Cálculo 3 - Engenharia Civil/Mecânica. Profa Gisele A.A. Sanchez

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1 Cálculo 3 - Engenharia Civil/Mecânica Profa Gisele A.A. Sanchez 5ª aula: Máximo, mínimo de uma função de duas variáveis. Ponto de sela Suponha que um fabricante produza modelos de DVD player, o modelo de luxo e o modelo padrão, e que o custo total para produzir x unidades do modelo de luxo e y unidades do modelo padrão seja dado pela função C (x, y). Como determinar o nível de produção x = a e y = b para o qual o custo é mínimo? E se quisermos saber qual deve ser o nível de produção para que o lucro seja máximo? No estudo de funções de 1 variável, f (x), a análise da 1ª derivada, f (x), era utilizada para determinar os valores máximos e mínimos da função. Discutiremos o uso de métodos semelhantes no caso de funções de duas variáveis, f (x, y) para podermos avaliar problemas semelhantes ao citado acima. Definição: Extremos relativos Seja z =f (x, y) uma função de duas variáveis. 1) Dizemos que z possui um máximo relativo no ponto P = (a, b) se f (a, b) f (x, y) para todos os valores de x e y em um intervalo x 1 x x 2, y 1 y y 2 que contenha o ponto P = (a, b), seja, para (x, y) próximo de (a, b). 2) Dizemos que z possui um mínimo relativo no ponto Q = (c, d) se f (c, d) f (x, y) para todos os valores de x e y em um intervalo x 1 x x 2, y 1 y y 2 que contenha o ponto Q = (c, d), ou seja, para (x, y) próximo de (a, b). Em termos geométricos, existe um máximo relativo de f (x, y) no ponto P= (a, b) se a superfície z = f (x, y) possui um pico no ponto (a, b, f (a, b)), ou seja, se o ponto (a, b, f (a, b)) é pelo menos tão alto quanto qualquer ponto próximo. Da mesma forma, existe um mínimo relativo de f (x, y) no ponto Q= (c, d) se o ponto (c, d, f (c, d) está no fundo de uma depressão,ou seja, se o ponto (c, d, f (c, d)) é pelo menos tão baixo quanto qualquer ponto próximo. Observem os extremos relativos das funções f (x, y) cujas superfícies estão representadas abaixo. 1

2 Se f (x, y) f (a, b) para todo (x, y) D (f) então (a, b) é um máximo global (ou absoluto) de f e a f (a, b) é o valor máximo de f Se f (x, y) f (a, b) para todo (x, y) D (f) então (a, b) é um mínimo global (ou absoluto) de f e a f (a, b) é o mínimo de f Exemplo: A figura abaixo representa a superfície f (x, y) = 4 x 2 y 2. O ponto (0, 0) é um ponto de máximo absoluto de f, pois, f (0, 0) = = 4 f (x, y) f (0, 0) ou 4 x 2 y 2 4 para todo (x, y) 2 f (0, 0) = 4 é o valor máximo de f(x, y) 2

3 Pontos Críticos (são os candidatos a extremos relativos) Pontos críticos e extremos relativos: um ponto (a,b) de uma função f (x, y) é chamado de ponto crítico se: f x e f y existirem e f x (a, b) = 0 e f y (a, b) = 0 Quando as derivadas parciais de primeira ordem de f existirem em todos os pontos de uma região R do plano xy, os extremos relativos de f em R só podem ocorrer em pontos críticos. Observe o gráfico abaixo: Embora todos os extremos relativos de uma função devam ocorrer em pontos críticos, os pontos críticos não são necessariamente extremos relativos. Exemplo: f (x, y) = y 2 x 2 Teste das derivadas parciais de segunda ordem Teste das derivadas parciais de 2ª ordem: Método para determinar se um ponto crítico é um máximo relativo, ou mínimo relativo ou um ponto de sela (um ponto que não é um máximo relativo nem mínimo relativo) Suponhamos que (a, b) seja um ponto crítico da função f (x, y). Seja D = f xx (a, b). f yy (a, b) [f xy (a,b) ] 2 Se D < 0 possui um ponto de sela no ponto (a, b) Se D > 0 e f xx (a, b) < 0, f possui um máximo relativo no ponto (a, b) Se D > 0 e f xx (a, b) > 0, f possui um mínimo relativo no ponto (a, b) Se D = 0, o teste não pode ser aplicado: f pode possuir um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela, ou seja, não podemos concluir nada. 3

