Cálculo Diferencial e Integral IV

Transcrição

1 Sandra Regina Leme Forster Cálculo Diferencial e Integral IV Revisada por Sandra Regina Leme Forster (janeiro/013)

2 APRESENTAÇÃO É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Cálculo Diferencial e Integral IV, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina. A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidisciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e . Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de informação e documentação. Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal. A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar! Unisa Digital

3 SUMÁRIO INTRODUÇÃO FUNÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS Definições Aplicações Domínio e Imagem Gráficos e Equações de uma Superfície Curvas de Nível Resumo do Capítulo Atividades Propostas...5 LIMITE Uma Aplicação Física de Limite...7. Definição de Limite Propriedades de Limite Limite de um Polinômio Limite de uma Função Racional Resumo do Capítulo Atividades Propostas DERIVADAS PARCIAIS Derivadas Parciais de Primeira Ordem Interpretação Gráfica das Derivadas Parciais Derivadas Parciais de Segunda Ordem Extremos de Funções de Duas Variáveis Resumo do Capítulo Atividades Propostas INTEGRAIS MÚLTIPLAS Integrais Duplas Revisando o Cálculo de uma Área por Integrais Simples Cálculo de uma Área com uma Integral Dupla Volumes de uma Região Sólida Integrais Triplas Resumo do Capítulo Atividades Propostas EQUAÇÕES DIFERENCIAIS O que é uma Equação Diferencial? Solução Geral de uma Equação Diferencial Solução Particulares e Condições Iniciais Separação de Variáveis Resumo do Capítulo Atividades Propostas...68

4 RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS REFERÊNCIAS... 79

5 INTRODUÇÃO Caro(a) aluno(a), A apostila Cálculo Diferencial e Integral IV trata-se de um texto elaborado para universitários(as) do curso de engenharia, modalidade a distância, e tem por objetivo apresentar algumas técnicas e aplicações de limites, derivadas e integrais de funções de duas ou mais variáveis e, ainda, das equações diferenciais. Em algumas ocasiões, detalharemos a resolução de exercícios e, em outras, serão propostos mais alguns, o que o(a) fará recorrer aos conceitos assimilados, ou seja, passar por um processo da construção do conhecimento. Embora a resolução de alguns exemplos seja bem detalhada e você possa contar com a apresentação de respostas comentadas às atividades propostas, é importante que você não falte às aulas satélites, durante as quais vamos conversar sobre teorias, resolução de exercícios e esclarecimento das dúvidas mais frequentes. Os raros exercícios que não apresentam respostas serão explicados nas aulas Satélite e Web ou as resoluções comentadas serão postadas em material de apoio, quando não forem solicitados em atividade avaliativa. É muito importante que você visite frequentemente o nosso ambiente virtual de ensino, pois é nele que estaremos disponibilizando todas as atividades, calendários para a entrega das atividades, dicas de pesquisa, notas etc. Por meio dele, você poderá fazer seus questionamentos e obter as respostas. Lembre-se que só tem dúvida o(a) aluno(a) que participa das aulas, lê a apostila e tenta resolver os exercícios propostos. Encaminhe suas dúvidas para o fórum de debates, pois tanto o seu questionamento quanto a resposta serão disponibilizados para todos(as) os(as) alunos(as) do curso e, dessa forma, estaremos socializando o conhecimento. É muito interessante ler as questões e respostas dadas aos colegas, pois nesse momento também aprendemos. Esta apostila está dividida em cinco capítulos. O capítulo 1 está composto por uma introdução à função de duas ou mais variáveis. No capítulo, resolveremos alguns exemplos sobre limites. Já no capítulo 3, estudaremos a derivada de funções de duas variáveis e algumas de suas aplicações e, no capítulo 4, dedicaremo-nos a algumas técnicas de integração e aplicações para funções de duas variáveis. Para finalizar, no capítulo 5, apresentaremos as equações diferenciais. Esperamos que você aproveite este material e faça sugestões para que possamos melhorá-lo. Sua contribuição será de fundamental importância. Sandra Regina Leme Forster 5

6 1 FUNÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS Prezado(a) aluno(a), Até o presente momento do curso, estudamos funções de uma única variável independente. Muitas grandezas na Ciência, Administração, Engenharia etc., entretanto, são funções não apenas de uma, mas de duas ou mais variáveis independentes. O conceito de função de duas ou várias variáveis reais é análogo ao de função de uma variável real. Por exemplo, as equações z = 3 x y e z = 4 x y exprimem z como uma função de x e y. Nos dois casos, o z é uma variável dependente e x e y são variáveis independentes. Observe que, no primeiro exemplo, para qualquer x e y real, obtém-se z real. Já no segundo exemplo, tem-se que, para z existir no campo dos números reais, é necessário que 4 x² - y² seja um número positivo ou nulo, ou seja, 4 x y 0. Em outras palavras, ao se trabalhar com uma função de duas ou mais variáveis, é importante descrever o domínio D de cada uma delas. 1.1 Definições Atenção Função de duas variáveis Se a cada par ordenado (x,y) de um conjunto domínio D corresponde um único número real z = f(x,y), então dizemos que f é uma função de x e y. O conjunto de valores de z é a imagem de f. Uma das formas de representar o domínio D dessa definição é por meio de pontos no plano xy e o contradomínio por pontos de uma reta real, o qual será representado pelo eixo z, conforme a Figura 1.1, em que setas associam pares ordenados em D aos números correspondentes no contradomínio. Figura 1.1 Uma representação gráfica para a função de duas variáveis. y D (x 0,y 0 ) Z f(x 0,y 0 ) (x 1,y 1 ) f(x 1,y 1 ) x (x,y ) 7

7 Sandra Regina Leme Forster Outra forma de representar uma função de duas variáveis independentes é esboçar o gráfico no sistema tridimensional de coordenadas, conforme ilustra a Figura 1.. Para tanto, o eixo z é perpendicular aos eixos x e y. Essa forma de representação é a que utilizaremos nesta disciplina. Figura 1. Representação no sistema tridimensional de coordenadas para a função de duas variáveis. f(x 0,y 0 ) Z f(x 0,y 0, z 0 ) f(x 1,y 1 ) f(x 1,y 1, z 1 ) y f(x,y ) f(x,y, z ) 0 D (x 0,y 0 ) (x 1,y 1 ) x Função de Várias Variáveis Para ampliar o conceito de função a funções de um número qualquer de variável, é necessário considerar pontos em um espaço numérico n-dimensional. Da mesma forma que denotamos um ponto em R por um número real x, um ponto em R² por um par ordenado de números reais (x,y), conforme pode ser visto por definição, e um ponto em R³ por uma tripla ordenada de números reais (x, y, z), um ponto no espaço numérico n-dimensional, R n, é representado por uma n-upla de números reais, sendo comumente denotado por P = (x 1,x, x 3,..., x n ). Em particular, se n = 1, P = x; se n =, P = (x, y); se n = 3, P = (x, y, z); se n = 5, P = (x 1,x, x 3, x 4, x 5 ). Atenção Definição Função de n-variáveis Seja A um conjunto do espaço n-dimensional (A R n ), isto é, os elementos de A são n-uplas ordenadas (x 1,x, x 3,..., x n ) de números reais, se a cada ponto P do conjunto A associamos um único elemento z R, temos uma função f : A R n R). Essa é chamada função de n-variáveis e denota-se por: Z = f(p) ou z = f(x 1,x, x 3,..., x n ). O conjunto A é o domínio da função z = f(p). 8

8 Cálculo Diferencial e Integral IV Observe que, se n = 3, o domínio da função será formado por triplas ordenadas e, dessa forma, cada uma dessas triplas será representada no sistema tridimensional de coordenadas, ou seja, cada elemento do domínio está no espaço. Então se pergunta: onde é que a imagem será representada? Embora, neste capítulo, exista a apresentação da definição de funções de mais de duas variáveis, este não será o nosso objeto de estudos. Caso você tenha a intenção de aprofundar seus estudos no assunto funções, dê preferência, inicialmente, às funções de uma e duas variáveis. Mas por que será que esse assunto será tratado neste curso? Vamos ver isso a seguir. 1. Aplicações Querido(a) aluno(a), São inúmeras as aplicações de funções de duas ou mais variáveis reais. A seguir, estão listados alguns dos exemplos e, mais adiante, alguns deles serão resolvidos detalhadamente. Exemplos a) O volume de um cilindro circular reto depende de seu raio e altura e é dado por V = pr²h; b) O volume de uma caixa em forma de paralelepípedo retângulo depende do comprimento x, altura y e largura z, ou seja, V = xyz; c) De acordo com a lei do gás ideal, o volume ocupado por um gás confinado é diretamente proporcional à sua temperatura e inversamente proporcional à sua pressão (V = nrt / P); d) O custo C de um produto pode depender do custo do trabalho Ct, preço de materiais Pm e despesas gerais Dg (C = Ct + Pm + Dg); e) A quantidade de poluente emitida por uma chaminé de h metros de altura, a x quilômetros da origem da emissão e y metros do chão, terá a concentração aproximada de poluente representada pela fórmula: P(x,y) = a x h(x,y) k(x,y) b b ( e + e ), onde h(x,y) = (y h) e k(x,y) = (y h). + x x Onde a e b são constantes que dependem das condições atmosféricas e da taxa de emissão do poluente. 9

