Nelma Moreira. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP. Aula 17

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Nelma Moreira. Departamento de Ciência de Computadores da FCUP. Aula 17"

Transcrição

1 Fundamentos de Linguagens de Programação Nelma Moreira Departamento de Ciência de Computadores da FCUP Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 1 / 11 Expressividade do λ-calculus: Listas data List a = Nil Cons a (List a) Listas nil = λx.x cons = λxy.pair false(pair x y) null = fst head = λp.fst(snd p) tail = λp.snd(snd p) Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 2 / 11

2 Expressividade do λ-calculus: Recursividade Para definir uma função recursiva basta haver um λ-termo X tal que: FX βη X Pretende-se encontrar um λ-termo Y tal que: YF βη F (YF ) βη F (F (F (YF ))) isto é, que torna a recursão numa iteração... Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 3 / 11 Expressividade do λ-calculus: Recursividade Já tinhamos visto que (λx.xx)(λx.xx) β (λx.xx)(λx.xx) Apenas se pretende que isto aconteça mas acrescentando-se como prefixo um λ-termo F : (λx.f (xx))(λx.f (xx)) 1β F (λx.f (xx))(λx.f (xx)) 1β F (F (λx.f (xx))(λx.f (xx))) β F (F (λx.f (xx))(λx.f (xx))) Então Y = λf.(λx.f (xx))(λx.f (xx)) Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 4 / 11

3 Expressividade do λ-calculus: Recursividade Teorema (do Ponto Fixo) 1 F X FX βη X 2 Existe um λ-termo fechado Y = λf.(λx.f (xx))(λx.f (xx)) tal que FF (YF ) βη YF Y diz-se um operador de ponto fixo. Seja 1 Defina W = λx.f (xx) e X = WW. Então X = WW = (λx.f (xx))w β F (WW ) = FX. 2 Pela demostração de (1). Nota: Há muitos mais operadores de ponto fixo! Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 5 / 11 Expressividade do λ-calculus: Recursividade Qualquer definição recursiva pode ser transformada numa equação do tipo x = F (x) em que x não ocorre livre em F. A solução desta equação é dada por Y F (ponto fixo de F ). Exemplo Usando a representação de números inteiros como λ-termo de Church, e o operador de ponto fixo Y, define um λ-termo correspondente à função factorial definida nos inteiros, eliminando a recursividade: fact(0) = 1 fact(n) = n fact(n 1) n n 1 Seja o funcional F, F =λf.(λn.if(zerop n) c 1 (A n(f (pred n)))) fact =YF Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 6 / 11

4 Funções computáveis Definição (λ-definível) Seja uma função numérica f : N p N para algum p > 0. Uma função numérica f com p argumentos é λ-definível se existe um λ-termo fechado F tal que Fc n1... c np βη c f (n1,...,n p ) para todo n 1... n p N. Definição 1 As funções iniciais são as funções numéricas U i n, S + e Z definidas por: U i n(x 1..., x n ) = x i S + (n) = n + 1 Z(n) = 0 2 Seja P(n) uma relação numérica. µm[p(m)] denota o menor inteiro m tal que P(m) se verifica; caso contrário não está definida. Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 7 / 11 Funções computáveis Definição Seja A uma classe de funções numéricas. 1 A é fechada para a composição se para todo o f definido por se tem que f A. f ( n) = g(h 1 ( n),..., h m ( n)) com g, h 1,... h m A 2 A é fechada para a recursão primitiva se, para todo f definido por f (0, n) = g( n) f (k + 1, n) = h(f (k, n), k, n) com g, h A se tem que f A. 3 A é fechada para a minimalização se, para todo f definido por f ( n) = µm[g( n, m) = 0] com g A tal que n mg( n, m) = 0 se tem que f A. Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 8 / 11

5 Funções computáveis Definição A classe R das funções recursivas é a menor classe das funções numéricas que contem todas as funções iniciais e é fechada para composição, recursão primitiva e minimalização. Lema As funções iniciais são λ-definíveis. U i n = λx 1 x 2... x n.x i S + = suc Z = λx.c 0 Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula 17 9 / 11 Funções computáveis Lema As funções λ-definíveis são fechadas para a composição, recursão primitiva, e para a minimalização. 1 Sejam G e H i os λ-termo s para g e h i e considerar F = λ x.g(h 1 x)... G(H m x) 2 Sejam g e h λ-definíveis por G e H é fácil ver que F verifica: Fxȳ = if (zerop x)(gȳ) (H(F (pred x)ȳ)(pred x)ȳ) Tal F = Y(λf.if (zerop x)(gȳ) (H(f (pred x)ȳ)(pred x)ȳ) 3 Pelo teorema do ponto fixo existe H tal que Seja F λ x.h xc 0. H xy if (zerop(g x y))y (H x(suc y)) Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula / 11

