Intuitivamente, podemos pensar numa superfície no espaço como sendo um objeto bidimensional. Existem outros modos de se representar uma superfície:
|
|
- Manuela Balsemão Ventura
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Capítulo 3 Integrais de superfícies 3.1 Superfícies no espaço Definição 3.1 Uma superfície S no espaço é definida como sendo a imagem de uma aplicação contínua r : K R R 3, (u, v) K 7 r (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)) R 3,onde K é um subconjunto fechado e limitado (um compacto) do R, com K 0 6= φ. A aplicação r é chamada representação paramétrica (parametrização) de S ou representação vetorial de S. Intuitivamente, podemos pensar numa superfície no espaço como sendo um objeto bidimensional. Existem outros modos de se representar uma superfície: 1. Representação explícita: Uma superfície S pode ser dada por uma ou mais equações da forma z = f (x, y), (x, y) K R, onde K é um conjunto fechado e limitado com K 0 6= φ e f : K R écontínua. Uma representação paramétrica, neste caso, pode ser r (x, y) =(x, y, f (x, y)), (x, y) K.. Representação implícita: Uma superfície S pode ser dada por uma equação da forma F (x, y, z) =0, onde F : D R 3 R. Neste caso, o Teorema da função implícita garante, que sob certas condições, podemos definir localmente uma das variáveis como função das outras duas. Por exemplo se z = z (x, y) para (x, y) V, então obtemos uma representação paramétrica da forma r (x, y) =(x, y, z (x, y)), (x, y) V. Exemplo 3. Seja S aesferacentradanaorigemeraioc>0. Temos 105
2 106 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES 1. Representação implícita: x + y + z = c.. Representação explícita: z = ± p c x y,x + y c 3. Representação paramétrica: usando coordenadas esféricas x = c cos u cos v, y = c sen u cos v, z = c sen v temos para 0 u π, π/ v π/, r (u, v) =(c cos u cos v, c sen u cos v, c sen v). Exemplo 3.3 Se S éocone Temos:
3 3.1. SUPERFÍCIES NO ESPAÇO Representação paramétrica: Sejam 0 v h, 0 u π e φ = c fixado com 0 <c<π/, logo r (u, v) =(v cos u sen φ, v sin u sen φ, v cos φ).. Representação explícita: 3. Representação implícita: z = 1 p x + y tan φ. x + y z tan φ =0. Exemplo 3.4 Se S éocilindro Temos 1. Representação paramétrica: para 0 u π e h v h r (u, v) =( c cos u, c sen u, v).. Representação implícita: x + y = c. 3. Representação explícita: x = ± p c y, c y c.
4 108 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES Exemplo 3.5 Se S é o elipsóide Temos 1. Representação implícita: x a + y b + z c =1.. Representação explícita: r z = ±c 1 x a y b, x a + y b Representação paramétrica: para 0 u π e 0 v π r (u, v) =(a cos u sen v, b sen u sen v, c cos v). Exemplo 3.6 Se S é o hiperbolóide de uma folha:
5 3.1. SUPERFÍCIES NO ESPAÇO Representação implícita: x a + y b z c =1.. Representação explícita: z = ±c r x a + y b 1, x a + y b Representação paramétrica: para 0 u π e v R, r (u, v) =(a cos u cosh v, b sen u cosh v, c senh v). Exemplo 3.7 Hiperbolóide de duas folhas: 1. Representação implícita: x a y b + z c =1.. Representação explícita: r z = ±c 1+ y b + x a. Exemplo 3.8 Parabolóide hiperbólico:
6 110 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES 1. Representação implícita: y b x a = z c.