9 Sandra Regina Leme Forster 1.3 Domínio e Imagem De forma análoga ao Cálculo de uma variável, os conjuntos Domínio e Imagem de uma função são relevantes para o estudo das funções de várias variáveis. Definição do Domínio e da Imagem de uma Função de duas Variáveis Independentes Seja f : A R² R uma função. a) O conjunto de todas as variáveis independentes u R² tais que f(u) existe é chamado domínio de f e é denotado por Dom(f); b) O conjunto dos z R tais que f(u) = z e u Dom(f) é chamado imagem de f e é denotado por Im(f). Na prática, o domínio de uma função é determinado pelo contexto do problema. Exemplos Determine o domínio e a imagem das funções: a) z = 3 x y Solução: Como não há restrições (por não se tratar de alguma aplicação específica, como, por exemplo, em Administração ou Engenharia), supõe-se que o domínio seja o conjunto de todos os pontos para os quais a equação definidora tenha sentido. Note que, para qualquer valor real de x e y, o z também é um valor real. Logo, o domínio dessa função é o conjunto de pontos (x,y) tal que (x,y) pertença a R². Isso poderá ser respondido, resumidamente: D(f) = (x,y) R², ou seja D(f) = R². A imagem da função z = 3 x y é formada por todos os valores possíveis de z. Nesse exemplo, z pode assumir qualquer valor real, logo: 10

10 exemplo, z pode assumir qualquer valor real, logo: Cálculo Diferencial e Integral IV Não faremos esse tipo de representação, mas trata-se de uma forma para facilitar o entendimento. Im(f) = R Em cinza está o plano representado pelos pontos (x,y,z), ou seja, a imagem da função. O domínio é todos os pontos (x,y) do plano xy. b. Domínio R² I m a g e m Solução: b. Como não há restrições (por não se tratar de alguma aplicação específica), supõe-se que o b) domínio z = 4seja xo conjunto y de todos os pontos para os quais a equação definidora tenha sentido. Note que 4 x² - y² está sobre um radical de índice par e, por isso, essa expressão deverá Solução: Solução: ser não negativa: Como não há restrições (por não se tratar de alguma aplicação específica), supõe-se Como não há restrições (por não se tratar de alguma aplicação específica), que o domínio seja o conjunto de todos os pontos para os quais a equação supõe-se definidora que o tenha domínio seja o conjunto de todos os pontos para os quais a equação definidora tenha sentido. Note que 4 x² - y² está sentido. sobre um Note radical que 4 de índice x² - y² está par e, sobre por isso, um radical essa expressão de índice deverá par e, ser por não isso, negativa: essa expressão deverá Então: ser não negativa: 4 x y D(f) 0= {(x,y) R² x / y 4 } x + y 4 Assim, o domínio dessa função é todos os pontos pertencentes à circunferência x² + Então: Então: y² = 4 ou ao seu interior, ou seja, do círculo de raio e centro na origem. D(f) = {(x,y) A imagem da função R² / } D(f) {(x,y) R² é formada x + y por 4 todos os valores possíveis de z, com Assim, o domínio dessa função é todos os pontos pertencentes à circunferência x² + y² = Assim, 4 ou ao o domínio seu interior, dessa ou função seja, do é círculo todos os de pontos raio e pertencentes centro na origem. Im(f) = { z R / } à circunferência x² + y² = 4 ou ao seu interior, ou seja, do círculo de raio e centro na origem. A imagem da função é formada por todos os valores possíveis de z, A imagem da função z = 4 x y é formada por todos os valores possíveis de z, com 0 z. com Im(f) = { z R / } I m a g e m I m a g e m Em cinza, está a superfície que representa todos os pontos (x,y,z). Em cinza, está a superfície que representa todos os pontos (x,y,z). 11

11 dados em números de clientes por hora). Quais valores de x e y são aceitos para que o modelo Sandra Regina exista? Leme Forster c) Um modelo que representa o tempo médio gasto em filas por um cliente é dado pela função Solução: 1 w(x,y) =, onde y é a taxa média de chegada e x, a taxa média de atendimento (x e y são Como x yse trata de um problema de aplicação, note que existem restrições. O x e o y são dados em números de clientes por hora). Quais valores de x e y são aceitos para que o modelo taxas e a soma dessas taxas é um valor positivo. Com isso, temos que o denominador dessa exista? função será um número positivo, ou seja, x y > 0, portanto x > y. Solução: D(f) = {(x,y) R / x > y} Como se trata de um problema de aplicação, note que existem restrições. O x e o y são taxas e a soma dessas taxas é um valor positivo. Com isso, temos que o denominador dessa função será um número positivo, Definição ou seja, x do y Domínio > 0, portanto e da x Imagem > y. de uma Função de várias Variáveis Independentes D(f) = {(x,y) R / x > y} Seja f : A R n R uma função. Definição do Domínio 1. e O da conjunto Imagem de de todas uma Função as variáveis de várias independentes Variáveis Independentes u R n tais que f(u) existe é chamado domínio de f e é denotado por Dom(f); Seja f : A R n R uma função.. O conjunto dos z R tais que f(u) = z e u Dom(f) é chamado imagem de f e é 1. O conjunto de denotado todas as variáveis por Im(f). independentes u R n tais que f(u) existe é chamado domínio de f e é denotado por Dom(f);. O conjunto Na dos prática, z R tais o domínio que f(u) = de z e uma u Dom(f) função é chamado determinado imagem pelo de contexto f e é denotado do problema, por Im(f). conforme pode ser visto no exemplo (c) apresentado anteriormente. Exemplos Na prática, o domínio de uma função é determinado pelo contexto do problema, conforme pode ser visto no exemplo (c) apresentado anteriormente. Determine o domínio das funções: Exemplos a. f(x, y,z) = Determine o domínio das funções: Solução: a) f(x, y,z) = 4 x y z Para que seja um número real, devemos ter: Solução: Para que 4 x y. zassim, seja um número real, devemos ter: D(f) = {(x,y) R² / }. 4 x y z 0 x y z 4 x + y + x 4. Assim, D(f) = {(x,y) R² / x + y + z 4 }. 1 Esse domínio representa uma região esférica no R 3.

12 Cálculo Diferencial e Integral IV b) T = x 1 + x + x 3 + x 4 Solução: Trata-se de uma função de 4 variáveis independentes. As variáveis independentes apresentam uma soma pertencente ao denominador da função. Por esse motivo, essa soma deve ser diferente de zero. Logo, temos T R, se x 1 + x + x 3 + x 4 0. Portanto: D(T) = { (x 1, x, x 3, x 4 ) R 4 / x 1 + x + x 3 + x 4 0}. Esse domínio não tem uma representação gráfica, pois é um subconjunto do espaço R 4. c) Imagine um circuito com 4 resistores. A corrente desse circuito é função das resistências R i (i = 1,..., 4). Essa corrente pode ser determinada por meio do modelo E I = R1 + R + R3 + R. Qual é o valor de R 4 i (i = 1,..., 4) para que essa corrente exista? Solução: Trata-se de uma aplicação e devemos ficar atentos às restrições. As resistências não assumem valores negativos, dessa forma R i 0 (i = 1,..., 4). Como o denominador tem de ser diferente de zero e, nesse caso, a soma das resistências é um valor positivo, ou seja: D(T) = { (x 1, x, x 3, x 4 ) R 4 +* / x 1 + x + x 3 + x 4 > 0}. 1.4 Gráficos e Equações de uma Superfície Você deve se lembrar de que todas as funções de uma variável que estudamos na disciplina Cálculo I podiam ser representadas por meio de um gráfico. Isso também ocorre com as funções de duas variáveis. O gráfico de uma função de duas variáveis z = f(x,y), como pode ser observado nos exemplos anteriores sobre funções de duas variáveis, é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) R 3, tais que (x,y) D(f) e z = f(x,y). Esse conjunto de pontos forma uma superfície no espaço. Nem toda superfície no espaço representa o gráfico de uma função z = f(x,y). Se f é uma função, cada ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem, por esse motivo a superfície S representará o gráfico de uma função z = f(x,y) se qualquer reta perpendicular ao plano xy cortar S no máximo em um ponto, conforme ilustra a Figura 1.3. Embora a Figura 1.3b não represente o gráfico de uma função, ela apresenta o gráfico de uma equação e isso evidencia que nem toda equação é uma função, mas que uma função é uma equação e que essa, desde que tenha no máximo 3 variáveis, poderá ser representada em um sistema tridimensional de coordenadas. Neste tópico, ou seja, em Gráficos e equações de uma superfície, estudaremos os gráficos e equações da esfera, do plano, das superfícies quádricas e os traços de uma superfície. 13