6 Funções computáveis Teorema Toda a função recursiva é λ-definível. Pelos lemas 17.1 e O contrário também se verifica: Teorema Toda a função λ-definível é recursiva. (Ideia) Se uma função é λ-definível é definida por uma equação ( β ). As equações que são deriváveis por ( β ) podem ser enumeradas. Logo o conjunto é recursivamente enumerável. Nelma Moreira (DCC-FC) Fundamentos de Linguagens de Programação Aula / 11

Aula 7 Valores Máximo e Mínimo (e Pontos de Sela)

Aula 7 Valores Máximo e Mínimo (e Pontos de Sela) Aula 7 Valores Máximo e Mínimo (e Pontos de Sela) MA - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual

Leia mais

Computabilidade 2012/2013. Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Computabilidade 2012/2013. Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Computabilidade 2012/2013 Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Capítulo 1 Computabilidade 1.1 A noção de computabilidade Um processo de computação

Leia mais

1. Extremos de uma função

1. Extremos de uma função Máximo e Mínimo de Funções de Várias Variáveis 1. Extremos de uma função Def: Máximo Absoluto, mínimo absoluto Seja f : D R R função (i) Dizemos que f assume um máximo absoluto (ou simplesmente um máximo)

Leia mais

Tipos Indutivos & Recursão (Primitiva)

Tipos Indutivos & Recursão (Primitiva) Alfio Martini www.inf.pucrs.br/alfio Clube de Lógica em Ciência da Computação Faculdade de Informática - PUCRS 2 de setembro de 2013 Sumário Objetivos Gerais 1 Objetivos Gerais 2 3 Funções Primitivas Recursivas

Leia mais

11.7 Valores Extremos e Ponto de Sela

11.7 Valores Extremos e Ponto de Sela 11.7 Valores Extremos e Ponto de Sela Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.br Valores Extremos Locais Definição: Seja f(x,

Leia mais

Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente

Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual

Leia mais

Lista n 0 1 de Exercícios de Teoria da Computação

Lista n 0 1 de Exercícios de Teoria da Computação Lista n 0 1 de Exercícios de Teoria da Computação UFU-Curso de Bacharelado em Ciência da Computação - 7 0 período Profa. Sandra de Amo Exercícios de Revisão : Autômatos e Gramáticas 1. Mostre que a linguagem

Leia mais

Introdução ao cálculo-λ

Introdução ao cálculo-λ Introdução ao cálculo-λ Pedro Vasconcelos 13 de Fevereiro de 2014 O que é o cálculo-λ? É um modelo computação universal (i.e., equipotente à máquina de Turing) Ao contrário da MT, o cálculo-λ é também

Leia mais

Teoria da Computação I

Teoria da Computação I Licenciatura em Engenharia Informática e Computação João Mendes Moreira João Falcão e Cunha Teoria da Computação I 3º Ano 2001-2002 1ª Aula Prática Implementação de Funções Simples na Máquina URM 1.1.

Leia mais

Funções Recursivas. Prof.: Edson Holanda Teoria da computação - Diverio e Menezes

Funções Recursivas. Prof.: Edson Holanda Teoria da computação - Diverio e Menezes Funções Recursivas Prof.: Edson Holanda edsonholanda@gmail.com Teoria da computação - Diverio e Menezes Tipos de Formalismos Operacional Define-se uma máquina abstrata, baseada em estados, em instruções

Leia mais

Esboço de Gráficos (resumo)

Esboço de Gráficos (resumo) Esboço de Gráficos (resumo) 1 Máximos e Mínimos Definição: Diz-se que uma função tem um valor máximo relativo (máximo local) em c se existe um intervalo ( a, b) aberto contendo c tal que f ( c) f ( x)

Leia mais

MATEMÁTICA I AULA 07: TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO TÓPICO 02: CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO Este tópico tem o objetivo de mostrar como a derivada pode ser usada

Leia mais

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y). PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx

Leia mais

Computação Gráfica 04

Computação Gráfica 04 Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia de Computação Computação Gráfica 04 Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti www.twitter.com/jorgecav

Leia mais

Momentos de uma variável aleatória

Momentos de uma variável aleatória Momentos de uma variável aleatória O cálculo de E[X] (valor médio de X) e E[X 2 ] (que intervém na variância), pode ser generalizado pensando em E[X k ] com k IN. Definição: Dada uma v.a. X, chama-se momento

