LABORATÓRIO DE SISTEMAS E SINAIS UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Transcrição

1 Manual do Programa de Aprendizado em Resposta em Frequência Fernando Velho Dutra

2 Introdução LABORATÓRIO DE SISTEMAS E SINAIS O Programa de Aprendizado em Resposta em Frequência¹ é um software construído em plataforma Matlab para auxiliar alunos da cadeira de sistemas e sinais na identificação de processos com base em sua resposta em frequência. Ele é composto de um conjunto de exercícios individualizados, nos quais cada aluno recebe um tipo de sistema, que é diferente de todos os outros e será utilizado durante todo o processo de avaliação. Basicamente, o programa é composto por duas etapas. A primeira tem o objetivo de verificar se o aluno está familiarizado com os conceitos básicos da matéria. A segunda etapa, por sua vez, consiste na identificação de um sistema com base em sua resposta em frequência. As instruções a seguir demonstram o funcionamento do programa e como ele deve ser utilizado. Instruções 1. Fazer o download, a partir da página da disciplina, do arquivo em formato rar, que contém os arquivos do programa. 2. Descompactá-los em um diretório como C:\bode (ou qualquer outra de sua preferência), utilizando algum programa de descompactação. Ex.: Winrar. 3. No Matlab, definir C:\bode (ou a pasta contendo os arquivos) como diretório corrente (ver Fig.1). Fig. 1 - Diretório Corrente 4. Iniciar o programa digitando no command window >>iniciar ¹ Programa desenvolvido pelo aluno Fernando Velho Dutra com base no artigo Computer-Assisted Evaluation of Undergraduate Courses in Frequency-Domain Techniques for System Control, de autoria de Luís Fernando Alves Pereira, José Felipe Haffner e Daniel Ferreira Coutinho.

3 Atenção: alguns computadores poderão levar certo tempo para que o programa seja carregado. 5. Clicar em Iniciar na tela de abertura para que a janela de inserção de parâmetros seja mostrada como na Fig.2. Fig. 2 - Inserção de Parâmetros Os itens a serem preenchidos são: Grandeza da menor frequência ordem de grandeza da menor frequência em que o Matlab irá calcular e plotar o diagrama de bode. Ex.: -1, 0, 1, etc; Grandeza da maior frequência ordem de grandeza da maior frequência em que o Matlab irá calcular e plotar o diagrama de bode. Ex.: 5, 6, 7, etc; Número de pontos do vetor frequência quantidade de pontos a serem plotados no diagrama de bode entre a menor e a maior frequência. Ex.: 1000; Tipo de sistema sistema que você recebeu do professor. Varia de 1 a 40; Turma turma que você recebeu. Ex.: Após inserir todos os parâmetros, clique em OK para que o programa carregue os exercícios da primeira etapa (aguarde, pois isso pode levar alguns segundos). A seguir serão descritas as duas etapas do programa, com uma breve explicação de cada exercício.

4 Primeira Etapa LABORATÓRIO DE SISTEMAS E SINAIS Exercício 1 Ganho DC Você receberá uma breve explicação sobre ganho DC junto com a plotagem do diagrama de bode e a resposta ao salto de seu sistema. Leia os textos e observe os gráficos. Clique em Responder Questão 1 para que a primeira pergunta apareça. Entre com o valor aproximado do ganho DC (absoluto) de seu sistema. Exercício 2 Grau Relativo Agora você deverá responder a mais 4 questões. Para isso, será necessário identificar o grau relativo e o número de pólos e zeros finitos de seu sistema. Clique no botão para responder as questões e insira as respostas conforme especificado. Exercício 3 Resposta à Entrada Senoidal Serão mostradas na tela as plotagens no tempo do sinal de entrada e do sinal de saída do sistema, porém ambos com período normalizado, ou seja, com período igual a 1 segundo. A partir da visualização desses sinais, você será capaz de determinar as relações de ganho e fase impostas nos sinais pelo sistema, e assim, visualizando o diagrama de bode, descobrir a frequência real dos sinais. Sabendo a frequência, você pode responder as duas questões do exercício. Exercício 4 Interpretação do Diagrama de Bode Neste exercício, dado um sinal de entrada, do qual é possível obter frequência e amplitude, você deverá descobrir qual a amplitude e a fase do sinal que aparecerá na saída de sistema. 7. Após responder todas as questões, o programa corrigirá suas respostas. Caso todas as respostas estejam corretas, a mensagem da Fig.3a aparecerá na tela. Os dados de seu sistema serão salvos na pasta corrente com o nome de dados_sistema. Este arquivo é a chave para que você possa realizar a segunda etapa do trabalho. No entanto, caso alguma das respostas estiver errada, a mensagem da Fig.3b aparecerá e você não receberá o arquivo contendo os dados de seu sistema. É necessário acertar todas as questões para poder prosseguir. Fig. 3a - Aprovado

