Função de Transferência do Amplificador re- alimentado

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1 p. 1/2 Resumo Efeito da Realimentação nos Pólos do Amplificador Amplificador só com um Pólo Amplificador com dois Pólos Amplificador com três ou mais Pólos Estabilidade usando Diagramas de Bode Compensação de Frequência

2 p. 2/2 Função de Transferência do Amplificador realimentado Num amplificador realimentado o ganho de malha aberta A é função da frequência e deve ser designado por função de transferência em malha aberta A(s). Também β varia com a frequência e deverá ser designado por função de transferência de realimentação. A função de transferência em malha fechada será dada por: A f (s) = A(s) 1+A(s)β(s) A análise seguinte diz respeito apenas às frequências mais elevadas. O ganho da malha A(s)β(s) pode ser representado no domínio complexo fazendo s=jw. Neste caso é possível representar Aβ pela magnitude e fase. A forma como o ganho varia determina a estabilidade do amplificador.

3 p. 3/2 Função de Transferência do Amplificador realimentado Para a frequência em que a fase atinge o valor de 180 Aβ é um valor negativo. Se nesta frequência Aβ for menor do que a unidade então o ganho A f será maior do que o ganho em malha aberta mas o amplificador continua estável. Se para esta frequência o ganho for igual a 1 A f será infinito, ou seja, o amplificador poderá ter uma saída mesmo sem entrada (oscilador). O amplificador também oscilará para um valor de Aβ superior à unidade quando a fase atinge 180. Uma vez conhecido o mecanismo que leva à oscilação importa agora descobrir os mecanismos que permitem evitar esta situação.

4 Efeito da Realimentação nos Pólos do Amplificador A resposta em frequência do amplificador e a estabilidade são determinadas pelos seus pólos. É necessário investigar o efeito da realimentação nos pólos do amplificador. Para um amplificador ser estável os pólos devem estar no semi-plano esquerdo do domínio s. Se num amplificador com um par de pólos conjugados s = σ o ± jw n, ao ligar a fonte de alimentação ou excitar com um impulso à entrada obtém-se uma resposta com termos do tipo v(t) = e σ ot [ e + jw nt + e jw nt ] = 2e σ ot cos(w n t) Se os pólos estão no semiplano esquerdo então σ o será negativo e as oscilações decairão exponencialmente até zero o que implica que o sistema é estável. Se os pólos estão no semiplano direito então σ o será positivo e as oscilações aumentarão exponencialmente até à saturação. Se os pólos estão no eixo jw então σ o será zero e manter-ão as oscilações. p. 4/2

5 p. 5/2 Efeito da Realimentação nos Pólos do Amplificador Se os pólos estão no semiplano direito então σ o será positivo e as oscilações aumentarão exponencialmente até à saturação. Se os pólos estão no eixo jw então σ o será zero e manter-á as oscilações.

6 p. 6/2 Amplificador só com um Pólo Os pólos do amplificador realimentado são os zeros de 1+A(s)β(s). Os pólos do amplificador realimentado são obtidos resolvendo a equação 1+A(s)β(s) = 0 que é chamada a equação característica. Aplicando realimentação os pólos em malha aberta vão modificar-se. Considera-se que o amplificador em malha aberta tem só pólos reais uma vez que só existem condensadores e resistências. Considera-se β independente da frequência.

7 p. 7/2 Amplificador só com um Pólo Se a função de transferência em malha aberta tem um pólo A(s) = A 0 1+s/w P a função em malha fechada será A f (s) = A 0/(1+A 0 β) 1+s/(w P (1+A 0 β)) Para frequências w w P (1+A 0 β) A f (s) A 0w P s A(s) (coincidência dos gráficos de A e A f ) Ou seja para altas frequências o ganho da malha é muito menor que a unidade e a realimentação não é efectiva (a realimentação fica menos dependente da malha de realimentação e fica mais dependente do ganho em malha aberta).