13 Sandra Regina Leme Forster Figura 1.3 Identificando Figura 1.3 Identificando o gráfico de o uma gráfico função. de uma função. No decorrer das No leituras decorrer e ilustrações, das leituras você e ilustrações, notará que você a maioria notará dessas que equações a maioria não dessas representa equações não uma função. representa uma função. A Esfera Você sabe A Esfera responder o que é uma esfera? Se sua resposta foi uma esfera de centro (x c, y c, z c ) e raio r é o conjunto de todos os pontos (x, y, z), tais que a distância entre (x, y, z) e (x c, y c, z c ) é constante e igual a r, então você acertou! Você sabe responder o que é uma esfera? Atenção A equação padrão de uma esfera de centro (xc, yc, zc) e raio r é: ( x xc) + ( y yc) + ( z zc) = r. Se a esfera tiver centro na origem, ou seja, se (xc, yc, zc) = (0, 0, 0), a equação será dada por: x + y + z = r. 14

14 Cálculo Diferencial e Integral IV Exemplo Determine a equação padrão da esfera de centro (3, 3, 4) e raio 4. Essa esfera intercepta o plano xy? Determine a equação padrão da esfera de centro (3, 3, 4) e raio 4. Essa esfera intercepta o plano xy? Solução: Solução: Como vimos, é a equação padrão da esfera. O Como vimos, ( x x c ) + (y y c ) + (z zc ) = r é a equação padrão da esfera. O problema apresenta o centro problema e o raio apresenta da esfera e o esses centro valores e o devem raio da ser esfera substituídos e esses na valores fórmula. devem Dessa ser forma, substituídos a equação será: fórmula. Dessa forma, a equação na será: 4 ( x 3) + (y 3) + (z 4) = A coordenada z do centro da esfera está a 4 A coordenada unidades e z do o raio centro também da esfera é de está 4 unidades. a 4 unidades Como e o raio raio também é de 4 unidades. Como o raio tem 4 unidades, sabemos que a distância tem do centro 4 unidades, a qualquer sabemos ponto que da a superfície distância da do esfera centro é de a 4 unidades. qualquer A distância ponto do centro da superfície ao plano da xy esfera também é de é 4 de unidades. 4 unidades, uma vez A distância que a coordenada do centro z do ao centro plano é de xy 4 unidades. também é Como de 4 a distância do centro ao plano xy é igual ao raio, podemos afirmar que essa esfera unidades, toca o plano uma xy vez no que ponto a coordenada (3, 3, 0). z do centro é de 4 unidades. Como a distância do centro ao plano xy é igual ao raio, podemos afirmar que essa esfera toca o plano xy no ponto (3, 3, 0). Traços de Superfície Caro(a) aluno(a), Você sabe o que é ou como se determina o traço de uma superfície? Traço é a determinação da interseção de uma superfície com um dos três planos coordenados ou com o plano paralelo a um deles. Mas qual é a importância de se determinar o traço de uma superfície? Um dos objetivos para desenharmos o traço de uma superfície é que este auxilia na visualização do gráfico e, em alguns casos, nos orienta em como esboçá-los. O traço xy de uma superfície é formado por todos os pontos comuns à superfície estudada e ao plano xy. Analogamente, o traço xz de uma superfície consiste em todos os pontos comuns à superfície e ao plano xz. 15

15 pontos comuns à superfície e ao plano xz. Sandra Regina Leme Forster Exemplo Exemplo Determine a equação Determine do a traço equação da esfera do traço ( x da 3) esfera + (y 3) + (z 4) = 4 com o plano xz. com o plano xz. Solução: Solução: Para determinar o traço xz dessa superfície, lembre-se de que todo ponto do plano xz tem coordenada y = 0. Assim, fazendo Para determinar y = 0 equação o traço dada, xz dessa a equação superfície, resultante lembre-se representará de que todo a interseção ponto do da plano xz superfície com tem o coordenada plano xz. y = 0. Assim, fazendo y = 0 na equação dada, a equação resultante representará a interseção da superfície com o plano xz. ( x 3) + ( y 3) + ( z 4) = 4 Equação da esfera. Equação da esfera. ( x 3) + (0 3) + ( z 4) = 4 Fazer y = 0 para Fazer determinar y = 0 para o determinar traço xz. o traço xz. ( x 3) ( z 4) = 16 ( x 3) + ( z 4) = 16 9 ( x 3) + ( z 4) = ( 7) Equação da circunferência Equação da circunferência (essa equação representa o traço). (essa equação representa o traço). O Plano Bom, agora que já estudamos, mesmo que de forma resumida, a esfera e os traços de uma superfície, que tal trabalharmos um pouquinho o plano? Vamos a ele? Os traços das interseções do plano representado por essa equação com cada um dos três planos coordenados são linhas retas. Os pontos em que o plano intercepta os três eixos coordenados x, y e z são os interceptos x, y e z do plano. Com a união desses três pontos, formamos uma região triangular que facilita a visualização desse plano no espaço, conforme pode ser observado na Figura 1.4. Atenção A equação geral de um plano no espaço é dada por: ax + by + cz = d. 16

16 pode ser observado na Figura 1.4. Figura 1.4 Determinação de uma região plana por seus traços. Figura 1.4 Determinação de uma região plana por seus traços. Cálculo Diferencial e Integral IV Nem sempre o plano no espaço tem os três interceptos. Isso ocorre quando ao menos um dos Nem coeficientes sempre o plano da equação no espaço ax tem + os by três + interceptos. cz = d é igual Isso a ocorre zero. quando Observe, ao na menos Figura um 1.5, dos duas coeficientes situações da equação em que ax isso + by ocorre. + cz = d é igual a zero. Observe, na Figura 1.5, duas situações em que isso ocorre. Figura 1.5 Região plana com menos de três interceptos. Figura 1.5 Região plana com menos de três interceptos. Exemplo Esboce o gráfico da região plana dada por 4x + y + 6z = 1. Exemplo Solução: Para esboçar o Esboce gráfico o dessa gráfico região da região plana, plana primeiramente dada por 4x determinaremos + y + 6z = 1. os interceptos x, y e z, pois com eles desenharemos a região triangular que nos dará a possibilidade de facilmente traçarmos o plano desejado. Solução: Para determinarmos o intercepto x, façamos y = z = 0, daí teremos: Para esboçar 4x +.0 o + gráfico 6.0 = 1 dessa 4x região = 1 plana, x primeiramente = 3. determinaremos os interceptos x, y e z, pois com eles desenharemos a região triangular que nos dará a possibilidade Assim, de facilmente o intercepto traçarmos x é (3, 0, 0). o plano desejado. Para determinarmos o intercepto x, façamos y = z = 0, daí teremos: 4x = 1 4x = 1 x = 3. Assim, Unisa o intercepto Educação x é (3, a Distância 0, 0). 17

17 Sandra Regina Leme Forster Para determinarmos o intercepto y, façamos x = z = 0, daí teremos: y = 1 y = 1 y = 6. Assim, o intercepto y é (0, 6, 0). Para determinarmos o intercepto z, façamos x = y = 0, daí teremos: z = 1 6z = 1 x =. Assim, o intercepto x é (0, 0, ). Querido(a) aluno(a), Sugiro Querido(a) que faça uma aluno(a), pesquisa para estudar e observar como são os gráficos dos planos que não apresentam os três interceptos. Ao término, tente descrever esses resultados e suas conclusões no fórum de discussões. Sugiro que faça uma pesquisa para estudar e observar como são os gráficos dos planos que não apresentam os três interceptos. Ao término, tente descrever esses resultados e suas Superfícies Quádricas conclusões no fórum de discussões. As superfícies quádricas que estudaremos a seguir são: cone elíptico, paraboloide elíptico, paraboloide Superfícies hiperbólico, Quádricas elipsoide, hiperboloide de uma folha e hiperboloide de duas folhas. As superfícies quádricas que estudaremos a seguir são: cone elíptico, paraboloide elíptico, A seguir, paraboloide vamos ver resumidamente hiperbólico, elipsoide, os seis tipos hiperboloide de uma Atenção folha e hiperboloide de duas básicos folhas. de superfícies quádricas. Toda superfície quádrica (em um sistema de eixos retangulares) tem uma equação da forma Ax² + By² + Cz² +Dx + Ey + Fz + G = 0. Atenção 18

18 Cone elíptico A equação do cone elíptico tem a forma: Cálculo Diferencial e Integral IV. A equação do cone elíptico tem a forma: x y z A equação do cone elíptico tem + a forma: = 0. Figura a 1.6 bcone celíptico.. Figura Figura Cone Cone elíptico. O eixo do cone corresponde à variável cujo coeficiente é negativo. Os traços nos planos coordenados paralelos a esse eixo são retas que se interceptam. O eixo do cone corresponde à variável cujo coeficiente é negativo. Os traços nos planos O eixo do cone corresponde à variável cujo coeficiente é negativo. Os traços nos planos coordenados paralelos Paraboloide coordenados a esse elíptico paralelos eixo são a retas esse que eixo se são interceptam. retas que se interceptam. Paraboloide elíptico Paraboloide A elíptico equação do paraboloide elíptico tem a forma:. x y A equação do paraboloide elíptico tem a forma: z = +. A equação do paraboloide elíptico tem a forma: a b. O eixo do paraboloide elíptico corresponde à variável elevada à primeira potência. O eixo do paraboloide elíptico corresponde à variável elevada à primeira potência. Observe a Figura 1.7. Observe a Figura 1.7. Figura 1.7 Paraboloide elíptico. O eixo do paraboloide elíptico corresponde à variável elevada à primeira potência. Observe a Figura 1.7. Figura 1.7 Paraboloide elíptico. Figura 1.7 Paraboloide elíptico. 19