5 Fig. 3b - Reprovado Segunda Etapa A segunda etapa do programa consiste na identificação da função de transferência do sistema, ou seja, na localização de seus pólos, zeros e ganho. 8. Para iniciar a segunda etapa, digite o comando >>iniciar( identificacao ) 9. Clique em OK na tela de abertura para selecionar e carregar o arquivo dados_sistema, como mostra a Fig. 4. Fig. 4 - Seleção do arquivo dados_sistema 10. Com seus dados carregados, você pode iniciar o processo de identificação do sistema. É conveniente escrever a função de transferência do sistema como

6 Observa-se que em, no caso de não existirem raizes em zero nos polinômios do numerador e do denominador, representará diretamente o ganho de na frequência ω=0, também conhecido como ganho DC da função resposta em frequência. Uma vez que a metodologia estabelecida para o traçado do diagrama de Bode baseia-se na resposta em frequência de cada um dos termos que compõe, interessa-nos separar a função de transferência em partes, com base no comportamento das três classes de termos dadas a seguir: Classe 1: Classe 2: Classe 3: A Fig.5 Mostra o ambiente de trabalho da segunda etapa. Fig. 5 - Ambiente de Trabalho da Segunda Etapa Como podemos ver, há uma série de botões divididos nas categorias Visualizações e Adicionar Singularidades. Os botões referentes à primeira abrem uma janela e plotam gráficos, enquanto os referentes à segunda multiplicam a função de transferência atual por um determinado termo a ser inserido. Vejamos detalhadamente qual a função de cada um deles.

7 Adicionar Singularidades Pólo Complexo (par) serve para adicionar ao sistema um termo da classe 3 no denominador, ou seja, a função de transferência será multiplicada pelo termo Para fazer isso, basta clicar no botão, que a janela da Fig.6 aparecerá e você apenas precisa entrar com os valores de e. Fig. 6 - Inserção de Pólo Complexo Pólo Real adiciona ao sistema um termo da Classe 2 no denominador, ou seja, multiplica a função de transferência atual pelo termo Para realizar essa função, basta clicar no botão e entrar com a posição pólo, como mostra a Fig.7. do Fig. 7 - Inserção de Pólo Real Zero Complexo (par) similarmente ao Pólo Complexo (par), adiciona ao sistema um termo da Classe 3 no numerador, multiplicando-a por

8 Zero Real similarmente ao botão Pólo Real, adiciona um termo de Classe 2 no numerador, multiplicando a função de transferência atual por Ganho multiplica a função de transferência do sistema por um termo da Classe 1, com, ou seja, um escalar. Apenas clique no botão e entre com o valor do ganho, como mostra a Fig.8. Visualizações Diagrama Original abre uma nova janela e plota o diagrama de Bode de seu sistema original (aquele que você deve descobrir a função de transferência). Aproximação abre uma nova janela e plota o diagrama de Bode de sua função de transferência aproximada, ou seja, a função correspondente aos pólos, zeros e ganhos que você inseriu e que aparece no command window. Comparação abre uma nova janela e sobrepõe os diagramas original e aproximado. Erro abre uma nova janela e plota o erro, ou seja, a diferença entre a função de transferência original e a aproximada. Demais Botões Fig. 8 - Inserção de ganho Limpar Função limpa sua função de transferência aproximada, ou seja, faz Gerar Nota Corrige sua aproximação, mostrando sua nota e salvando na pasta corrente um arquivo contendo seus dados para que sejam enviados ao professor. É importante salientar que é possível continuar trabalhando em seu sistema após ter gerado a nota, e salvar novamente o arquivo várias vezes. Porém, para cada geração você deverá aguardar certo tempo, evitando assim o método de tentativa e erro. O exemplo a seguir ilustra o uso completo da segunda etapa do programa.