Leia mais

Princípio da Indução Matemática: P(1) verdadeira ( k)[p(k) verdadeira P(k+1) verdadeira] ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos

Princípio da Indução Matemática: P(1) verdadeira ( k)[p(k) verdadeira P(k+1) verdadeira] ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos Indução Matemática Princípio da Indução Matemática: P(1) verdadeira ( k)[p(k) verdadeira P(k+1) verdadeira] ENTÃO P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos O Princípio da Indução Matemática é

Leia mais

Recursividade. Túlio Toffolo tulio@toffolo.com.br www.toffolo.com.br. BCC202 Aula 08 Algoritmos e Estruturas de Dados I

Recursividade. Túlio Toffolo tulio@toffolo.com.br www.toffolo.com.br. BCC202 Aula 08 Algoritmos e Estruturas de Dados I Recursividade Túlio Toffolo tulio@toffolo.com.br www.toffolo.com.br BCC202 Aula 08 Algoritmos e Estruturas de Dados I Outros Exemplos de Recursividade Factais são outros exemplos de recursividade Quando

Leia mais

Representação no Plano Cartesiano INTRODUÇÃO A FUNÇÃO

Representação no Plano Cartesiano INTRODUÇÃO A FUNÇÃO INTRODUÇÃO A FUNÇÃO Def: Dado dois conjuntos que tenham uma relação, chama-se função quando todo elemento do primeiro tiver associado um único elemento do segundo conjunto. Ou seja, f é função de A em

Leia mais

Estrutura de Dados Básica

Estrutura de Dados Básica Estrutura de Dados Básica Professor: Osvaldo Kotaro Takai. Aula 7: Recursividade O objetivo desta aula é apresentar o conceito de recursão para solução de problemas. A recursão é uma técnica de programação

Leia mais

Método de Eliminação de Gauss. Eduardo Camponogara

Método de Eliminação de Gauss. Eduardo Camponogara Sistemas de Equações Lineares Método de Eliminação de Gauss Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação

Leia mais

Aula 19 Teorema Fundamental das Integrais de Linha

Aula 19 Teorema Fundamental das Integrais de Linha Aula 19 Teorema Fundamental das Integrais de Linha MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA. Dirce Uesu Pesco 29/01/2013

GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA. Dirce Uesu Pesco 29/01/2013 GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA Dirce Uesu Pesco 29/01/2013 I) Dados um ponto do plano e vetor normal ao plano; II) III) Dados um ponto do plano e dois vetores paralelos

Leia mais

Já vimos que a energia gravitacional entre duas partículas de massas m 1 e m 2, com vetores posição em r 1 e r 2, respectivamente, é dada por

Já vimos que a energia gravitacional entre duas partículas de massas m 1 e m 2, com vetores posição em r 1 e r 2, respectivamente, é dada por Força conservativa Já vimos que a energia gravitacional entre duas partículas de massas m 1 e m 2, com vetores posição em r 1 e r 2, respectivamente, é dada por U 12 = Gm 1m 2 r 2 r 1. Vimos também que

Leia mais

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97

ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97 ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 996/97 Teoria de Erros A Teoria de Erros fornece técnicas para quantificar erros nos dados e nos resultados de cálculos com números aproximados. Nos cálculos aproximados deve-se

Leia mais

1 Detecção e correcção de erros 1 1.1 Erros sintáticos... 1 1.2 Erros de execução... 2 1.3 Erros semânticos... 5 1.4 Erros semânticos...

1 Detecção e correcção de erros 1 1.1 Erros sintáticos... 1 1.2 Erros de execução... 2 1.3 Erros semânticos... 5 1.4 Erros semânticos... Nesta aula... Conteúdo 1 Detecção e correcção de erros 1 1.1 Erros sintáticos............................. 1 1.2 Erros de execução............................ 2 1.3 Erros semânticos............................

Leia mais

BCC202 - Estrutura de Dados I

BCC202 - Estrutura de Dados I BCC202 - Estrutura de Dados I Aula 04: Análise de Algoritmos (Parte 1) Reinaldo Fortes Universidade Federal de Ouro Preto, UFOP Departamento de Ciência da Computação, DECOM Website: www.decom.ufop.br/reifortes

Leia mais

José Álvaro Tadeu Ferreira

José Álvaro Tadeu Ferreira UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Departamento de Computação José Álvaro Tadeu Ferreira Cálculo Numérico Notas de aulas Resolução de Equações Não Lineares Ouro

Leia mais

Complementos de Análise Matemática

Complementos de Análise Matemática Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Departamento: Matemática Ficha prática n o 1 - Cálculo Diferencial em IR n 1. Para cada um dos seguintes subconjuntos de IR, IR 2 e IR 3, determine

Leia mais

Algumas Equivalencias do Axioma da Escolha

Algumas Equivalencias do Axioma da Escolha Algumas Equivalencias do Axioma da Escolha Elen Deise Assis Barbosa Orientador: Prof. Ms. Luís Roque Rodrigues de Jesus Universidade do Estado da Bahia UNEB 27 de outubro de 2009 1 / 14 Índice Postulados

Leia mais

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Introdução O Cálculo Numérico

Leia mais

Programação Funcional. Aula 4. Definindo Funções. José Romildo Malaquias. Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto 2011.