19 Sandra Regina Leme Forster Paraboloide Paraboloide hiperbólico hiperbólico Paraboloide hiperbólico A equação do paraboloide hiperbólico tem ya forma: x A equação do paraboloide hiperbólico tem a forma: z =.. A equação do paraboloide hiperbólico tem a bforma: a. Figura 1.8 Paraboloide hiperbólico. Figura 1.8 Paraboloide hiperbólico. Figura 1.8 Paraboloide hiperbólico. O eixo desse paraboloide corresponde à variável elevada à primeira potência. O eixo desse paraboloide corresponde à variável elevada à primeira potência. O eixo desse paraboloide corresponde à variável elevada à primeira potência. Elipsoide Elipsoide Elipsoide A equação da elipsoide tem a forma: x y z A equação da elipsoide tem a forma: + + = A equação da elipsoide tem a a forma: b c 1... Figura 1.9 Elipsoide. Figura 1.9 Elipsoide. Figura 1.9 Elipsoide. 0

20 A superfície de uma elipsoide será uma esfera, se os coeficientes a, b, e c forem iguais e diferentes de zero. diferentes de zero. Cálculo Diferencial e Integral IV A superfície de uma elipsoide será uma esfera, se os coeficientes a, b, e c forem iguais e diferentes de zero. Hiperboloide de uma folha Hiperboloide de uma folha Hiperboloide de uma A equação folha do hiperboloide de uma folha tem a forma:. A equação do hiperboloide de uma folha tem a forma:. A equação do hiperboloide de uma folha tem a forma: x + y z = 1. a b c O eixo do hiperboloide corresponde à variável cujo coeficiente é negativo. Observe o O gráfico eixo O do eixo dessa hiperboloide do hiperboloide equação corresponde corresponde na Figura à variável à variável cujo coeficiente cujo coeficiente é negativo. é negativo. Observe o Observe gráfico dessa o equação gráfico na dessa Figura equação na Figura Figura 1.10 Hiperboloide de uma folha. Figura 1.10 Hiperboloide de uma folha. Figura 1.10 Hiperboloide de uma folha. Hiperboloide de duas folhas Hiperboloide de duas folhas Hiperboloide de duas folhas A equação do hiperboloide de duas folhas tem a forma:. A equação do hiperboloide de duas folhas tem a forma:. A equação do hiperboloide de duas folhas tem a forma: z x y = 1. c a b Figura 1.11 Hiperboloide de duas folhas. Figura 1.11 Hiperboloide de duas folhas. Figura 1.11 Hiperboloide de duas folhas. 1

21 as na no ção por um diferença de stante. Sandra Regina Leme Forster O eixo do hiperboloide corresponde à variável cujo coeficiente é positivo. Não há traço O eixo do hiperboloide corresponde à variável cujo coeficiente é positivo. Não há traço no plano coordenado perpendicular a esse eixo. O eixo do hiperboloide corresponde no plano à coordenado variável perpendicular cujo coeficiente a esse eixo. é positivo. Não há traço no plano Bom, para que você possa melhor entender o que são as curvas quádricas, convido-o(a) a coordenado perpendicular a esse eixo. Bom, para que você possa melhor entender o que são as curvas quádricas, convido-o(a) a fazer a leitura do Saiba Mais sobre as cônicas, já que os traços de cada quádrica apresentada fazer a leitura do Saiba Mais sobre as cônicas, já que os traços de cada quádrica apresentada anteriormente são representados por uma cônica. Bom, para que você possa melhor entender o que são as curvas quádricas, convido-o(a) a fazer a Saiba Mais anteriormente são representados por uma cônica. leitura do Saiba Mais sobre as cônicas, já que os traços de cada quádrica apresentada anteriormente são Saiba Mais Curvas cônicas representados por uma cônica. Foram os discípulos de Pitágoras (540 a.c.) que usaram Curvas pela cônicas primeira vez esses termos. Por causa deles, podemos descrever o desenho curvo que a luz projeta na parede, a Foram os discípulos de Pitágoras (540 a.c.) que usaram pela primeira vez esses parte espelhada da lâmpada de uma lanterna ou a superfície da água no copo, entre outras termos. Por causa deles, podemos descrever o desenho curvo que a luz projeta na parede, a coisas. No Saiba século XVI, mais Kepler ( ) demonstrou que a linha curva descrita por um planeta parte espelhada da lâmpada de uma lanterna ou a superfície da água no copo, entre outras que gira ao redor do Sol é uma elipse e Galileu Galilei ( ) concluiu que a trajetória de coisas. No século XVI, Kepler ( ) demonstrou que a linha curva descrita por um planeta um Curvas projétil cônicas é uma parábola. Essas descobertas tornaram mais evidente a importância do estudo desses Foram tipos os de discípulos curvas. de Pitágoras (540 a.c.) que que usaram gira ao pela redor primeira do Sol é vez uma esses elipse termos. e Galileu Galilei Por causa ( ) deles, concluiu podemos que descrever a trajetória de o desenho Apolônio, curvo que grego a que luz viveu projeta na Antiguidade na parede, (6 a a.c.-190 parte um projétil a.c.) espelhada é uma parábola. da lâmpada Essas descobertas uma lanterna tornaram ou mais a superfície evidente a importância da água no do copo, estudo utilizou entre outras o termo coisas. cônica após No observar século que XVI, essas Kepler curvas ( ) eram desses obtidas tipos demonstrou a curvas. que a linha curva descrita por um planeta que gira ao redor partir do Sol de seções é uma da superfície elipse e de Galileu um cone de Galilei folha dupla. ( ) concluiu Apolônio, que a grego trajetória que viveu de um na Antiguidade projétil é (6 uma a.c.-190 parábola. a.c.) Essas descobertas Séculos depois, tornaram com a criação mais da evidente Geometria a Analítica importância utilizou pelo o termo do estudo cônica após desses observar tipos que de essas curvas. curvas eram obtidas a francês Apolônio, René grego Descartes que ( ), viveu na Antiguidade as cônicas passaram (6 a.c.-190 a ser partir de seções a.c.) da utilizou superfície o termo de um cônica cone de folha após dupla. observar que essas reconhecidas curvas eram a partir obtidas de suas a equações. partir de seções da superfície de um cone de folha dupla. Séculos depois, com a criação da Geometria Analítica pelo Séculos Um depois, grande com número a de criação propriedades Geometria geométricas e Analítica óticas faz das pelo curvas francês cônicas um René Descartes ( ), as cônicas francês René Descartes ( ), as cônicas passaram a ser instrumento passaram adequado a ser reconhecidas para diversas aplicações a partir práticas. de suas equações. Um grande número de propriedades geométricas e reconhecidas a partir de suas equações. óticas faz das curvas cônicas um instrumento adequado para diversas aplicações práticas. Circunferência Um grande número de propriedades geométricas e óticas faz das curvas cônicas um Circunferência Se cortarmos uma superfície cônica instrumento por plano adequado perpendicular para diversas aplicações práticas. ao Se eixo cortarmos do cone uma (e), obteremos superfície uma cônica circunferência. por um Assim, plano podemos perpendicular ao eixo do cone (e), obteremos uma circunferência. que Assim, a circunferência podemos é o lugar entender geométrico que de a todo circunferência o conjunto Circunferência de é o lugar geométrico de todo o conjunto de pontos entender pontos equidistantes de de um ponto fixo fixo interior interior a eles. a eles. Esse ponto Se fixo cortarmos é o centro uma superfície da circunferência cônica por um e a plano distância perpendicular desse Elipse centro à circunferência é denominada raio. ao eixo do cone (e), obteremos uma circunferência. Assim, podemos É o lugar geométrico dos po Esse ponto fixo é o centro da circunferência e a distância desse centro à entender que a circunferência é o lugar geométrico de todo o conjunto de circunferência é denominada raio. distâncias até dois pontos fixos (cha pontos equidistantes de um ponto fixo interior a eles. A elipse também é de Elipse Elipse É o lugar geométrico dos pontos do plano em que a soma de suas É o lugar geométrico dos pontos do plano em que a soma de suas distâncias até dois pontos fixos (chamados distâncias até dois pontos fixos (chamados focos) é constante. focos) é constante. A elipse também é definida como uma curva fechada A elipse plana também que é se definida produz como quando uma curva fechada um cone plana de revolução é cortado por um plano oblíquo a circunferência seu eixo. é denominada raio. que se produz quando um cone Esse ponto fixo é o centro da circunferência e a distância desse centro à oblíquo a seu eixo. que se produz quando um cone de revolução é cortado por um plano oblíquo a seu eixo. Hipérbole Hipérbole Hipérbole É a curva de dois ramos que se origina do corte de um cone de revolução por um plano paralelo ao eixo do cone. É a curva de dois ramos que se origina do corte de um cone de revolução por um É o lugar geométrico dos pontos do plano em que a diferença de suas distâncias até dois pontos fixos (focos da plano paralelo ao eixo do cone. hipérbole) é um valor constante. É a curva de dois ramos que se or plano paralelo ao eixo do cone. É o lugar geométr É o lugar geométrico dos pontos do plano em que a diferença de suas distâncias até dois pontos fixos (focos da hipérbole) é um valor constante. suas distâncias até dois pontos fixos Parábola um cone de revolução É uma curva plana resultante do corte de um cone de revolução por um plano por um paralelo plano paralelo à à geratriz do cone. cone. A parábola corresponde ao lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo e de uma ico dos pontos do reta. plano O ponto fixo chama-se foco da parábola e a reta chama-se diretriz. onto fixo chama-se foco As equações reduzidas de cada uma das cônicas são: Parábola É uma curva plana resultante do corte de um cone de revolução A parábola corresponde ao lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo e de uma reta. O ponto fixo chama-se foco da parábola e a reta chama-se diretriz. As equações reduzidas de cada uma das cônicas são: Parábola É uma por um plano par A pará que equidistam d da parábola e a re Elipse Hipérbole (x - x 0) (y - y 0) (x x 0) (y y 0) + = 1 ou + = 1 a b b a (x - x 0) (y - y 0) (y y 0) (x x 0) = 1 ou = 1 a b a b Parábola (y - y 0 ) = p (x - x 0 ) ou (y y 0 ) = - p (x - x 0 ) (x - x 0 ) = p (y - y 0 ) ou (x x 0 ) = - p (y - y 0 ) Circunferência (x - x 0 ) + (y - y 0 ) = r Elipse ou Hipérbole ou Parábola (y y0) = p (x x0) ou (y y0) = - p (x x0) (x x0) = p (y y0) ou (x x0) = - p (y y0) Circunferência As equações reduzidas de cada um Elipse Hipérbole ou Parábola (y y 0) = p (x x 0) ou ( (x x 0) = p (y y 0) ou (x Circunferência