9 Exemplo: LABORATÓRIO DE SISTEMAS E SINAIS O método da obtenção experimental da resposta em frequência resume-se na análise dos pontos de quebra, das frequências de corte e das declividades dos gráficos de magnitude e fase da função em cada faixa de freqüência. O sistema utilizado neste exemplo é o da Fig.9 e é diferente de todos os sistemas distribuídos aos alunos. Fig. 9 - Diagrama de Bode do Processo Desconhecido 1º Passo: Análise do Diagrama de Bode do processo. Verificando o gráfico da fase na Fig.10 pode-se observar a presença de um pólo duplo ou um pólo complexo na freqüência de 5 rad/s, pois a fase varia de 0º a 180º em uma década. No gráfico de magnitude, o pico na curva de magnitude que ocorre na freqüência de 5.0 rad/s determina que o pólo é complexo e seu fator de amortecimento é calculado com base no valor do referido pico, isto é O pólo complexo pode ser representado pela seguinte função resposta em frequência:

10 Fig Identificação de um Pólo Complexo em w=5.0 rad/s Logo, a primeira aproximação da função resposta em frequência é feita adicionando um pólo complexo com e. Verifique a função de transferência que aparece no command window. Fig Função de Trasferência Atual no Command Window Veja na Fig.12 a comparação entre os diagramas de Bode da função original e aproximada e note que já existe certa similaridade entre as duas, provando que a inserção do pólo complexo foi coerente. 2ºPasso: Análise do diagrama do erro. Analisando agora o diagrama do erro (Fig. 13), percebe-se a existência de um pólo próximo a. Logo, deve-se adicionar um pólo real localizado em. A função de transferência aproximada atual será multiplicada por

11 Fig Comparação entre Diagrama original e aproximado com o pólo complexo Fig Diagrama do erro com o pólo complexo

12 A nova função de transferência aproximada será 3º Passo: Nova análise do diagrama do erro. Voltando-se novamente para o diagrama do erro (Fig.14), pode-se notar a presença de um pólo próximo a e um zero próximo a. Acrescentam-se então essas duas singularidades em nossa aproximação. Fig Novo diagrama de erro com dois pólos A nova função de transferência aproximada fica 4º Passo: Análise do diagrama de comparação. Analisando agora o diagrama de comparação entre a função de transferência aproximada e a original (Fig.15), vemos que a curva de fase de está muito semelhante ao processo, porém a curva de magnitude de está acima da original. Logo, precisamos reduzir alguns decibéis em nossa aproximação. Utilizando o mouse, verificamos que é preciso acrescentar um ganho de. Isso é feito utilizando o botão Ganho, com um valor de

13 Fig Diagrama de Comparação com todas as singularidades A função de transferência final fica então A Fig.16a mostra a grande semelhança entre e o processo. Podemos também constatar que o erro médio de magnitude e de fase é relativamente pequeno (Fig.16b). Portanto, pode ser considerada uma boa aproximação do processo. A título de comparação e validação do método proposto para a identificação da função resposta em frequência de sistemas LTI, é apresentada abaixo a função resposta em frequência do sistema.

14 Fig. 17a - Comparação Final Fig. 16b - Erro final

15 5º Passo: Geração da nota. Para gerar a nota deve-se apenas clicar no respectivo botão e informar seu nome e número de matrícula. Será também necessário aguardar um tempo para recebê-la, como mostra a Fig.17. Fig É necessário aguardar para receber a nota Depois de finalizado o tempo de espera, é salvo na pasta corrente o arquivo dados_nota. Além de conter sua nota, ele contém os dados de seu sistema, a fim de impossibilitar a utilização de um mesmo sistema por mais de um aluno. A nota é mostrada no ambiente de trabalho (como na Fig.18) e após fechado o programa, não é possível visualizá-la novamente. Isso se deve ao fato de os dados salvos serem criptografados, para que não seja possível modificá-los manualmente. Fig Divulgação da nota O arquivo dados_nota deve ser enviado ao professor.