O circuito LCR ressonante

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1 p. 1/3 Resumo O circuito LCR ressonante Realização de Filtro Passa-Baixo, Passa-Alto, Passa Banda, Notch, Passa-Tudo Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados em substituição de Indutância Circuito de Simulação de Indutância Antoniou Realização de Filtro Passa-Baixo, Passa-Alto, Passa Banda, Notch, Passa-Tudo Filtros Activos de 2 a Ordem - Topologia de dois integradores ligados em malha Principio de Funcionamento Implementação (Kerwin-Huelsmann-Newcomb biquad) Um circuito alternativo (Tow-Thomas biquad)

2 p. 2/3 O circuito LCR ressonante Os pólos ou modos naturais do circuito (a) podem ser obtidos através do calculo da impedância do paralelo (aplicando uma excitação que não altera a resposta do circuito). Quanto à resposta natural ou transitória do circuito uma fonte de corrente independente ideal é equivalente a um circuito aberto só alterando as condições iniciais. V o I = Y 1 = 1 Temos que w 0 = 1 LC (1/sL)+sC+1/R = Q = w 0 CR s/c s 2 +s(1/cr)+1/(lc) = s/c s 2 +s(w 0 /Q)+w 2 0

3 p. 3/3 O circuito LCR ressonante Os pólos ou modos naturais do circuito (a) podem ser obtidos através da função transferência do circuito (c) (transformada de Laplace da resposta transitória do circuito) ou injectando a tensão em qualquer ponto do circuito x, y e z. Num exercício típico será dado w 0 e Q para o projecto do filtro. Como existem três variáveis a determinar (resistência, indutância e capacidade) arbitra-se uma das variáveis de forma a que as outras duas sejam realizáveis.

4 p. 4/3 Realização de zeros da função transferência Depois de escolher os componentes para realizar o par de pólos pretendidos é necessário saber onde injectar a tensão de entrada de sinal V i de forma a obter a função de transferência pretendida (Passa-Baixo, Passa-Alto, etc). T (s) = V o(s) V i (s) = Z 2(s) Z 1 (s)+z 2 (s) Os zeros da função transferência são os valores de s em que Z 2 (s) é zero (e Z 1 (s) não é simultaneamente zero) e os valores em Z 1 (s) é infinito (e Z 2 (s) não é simultaneamente infinito). Se há um valor de s para o qual Z 1 e Z 2 são zero então V o /V i é finito e não é obtido nenhum zero para essa frequência. Se há um valor de s em que Z 1 e Z 2 são infinito então V o /V i é finito e não é obtido nenhum zero para essa frequência.

5 p. 5/3 Realização da função Passa-Baixo O nó x é desligado da massa e é-lhe aplicado o sinal de entrada. Os zeros deste circuito são os valores em que: 1) a impedância em série fica infinita (sl fica infinito em s = ) 2) a impedância formada pelo paralelo de R com C fica zero (1/[sC+(1/R)] torna-se zero para s = ) Então este circuito tem dois zeros em s = como um circuito passa baixo deverá ter. T (s) = V o(s) V i (s) = Z 2(s) Z 1 (s)+z 2 (s) = Y 1(s) Y 1 (s)+y 2 (s) = 1/(LC) s 2 +s(1/(cr))+(1/(lc))

6 p. 6/3 Realização da função Passa-Alto O nó y é desligado da massa e é-lhe aplicado o sinal de entrada. O condensador em série introduz um zero em s = 0 e o paralelo L com R introduz outro zero em s = 0 como um circuito passa alto deverá ter. T (s) = V o V i = a 2 s 2 s 2 +s(w 0 /Q)+w 2 0 O valor de a 2 pode ser determinado do circuito observando o valor do ganho quando s. A impedância do condensador aproxima-se um curto-circuito e V o aproxima-se de V i resultando em a 2 = 1.

7 p. 7/3 Realização da função Passa-Banda O nó z é desligado da massa e aplicado o sinal de entrada. É obtido um zero em s = 0 devido à bobine L e outro em infinito devido a C. Na frequência central w 0 o circuito LC tem impedância infinita (V o = V i ). T (s) = V o V i = (1/(CR))s s 2 +s(1/(cr))+(1/(lc))

8 p. 8/3 Realização da função notch Este circuito é obtido desligando os nós x e y da massa e aplicando o sinal de entrada. A impedância do circuito LC torna-se infinita para w = w 0 = 1/ LC e causa um zero a essa frequência. T (s) = V o V i = s 2 +w 2 0 s 2 +s(w 0 /Q)+w 2 0

