Método de Nyquist. definições propriedades (Teorema de Cauchy) estabilidade Relativa. Margem de Ganho Margem de Fase

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1 Método de Nyquist M O T I V A Ç Ã O F U N Ç Õ E S C O M P L E X A S definições propriedades (Teorema de Cauchy) C A M I N H O D E N Y Q U I S T D I A G R A M A S D E N Y Q U I S T C R I T É R I O D E E S T A B I L I D A D E D E N Y Q U I S T estabilidade Relativa Margem de Ganho Margem de Fase S I S T E M A S M U L T I V A R I Á V E I S 1

2 Motivação 2 Determinação e medida da estabilidade absoluta e relativa, que outros métodos não conseguem fazer. Aplicável a funções de transferências transcendentais ou determinadas experimentalmente. Obs.: plano-s (P(s)) plano dos polos e zeros!!! P(s) (plano-s) p1 p1*

3 Funções Complexas A variável independente (frequência) s de Laplace é dada por: s = σ+ωj 3 So ωj P(s) (plano-s) σo ωo σ

4 Funções Complexas 4 Como s= σ + ωj, para representar G(s) são necessários dois planos: So P(s) (plano-s) ωj ωo G(So) σ Transformação Im(G) ψ(s) (plano complexo) σo Domínio Re(G) Contra-domínio

5 Funções Complexas: ex. 3D 5

6 Definições a) A derivada de G(s) no ponto so é dada por: dg ds sso lim sso 6 G( s) s G( so). so b) Se a derivada existe no interior de uma região do plano complexo, onde os extremos são finitos e definidos, G(s) é dita analítica nesta região. c) Pontos de G(s) que não são analíticos, são chamados pontos singulares ou singularidades de G(s). Todo polo de G(s) é uma singularidade.

7 Definições d) Um curva fechada no plano complexo é uma curva contínua que começa e termina num mesmo ponto Im(G) 7 Re(G)

8 Definições e) Todos os pontos que ficam à direita de uma curva quando se anda no sentido pré-estabelecido são ditos contornados pela curva (pontos em amarelo). Im(G) 8 Re(G)

9 Definições 9 Im(G) Origem contornada Re(G)

10 Definições 10 Im(G) Origem fora da região contornada. Re(G)

11 Definições 11 f) O sentido horário (SH) será considerado o sentido positivo Im(G) Origem contornada uma vez, positivamente Re(G)

12 Definições g) Uma curva fechada dá n vezes na origem positivamente quando a reta que liga a origem a um ponto da curva percorrer nx360 no sentindo horário. Im(G) 12 Uma volta positiva ao redor da origem. θ Re(G)

13 Definições 13 Im(G) Volta negativa ao redor da Origem. θ Re(G)

14 Definições Voltas líquidas: No= nxsh-mxsah 14 No=+1 Im(G) θ Re(G)

15 Propriedades da Transformada G(s) Para G(s) analítica, a transformação é: Unívoca Contornos no plano-s (P(s)) excluem singularidades A transformada é conforme: ângulos e orientação relativas no plano-s são preservadas no plano complexo do contra-domínio (ψ(s)). Transformada conforme trajetória fechada no plano-s trajetória fechada no plano ψ(s). 15

16 Transformada conforme P(s) 16 ψ(s)

17 Teorema de Cauchy Também conhecido como Princípio do Argumento 17 O número de voltas (No) num contorno fechado ao redor da origem do plano ψ(s) é igual ao número de zeros (Zo) menos o número de polos (Po) de G(s) que são contornados por uma curva fechada no plano-s: No= Zo-Po.

