Nelma Moreira. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP. Aula 17

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1 Fundamentos de Linguagens de Programação Nelma Moreira Departamento de Ciência de Computadores da FCUP Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 1 / 11 Expressividade do λ-calculus: Listas data List a = Nil Cons a (List a) Listas nil = λx.x cons = λxy.pair false(pair x y) null = fst head = λp.fst(snd p) tail = λp.snd(snd p) Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 2 / 11

2 Expressividade do λ-calculus: Recursividade Para definir uma função recursiva basta haver um λ-termo X tal que: FX βη X Pretende-se encontrar um λ-termo Y tal que: YF βη F (YF ) βη F (F (F (YF ))) isto é, que torna a recursão numa iteração... Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 3 / 11 Expressividade do λ-calculus: Recursividade Já tinhamos visto que (λx.xx)(λx.xx) β (λx.xx)(λx.xx) Apenas se pretende que isto aconteça mas acrescentando-se como prefixo um λ-termo F : (λx.f (xx))(λx.f (xx)) 1β F (λx.f (xx))(λx.f (xx)) 1β F (F (λx.f (xx))(λx.f (xx))) β F (F (λx.f (xx))(λx.f (xx))) Então Y = λf.(λx.f (xx))(λx.f (xx)) Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 4 / 11

3 Expressividade do λ-calculus: Recursividade Teorema (do Ponto Fixo) 1 F X FX βη X 2 Existe um λ-termo fechado Y = λf.(λx.f (xx))(λx.f (xx)) tal que FF (YF ) βη YF Y diz-se um operador de ponto fixo. Seja 1 Defina W = λx.f (xx) e X = WW. Então X = WW = (λx.f (xx))w β F (WW ) = FX. 2 Pela demostração de (1). Nota: Há muitos mais operadores de ponto fixo! Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 5 / 11 Expressividade do λ-calculus: Recursividade Qualquer definição recursiva pode ser transformada numa equação do tipo x = F (x) em que x não ocorre livre em F. A solução desta equação é dada por Y F (ponto fixo de F ). Exemplo Usando a representação de números inteiros como λ-termo de Church, e o operador de ponto fixo Y, define um λ-termo correspondente à função factorial definida nos inteiros, eliminando a recursividade: fact(0) = 1 fact(n) = n fact(n 1) n n 1 Seja o funcional F, F =λf.(λn.if(zerop n) c 1 (A n(f (pred n)))) fact =YF Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 6 / 11

4 Funções computáveis Definição (λ-definível) Seja uma função numérica f : N p N para algum p > 0. Uma função numérica f com p argumentos é λ-definível se existe um λ-termo fechado F tal que Fc n1... c np βη c f (n1,...,n p ) para todo n 1... n p N. Definição 1 As funções iniciais são as funções numéricas U i n, S + e Z definidas por: U i n(x 1..., x n ) = x i S + (n) = n + 1 Z(n) = 0 2 Seja P(n) uma relação numérica. µm[p(m)] denota o menor inteiro m tal que P(m) se verifica; caso contrário não está definida. Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 7 / 11 Funções computáveis Definição Seja A uma classe de funções numéricas. 1 A é fechada para a composição se para todo o f definido por se tem que f A. f ( n) = g(h 1 ( n),..., h m ( n)) com g, h 1,... h m A 2 A é fechada para a recursão primitiva se, para todo f definido por f (0, n) = g( n) f (k + 1, n) = h(f (k, n), k, n) com g, h A se tem que f A. 3 A é fechada para a minimalização se, para todo f definido por f ( n) = µm[g( n, m) = 0] com g A tal que n mg( n, m) = 0 se tem que f A. Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 8 / 11

5 Funções computáveis Definição A classe R das funções recursivas é a menor classe das funções numéricas que contem todas as funções iniciais e é fechada para composição, recursão primitiva e minimalização. Lema As funções iniciais são λ-definíveis. U i n = λx 1 x 2... x n.x i S + = suc Z = λx.c 0 Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 9 / 11 Funções computáveis Lema As funções λ-definíveis são fechadas para a composição, recursão primitiva, e para a minimalização. 1 Sejam G e H i os λ-termo s para g e h i e considerar F = λ x.g(h 1 x)... G(H m x) 2 Sejam g e h λ-definíveis por G e H é fácil ver que F verifica: Fxȳ = if (zerop x)(gȳ) (H(F (pred x)ȳ)(pred x)ȳ) Tal F = Y(λf.if (zerop x)(gȳ) (H(f (pred x)ȳ)(pred x)ȳ) 3 Pelo teorema do ponto fixo existe H tal que Seja F λ x.h xc 0. H xy if (zerop(g x y))y (H x(suc y)) Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula / 11

6 Funções computáveis Teorema Toda a função recursiva é λ-definível. Pelos lemas 17.1 e O contrário também se verifica: Teorema Toda a função λ-definível é recursiva. (Ideia) Se uma função é λ-definível é definida por uma equação ( β ). As equações que são deriváveis por ( β ) podem ser enumeradas. Logo o conjunto é recursivamente enumerável. Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula / 11

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