9 Realização da função notch Para obter um filtro notch no qual a frequência w n (do zero) é colocada arbitrariamente relativamente a w 0 usa-se o esquema da figura (decompõe-se L e C em dois). L 1 e C 1 são escolhidos tais que L 1 C 1 = 1/w 2 n Então o circuito tanque L 1 C 1 introduz um par de zeros em ± jw n desde que o circuito tanque L 2 C 2 não seja ressonante em w n. Os valores de L 2 e C 2 devem ser escolhidas de forma a que os pólos não se alterem C 1 +C 2 = C L 1 L 2 = L ou seja quando V i é substituído por um curto-circuito, o circuito reduz-se ao circuito LCR ressonante. p. 9/3

10 p. 10/3 Realização da função notch Este circuito corresponde a um filtro notch passa-baixo, logo: w n > w 0 e por isso L 1 C 1 < (L 1 L 2 )(C 1 +C 2 ) Esta condição é satisfeita com L 2 eliminado (L 1 = L). A função transferência será: T (s) = V o s V i = a 2 +w 2 n 2 s 2 +s(w 0 /Q)+w 2 0 com w 2 n = 1/(LC 1 ), w 2 0 = 1/L(C 1 +C 2 ), w 0 /Q = 1/(CR) Para s o circuito reduz-se a um divisor capacitivo no qual V o V i = a 2 = C 1 C 1 +C 2

11 p. 11/3 Realização da função notch T (s) = V o V i = s 2 +(1/(L 1 C)) s 2 +s(1/(cr))+[1/((l 1 L 2 )C)] Este circuito corresponde a um filtro notch passa-alto. Neste caso w n < w 0 e por isso L 1 C 1 > (L 1 L 2 )(C 1 +C 2 ) Esta condição é satisfeita com C 2 = 0 (C 1 = C). A função transferência será

12 p. 12/3 Realização da função Passa-Tudo por dois s(w 0 /Q) A função de transferência Passa-Tudo é T (s) = s2 s(w 0 /Q)+w 2 0 s 2 +s(w 0 /Q)+w 2 0 Pode ser escrita como T (s) = 1 2s(w 0/Q) s 2 +s(w 0 /Q)+w 2 0 O segundo termo é uma função Passa-Banda com um ganho de dois na frequência central. Dividindo a função de transferência T (s) = 0.5 s 2 +s(w 0 /Q)+w 2 0 Este circuito pode ser implementado como está representado na figura. Este circuito tem a desvantagem de não ter um terminal comum de massa entre a entrada e a saída.

13 p. 13/3 Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância Circuito de Simulação de Indutância Antoniou Este circuito é muito tolerante a propriedades não ideais dos amplificadores operacionais como o seu ganho e largura de banda finitos. Ver os passos da figura que começam em (1) e acabam em (18).

14 p. 14/3 Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância Circuito de Simulação de Indutância Antoniou Verificar que a tensão de entrada é igual à tensão em R 5 pois os amplificadores operacionais tem ganhos infinitos (e são curto circuitos virtuais à entrada). Considera-se que as correntes nas entradas dos amplificadores operacionais são nulas. Z in = V 1 I 1 = sc 4R 1 R 3 R 5 R 2 Que é uma indutância L dada por L = C 4R 1 R 3 R 5 R 2 Usualmente escolhe-se R 1 = R 2 = R 3 = R 5 = R e C 4 = C que dá L = CR 2. Os valores de R e C são escolhidos de forma a termos os valores de L pretendidos.

15 p. 15/3 O circuito RC ressonante baseado em Amplificadores Operacionais O circuito é um circuito ressonante de segunda ordem com um pólo em w 0 = 1/ LC 6 = 1/ C 4 C 6 R 1 R 3 R 5 /R 2 E o factor de qualidade é dado por Q = w 0 C 6 R 6 = R 6 C6 C 4 R 2 R 1 R 3 R 5 Usualmente é escolhido C 4 = C 6 = C e R 1 = R 2 = R 3 = R 5 = R que resulta w 0 = 1/CR e Q = R 6 /R. Escolhe-se primeiro um valor conveniente para C, calcula-se R a partir de w 0. Depois determina-se R 6 para se obter um determinado factor de qualidade.

16 p. 16/3 Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância Nota: Nos próximos acetatos apresentam-se os vários circuitos de segunda ordem apresentados anteriormente com a bobina substituída pelo circuito de Antoniou. Filtro Passa-Baixo

17 p. 17/3 Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância Filtro Passa-Alto

18 p. 18/3 Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância Filtro Passa-Banda

19 p. 19/3 Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância Filtro notch em w 0

20 p. 20/3 Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância Filtro notch Passa-Baixo w n > w 0

21 p. 21/3 Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância Filtro notch Passa-Alto w n < w 0

22 p. 22/3 Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância Filtro Passa-Tudo O circuito Passa-Tudo tem uma função transferência do tipo Passa-Tudo=1-(Passa- Banda com o ganho da frequência central de 2) Circuitos relacionados desta forma são designados por complementares. Um circuito passa-tudo com ganho unitário é o complementar dum circuito passa banda com um ganho central de 2. Implementa-se o circuito passa banda do acetato 18 com K = 2 e obtém-se o circuito final desligando os pontos de massa e ligando-os à fonte de tensão V i. Os pontos que estavam ligados a V i serão ligados à massa.