Programação Funcional. Aula 4. Definindo Funções. José Romildo Malaquias. Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto 2011. Programação Funcional Aula 4 Definindo Funções José Romildo Malaquias Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto 2011.2 1/143 1 Combinando funções 2 Expressão condicional 3 Equaçao com

Leia mais

Autómatos finitos não determinísticos (AFND)

Autómatos finitos não determinísticos (AFND) Autómatos finitos não determinísticos (AFND) [HMU00](Cap 2.3) Computações não determinísticas: o estado seguinte não é univocamente determinado pelo estado actual.num autómato finito (não-determínistico):

Leia mais

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser:

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

Notas de aula número 1: Otimização *

Notas de aula número 1: Otimização * UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL UFRGS DEPARTAMENTO DE ECONOMIA CURSO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS DISCIPLINA: TEORIA MICROECONÔMICA II Primeiro Semestre/2001 Professor: Sabino da Silva Porto Júnior

Leia mais

Exp e Log. Roberto Imbuzeiro Oliveira. 21 de Fevereiro de 2014. 1 O que vamos ver 1. 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2

Exp e Log. Roberto Imbuzeiro Oliveira. 21 de Fevereiro de 2014. 1 O que vamos ver 1. 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2 Funções contínuas, equações diferenciais ordinárias, Exp e Log Roberto Imbuzeiro Oliveira 21 de Fevereiro de 214 Conteúdo 1 O que vamos ver 1 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2 3 Existência

Leia mais

Centro Universitário do Triângulo

Centro Universitário do Triângulo Centro Universitário do Triângulo Cálculo Lambda 1. Introdução A elaboração de modelos de computação (resolução de problemas por uma máquina) baseia-se em trabalhos de dois pesquisadores com enfoques bastante

Leia mais

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa

Leia mais

Alguns apontamentos da história da Análise Numérica

Alguns apontamentos da história da Análise Numérica Análise Numérica 1 Âmbito da Análise Numérica Determinar boas soluções aproximadas num tempo computacional razoável? Slide 1 Porquê? Porque em muitos problemas matemáticos e respectivas aplicações práticas

Leia mais

Exercícios de Teoria da Computação Autómatos finitos não deterministas

Exercícios de Teoria da Computação Autómatos finitos não deterministas Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores - LEIC Licenciatura em Engenharia de Redes de Comunicações - LERC Exercícios de Teoria da Computação Autómatos finitos não deterministas Secção

Leia mais

Programação Funcional

Programação Funcional Programação Funcional Lucília Camarão de Figueiredo Universidade Federal de Ouro Preto lucilia@dcc.ufmg.br Aula 04: Definição de funções 1 DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES f x1 x2...xn = E Define uma função f de tipo

Leia mais

Equação do 1º Grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior

Equação do 1º Grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior Maurício Bezerra Bandeira Junior Introdução às equações de primeiro grau Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que

Leia mais

1 Os números naturais, Axiomas de Peano

1 Os números naturais, Axiomas de Peano Capítulo IV Indução e Recursão 1 1 Os números naturais, Axiomas de Peano Os números naturais são bem conhecidos. Vamos considerar o 0 como fazendo parte dos números naturais. Portanto os números naturais

Leia mais

Desenvolver um pequeno aplicativo que possa demonstrar a utilização de sockets como meio de comunicação em sistemas distribuídos.

Desenvolver um pequeno aplicativo que possa demonstrar a utilização de sockets como meio de comunicação em sistemas distribuídos. Objetivos Desenvolver um pequeno aplicativo que possa demonstrar a utilização de sockets como meio de comunicação em sistemas distribuídos. Método de Monte Carlo O método de Monte Carlo é uma forma de

Leia mais

Aula 16 Mudança de Variável em Integrais Múltiplas

Aula 16 Mudança de Variável em Integrais Múltiplas Aula 16 Mudança de Variável em Integrais Múltiplas MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade

Leia mais

Programação Funcional. Capítulo 1. Introdução. José Romildo Malaquias. Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto 2015.