22 Cálculo Diferencial e Integral IV 1.5 Curvas de Nível As curvas de nível são subconjuntos do domínio da função z = f(x,y) e, portanto, são traçadas no plano xy. Cada curva de nível f(x,y) = k é a projeção, sobre o plano xy, da interseção do gráfico de f com o plano horizontal z = k. Para obtermos uma visualização do gráfico, podemos traçar diversas curvas de nível e imaginarmos cada uma dessas curvas deslocadas para a altura z = k correspondente. Exemplo Determine as curvas de nível para z = k, esboce o gráfico e exiba os traços nos planos para k = 0, 1,, 3 e 4, para z = 4 x² - y². Solução: Primeiramente, deve-se determinar o domínio da função. O domínio D pode ser representado por todos os pontos da circunferência x² + y² = 4 e todos os pontos do seu interior, no plano xy. O gráfico de f é formado por todos os pontos z = f(x,y), para D = {(x,y) / x + y 4}. Em um exercício desse tipo, podemos esboçar o gráfico da função, em seguida exibir os traços nos planos solicitados e projetá-los no plano xy para a obtenção das curvas de nível ou podemos determinar as curvas de nível e, a partir delas, o gráfico da função. Para determinarmos as curvas de nível, faremos: Curva 1 (c 1 ) para z = 0 c 1 : 0 = 4 x² - y² c 1 : x² + y² = 4 c 1 : x² + y² = ² Logo, c 1 é uma circunferência de centro (0,0) e r =. Curva (c ) para z = 1 c : 1 = 4 x² - y² c : x² + y² = 3 c : x² + y² = ( ) 3 Logo, c é uma circunferência de centro (0,0) e r = 3. Curva 3 (c 3 ) para z = c 3 : = 4 x² - y² c 3 : x² + y² = c 3 : x² + y² = ( ) Logo, c é uma circunferência de centro (0,0) e r =. Curva 4 (c 4 ) para z = 3 c 4 : 3 = 4 x² - y² c 4 : x² + y² = 1 c 4 : x² + y² = Logo, c é uma circunferência de centro (0,0) e r = 1. Curva 5 (c 5 ) para z = 4 c 5 : 4 = 4 x² - y² c 5 : x² + y² = 0 Logo, não existe uma curva para z = 0 e sim um ponto P(0,0). 1 3

23 Curva 5 (c 5 ) para z = 4 c 5 : 4 = 4 x² - y² c 5 : x² + y² = 0 Sandra Regina Leme Forster Logo, não existe uma curva para z = 0 e sim um ponto P(0,0). Se f é uma função de duas variáveis e esboçamos as curvas de nível f (x,y) = k para valores equiespaçados de k, como k = 0, 1,, 3 e 4, então a proximidade de curvas sucessivas nos dá a informação sobre a Se f é uma função de duas variáveis e esboçamos as curvas de nível f (x,y) = k para aclividade valores do gráfico equiespaçados de f. Na figura de k, anterior, como k = as 0, curvas 1,, 3 de e 4, nível então correspondentes a proximidade a de k = curvas 0 e k = sucessivas 1 estão mais nos próximas dá uma a informação da outra do sobre que as a correspondentes aclividade do gráfico a k = 1 de e k f. = Na 3, o figura que indica anterior, que as a aclividade curvas de dessa nível superfície é maior nas proximidades do plano xy. correspondentes a k = 0 e k = 1 estão mais próximas uma da outra do que as correspondentes a k = 1 e k = 3, o que indica que a aclividade dessa superfície é maior nas proximidades do plano 1.6 xy. Resumo do Capítulo Neste 1.6 Resumo capítulo, do foi Capítulo apresentada uma introdução ao assunto de funções de duas variáveis com o objetivo de darmos sequência à disciplina Cálculo Diferencial e Integral IV, em que, em partes, estudaremos os limites, derivadas e integrais das funções de duas variáveis. Bom, vamos, a seguir, avaliar a sua aprendizagem. Neste capítulo, foi apresentada uma introdução ao assunto de funções de duas variáveis com o objetivo de darmos sequência à disciplina Cálculo Diferencial e Integral IV, em que, em partes, estudaremos os limites, derivadas e integrais das funções de duas variáveis. Bom, vamos, a seguir, avaliar a sua aprendizagem. 4

24 Cálculo Diferencial e Integral IV 1.7 Atividades Propostas Nos exercícios 1.7 Atividades 1 e, descreva Propostas o domínio de f e determine os valores funcionais indicados. 1. f(x,y) = x y²; f(-, 5); f(5, -); f(0, -). Nos exercícios 1 e, descreva o domínio de f e determine os valores funcionais indicados. 1. f(x,y) = x y²; f(-, 5); f(5, -); f(0, -).. xy f( xy, ) ; x y f(, 3); f(-1, 4); f(0, 1).. f(, 3); f(-1, 4); f(0, 1). 3. Determine o domínio e o conjunto imagem da função z = x² + y² Determine o domínio e o conjunto imagem da função z = x² + y² Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de reta que une A(-5, -, 5) e B(6, 3, -7). 4. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de reta que une A(-5, -, 5) e B(6, 3, - 7). 5. Escreva a equação da esfera a seguir em sua forma padrão. 5. Escreva a equação da esfera a seguir em sua forma padrão. 6. Determine o centro e o raio da esfera de equação x² + y² + z² - x + 6y + 8z + 1 = Determine o centro e o raio da esfera de equação x² + y² + z² - x + 6y + 8z + 1 = Esboce o traço da interseção dos planos x =, e y = 3 com a esfera x² + y² + z² - 4x - 6y + 9 = Esboce o traço da interseção dos planos x =, e y = 3 com a esfera x² + y² + z² - 4x - 6y + 9 = Determine os interceptos e faça um esboço do gráfico do plano y 5z = Determine os interceptos e faça um esboço do gráfico do plano y 5z = Descreva o traço da superfície x² - y z² = 0 no plano xy, y = 1 e no plano yz. 9. Descreva o traço da superfície x² - y z² = 0 no plano xy, y = 1 e no plano yz. 10. Identifique a superfície quádrica dada por z² = 9x² + y². 10. Identifique a superfície quádrica dada por z² = 9x² + y². 11. Descreva as curvas de nível da função f dada por f(x,y) = xy e esboce-as para os valores de k = 11. Descreva as curvas de nível da função f dada por f(x,y) = xy e esboce-as para os valores de k = 0, 1,, 3 e 4. 0, 1,, 3 e 4. 5