18 Ilustração: Teorema de Cauchy ωj 18 P(s) (plano-s) σ Domínio

19 Teorema de Cauchy Ilustração: SH 19 Im(G) ψ(s) No= +1 Re(G) Contra-domínio

20 Teorema de Cauchy (cont.) 20 Se a origem é contornada no sentido horário pela curva no plano ψ(s), então No>0, caso contrário No 0, isto é, a origem não é contornada ou é contornada negativamente (SAH). No= -1 Im(G) SAH ψ(s) Re(G)

21 Critério de Estabilidade de Nyquist R(s) E(s) 21 G Y(s) H T FTMA : GH(s) G FTMF : T ( s) 1 GH Φ(s) 1 GH(s) 0 obs : Polos de MF zeros de Φ(s)

22 Critério de Estabilidade de Nyquist Para estabilidade em MF sabemos que os polos de MF, portanto os zeros de Φ(s), devem estar todos no semi-plano esquerdo do plano-s (P(s)), isto é, devem ter todos parte real negativa. Nyquist propôs um critério de estabilidade baseado no teorema do argumento de Cauchy e nos planos P(s) e ψ(s). Ele criou uma curva fechada englobando todo o semi-plano direito de P(s) e usando a equação característica Φ(s) para criar a imagem em ψ(s) pôde associar os zeros e polos contornados em P(s) com os contornos da origem em ψ(s). A curva fechada em P(s) é conhecida como o Caminho de Nyquist. 22

23 Caminho de Nyquist 23

24 Caminho de Nyquist 24

25 Caminho de Nyquist 25 O Caminho de Nyquist é a curva fechada C no planos, que contorna todos os pontos no semi-plano direito. Se G(s) tem polos no eixo imaginário ou na origem, a curva C contorna estes pontos com pequenas circunferências de raio ρ 0. O raio R de C tende para infinito: R, de modo que a curva engloba todo o semi-plano direito do plano-s. Evidentemente, a curva C contornará todos os polos e zeros de G(s) que estiverem no semiplano direito.

26 Critério de Estabilidade de Nyquist 26 Im(Φ) Φ(s) O Re(Φ) Pelo Teorema de Cauchy (argumento) : N o Z D-P Caminho de Nyquist Diagrama de Nyquist D

27 Critério de Estabilidade de Nyquist Cauchy : N (Obs. : Z zeros de (s) polos de MF) D Nyquist : para estabilidade Z 0 N isto é, para estabilidade, o número de voltas ao redor da origem no sentido anti - horário (SAH) do plano -Ψ(s) deve ser igual ao número de polos instáveis da equação característica (s). Obs : O sistema do slide anterior seria instável em MF (voltas o o Z P D D P D positivas D ao redor da origem)! 27

28 Critério de Estabilidade de Nyquist N ( s) D 1) Φ(s) 1 GH(s) 1 K D( s) KN 0 D polos de GH(s) polos de Φ(s) D(s) (polos de MA polos da equação característica). 0 2) Φ(s) 1 GH(s) 0 GH(s) 1. Ao invés de olharmos as voltas de Φ(s) ao redor da origem do plano -Ψ(s) podemos olhar as voltas de GH(s) ao redor do ponto -1do plano -Ψ(s). 28

29 Critério de Estabilidade de Nyquist 29 Considerando: GH(s)=-1 Um sistema de controle em malha fechada é estável se e somente se: N1 -PGH isto é, o número de voltas ao redor do ponto -1 no plano complexo ψ(s) seja nulo ou negativo (sentido anti-horário) e igual ao número de polos instáveis da função de transferência de malha aberta (GH(s))

30 Critério de Estabilidade de Nyquist 30 Im(GH) GH(s) -1 O Re(GH) Caminho de Nyquist Pelo Critério de Nyquist : sistema em Malha Fechada instável (-1contornado positivamente) Diagrama de Nyquist

31 Critério de Estabilidade de Nyquist 31 Se N1>0 (ponto -1 contornado positivamente) SISTEMA INSTÁVEL. Se a FTMA (GH(s)) for instável, isto é, possuir PGH polos instáveis no semiplano direito de P(s) e limgh ( s) cte (sistema físico), então, para s estabilidade em Malha Fechada, o diagrama de Nyquist deve contornar o ponto -1 no plano ψ(s) PGH vezes no sentido anti-horário. Se N1 0 e PGH=0 (FTMA estável) o sistema em MF é estável se e somente se N1=0 (isto é, -1 não é contornado em ψ(s).

32 Critério de Estabilidade de Nyquist Quando N1 0, o ponto -1 não é contornado positivamente 32 Im(GH) Im(GH) -1-1 O Re(GH) -1 O Re(GH)

33 Diagramas polares e Diagramas de Nyquist 33 G(s) com s= σ + ωj. No caso especial em que σ = 0, G(ωj) é a função de transferência senoidal. O plano-s torna-se a reta do eixo imaginário. G(ωj) pode ser descrita no contradomínio em função de um único parâmetro, a frequência ω. Com o auxílio da reta ωj do plano-s, constroem-se os diagramas polares no plano ψ(s). Usando s= σ + ωj constroem-se os diagramas de Nyquist, que são todos curvas fechadas em ψ(s). Os softwares como Matlab ou Scilab constroem apenas os diagramas polares. Quando eles forem abertos deverão ser fechados manualmente, através de métodos analíticos ou gráficos.

34 Diagramas polares G( j) G( j) G( jw) G( j) Φ Im(G) e jφ ψ(s) ωo G( j) Re(G) 34

35 35 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( jw G jw G jw G e e jw G jw G jw G j G jw G jw G j G jφ Φ j jφ Diagramas polares G1G2 Φ Φ1 G1 Φ2 G2

36 Diagramas polares e Nyquist 36 A serem desenvolvidos em aula: Sistemas do tipo zero: 1ª e 2ª Ordem e ordem superior. Diagramas polares fechados Sistemas do tipo um: Diagrama polar aberto, uma semicircunferência de raio infinito. Sistemas do tipo dois: Diagrama polar aberto, duas semicircunferências de raio infinito. Sistemas do tipo q: Diagrama polar aberto, q semicircunferências de raio infinito.

37 Diagramas polares e Nyquist 37 A serem desenvolvidos em aula: Sistemas do tipo zero: 1ª e 2ª Ordem e ordem superior. Diagramas polares fechados Sistemas do tipo um: Diagrama polar aberto, uma semicircunferência de raio infinito. Sistemas do tipo dois: Diagrama polar aberto, duas semicircunferências de raio infinito. Sistemas do tipo q: Diagrama polar aberto, q semicircunferências de raio infinito.

38 1 s 0 1 GH ( s) GH s( s 1) s2 1 Para estabilidade : N 0 Neste caso, N sistema estável em MF! 1 1 Exemplos marginalmente estável 0 (-1 não é contornado positivamente) -1 Ψ(s) 38

39 Estabilidade Nominal - MIMO D r e B x x C y y A 39

40 40 Estabilidade Nominal - MIMO 0.:. ) ( com ], [ (4) ) (, (3) malha com : Fechando a 0.:. ) ( ) ( ) ( (2) (1) ) (, 1 1 ) ( F F F F F F A caract Eq s o caract Eq s s s o s FTMA A si A si Φ I D C D) B(I A A x x r B x A x y r e A si A si Φ D E B A) C(sI Y De Cx y x x Be Ax x 1 o 1 o L

41 41 Estabilidade Nominal - MIMO I L I L A I A I I L A I A I I L I A L I A I 0 D F F F F zeros de polos de MF descreve as características de Malha Fechada. 0 de MF de 0 não houver cancelamento de raízes : 0 0 por facilidade : polos s zeros s se s s s s

42 Estabilidade Nominal - MIMO 42 Seja: L(jw) = GK(jw) com P R polos instáveis: N = - P R (P R voltas no SAH ao redor de -1). O sistema em MF com matriz de transferência de malha aberta L(s) com P R polos instáveis é estável se e somente se o diagrama de Nyquist do det(l(jw)) não passa pelo ponto -1 e o contorna P R no SAH, quando s percorre o Caminho de Nyquist