23 p. 23/3 Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância

24 p. 24/3 Realização de Filtros Activos de Segunda Ordem baseados na substituição de Indutância

25 Filtros Activos de 2 a Ordem - Topologia de dois p. 25/3 integradores ligados em malha Considere que a função de transferência Passa-Alto de segunda ordem é dada pela equação abaixo. Fazendo a multiplicação cruzada e dividindo por s 2, obtém-se: ( ) V hp Ks V i = 2 V s 2 +s(w 0 /Q)+w 2 hp + Q 1 ( w0 ) w s V hp + 2 0V s 0 2 hp = KV i (1) Nesta equação verifica-se que o sinal (w 0 /s)v hp pode ser obtido passando V hp por um integrador com uma constante de tempo 1/w 0. Passando o sinal ainda por outro integrador idêntico resulta num terceiro sinal ( w 2 0 /s2) V hp. A figura (a) mostra esse arranjo.

26 p. 26/3 Filtros Activos de 2 a Ordem - Topologia de dois integradores ligados em malha É possível arranjar a equação (1) do acetato anterior da seguinte forma: V hp = KV i Q 1 w 0 s V hp w2 0V s 2 hp (1) que sugere que V hp pode ser obtida utilizando o somador da figura (b). Pode-se combinar o circuito (a) do acetato anterior com o circuito (b) para obter o circuito (c). O sinal à saída do primeiro integrador é uma função passa-banda T bp (s) = ( w 0 s )V hp Kw V i = 0 s (2) s 2 +s(w 0 /Q)+w 2 0 À frequência central o ganho é igual a KQ.

27 p. 27/3 Filtros Activos de 2 a Ordem - Topologia de dois integradores ligados em malha O sinal à saída do segundo integrador é uma função passa-baixo: T lp (s) = ( w 2 0 s 2 )V hp V i = Kw 2 0 s 2 +s(w 0 /Q)+w 2 0 (1) O ganho DC é K. Este circuito pode implementar ao mesmo tempo os filtros Passa-Alto, Passa-Banda e Passa-Baixo. Por causa desta versatilidade o circuito é chamado de Filtro Activo Universal.

28 Topologia de dois integradores ligados em malha - Implementação Este circuito é conhecido como Kerwin-Huelsmann-Newcomb biquad ou KHN biquad ( ) ( ) ( ) V hp = R 3 R 2 +R 3 1+ R f R 1 V i + R 2 R 2 +R 3 1+ R f ( w 0 ) R R 1 s V hp f R 1 w2 0V s 2 hp Comparando esta equação com a equação (1) do acetato 26 CR = 1/w 0 R f /R 1 = 1 R 3 /R 2 = 2Q 1 O ganho K do amplificador é dado por K = 2 (1/Q) p. 28/3

29 p. 29/3 Topologia de dois integradores ligados em malha - Filtro notch e Passa Tudo O KHN biquad pode ser usado para implementar Filtros notch e Passa-Tudo somando versões pesadas das saídas Passa-Baixo, Passa-Banda e Passa-Alto. ) ( V o = ) ( RF R H V hp + R F R B V bp + R F R L V lp = V RF i R H T hp + R F R B T bp + R F R L T lp Substituindo as funções (1) e (2) do acetato 26 e (1) do acetato 27 dá uma função de transferência V o V i = K (R F/R H )s 2 s(r F /R B )w 0 +(R F /R L )w 2 0 s 2 +s(w 0 /Q)+w 2 0 Pode-se ver que diversos zeros de transmissão podem ser obtidos desde que se escolha as resistências de soma apropriados. Para o Filtro notch selecciona-se R B = e ( ) 2 R H RL = wn w 0

30 Topologia de dois integradores ligados em p. 30/3 malha - Um circuito alternativo É possivel substituir o somador da entrada por um inversor e assim utilizar apenas AMPOPs apenas com uma entrada activa. Assim os coeficientes do somador passam a ter o mesmo sinal e é possível dispensar o somador de entrada e fazer a soma no primeiro integrador. Com esta alteração a função Passa-alto deixa de estar disponível. O circuito é conhecido como Tow-Thomas biquad

31 Topologia de dois integradores ligados em malha - Um circuito alternativo Em vez de usar quatro amplificadores operacionais para implementar os filtros (com KHN biquad pois no caso deste, Tow-Thomas biquad, não está disponível o Passa-Alto) é possível utilizar a implementação Tow-Thomas biquad com o sinal de entrada fornecido a todos os amplificadores operacionais. Pode-se obter todas as funções pretendidas. Para isso é necessário obedecer ( à tabela tendo em conta que a função de transferência C1 ( ) C )+s C 1 1 R1 RR r C 2 RR 2 obtida é: V o V i = s2 s 2 +s 1 QCR + 1 C 2 R 2 p. 31/3