25 LIMITE Caro(a) aluno(a), Neste capítulo, estudaremos os limites de algumas funções básicas. Você deve estar lembrado(a) que esse assunto já foi estudado em Cálculo Diferencial e Integral I. A diferença dos estudos que fizemos anteriormente com esse é que, naquele, as aproximações por um ponto ocorriam apenas à direita e à esquerda, ou seja, por apenas dois lados desse ponto e, agora, iremos observar as aproximações por várias direções e sentidos, já que os pontos que queremos nos aproximar estão no espaço. Você entendeu o que está escrito? Em caso negativo, não fique triste! Avance um pouquinho as folhas deste capítulo e observe a ilustração do último exemplo aqui apresentado. Se ainda assim a dúvida permanecer, assista à aula web Limite e, então, escreva ao seu professor para conversarem um pouco mais sobre o assunto. Agora, vamos falar um pouco sobre o que é o limite de uma função de duas variáveis? Atenção O limite ou a ideia do limite é usado apenas na matemática? Se f é uma função de duas variáveis, o estudo da mudança de valores funcionais f(x,y), quando (x,y) varia no domínio D de f, é uma aplicação de limites e essa aplicação também pode ser considerada, não apenas em matemática, mas em outras ciências..1 Uma Aplicação Física de Limite Suponha que uma placa metálica plana tenha a forma da região D da Figura 1.1. Cada ponto (x,y) da placa corresponde a uma temperatura f(x,y), que é registrada por um termômetro representado pelo eixo z. Quando o ponto (x,y) move-se na placa, a temperatura pode aumentar, diminuir ou se manter constante, portanto, o ponto do eixo z que corresponde a f(x,y) se moverá numa direção positiva, numa direção negativa ou se manterá fixo, respectivamente. Se a temperatura f(x,y) aproxima- -se de um valor fixo L quando (x,y) aproxima-se de um ponto fixo (a,b), utilizamos a seguinte notação: lim f ( x, y ) = L ou f ( x, y ) L quando ( x, y ) ( a, b) ( x, y ) ( a, b ) Leitura: o limite de f(x,y), quando (x,y) tende para (a,b), é L. 7

26 Sandra Regina Leme Forster Figura.1 Uma ilustração para limite de uma função Exemplo da placa metálica. y Z Temperatura y Raio δ Z Temperatura D Chapa Metálica (a,b) L D Chapa Metálica (a,b) L + ε L L - ε (x,y) f(x,y) (x,y) f(x,y) x x. Definição de Limite Seja f uma função de duas variáveis definida em todo o interior de um círculo de centro (a,b), exceto possivelmente no próprio (a,b). A afirmação lim (x,y) (a,b) f(x, y) = L significa que, para ε > 0, existe δ > 0, tal que se 0 < (x a) + (y b) < δ, f(x, y) L < ε Embora a definição de limite seja muito importante nos estudos do Cálculo, ela é bastante formal e, em princípio, difícil de ser entendida. Ela é necessária nas situações em que se solicita a demonstração da existência do limite em um ponto ou em um conjunto de pontos. No momento, não faremos uso dessa situação formal e, por esse motivo, não será apresentado nesta apostila exemplos em que a definição será utilizada..3 Propriedades de Limite Se f e g são funções de duas variáveis, então f + g. f g, f.g e f/g definem-se de maneira usual e a elas podem se aplicar às propriedades de limites de uma variável relativas ao limite de somas, produtos e quocientes, ou seja, se f e g têm limites quando (x,y) tende para (a,b), então: 8

27 maneira usual e a elas podem se aplicar às propriedades de limites de uma variável relativas ao Cálculo Diferencial e Integral IV limite de somas, produtos e quocientes, ou seja, se f e g têm limites quando (x,y) tende para (a,b), então: c.f(x,y) = c. f(x,y), com c = constante.4 Limite de um Polinômio.4 Limite de um Polinômio Uma função f de duas variáveis é uma função polinomial se f(x,y) pode ser expressa como uma soma de termos da forma cx m y n, em que c é um número real e m e n são números Uma função f de duas variáveis é uma função polinomial inteiros não se f(x,y) negativos. pode ser expressa como negativos. um número real e m e n são números inteiros não uma soma de termos da forma cx m y n, em que c é Exemplo Exemplo Calcular Calcular o o limite limite 3 lim (x 4x y + 3y ) Solução: (x,y) (1, ) Atenção Para a resolução de um limite de funções polinomiais, é suficiente fazer a substituição em relação a x e y, conforme o exemplo anterior. 9

28 Sandra Regina Leme Forster.5 Limite de uma Função Racional Define-se função racional a que está escrita como um quociente de dois polinômios. Nem sempre apenas a substituição dos valores em x e y resolve esse tipo de limite. Exemplo a) Calcular o limite Para um ponto arbitrário (0,y) no eixo-y, temos f(0,y) = = 1, desde que y 0. Isso 0 y 0 + y significa que, ao aproximarmos (x,y) de (0,0) por esses dois caminhos, obtemos valores diferentes. Para que o limite exista, esses valores devem ser os mesmos. Solução: Também podemos escolher outros caminhos; por exemplo, vamos nos aproximar do (0,0) pela reta y = 3x; então, devemos substituir o y por 3x. Veja: x y b) Calcular o limite lim ( x,y) (0,0) x + y Solução: Note que se trata de uma função racional. Ao substituirmos x e y por zero, será obtido zero no denominador. Nesse caso, possivelmente você ficará motivado(a) a organizar essa função para tentar sair dessa indeterminação matemática, mas observe que o denominador não favorece a simplificação dessa expressão e nos leva, ainda, ao denominador zero. Então, faremos outro tipo de observação. Considere um ponto arbitrário (x,0) no eixo x; então, f(x,0) = = 1, desde que x 0. x + 0 x Nesse caso, o limite será. 5 Logo, podemos concluir que esse limite não existe. Observação: Nesse exercício, não foi demonstrado a não existência do limite e sim, por meio de exemplos, foi apresentado que isso ocorre. Para demonstrar a não existência, é necessário usar a definição de limite. y y y P(x,y) P(x,y) P(x,y) (0,0) x (0,0) x (0,0) x 30

29 Cálculo Diferencial e Integral IV Prezado(a) aluno(a), Você deve estar assustado(a) ou feliz com a quantidade de informação apresentada neste capítulo. Foi pouco, não é? Isso ocorrerá também nos próximos capítulos, pois dispomos de uma única disciplina para apresentar, de forma resumida, tudo o que foi estudado nos Cálculos II e III. Em relação ao cálculo de limites, muitas outras funções poderiam ser exploradas e uma delas você verá nas tarefas propostas. Mas, se você for daqueles(as) do tipo curioso, faça suas pesquisas e entre em contato com seus professores de cálculo, para que suas curiosidades sejam bem trabalhadas!.6 Resumo do Capítulo Neste capítulo, vimos de forma muito breve a definição de limites de funções de duas ou mais variáveis, alguns exemplos de aplicações e a resolução do limite das funções polinomiais e racionais..7 Atividades Propostas 4 4 x y 1. Determine lim ( x,y ) ( 0,0 ) x + y, se existir.. Dada, determine f ( ) ( ) ( x, y) lim, se existir. x,y 0, 0 x y x + y 3. Dada f( x, y) =, determine f 4 ( ) ( ) ( x, y) lim, se existir. x,y 0, 0 31

30 3 DERIVADAS PARCIAIS Caro(a) aluno(a), Talvez você, ao ler o título deste capítulo, tenha pensado: Mais uma vez esse assunto.... Pensou? Mas qual será a diferença dessa derivada para a derivada estudada anteriormente? Será que existe diferença? É isso que estudaremos neste capítulo. 3.1 Derivadas Parciais de Primeira Ordem As derivadas de funções de mais de uma variável são denominadas derivadas parciais. As regras de derivação que você aprendeu no cálculo de uma variável continuam válidas. Temos apenas que acrescentar algumas novas regras. Comecemos com a notação: para as derivadas de funções de uma variável, uma das notações possíveis é:. Essa notação é denominada notação de Leibniz, sendo lida como de f de x. Nessa notação, estamos indicando que a derivada da função f será calculada e que essa derivada será calculada em relação à variável x. Para as derivadas de mais de uma variável, utilizamos uma notação muito semelhante. Suponha que f é uma função de duas variáveis x e y, ou seja, z = f(x,y), suas derivadas serão: f (Leitura: del f del x - Significado: x derivada parcial de f em relação a x); f (Leitura: del f del y - Significado: y derivada parcial de f em relação a y). Para o cálculo de várias variáveis, essas derivadas são diferentes, como veremos a seguir: Seja f(x,y) uma função de duas variáveis x e y, as derivadas parciais de f são dadas pelos seguintes limites f : x f x f y f(x + h,y) f(x,y) = lim x h h f(x,y + h) f(x,y) = lim y h h 33

31 Sandra Regina Leme Forster A primeira derivada é calculada em relação à variável x e a segunda em relação à variável y. Observação: Essas derivadas parciais são denominadas derivadas de primeira ordem (ou derivadas primeiras). Atenção Para calcular as derivadas parciais, devemos lembrar que todas as regras anteriormente vistas para o cálculo das derivadas de uma variável continuam válidas. A única mudança é que, como temos mais de uma variável, os cálculos devem ser realizados considerando-se que a outra variável é constante, durante o cálculo da derivada. Assim sendo, se estivermos calculando uma derivada em relação à variável x, durante o cálculo dessa derivada, devemos tratar y como constante. Se estivermos calculando uma derivada em relação a y, durante o cálculo dessa derivada, x deve ser tratada como constante. c) z = e sen(x)+4y Resolução: z = e x = e y d) z = ln(x³ y²) Resolução: sen (x) + 4y e.cos(x) z sen(x) + 4y sen(x) + 4y z 1 = 3 x x y z 1 = y x y 3x.3x = 3 x y e.4 = 4e y.y = 3 x y = 3 3 = x y 3 x y e) f(x,y) = cos(x + y) Exemplos Resolução: Determine as derivadas parciais de primeira ordem em cada um dos casos. a) f(x,y) = x² + y² + y f x = sen( x + y). 1 = sen( x + y) e Resolução: f = x = x x b) f(x,y) = cos (x +4y³) Resolução: f e = y + 1 y f = sen( x + y). 1 = sen( x + y) x Note que as derivadas parciais em relação a x e y são diferentes, menos em casos particulares (como mostrado no exemplo e ). Em cada um dos exemplos anteriores, utilizamos as regras de derivação vistas no cálculo de funções de uma variável, considerando apenas que uma das variáveis era a variável em relação à qual deveríamos efetuar os cálculos; a outra era tratada como se fosse constante durante o cálculo da derivada. 34