Programação Funcional. Capítulo 1. Introdução. José Romildo Malaquias. Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto 2015. Programação Funcional Capítulo 1 Introdução José Romildo Malaquias Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto 2015.1 1/13 1 Paradigmas de programação 2 Programação funcional 3 A Crise

Leia mais

Teoria da Computação Linguagens e Expressões Regulares, Autómatos de Estados Finitos

Teoria da Computação Linguagens e Expressões Regulares, Autómatos de Estados Finitos Teoria da Computação Linguagens e Expressões Regulares, Autómatos de Estados Finitos Simão Melo de Sousa 12 de Outubro de 2011 Conteúdo 1 Linguagens e Expressões Regulares 2 2 Autómatos de Estados Finitos

Leia mais

Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias

Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática Aplicada - Mestrados

Leia mais

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO 5 FUNÇÃO 5.1 Introdução O conceito de função fundamenta o tratamento científico de problemas porque descreve e formaliza a relação estabelecida entre as grandezas que o integram. O rigor da linguagem e

Leia mais

Fernando Silva DCC-FCUP. Estruturas de Dados

Fernando Silva DCC-FCUP. Estruturas de Dados 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-Conquistar Fernando Silva DCC-FCUP Estruturas de Dados Fernando Silva (DCC-FCUP) 3. Recursividade, Bactracking e Dividir-para-Conquistar Estruturas de Dados

Leia mais

Pedro Vasconcelos DCC/FCUP. Programação Funcional 3 a Aula Definição de funções

Pedro Vasconcelos DCC/FCUP. Programação Funcional 3 a Aula Definição de funções Programação Funcional 3 a Aula Definição de funções Pedro Vasconcelos DCC/FCUP 2014 Definição de funções Podemos definir novas funções simples usando funções pré-definidas. minuscula :: Char -> Bool minuscula

Leia mais

Se entregar em papel, por favor, prenda esta folha de rosto na sua solução desta lista, deixando-a em branco. Ela será usada na

Se entregar em papel, por favor, prenda esta folha de rosto na sua solução desta lista, deixando-a em branco. Ela será usada na Cálculo Multivariado Lista numero integração múltipla tarcisio.praciano@gmail.com T. Praciano-Pereira Dep. de Computação alun@: de março de 13 Univ. Estadual Vale do Aca Documento escrito com L A TEX -

Leia mais

Aplicações de Derivadas

Aplicações de Derivadas Aplicações de Derivadas f seja contínua no [a,b] e que f '(x) exista no intervalo aberto a x b. Então, existe pelo menos um valor c entre a eb, tal que f '(c) f (b) f (a) b a. pelo menos um ponto c (a,

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

Aula: Equações polinomiais

Aula: Equações polinomiais Aula: Equações polinomiais Turma 1 e 2 Data: 05/09/2012-12/09/2012 Tópicos Equações polinomiais. Teorema fundamental da álgebra. Raízes reais e complexas. Fatoração e multiplicação de raízes. Relações

Leia mais

Aula 17 Continuidade Uniforme

Aula 17 Continuidade Uniforme Continuidade Uniforme Aula 17 Continuidade Uniforme MÓDULO 2 - AULA 17 Metas da aula: Discutir o conceito de função uniformemente contínua, estabelecer o Teorema da Continuidade Uniforme e o Teorema da

Leia mais

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo Capítulo 1 Números Complexos 11 Unidade Imaginária O fato da equação x 2 + 1 = 0 (11) não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos Para solucionar (11) denimos a unidade

Leia mais

Elementos de Matemática Discreta

Elementos de Matemática Discreta Elementos de Matemática Discreta Prof. Marcus Vinícius Midena Ramos Universidade Federal do Vale do São Francisco 9 de junho de 2013 marcus.ramos@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~marcus.ramos Marcus

Leia mais

Carlos Humberto Soares Júnior

Carlos Humberto Soares Júnior Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, Vol. X, No. 1 (2003) 15 Funções de classe C k Carlos Humberto Soares Júnior Abstract When we study the functions of class C k in the graduate courses, in

Leia mais

Aulas Práticas. 1ª Aula Prática Perguntas sobre a Implementação de Funções Simples na Máquina URM...1

Aulas Práticas. 1ª Aula Prática Perguntas sobre a Implementação de Funções Simples na Máquina URM...1 Aulas Práticas 1ª Aula Prática Perguntas sobre a Implementação de Funções Simples na Máquina URM...1 2ª Aula Prática Perguntas sobre a Implementação de Funções Recursivas na Máquina URM...2 3ª Aula Prática