8 p. 8/2 Amplificador só com um Pólo Com a realimentação o pólo desloca-se no semi-eixo negativo em direcção a menos infinito o que torna o amplificador mais estável (incondicionalmente estável). Para a realimentação se tornar positiva é preciso que os pólos introduzam um desvio de fase de 180 pois assim o ganho da malha muda de sinal. Assim à entrada do amplificador a mistura passa duma diferença para a uma soma. Além do desvio de fase o ganho Aβ terá que ser maior ou igual a um para o amplificador se tornar instável. Nesta situação a realimentação seria positiva. No caso dum único pólo o máximo desvio de fase é de 90, pelo que não há risco de instabilidade.

9 p. 9/2 Amplificador com dois Pólos Considerando a função transferência em malha aberta caracterizada por dois pólos A(s) = A 0 (1+s/w P1 )(1+s/w P2 ) O pólos de A f (s) são os zeros de 1+A(s)β = 0 que se pode escrever da seguinte forma s 2 + s(w P1 + w P2 )+(1+A 0 β)w P1 w P2 = 0 (1) Os pólos em malha fechada são s = 1 2 (w P1 + w P2 ) ± (w P1 + w P2 ) 2 4(1+A 0 β)w P1 w P2 1 2 A figura é designada por diagrama do lugar das raízes. É possível verificar que este amplificador realimentado é incondicionalmente estável (os pólos estão no semiplano esquerdo). O máximo desvio de fase neste caso é 180 (90 por pólo) mas é atingido no infinito quando o ganho em malha aberto é muito pequeno.

10 p. 10/2 Amplificador com dois Pólos A função característica (1) é uma função de segunda ordem que pode ser escrita da seguinte forma s 2 + s w 0 Q + w2 0 = 0 em que w 0 é chamada a frequência do pólo e Q é o factor de qualidade do pólo. Os pólos são complexos se Q é maior que 0.5. Na figura é possível ver a interpretação para as grandezas w 0 e Q. Pólos no eixo jw tem Q =.

11 p. 11/2 Amplificador com dois Pólos Na figura é mostrado o ganho normalizado do amplificador realimentado de dois pólos para vários valores de Q. Para Q > o amplificador mostra um pico. Para Q = (pólos com ângulos de 45 ) resulta numa resposta bastante plana (sendo estes os pólos do filtro passa baixo de Butterworth de segunda ordem).

12 p. 12/2 Amplificador com três ou mais Pólos Quando o ganho da malha (Aβ) aumenta o pólo real mais negativo no eixo desloca-se para menos infinito e os outros aproximam-se entre eles, tornam-se complexos e aumentando ainda mais o ganho da malha passam para o semi-plano positivo tornando o amplificador instável. Três pólos introduzem um desvio de fase de -270 quando w tende para infinito. Se para o desvio de fase de -180 o ganho Aβ é maior que um o amplificador torna-se instável.

13 p. 13/2 Estabilidade usando Diagramas de Bode Margens de Fase e Ganho O amplificador realimentado é estável porque à frequência que se atinge uma fase de 180 (w 180 ) o módulo do ganho da malha Aβ é menor que a unidade (negativo para db). O módulo da diferença entre o valor de Aβ para w 180 e a unidade é a margem de ganho. A margem de ganho indica a quantidade pela qual o ganho da malha pode ser aumentado mantendo a estabilidade. Outra maneira de investigar a estabilidade, é verificar o ângulo de fase na frequência em que o ganho da malha tem módulo um. Se esse valor for menor do que 180 então o amplificador é estável. A diferença entre este ângulo de fase e 180 é chamado a margem de fase.