4 Podemos resumir o teste na tabela abaixo: Sinal D Sinal de fxx Comportamento no ponto (a, b) + + Mínimo relativo + - Máximo relativo - Ponto de sela Exemplo: Determine todos os pontos críticos das funções abaixo, e classifique cada um como um máximo relativo, um mínimo relativo ou um ponto de sela. a) f (x, y) = x 2 + y 2 b) f (x, y) = y 2 x 2 c) f (x, y) = x 3 y 3 + 6xy d) z = 1 + x 2 + y 2, cujo gráfico está representado abaixo. 4

5 Outra forma de verificar se um ponto crítico é um extremo relativo é utilizar a matriz hessiana Matriz Hessiana: O seu determinante, H (x, y) é chamado determinante hessiano da função f (x, y). Temos: a) Se H (a, b) > 0 e (a, b) > 0, então (a, b) é um ponto de mínimo local de f b) Se H (a, b) > 0 e (a, b) < 0, então (a, b) é um ponto de máximo local de f c) Se H (a, b) < 0 é um ponto de sela d) Se H (a, b) = 0 nada se pode afirmar Obs: O determinante da matriz Hessiana, H (x) é exatamente igual a expressão D. Pois: Det = - Exemplos: 1) Classificar os pontos críticos da função f (x, y) = 3xy 2 + x 3 3x 2) Mostrar que f (x, y) = x 2 + xy + y 2 + 3/x + 3/y + 5 tem mínimo local em (1, 1) 5

6 Aplicações: Problemas práticos de Otimização 1) O único supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja, uma marca local que custa no atacado 30 centavos a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado 40 centavos a garrafa. O dono do supermercado estima que se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional, venderá 70 5x + 4y garrafas da marca local e x 7y garrafas da marca nacional por dia. Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro? R: x = 53 e y = 55 2) Um funcionário do setor de planejamento da Distribuidora Tabatinga verifica que as lojas dos três clientes mais importantes da distribuidora estão localizadas nos pontos A = (1, 5), B = (0, 0) e C = (8, 0), onde as unidades estão em quilômetros. Em que ponto = (x, y) deve ser instalado um depósito para que a soma das distâncias do ponto W aos pontos A, B e C seja mínima? (Observe a figura abaixo) R: W = (3, 5/3) 3) Quais são as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 4 m 3 e com a menor área de superfície possível? R: 2, 2 e 1 metro. Exercícios: 1) Determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os quando possível. a) Z = 10 x 2 y 2 b) Z = 2x 2 + y 2 5 c) Z = 4 2x 2 3y 2 d) Z = e) Z = x. sen 2y f) Z = 2) Seja f (x, y) = 2x 3 + 2y 3-6x 6y. Analisar os pontos de máximo e mínimo de f no conjunto aberto A da figura abaixo 6

7 3) Um disco tem a forma do círculo x 2 + y 2 1. Supondo que a temperatura nos pontos do disco é dada por T (x, y) = x 2 x + 2y 2, determinar os pontos mais quentes e mais frios do disco. 4) Precisa-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270 m 3 de combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as paredes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do tanque. 5) Uma loja de camisetas vende dois modelos, um assinado por Michael Jordan e outro por Shaquille O Neal. O dono da loja compra os dois modelos por $ 2,00 por camiseta e estima que se as camisetas Jordan forem vendidas por x reais a unidade e as camisetas O Neal por y reais a unidade, os fregueses comprarão 40 50x + 40y camisetas Jordan e x 70 y camisetas O Neal por dia. Quanto o dono da loja deverá cobrar pelas camiset as para obter o maior lucro possível? 6) Utilize as curvas de nível da figura para predizer a localização dos pontos críticos de f e se f tem um ponto de sela ou um máximo o mínimo locais em cada um desses pontos. Explique seu raciocínio. Em seguida empregue o Teste da Segunda Derivada para confirmar suas predições: a) f (x, y ) = 4 + x 3 + y 3 3xy 7

8 b) f (x, y) = 3x x 3 2y 2 + y 4 Respostas: 1) a) (0,0) ponto de máximo b) (0,0) ponto de mínimo c) (0,0) ponto de máximo d)(0,0) ponto de mínimo e) (0, k /2), k Z, pontos de sela f) Não existe 2)(1, 1) é ponto de mínimo local e (-1, -1) é um ponto de máximo local pertencentes a região A. 3) 4), 5) R: $ 2,70 pela camiseta Jordan e $2,50 pela camiseta O Neal. Fontes: Cálculo B Gonçalves e outros Cálculo Um curso moderno e suas aplicações - HOFFMANN, L. D 8