Leia mais

ENCONTRO RPM-UNIVERSIDADE DE MATO GROSSO DO SUL Roteiro de aulas do mini-curso: A Escavadeira de Cantor Novembro de 2013 Mário Jorge Dias Carneiro

ENCONTRO RPM-UNIVERSIDADE DE MATO GROSSO DO SUL Roteiro de aulas do mini-curso: A Escavadeira de Cantor Novembro de 2013 Mário Jorge Dias Carneiro ENCONTRO RPM-UNIVERSIDADE DE MATO GROSSO DO SUL Roteiro de aulas do mini-curso: A Escavadeira de Cantor Novembro de 203 Mário Jorge Dias Carneiro Introdução O que é um número real? A resposta formal e

Leia mais

EDITAL 11/2014 PONTOS PARA PROVAS ESCRITA E/OU PRÁTICA E DIDÁTICA (AULA PÚBLICA)

EDITAL 11/2014 PONTOS PARA PROVAS ESCRITA E/OU PRÁTICA E DIDÁTICA (AULA PÚBLICA) Matéria/área de conhecimento: Engenharia de Produção Requisitos Específicos: Graduação em Engenharia de Produção 1. Processos de produção e automação 2. Novas formas de organização do trabalho 3. Análise

Leia mais

Introdução à Programação. Recursão

Introdução à Programação. Recursão Introdução à Programação Recursão Recursão decoração Substantivo feminino. 1.Ato ou efeito de decorar decorar Verbo transitivo direto. 1.Guarnecer com adorno(s); dispor formas e cores em; ornamentar, embelezar;

Leia mais

(x, y) = (a, b) + t*(c-a, d-b) ou: x = a + t*(c-a) y = b + t*(d-b)

(x, y) = (a, b) + t*(c-a, d-b) ou: x = a + t*(c-a) y = b + t*(d-b) Equação Vetorial da Reta Dois pontos P e Q, definem um único vetor v = PQ, que representa uma direção. Todo ponto R cuja direção PR seja a mesma de PQ está contido na mesma reta definida pelos pontos P

Leia mais

Operador de atribuição

Operador de atribuição Operador de atribuição Variavel = Express~ao [epd94, Cap. 3.11-3.12] Suponhámos que y tem valor 5: x = y + 1; É calculada assim (e por esta ordem): A expressão da direita é calculada, susbtituindo a variável

Leia mais

LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES. : R R + o x x

LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES. : R R + o x x LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES Noções prévias 1. Valor absoluto de um número real: Chama-se valor absoluto ou módulo de um número real ao número x tal que: x se x 0 x = x se x < 0 Está assim denida

Leia mais

Álgebra Booleana. Introdução ao Computador 2010/01 Renan Manola

Álgebra Booleana. Introdução ao Computador 2010/01 Renan Manola Álgebra Booleana Introdução ao Computador 2010/01 Renan Manola Histórico George Boole (1815-1864) Considerado um dos fundadores da Ciência da Computação, apesar de computadores não existirem em seus dias.

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2014/15 Cursos: LEGM, MEC. Michael Paluch

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2014/15 Cursos: LEGM, MEC. Michael Paluch Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2014/15 Cursos: LEGM, MEC Michael Paluch Avaliação 1. Avaliação Contínua a) 1 Teste dia 11 de abril de 2015 duração 90 minutes (40% de nota final)

Leia mais

Alfabeto e palavras. Alfabeto conjunto finito de símbolos (Σ).

Alfabeto e palavras. Alfabeto conjunto finito de símbolos (Σ). Alfabeto e palavras Alfabeto conjunto finito de símbolos (Σ). {A,...,Z}, {α, β,... }, {a,b}, {0,1}, ASCII Palavra de Σ sequência finita de símbolos do alfabeto Σ Σ = {a, b} aabba a aaaaaaaa Comprimento

Leia mais

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010 Para determinarmos um valor aproximado das raízes de uma equação não linear, convém notar inicialmente

Leia mais

Otimização por Descida de Gradiente

Otimização por Descida de Gradiente Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Agrárias CCA UFES Departamento de Computação Otimização por Descida de Gradiente Redes Neurais Artificiais Site: http://jeiks.net E-mail: jacsonrcsilva@gmail.com

Leia mais

Universidade da Madeira Ano lectivo 2006/07-2º semestre Responsável: Prof. José Carmo

Universidade da Madeira Ano lectivo 2006/07-2º semestre Responsável: Prof. José Carmo TEORIA DA COMPUTABILIDADE E COMPLEXIDADE Licenciatura em Engenharia Informática (2ª ano) Licenciatura em Ensino da Informática (2ª ano) Licenciatura em Matemática (2ª ano) Universidade da Madeira Ano lectivo