14 p. 14/2 Estabilidade usando Diagramas de Bode Efeito da Margem de Fase na Resposta em Malha Fechada Os amplificadores com realimentação são normalmente projectados com uma margem de fase de pelo menos 45. Esta margem de fase tem uma enorme influência na resposta em malha fechada do amplificador. Para analisar de que forma considere-se um amplificador com A 0 β 1. O ganho em malha fechada é aproximadamente 1/β. Sendo a frequência em que o ganho da malha é um w 1 obtém-se: A( jw 1 )β = 1xe jθ com θ = 180 margem de fase Em w 1 o ganho em malha fechada é: A f ( jw 1 ) = A( jw 1) 1+A( jw 1 )β O módulo do ganho será: A f ( jw 1 ) = 1/β 1+e jθ = (1/β)e jθ 1+e jθ Para uma margem de fase de 45, θ = 135 e A f ( jw 1 ) = β

15 p. 15/2 Estabilidade usando Diagramas de Bode Efeito da Margem de Fase na Resposta em Malha Fechada Existe um pico de ganho em w 1. Esse aumento de ganho é maior à medida que a margem de ganho é reduzida. Uma margem de fase de zero implica que o amplificador pode manter oscilações. (pólos no eixo imaginário). Diminuindo a margem de fase os pólos aproximam-se do eixo imaginário resultando em picos na resposta em frequência em malha fechada.

16 p. 16/2 Estabilidade usando Diagramas de Bode Um método alternativo para investigar estabilidade Estudar a estabilidade por construção de diagramas de Bode do ganho da malha Aβ é uma tarefa que consome muito tempo. É conveniente encontrar um método alternativo. O método consiste em construir o diagrama de Bode para o ganho em malha aberta A( jw). Considerando que β é independente da frequência.

17 p. 17/2 Estabilidade usando Diagramas de Bode Um método alternativo para investigar estabilidade Então 20log(1/β) é constante e é possível representar no mesmo gráfico de 20log A. A diferença entre as duas curvas é 20log A( jw) 20log 1 β = 20log Aβ que é o ganho da malha en db. Para avaliar a estabilidade para uma realimentação diferente basta traçar outra recta 20log(1/β). O ganho 20log(1/β) é aproximadamente o ganho em malha fechada (em DC).

18 p. 18/2 Estabilidade usando Diagramas de Bode Um método alternativo para investigar estabilidade Uma vez que o ganho da malha é a diferença entre a curva 20log A e a curva 20log(1/β) o ponto de intersecção corresponde à frequência na qual Aβ = 1. Ao aumentar a realimentação β, diminui-se o ganho em malha fechada e aumenta-se a instabilidade do amplificador. Na frequência correspondente ao segundo pólo (do ganho em malha aberta) existe um desvio de fase de 135 (90 do primeiro pólo e 45 do próprio pólo). Se a recta 20log(1/β) passar por esse ponto (corresponde nesse ponto a 20log(Aβ) = 0dB) obtém-se uma margem de fase de 45. Se a recta 20log(1/β) passar acima desse ponto obtém-se uma margem de fase ainda maior. Por isso se a recta 20log(1/β) cruzar o gráfico do ganho em malha aberta numa zona com declive igual a 20dB/Decada obtém-se uma margem de fase superior a 45.

19 p. 19/2 Estabilidade usando Diagramas de Bode Um método alternativo para investigar estabilidade Atendendo que o ponto de fase de malha aberta de 180 é atingido quando o ganho em malha aberta decresce a 40dB/Decada conclui-se que uma regra prática util será: O amplificador em malha fechada será estável se a recta 20log(1/β) intersecta a curva 20log A num ponto em que o ganho decresce a 20dB/Decada. Seguindo esta regra garante-se uma margem de fase de 45. Generalizando: Na intersecção de 20log[1/ β( jw) ] e 20log A( jw) a diferença de declives não poderá exceder 20dB/Decada

20 p. 20/2 Compensação em Frequência É possível analisar a compensação de amplificadores em malha aberta com três ou mais pólos de forma a serem estáveis para qualquer valor de ganho em malha fechada. O que se pretende conseguir é que a recta 20log(1/β) intersecte o ganho em malha aberta num ponto de declive de 20dB/decada.

