11.7 Valores Extremos e Ponto de Sela

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Osvaldo Baltazar Palha Marreiro
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1 11.7 Valores Extremos e Ponto de Sela Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.br

2 Valores Extremos Locais Definição: Seja f(x, y) definida em uma região R que contém o ponto (a, b). Então: 1. f(a, b) é um valor máximo local de f se f(a, b) f(x, y) para todos os ponto do domínio (x, y) em um disco aberto centrado em (a, b). 2. f(a, b) é um valor mínimo local de f se f(a, b) f(x, y) para todos os ponto do domínio (x, y) em um disco aberto centrado em (a, b).

f(a, b) é um valor máximo local de f se f(a, b) f(x, y) para todos os ponto do domínio (x, y)

3 Teste da Derivada de Primeira Ordem para Valores Extremos Locais Teorema: Se f(x, y) tiver um valor de máximo ou mínimo local em um ponto interior (a, b) do seu domínio e se as derivadas parciais de primeira ordem existirem lá, então f x (a, b) = 0 e f y (a, b) = 0.

ponto interior (a, b) do seu domínio e se as derivadas parciais de

4 Ponto Crítico e Ponto de Sela Ponto Crítico: Um ponto interior do domínio de uma função f(x, y) onde f x = f y = 0 ou onde f x = ou f y = ou ambas não existam é um ponto crítico de f. Atenção: Os únicos pontos onde uma função f(x, y) pode assumir valores extremos são os pontos críticos ou pontos de fronteira. Nem todo ponto crítico é um extremo local. No R, uma função pode ter um ponto de inflexão, no R 2 pode ter um ponto de sela. Ponto de Sela: Uma função diferenciável f(x, y) tem um ponto de sela em um ponto crítico (a, b) se em todo disco aberto centrado em (a, b) existem pontos do domínio (x, y) onde f(x, y) > f(a, b) e pontos do domínio (x, y) onde f(x, y) < f(a, b). O ponto correspondente (a, b, f(a, b)) na superfície z = f(x, y) é chamado de ponto de sela da superfície.

No R, uma função pode ter um ponto de inflexão, no R 2 pode ter um ponto de sela.

5 Exemplos Exemplo (1): Determine os pontos críticos de f(x, y) = x 2 +y 2 2x 6y+14. Exemplo (2): Determine os valores extremos de f(x, y) = y 2 x 2.

6 Teste da Segunda Derivada Teorema: Suponha que f(x, y) e suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem sejam contínuas em um disco centrado em (a, b) e que f x (a, b) = f y (a, b) = 0. Então: a. f tem um máximo local em (a, b) se f xx < 0 e f xx f yy f 2 xy > 0 em (a, b). b. f tem um mínimo local em (a, b) se f xx > 0 e f xx f yy f 2 xy > 0 em (a, b). c. f tem um ponto de sela em (a, b) se f xx f yy f 2 xy < 0 em (a, b). d. O teste é inconclusivo em (a, b) se f xx f yy f 2 xy = 0 em (a, b). Nesse caso, devemos encontrar uma outra maneira de determinar o comportamento de f em (a, b). Atenção: A expressão f xx f yy fxy 2 é chamada de discriminante ou hessiana de f. Algumas vezes é mais fácil lembrar dela na forma de determinante: [ ] f xx f yy f 2 fxx f xy = xy Lembre-se que: f f xy f xy = f yx yy

f tem um ponto de sela em (a, b) se f xx f yy f 2 xy < 0 em (a, b). d. O teste é inconclusivo em (a, b) se f xx f yy f 2 xy = 0 em (a, b).

7 Exemplos Exemplo (3): Determine os valores de máximos e mínimos locais e os pontos de sela de f(x, y) = x 4 + y 4 4xy + 1. Exemplo (4): Determine e classifique os pontos críticos da função f(x, y) = 10x 2 y 5x 2 4y 2 x 4 2y 4. Exemplo (5): Determine a distância mais curta entre o ponto (1, 0, 2) e o plano x + y + z = 4. Exemplo (6): Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m 2 de papelão. Determine o volume máximo de tal caixa.

Exemplo (4): Determine e classifique os pontos críticos da função f(x, y) = 10x 2 y 5x 2 4y 2 x 4 2y 4.

8 Figura do Exemplo (4)

9 Máximos e Mínimos Absolutos em Regiões Fechadas e Limitadas 1. Relacione os pontos interiores: de R onde f possa ter máximos e mínimos locais e calcule f nesses pontos. Esses são os pontos no quais f x = f y = 0 ou onde uma ou ambs as derivadas parciais deixam de existir (pontos críticos de f). 2. Relacione os pontos da fronteira: de R onde f tem máximos e mínimos locais e calcule f nesses pontos. 3. Procure na relação: pelos valores máximos e mínimos absolutos (ou globais) de f em R. Como máximos e mínimos globais são também máximos e mínimos locais, os primeiros aparecem em algum lugar das relações construídas nos passos 1 e 2. Analise as relações para encontrá-las. Exemplo (7): Determine os valores máximos e mínimos absolutos da função f(x, y) = x 2 2xy+2y no retângulo D = {(x, y) / 0 x 3, 0 y 2}

Relacione os pontos da fronteira: de R onde f tem máximos e mínimos locais e calcule f nesses pontos. 3. Procure na relação: pelos valores máximos e mínimos absolutos (ou globais) de f em R.

10 Resumo Os valores extremos de f(x, y) podem ocorrer apenas em i. pontos de fronteira: do domínio de f. ii. pontos críticos: f x = f y = 0 ou pontos onde f x ou f y não existam. de R onde f tem máximos e mínimos locais e calcule f nesses pontos. Se as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f forem contínuas em um disco centrado em um ponto (a, b) e f x (a, b) = f y (a, b) = 0, podemos classificá-lo com o teste da derivada segunda: i. Máximo local: f xx < 0 e f xx f yy f 2 xy > 0 em (a, b). ii. Mínimo local: f xx > 0 e f xx f yy f 2 xy > 0 em (a, b). iii. Ponto de sela: f xx f yy f 2 xy < 0 em (a, b). iv. Teste inconclusivo: f xx f yy f 2 xy = 0 em (a, b). Exercícios Propostos: George B. Thomas Volume 2 Páginas 324 à 327; Exercícios: 1 à 46.

Se as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f forem contínuas em um disco centrado em um ponto (a, b) e f x (a, b) = f y (a, b) = 0, podemos classificá-lo com o teste da

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