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Não Linear Aula 26: Programação Não-Linear - Funções de Uma única variável (Prática) Método da Bissecção; Método de Newton. 2 Considere o seguinte problema Faculdade de Engenharia Optimização

Leia mais

Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ. 1º. semestre de 2010 Aula 2 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.2

Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ. 1º. semestre de 2010 Aula 2 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.2 Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ 1º. semestre de 2010 Aula 2 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.2 O Método de Separação de Variáveis A ideia central desse método é supor que a solução

Leia mais

1.1 Domínios e Regiões

1.1 Domínios e Regiões 1.1 Domínios e Regiões 1.1A Esboce o conjunto R do plano R 2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classi que R em: aberto, fechado, itado, compacto, ou conexo. (a) R = (x; y) 2 R 2 ; jxj 1; 0 y (b) R

Leia mais

Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing)

Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) ISCTE, Escola de Gestão Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) Diana Aldea Mendes 29 de Outubro de 2008 Espaços Vectoriais Definição (vector): Chama-se vector edesigna-sepor v um objecto matemático caracterizado

Leia mais

Métodos Numéricos. A. Ismael F. Vaz. Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.

Métodos Numéricos. A. Ismael F. Vaz. Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho. Métodos Numéricos A. Ismael F. Vaz Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.pt Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Ano lectivo 2007/2008 A.

Leia mais

HABILITAÇÃO COMPONENTE TITULAÇÃO

HABILITAÇÃO COMPONENTE TITULAÇÃO Operação de Software Aplicativo Científica Engenharia da Produção Engenharia de Engenharia de Produção Matemática Aplicada às Matemática Aplicada e Científica Matemática com Tecnologia em - Ênfase em Gestão

Leia mais

Karine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta

Karine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Professor Orientador: Alberto Berly Sarmiento Vera Belo Horizonte 2012 Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Monografia

Leia mais

1 Propriedades das Funções Contínuas 2

1 Propriedades das Funções Contínuas 2 Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005 Sumário 1 Propriedades das Funções Contínuas 2 2 Continuidade 2 3 Propriedades 3 4 Continuidade Uniforme 9 5 Exercício 10 1 1 PROPRIEDADES

Leia mais

FUNÇÕES SEM PRIMITIVA ELEMENTAR

FUNÇÕES SEM PRIMITIVA ELEMENTAR FUNÇÕES SEM PRIMITIVA ELEMENTAR RICARDO MAMEDE 1. Teoremas de Liouville O Teorema Fundamental da Cálculo assegura que para uma qualquer função contínua f no intervalo [a, b], a função F (x) = x a f(t)dt,

Leia mais

Renata de Freitas e Petrucio Viana. IME, UFF 12 de março de 2015

Renata de Freitas e Petrucio Viana. IME, UFF 12 de março de 2015 Definições por indução e por recursão Renata de Freitas e Petrucio Viana IME, UFF 12 de março de 2015 Sumário Lógica formal e principais sistemas lógicos Definições indutivas Definições recursivas Exercícios

Leia mais

MAT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 13.11.

MAT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 13.11. MT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - tualizado 13.11.2012 1. Segunda-feira, 30 de julho de 2012 presentação do curso. www.ime.usp.br/

Leia mais

Intuitivamente, podemos pensar numa superfície no espaço como sendo um objeto bidimensional. Existem outros modos de se representar uma superfície:

Intuitivamente, podemos pensar numa superfície no espaço como sendo um objeto bidimensional. Existem outros modos de se representar uma superfície: Capítulo 3 Integrais de superfícies 3.1 Superfícies no espaço Definição 3.1 Uma superfície S no espaço é definida como sendo a imagem de uma aplicação contínua r : K R R 3, (u, v) K 7 r (u, v) =(x (u,

Leia mais

Um Pequeno Manual. Adelmo Ribeiro de Jesus

Um Pequeno Manual. Adelmo Ribeiro de Jesus Um Pequeno Manual do Winplot Adelmo Ribeiro de Jesus O WINPLOT é um programa de domínio público, produzido por Richard Parris, da Phillips Exeter Academy, em New Hampshire. Recentemente traduzido para

Leia mais

DESENVOLVIMENTO DE UMA FUNÇÃO NO R PARA ANÁLISE DE TRILHA

DESENVOLVIMENTO DE UMA FUNÇÃO NO R PARA ANÁLISE DE TRILHA DESENVOLVIMENTO DE UMA FUNÇÃO NO R PARA ANÁLISE DE TRILHA Édimo F. A. Moreira 1 ; Luiz Alexandre Peternelli 2 ; Laís M. A. Barroso 1 INTRODUÇÃO A análise de trilha, desenvolvida por Wright (1923) consiste