21 p. 21/2 Compensação em Frequência O método mais simples de compensação na frequência consiste em introduzir um pólo novo na função A(s) a uma frequência suficientemente baixa, f D, tal que a curva do novo ganho em malha aberta intersecte a curva 20log(1/ β ) com uma diferença de declive de 20dB/Decada. Primeiro traça-se a recta 20log(1/ β ). De seguida localiza-se o ponto Y nessa recta à frequência do primeiro pólo, f P1. De Y traça-se uma recta com -20dB/Decada de declive e determina-se o ponto no qual se atinge o ganho DC Y.

22 p. 22/2 Compensação em Frequência primeiro pólo para a frequência do ponto Z. Outro método com melhores resultados é localizar a intersecção da recta 20log(1/ β ) com a resposta em malha aberta pretendida no segundo pólo ( f P2 )da resposta em malha aberta original (Ponto Z). Traçar um segmento de declive -20dB/Decada até atingir o ponto de ganho DC (ponto Z ). Então alterar o circuito de forma a deslocar o

23 p. 23/2 Compensação em Frequência É necessário analisar a forma de implementar o esquema de compensação discutido no ultimo acetato. O circuito amplificador consiste normalmente num certo número de andares em cascata, com cada andar a ser responsável por um ou mais pólos da função transferência. Através de análise manual ou computacional do circuito identifica-se qual o andar responsável por cada um dos pólos. Introduz-se então uma capacidade em paralelo com a que é responsável pelo pólo mais baixo e corrige-se a frequência do pólo.

24 Compensação em Frequência Os andares diferenciais em cascata da figura (a) têm por circuito equivalente de saída do primeiro andar a figura (b) O pólo é dado por f P1 = 1 2πC x R x Se for introduzida uma capacidade adicional C C nesse andar, desloca-se o pólo para uma frequência mais baixa f D = 1 2π(C x +C C )R x De notar que este procedimento pode afectar a localização dos outros pólos dos andares seguintes. Poderá existir uma nova localização do segundo pólo. Traça-se então outro segmento de recta e outro valor de C C. (repete-se este procedimento até atingir um valor final para C C ). A desvantagem desta implementação poderá ser um valor elevado para o condensador que poderá não ser possível implementar num circuito integrado (normalmente limitado a 100pF). Neste caso é possível utilizar o Efeito de Miller e integrar um condensador entre dois pontos de ganho elevado. Assim o condensador necessário será muito mais pequeno. p. 24/2

25 Compensação em Frequência Compensation por efeito de Miller e afastamento dos pólos A figura representa um andar de um amplificador. C 1 inclui a componente de Miller devido à capacidade C µ e C 2 inclui a capacidade de entrada do andar seguinte. I i representa o sinal de corrente do andar anterior. Na ausência de C f os pólos dão os seguintes valores: f P1 = 1 2πC 1 R 1 f P1 = 1 2πC 2 R 2 Com C f obtém-se a seguinte função de transferência: V o (sc Ii = f g m )R 1 R 2 (1) 1+s[C 1 R 1 +C 2 R 2 +C f (g m R 1 R 2 +R 1 +R 2 )]+s 2 [C 1 C 2 +C f (C 1 +C 2 )]R 1 R 2 O polinómio de segundo grau do denominador em função dos pólos é dado por: D(s) = ( )( ) 1+ s 1+ s w P1 w P2 = 1+s( 1 w P1 ) s2 w P2 w P1 w P2 p. 25/2

26 p. 26/2 Compensação em Frequência w P2 g m C f C 1 C 2 +C f (C 1 +C 2 ) Compensation por efeito de Miller e afastamento dos pólos D(s) 1+s 1 w P1 + s2 (2) w P1 w P2 De (1) e (2) do acetato anterior tira-se: w P1 1 g m R 2 C f R 1 Pode-se provar que com o aumento de C f, w P1 diminui e w P2 aumenta. O aumento de w P2 é bastante benéfico pois pode deslocar o ponto Z mais para altas frequências. A este efeito é chamado afastamento dos pólos. No primeiro pólo C f é multiplicado pelo factor do efeito de Miller g m R 2 resultando numa muito maior capacidade. Por isso C f será muito menor que C C.

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