32 Cálculo Diferencial e Integral IV Atenção 3. Interpretação Gráfica das Derivadas Parciais Na disciplina Cálculo II, estudamos detalhadamente a interpretação gráfica da derivada de uma função de uma variável. Vimos que f (x 0 ) representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f(x), no ponto (x 0, y 0 ). As derivadas parciais das funções de duas variáveis também têm interpretações úteis. Seja a função z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Já vimos na disciplina Cálculo III que o gráfico desse tipo de função é uma superfície no espaço. Se a variável y é fixa, ou seja, y = y 0 (constante), vamos ter que z = f(x, y 0 ) é uma função de uma variável. Um gráfico dessa função pode ser observado na Figura.1(a). O gráfico dessa função é a curva interseção do plano y = y 0 com a superfície z = f(x,y). Sobre essa curva, a derivada parcial f x (x,y 0 ) (coeficiente angular na direção x) representa a inclinação no plano y = y 0, conforme ilustra a Figura.1(a). De maneira análoga, se a variável x é fixa, ou seja, x = x 0, z = f(x 0,y) é uma função de uma variável. O gráfico dessa função é a curva interseção do plano x = x 0 com a superfície z = f(x,y). Sobre essa curva, a derivada parcial f y (x 0,y) (coeficiente angular na direção y) representa a inclinação no plano x = x0, conforme ilustra a Figura.1(b). 35

33 Sandra Regina Leme Forster Figura 3.1 Coeficiente angular. 3.3 Derivadas Parciais de Segunda Ordem f f = x x x = f x Diferenciar duas vezes em relação a x. Diferenciar primeiro em relação a y e depois em relação a x. f f = y y y = f Diferenciar duas vezes em relação a y. y Esses dois últimos casos são de derivadas parciais mistas. Diferenciar primeiro em relação a x e depois em relação a y. 36

34 Cálculo Diferencial e Integral IV Exemplo Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y) = xy³ - 4y + 4x²y² e calcule o valor de cada uma delas no ponto (3,-1). 37

35 Sandra Regina Leme Forster 38

36 Cálculo Diferencial e Integral IV 3.4 Extremos de Funções de Duas Variáveis Uma dada função f, de uma variável, pode apresentar pontos de máximo, mínimo ou de inflexão, estudados no Cálculo II. Da mesma forma, funções de duas variáveis também podem apresentar pontos de máximo, mínimo ou de sela (os pontos de sela são, em linguagem livre, equivalentes aos pontos de inflexão das funções de uma variável). Vamos estudar os procedimentos necessários para verificar se um dado ponto é um ponto crítico (pontos candidatos a máximo, mínimo ou de sela) e, identificados os pontos críticos, verificar se eles são pontos de máximo, mínimo ou de sela. Neste tópico da apostila, iremos, apenas para simplificar as equações, utilizar a seguinte notação para derivadas parciais: f x, f y, f xx, f yy, f xy e f yx. Definições Ponto crítico Discriminante Para lembrarmos a expressão do discriminante, podemos considerar o seguinte determinante, com todas as funções calculadas em (x,y): 1. Se f x (a,b) = 0 e f y (a,b) = 0 e D(a,b) > 0, então: f tem máximo local no ponto (a,b) se f xx (a,b) < 0; f tem mínimo local no ponto (a,b) se f xx (a,b) > 0. Testes para Extremos Locais Encontrados os pontos críticos (a,b), deve-se verificar sua natureza (máximo, mínimo ou ponto de sela). Essa verificação é feita através do cálculo das derivadas segundas, da seguinte maneira:. Se f x (a,b) = 0 e f y (a,b) = 0 e D(a,b) < 0, então: f(a,b) é ponto de sela. 39

37 Sandra Regina Leme Forster Exemplo Dada a função de duas variáveis f(x,y) = x + y x 3x 3 4y, determine os extremos e pontos de 3 3 sela. f xx = x f yy = fyx = 0 fxy = 0 8y Resolução: 1 fx(x,y) = 3. x x 3 = x x fy(x,y) = 3. y = 4y -4 3 Então, das condições f x = 0 e f y = 0, temos o seguinte sistema: Para P 1 (-1,1) D(-1,1) = 16.1.(-1) 16.(1) = = -3 < 0 Ponto de Sela Para P (-1,-1) D(-1,-1) = 16.(-1).(-1) 16.(-1) = = 3 > 0 fxx(-1,-1) =.(-1)- = -4 < 0 Ponto de Máximo Daí, temos que esse sistema apresenta 4 soluções e, dessa forma, têm-se 4 pontos críticos. Para P 3 (3, 1) D(3,1) = 16.(3) = = 3 > 0 fxx(3,1) =.(3)- = 4 > 0 Ponto de Mínimo P 1 (-1,1); P (-1,-1); P 3 (3,1) e P 4 (3,-1). Calculando D e f xx para cada caso, temos (lembre que, se D > 0, podemos ter ponto de máximo ou de mínimo, mas, se D < 0, temos, obrigatoriamente, ponto de sela): Para P 4 (3,-1) fxx(3,-1) =.(3)- = 4 D(3,-1) = 16.(3).(-1) 16.(-1) = = - 3 < 0 Ponto de Sela 3.5 Resumo do Capítulo Neste capítulo, você viu que a derivada de uma função de duas variáveis é denominada derivada parcial, que leva esse nome, pois, ao derivarmos em relação a uma das variáveis, a outra é considerada uma constante. Apesar disso, as propriedades de derivação e técnicas são idênticas às utilizadas nas funções de uma variável. Também, estudou alguns exemplos de derivações parciais de primeira e segunda ordem, bem como algumas de suas aplicações, como os pontos críticos e de sela de uma função. 40

38 Cálculo Diferencial e Integral IV 3.6 Atividades Propostas Nos exercícios 1 a 4, determine a derivada parcial de primeira ordem. 1. z = 5xy x². z = xcos(y x) 3. f(x,y) = 5 x 6y -(x² + y²) 4. f(x,y) = e 5. Determine f xx, f yy, f xy e f yx nos pontos indicados da função a seguir: f(x,y) = 3x² + xy y² em (0,0); (-3,0) e (0, -3). 6. Determine a inclinação da superfície no ponto indicado na direção x e na direção y de 4 x² - y² em (1,1,). 7. Determine os pontos críticos e os extremos relativos e ponto de sela da função f(x,y) = (x 1)² + (y 3)². 41

39 4 INTEGRAIS MÚLTIPLAS Caro(a) aluno(a), Você está lembrado(a) das integrais calculadas e estudadas no curso na disciplina Cálculo III? O que faremos neste capítulo não é nada diferente; todas as técnicas aprendidas anteriormente se aplicam às integrais das funções de duas ou mais variáveis. Talvez, em um primeiro momento, você tenha a impressão de que esse assunto é mais difícil, mas tenha certeza, se estiver tendo dificuldade em resolver as questões é porque o problema está no passado e, por esse motivo, sugiro que volte um pouquinho na apostila e aulas de integração de funções de uma variável para rever e refazer alguns dos exercícios. 4.1 Integrais Duplas Neste tópico, apresentaremos alguns exemplos e suas resoluções detalhadas da integral de algumas funções de duas variáveis. Exemplos c) A integral interna deve ser calculada primeiramente e, para iniciar a integração, podemos reescrevê-la conforme o registro: 1. Calcule a integral dupla Resolução: y 5xydxdy d) Como a primeira parte a ser integrada é em relação à variável x, então, y deve ser considerada uma constante: a) Devemos usar as mesmas regras de integração das funções de uma variável; b) Por convenção que indica a ordem de integração, o símbolo de integração externa relaciona-se com a diferencial externa e o símbolo de integração interna relaciona-se com a diferencial interna: (a integral foi resolvida usando a tabela de integração básica) 43

40 Sandra Regina Leme Forster 44 e) Para finalizar a resolução da integral interna, devemos aplicar o Teorema Fundamental 1 : f) Simplificando a sentença anterior e por propriedade de integração, vamos ter: g) Integrando em relação a y e aplicando o Teorema Fundamental, vamos ter: = y y h) Simplificando, vamos ter: 0 y 1 0 5xydxdy. Resolva a integral imprópria / y) (x dydx e