Leia mais

Relatório da Disciplina de Matemática I

Relatório da Disciplina de Matemática I Relatório da Disciplina de 2004-2005 Docentes Fernando Carapau, flc@uevora.pt Departamento de Matemática, Universidade de Évora. Fátima Correia, mfac@uevora.pt Departamento de Matemática, Universidade

Leia mais

Lista de Exercícios - Integrais

Lista de Exercícios - Integrais Lista de Exercícios - Integrais 4) Calcule as integrais indefinidas: 5) Calcule as integrais indefinidas: 1 6) Suponha f(x) uma função conhecida e que queiramos encontrar uma função F(x), tal que y = F(x)

Leia mais

Bacharelado em Ciência e Tecnologia Bacharelado em Ciências e Humanidades. Representação Gráfica de Funções

Bacharelado em Ciência e Tecnologia Bacharelado em Ciências e Humanidades. Representação Gráfica de Funções Bacharelado em Ciência e Tecnologia Bacharelado em Ciências e Humanidades BC 0005 Bases Computacionais da Ciência Representação Gráfica de Funções Prof a Maria das Graças Bruno Marietto graca.marietto@ufabc.edu.br

Leia mais

Programação Dinâmica. Programa do PA. Técnicas Avançadas de Projeto. Aulas Anteriores. Introdução. Plano de Aula. Técnicas de Projeto de Algoritmos

Programação Dinâmica. Programa do PA. Técnicas Avançadas de Projeto. Aulas Anteriores. Introdução. Plano de Aula. Técnicas de Projeto de Algoritmos Programação Dinâmica Técnicas de Projeto de Algoritmos Aula 13 Alessandro L. Koerich Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR) Ciência da Computação 7 o Período Engenharia de Computação 5 o Período

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

ficha 3 espaços lineares

ficha 3 espaços lineares Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo

Leia mais

Programação Funcional. Aula 5. Funções Recursivas. José Romildo Malaquias. Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto 2011.

Programação Funcional. Aula 5. Funções Recursivas. José Romildo Malaquias. Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto 2011. Programação Funcional Aula 5 Funções Recursivas José Romildo Malaquias Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto 2011.2 1/39 1 Funções recursivas 2 Recursividade mútua 3 Recursividade

Leia mais

2. O número de vectores da base de L construída na alínea anterior é a soma do número de vectores das bases de M e N.

2. O número de vectores da base de L construída na alínea anterior é a soma do número de vectores das bases de M e N. 2.4. PROJECÇÕES 2. dim(l)=dim(m)+dim(n) Demonstração. Se L=M N, qualquer vector x L se pode escrever de forma única como a soma de um vector x M M e outro vector x N N. 1. Dada uma base de M, x M pode

Leia mais

Cálculo numérico. ln 1 = 0. Representação numérica. Exemplo. Exemplos. Professor Walter Cunha. ln 1. I s

Cálculo numérico. ln 1 = 0. Representação numérica. Exemplo. Exemplos. Professor Walter Cunha. ln 1. I s Representação numérica Cálculo numérico Professor Walter Cunha Um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam

Leia mais

Curvas de nível homotópicas a um ponto

Curvas de nível homotópicas a um ponto Curvas de nível homotópicas a um ponto Praciano-Pereira, T Sobral Matemática 6 de agosto de 2011 tarcisio@member.ams.org pré-prints da Sobral Matemática no. 2011.03 Editor Tarcisio Praciano-Pereira, tarcisio@member.ams.org

Leia mais

Aula 02 Modelagem de Dados. Banco de Dados. Aula 02 Modelagem de Dados. Superior /2011 Redes Computadores - Disciplina: Banco de Dados -

Aula 02 Modelagem de Dados. Banco de Dados. Aula 02 Modelagem de Dados. Superior /2011 Redes Computadores - Disciplina: Banco de Dados - Banco de Dados Aula 02 Modelagem de Dados Roteiro Definição Evolução Projeto de BD Abstração Esquema e Instância Definição É uma representação, normalmente gráfica, de estruturas de dados reais. Auxilia

Leia mais

Tópico 11. Aula Teórica/Prática: O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções

Tópico 11. Aula Teórica/Prática: O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções Tópico 11. Aula Teórica/Prática: O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de Funções 1. INTRODUÇÃO Ao se obter uma sucessão de pontos experimentais que representados em um gráfico apresentam comportamento

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais