INTRODUÇÃO AO CONTROLO 2008/2009. A Figura 1.1 representa, de modo esquemático, o sistema de orientação de um satélite em torno do eixo z.

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1 INTRODUÇÃO AO CONTROLO 008/009 Problema. A Figura. representa, de modo esquemático, o sistema de orientação de um satélite em torno do eixo z. ω ω Satélitee Pormenor - roda de inércia Figura. Satélite com roda de inércia O satélite tem momento de inércia I e velocidade angular ω, e transporta no seu interior uma roda de inércia com momento (de inércia) I. Quando se imprime à roda de inércia uma velocidade de rotação ω, o satélite roda (por conservação do momento angular total) com velocidade I ω ω. I + I Sejam I 0 e I 00, nas unidades adequadas. Pretende-se controlar a posição angular do satélite θ..a (Começamos por tentar compreender o comportamento dinâmico do sistema). Considere o sistema com entrada ω e saída θ. Calcule a resposta a uma entrada escalão unitário. Determine o lim θ (t) quando t tende para infinito. Mostre que não é possível conduzir θ para um valor desejado arbitrário. Resolva utilizando as formulações no domínio do tempo e da frequência..b Considere agora a entrada M rad/s, t em [0, T] ω (t) 0 rad/s, t > T Verifique que pode, por escolha adequada de T e M, conduzir θ para um valor desejado arbitrário num intervalo de tempo arbitrário..c Suponha que se pretende efectuar uma manobra de varrimento que consiste em fazer a coordenada θ começar em 0, tomar um contínuo de valores até um valor máximo Intro CONTROLO

2 desejado arbitrário θ max, e regressar a 0. Verifique que pode, por escolha adequada da função de de entrada ω, efectuar essa manobra num intervalo de tempo arbitrário..d (Mais realismo físico, através da inclusão de um actuador). Suponha agora que se dispõe de um actuador que, sob a acção de uma tensão de entrada u, imprime uma velocidade angular ω à roda de inércia. A função de transferência do actuador é dada por Ω () s 0 U() s s + 0 O sistema total a controlar (com entrada u e saída θ) admite a representação equivalente da Figura, com a0/0. u ω θ 0/(s+0) -a * /s Considere a entrada Figura.. Sistema a controlar u (t) U Volt, t em [0, T] 0 Volt, t>0 U, T >0. Mostre que por escolha adequada de U e T pode ainda conduzir a saída θ assimptoticamente para um valor desejado arbitrário. Intro CONTROLO

3 Problema Considere um veículo subaquático de massa total m Kg que se move com velocidade v(t)>0 em relação ao fluído, sob a acção de uma força externa f(t) gerada por um propulsor a hélice. O veículo está sujeito à força de arrasto fa () t v (). t f v Fig.. Veículo Subaquático A força externa f(t) é proporcional a ω, onde ω é a velocidade de rotação do hélice em rad/s. Por sua vez, o hélice roda sob a acção de um motor eléctrico em que a entrada é uma tensão eléctrica u. Adopte o seguinte modelo simplificado para a combinação motor+hélice: dω() t ω + ω dt 0 ( t) 0 u( t); f( t) ( t) Seja P : u v o sistema com entrada u e saída v..a Pretende-se operar o veículo em torno do ponto de equilíbrio correspondente à velocidade v( t) vo ms. Calcule o valor de equilíbrio f o correspondente para a força f(t). Prove justificamente que o modelo linearizado do veículo em torno do ponto de equilíbrio definido por v o e fo tem a função de transferência ΔV ( s) ΔF( s), s + onde ΔV(s) e ΔF(s) denotam respectivamente as transformadas de Laplace de δv(t)v(t)-v 0 e δf(t)f(t)-f 0..b Calcule agora, a partir do valor de f o, os valores de equilíbrio u 0 e ω 0 respectivamente para a variável de entrada u e a velocidade de rotação do hélice ω. Prove justificadamente que o modelo linearizado do sistema que representa a combinação motor+hélice tem a função de transferência ΔF() s 0, Δ U() s s+ 0 onde ΔF(s) e ΔU(s) denotam respectivamente a transformada de Laplace de δf(t)f(t)-f 0 e δu(t) u (t)- u 0. Intro CONTROLO

4 .c Considere o sistema total linearizado P, com função de transferência ΔV() s 0 Ps (), Δ U() s s+ 0 s+ que se obtém a partir da ligação em série dos sistemas considerados em.a e.b. Calcule a resposta impulsiva h(t) de P(s) e traçe (de modo aproximado) a sua evolução gráfica..d - Calcule a resposta do sistema P a uma entrada δu(t) definida por δ u(t) 0, t < 0, 0 t < 0s 0, t 0s Em particular, discuta o comportamento da velocidade quando t tende para infinito. Comente sob o ponto de vista físico. Nota: resolva esta alínea utilizando o integral de convolução..e Considere agora a entrada δu(t) definida por δ u(t) 0, t < 0 t, 0 t < 0s 0, t 0s Mostre, com um método puramente geométrico (baseado na interpretação do integral de convolução) que δv(t) tende para um valor finito quando t tende para infinito. Comente sob o ponto de vista físico. Intro CONTROLO

5 Problema 3 (Traçado de Diagramas de Bode) 3.a Trace os diagramas de Bode correspondentes às funções de transferência P () s s + P() s s+ P3 () s s P() s s 4 P5 () s s P() s 6 s 3.b Considere o sistema de controlo representado na figura, com P(s)/(s+); K(s)k/s; k, F(s)0/(s+0) r F(s) e K(s) u P(s) y Trace o diagrama de Bode correspondente à função de transferência Y(s)/R(s). Comente acerca da largura de banda total do sistema. Intro CONTROLO