrónica 5/6 Filtros activos capacidades comutadas φ φ [ a /( a ] a /( a /(a [ a/(a ]./(../( a [( a /( a a ] a.e/( a./( a [ a a /( a ] Electrónica 5/6

13 Filtros activos capacidades comutadas Princípio elação de recurrência: /( a [ a ] /( a n [ a n ] /( a,,8,6,, 6 n n a T/ n exp a n nt a Electrónica 5/6 5 Filtros activos capacidades comutadas Integrador φ φ v e v s vs v T e T/ f f v e f f v s Electrónica 5/6 6

14 Filtros activos capacidades comutadas Nó flutuante i (nt o (nt (nt (n/t nt φ φ Os circuitos S são inerentemente circuitos amostrados. A forma mais correcta de se analisar este tipo de circuitos é por formulação de tempo discreto, i.e., equações diferença e transformada de Z. A equação diferença pode ser obtida recorrendose à lei de conservação de carga. Electrónica 5/6 7 Filtros activos capacidades comutadas Nó flutuante i (nt o (nt (nt (n/t nt φ φ Análise no tempo. Encontrar o(s nó(s onde a carga será partilhada por diferentes capacidades. Encontrar qual a capacidade que determina a tensão de saída. Aplicar então a lei de conservação da carga para encontrar a equação diferença. Electrónica 5/6 8

15 Filtros activos capacidades comutadas Integrador t (nt i [(nt o [(nt] [( n T] [( n T ] T i o i [(nt] ' t (n/t o [(n/t] o [nt] o [( n / T] [ nt] T o Electrónica 5/6 9 Filtros activos capacidades comutadas Integrador Uma vez que na fase φ do clock a carga se redistribui apenas entre e então: T ' T o[ nt] i [( n T] [( n T] o ( z T z e T... T eq Z e T T << De uma forma genérica este resultado mostra que se pode partir de um filtro activo de tempo contínuo para encontrar uma topologia S. Para tal basta substituir as resistências pelo eq T/ emulador capacitivo. No final resulta um (z cua resposta em frequência se aproxima do ( original quando << s ( s frequência de amostragem T Electrónica 5/6

16 Filtros activos capacidades comutadas As capacidades parasitas dos comutadores influenciam a precisão do filtro. A solução é garantir que estes condensadores esteam permanentemente ligados a um nó de massa virtual (como p, a nós de baixa impedância (como p ou então garantir um comutação que curtecircuite periodicamente aquelas capacidades parasitas que participam na transferência de carga ( p. φ φ p p p p p e p estão ligadas a uma baixa impedância e nó de massa virtual, respectivamente, portanto não participam na transferência de carga entre e. A capacidade p é curtocircuitada à massa em φ e p está à massa em φ sendo ligada em φ à massa virtual com carga nula. Esta é portanto uma configuração onde os p não afectam o valor final da tensão de saída φ p φ φ φ p p Electrónica 5/6