41 Cálculo Diferencial e Integral IV Resolução: b. Resolver a integral pelo método da substituição : 45

42 Sandra Regina Leme Forster 46

43 Cálculo Diferencial e Integral IV 4. Revisando o Cálculo de uma Área por Integrais Simples Área sob o Gráfico de uma Função Não Negativa É possível fazer uma aproximação para o cálculo da área sob o gráfico de uma função contínua não negativa y = f(x) somando-se as áreas dos vários retângulos finitos com altura igual à altura da curva acima do ponto médio do subintervalo que forma a base. Isso ocorre porque, se uma função integrável y = f(x) for não negativa ao longo de um intervalo [a,b], cada termo não nulo, f (ck ) D xk, será a área de um retângulo que se estende do eixo x até a curva y = f(x) (veja Figura 4.1). Figura 4.1 Um termo de uma soma de Riemann. Atenção Definição de área sob a curva (como uma integral definida) Se y = f(x) for não negativa e integrável em um intervalo fechado [a,b], então, a área sob a curva y = f(x), desde a até b, será a integral de f de a até b. A = b f (x)dx a Essa definição vale nos dois sentidos: podemos usar integrais para calcular áreas e usar áreas para calcular integrais. Exemplo Determine a área sob a curva f(x) = x no intervalo [a,b]. Solução: Uma das formas de se determinar essa área é resolvendo a integral definida b a xdx, para 0 < a < b. A soma de Riemann f (c k ) Dx k, que é a soma das áreas desses retângulos, fornece uma estimativa para a área da região entre a curva e o eixo x desde a até b. Como os retângulos dão uma aproximação cada vez melhor dessa região, à medida que usamos partições com normas cada vez menores, chamamos esse limite de área sob a curva. b b x b a b a xdx = =. a = (1) a 47

44 Sandra Regina Leme Forster Figura 4. Área sob a curva f(x) = x. De forma que podemos notar, de (1) e (), b que o cálculo da integral xdx, para 0 < a < b, é o a mesmo que calcular a área delimitada entre a curva, o eixo x e os limites a x b. Área de uma Região Delimitada por Dois Gráficos Outra forma de determinar essa área é observar que esboço da região sob a curva y = x, a x b (Figura 4.) é um trapézio com altura (b a) e bases a e b e, dessa forma, a área será dada por: (B + b). h (a + b).(b a) b a A = = =. () Com poucas modificações, podemos generalizar o uso das integrais definidas do cálculo de área sob um gráfico para o cálculo da área de uma região delimitada por dois gráficos. Para isso, consideremos a área da região definida pelos gráficos de f, g, x = a e x = b, conforme a Figura 4.3. Se os gráficos de f e g estão ambos acima do eixo x, podemos interpretar a área da região entre dois gráficos como a área da região sob o gráfico de g subtraída da área da região sob o gráfico de f, como mostra a Figura 4.3. Figura 4.3 Área entre duas curvas. Embora a Figura 4.3 apresente os gráficos de f e g ambos acima do eixo x, isso não é necessário; o mesmo integrando [f(x) g(x)] pode ser usado, desde que ambas as funções sejam contínuas e g(x) f(x) em todo o intervalo [a,b]. Atenção Definição de área de uma região delimitada por dois gráficos Se f e g são contínuas em [a,b] e g(x) f(x) para todo x no intervalo, então, a área da região delimitada pelos gráficos de f e g, x = a e x = b é dada por: A [ f (x) g(x) ] = b a dx 48

45 Cálculo Diferencial e Integral IV Exemplos 1. Determine a área delimitada pelos gráficos de y = x² + 3 e y = x + 1, para 0 x 1: Resolução: Inicialmente, tracemos os gráficos das duas funções (ver Figura 4.4). Pela figura, vemos que x + 1 x² + 3 para todo x em [0,1]. Fazemos, então, f(x) = x² + 3 e g(x) = x + 1 e calculamos a área como a seguir. Figura 4.4 Área entre duas curvas. y x Faça o esboço da região delimitada pelos dois gráficos das funções f(x) = x² + x + 1 e g(x) = x + 1 e determine a área da região. Resolução: Neste problema, não são dados os valores de a e b ; devemos calculá-los achando os pontos de interseção dos dois gráficos. Para isso, igualamos as duas funções e resolvemos em relação a x; obtemos x = 0 e x = -1. Pela Figura 4.5, vemos que o gráfico de g(x) = x + 1 está acima do gráfico da f(x) = x² + x + 1 para todo x no intervalo [-1,0]. 49

46 Sandra Regina Leme Forster Figura 4.5 Área entre dois gráficos que se interceptam. y 1 x

47 Cálculo Diferencial e Integral IV 4.3 Cálculo de uma Área com uma Integral Dupla Uma das mais simples aplicações de uma integral dupla é o cálculo da área de uma região plana. Consideremos, por exemplo, a região R delimitada por Essa mesma área é dada também pela integral dupla b a g (x) g1(x) dydx, porque a x b e g 1 (x) y g (x) Sabemos que a área de R é A Figura 4.6 ilustra dois tipos básicos de regiões planas cujas áreas podem ser calculadas por uma integral dupla. Figura 4.6 Tipos de regiões planas cujas áreas podem ser calculadas por uma integral dupla. Observe que a orientação vertical ou horizontal do retângulo elementar indica a ordem de integração. A variável exterior de integração corresponde sempre à largura do retângulo. Note também que os limites de integração exteriores de uma integral são constantes, enquanto os limites interiores podem ser funções da variável exterior. Exemplos 1. Calcule, por integral dupla, a área da região retangular da Figura

48 Sandra Regina Leme Forster Figura 4.7 Área da região retangular. Resolução: Os limites de x são 1 x 4 e os limites de y são 1 y 3. Portanto, a área da região é Podemos confirmar esse resultado observando que as dimensões de retângulo são 4 unidades por unidades.. Dada a integral dupla 0 4 dxdy, y a) Faça um esboço da região R cuja área é apresentada pela integral; b) Escreva a integral de forma que x seja a variável exterior; c) Mostre que ambas as ordens de integração conduzem ao mesmo valor. Resolução: a) Pelos limites de integração, sabemos que y² x 4 (limites variáveis para x) o que significa que a região R é delimitada à esquerda pela parábola x = y² e à direita pela reta x = 4. Além disso, como 0 y (limites constantes para y), vemos que a região está acima do eixo x, conforme a Figura

49 Cálculo Diferencial e Integral IV Figura 4.8 Esboço de uma região plana. b) Invertendo a ordem de integração, de modo que x passe a ser a variável exterior, x terá limites de integração constantes dados por 0 x 4. Resolvendo em relação a y na equação x = y², temos os limites de y, 0 y x, conforme a Figura 4.8. Assim, com x como variável exterior, podemos x dydx. 4 escrever a integral como 0 0 c) Ambas as integrais conduzem ao mesmo valor. Atenção Designação de uma integral Para designar uma integral dupla ou área de uma região sem especificar a ordem particular de integração, podemos utilizar o símbolo: da, R onde da = dxdy ou da = dydx. 53

50 Sandra Regina Leme Forster 4.4 Volumes de uma Região Sólida No tópico anterior, utilizamos integrais duplas como forma alternativa para determinar a área de uma região plana. Neste tópico, vamos utilizar a integral dupla para determinar o volume de uma região sólida. Consideremos uma função z = f(x,y) contínua e não negativa em uma região R. Seja S a região sólida delimitada pelo plano xy e pela porção da superfície z = f(x,y). Porção da superfície acima do plano xy situada diretamente acima da região R, conforme a Figura 4.9. Podemos determinar o volume de S integrando f(x,y) sobre a região R. Exemplos 1. Calcule o volume da região sólida delimitada no primeiro octante pelo plano z = x y. Resolução: Para estabelecer a integral dupla para o volume, é conveniente fazer um esboço tanto do sólido quanto da região R no plano xy. Para fazer esse esboço da região sólida, podem-se seguir os passos a seguir: Figura 4.9 Região sólida. a) determinar o ponto desse sólido que pertence ao eixo x. Para isso, basta admitir o z = 0 e o y = 0. Daí, vamos ter: 0 = x.0 x =, ou seja, o ponto (, 0, 0); b) determinar o ponto desse sólido que pertence ao eixo y. Para isso, basta admitir o z = 0 e o x = 0. Daí, vamos ter: 0 = 0.y y = y = 1, ou seja, o ponto (0, 1, 0); Atenção Cálculo de volumes por integral dupla Se R é uma região limitada no plano xy e f é contínua e não negativa em R, então, o volume da região sólida compreendida entre a superfície z = f(x,y) e R é dado pela integral dupla: V = R f (x, y)da, onde da = dxdy ou da = dydx. c) determinar o ponto desse sólido que pertence ao eixo z. Para isso, basta admitir o y = 0 e o x = 0. Daí, vamos ter: z = 0.0 z =, ou seja, o ponto (0, 0, ). Para esboçar o sólido representado pela equação dada e a região R, e lembrando que esse sólido está no primeiro octante, vamos plotar os pontos obtidos e ligá-los, conforme ilustra a Figura

51 Cálculo Diferencial e Integral IV Figura 4.10 Esboço do sólido e da região obtidos pela equação z = x y. Para montar a integral dupla para o cálculo do volume, necessitamos dos limites em x e em y para que possamos resolver a integral e, por isso, devemos observar que a região R é de- 1 limitada pelas retas x = 0, y = 0 e y = ( x). (Para determinar essa última, basta ver que ela está contida no plano xy e, portanto, o z = 0, tendo que fazer z = x.y, ou seja, 0 = x.y). Figura 4.11 Volume da região sólida. 55