7 3.. O PRODUTO VETORIAL FUNDAMENTAL O produto vetorial fundamental Sejam K R fechado e limitado com interior não vazio e S uma superfície dada por r (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)), (u, v) K. Se r é diferenciável em (u, v) K 0, podemos considerar os vetores derivadas parciais µ r x y z (u, v) = (u, v), (u, v), (u, v), u µ u u u r x y z (u, v) = (u, v), (u, v), (u, v). v v v v Definição 3.9 Nas condições acima, definimos o produto vetorial fundamental de r como sendo o vetor N (u, v) = r µ r (y, z) (z, x) (x, y) (u, v) (u, v) = (u, v), (u, v), (u, v). u v (u, v) (u, v) (u, v) Nota 3.10 Vejamos o significado geométrico de N (u, v) : Consideremos em K um segmento de reta horizontal (u, v 0 ),u 0 u u 0 + 4u. Sua imagem por r é uma curva, curva- u, em S parametrizada por r (u, v 0 )=(x (u, v 0 ),y(u, v 0 ),z(u, v 0 )),u 0 u u 0 + 4u, com vetor velocidade em u = u 0 dado por r u (u 0,v 0 )= µ x u (u 0,v 0 ), y u (u 0,v 0 ), z u (u 0,v 0 ).
8 11 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES Enquanto u varia de u 0 até u 0 + 4u, um ponto incialmente em r (u 0,v 0 ), percorre ao longodacurva-u uma distância aproximadamente igual a r u (u 0,v 0 ) 4u. Analogamente, um segmento vertical u = u 0,v 0 v v 0 + 4v, temcomoimagemems acurva-v dada por r (u 0,v). Um ponto inicialmente em r (u 0,v 0 ) percorre ao longo da curva- v uma distância aproximadamente igual a r v (u 0,v 0 ) 4v. Assim, um retângulo K uv em K, de área 4u4v, é levado por r numa porção S uv em S cuja área é aproximadamente igual a área do paralelogramo formado pelos vetores r u (u 0,v 0 ) 4u e r v (u 0,v 0 ) 4v, isto é, a área de S uv é aproximadamente igual a r u (u 0,v 0 ) r v (u 0,v 0 ) 4u4v = kn (u, v)k4u4v. (3.1) Deste modo podemos concluir que: 1. A grandeza de N (u, v) pode ser considerado como um fator de ampliação de área..nospontosemquen (u, v) se anula, o paralelogramo se degenera num ponto ou numa curva. 3. NospontosemqueN (u, v) não se anula, os vetores derivadas parciais de r geram um plano que tem N (u, v) como vetor normal. Este plano é o plano tangente à S no ponto r (u, v). 4. Se N (u, v) não se anula em nenhum ponto, a continuidade das derivadas parciais de r implica em que o plano tangente varia continuamente em S. Isto evita a ocorrência de arestas em S e a não existência de casos degenerados. Definição 3.11 Sejam K R fechado e limitado com K 0 6= φ e S = r (K) uma superfície dada por r (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)). 1. Se (u, v) K 0 étalquen (u, v) 6= 0, r/ u e r/ v são contínuas em (u, v), dizemos que o ponto r (u, v) éumponto regular de S.
9 3.. O PRODUTO VETORIAL FUNDAMENTAL 113. Dizemos que um ponto r (u, v) é ponto singular quando não é ponto regular. 3. Dizemos que S é uma superfície regular ou r é uma parametrização regular quando todos os pontos de S são regulares. 4. Dizemos que S éumasuperfície simples quando r éumaaplicaçãoinjetiva. Exemplo 3.1 Sejam K R um conjunto fechado e limitado com K 0 6= φ e f : K R com f C 1 (K 0 ). Ográfico de f é a superfície S que tem a representação paramétrica r (x, y) =(x, y, f (x, y)), (x, y) K. Temos que S é uma superfície simples e para (x, y) K 0 : µ r (x, y) = 1, 0, f (x, y) x x e r µ (x, y) = 0, 1, f (x, y), y y logo N (x, y) = µ f (x, y), f (x, y), 1. x y Como f C 1 (K 0 ) segue que S éumasuperfícieregular. Exemplo 3.13 Seja S dada explicitamente por z =1 x,x 0, y 0, x+ y 1. Uma parametrização de S é r (x, y) = x, y, 1 x, (x, y) K : x 0, y 0, x+ y 1. Assim S é uma superfície regular e simples com N (x, y) =(x, 0, 1), (x, y) K 0. Para determinar o plano α tangente à S no ponto A =(1/3, 1/3, 8/9) observamos que A = r (1/3, 1/3) e N (1/3, 1/3) = (/3, 0, 1), logo a equação de α é ou seja µ x 1 3,y 1 3,z 8 µ À, 9 3, 0, 1 =0, 6x +9z 10 = 0.
10 114 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES Exemplo 3.14 Por S+ representamos a semi-esfera unitária superior centrada na origem que pode ser parametrizada por r (x, y) = ³x, y, p 1 x y, (x, y) K : x + y 1. Vemos que S+ é uma superfície regular, simples com Ã! x N (x, y) = p 1 x y, y p 1 x y, 1, (x, y) K 0. Exemplo 3.15 Podemos usar coordenadas esféricas para parametrizar S +,ouseja Temos r (u, v) =(cosu cos v, sen u cos v, sen v), (u, v) K :0 u π, 0 v π/. N (u, v) =cosvr(u, v), (u, v) K 0. Observamos que com esta parametrização S+ é uma superfície regular mas não é uma superfície simples uma vez que ³ n π o r [0, π] =(0, 0, 1), eportantor não é injetiva.
11 3.3. ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE Área de uma superfície Definição 3.16 Seja K R um subconjunto fechado e limitado. Dizemos que o campo vetorial r : K R 3 é de classe C 1 em K quando existem um subconjunto aberto D R e um campo vetorial σ : D R 3 de classe C 1 em D, talqueσ K = r. A aplicação σ é chamada uma extensão de classe C 1 de r. Exemplo 3.17 Seja r (x, y) =(x, y, 1 x ), (x, y) K : x 0, y 0, x+ y 1. Se σ : D = R R 3,σ(x, y) =(x, y, 1 x ). Temos σ C 1 (D) e σ K = r. Logo r C 1 (K). Exemplo 3.18 Seja r (x, y) = ³x, y, p 1 x y, (x, y) K : x + y 1. Vemos que as derivadas parciais de r não estão definidas nos pontos (x, y) K : x + y =1. Logo não pode existir uma extensão de classe C 1 de r. Assim r/ C 1 (K). Daqui em diante, a menos que se diga o contrário, K denotará um subconjunto fechado e limitado com K 0 6= φ do R com interior não vazio. Seja S = r (K), uma superfície regular dada por r (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)), (u, v) K. Consideremos uma partição de K em sub-retângulos K ij =[u i 1,u i ] [v j 1,v j ],i=1,,..., n, j =1,,.., m. com área igual a 4u i 4v j =(u i u i 1 )(v j v j 1 ). Como consequência de (3.1), cada K ij é levado por r numa porção S ij de S, cujaárea, a (S ij ), é aproximadamente igual a N u i,vj 4u i 4v j, u i,vj K 0 ij. (3.) Deste modo vemos que a área de S é aproximadamente igual a nx i=1 Isto nos leva à seguinte definição. mx N u i,vj 4u i 4v j. j=1
12 116 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES Definição 3.19 Seja S = r (K) uma superfície regular com r C 1 (K), dada por r (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)), (u, v) K. Se N (u, v) = r r (u, v) (u, v), definimos a área de S como sendo u v ZZ a (S) = kn (u, v)k dudv. Nota 3.0 Nas condições da Definição 3.19 temos ZZ a (S) = K K # 1/ " (y, z) (z,x) (x, y) (u, v) + (u, v) + (u, v) dudv (u, v) (u, v) (u, v) Nota 3.1 Quando S é dada por z = f (x, y), (x, y) K, comf C 1 (K), temos ZZ a (S) = K " 1+ µ µ # 1/ f f (x, y) + (x, y) dxdy. x y Nota 3. Seja S como na Nota 3.1. Se denotarmos por θ (x, y) o ângulo entre o versor k =(0, 0, 1) eovetorn (x, y), normal à S, temos cos θ (x, y) = 1 kn (x, y)k, portanto ZZ a (S) = K 1 cos θ (x, y) dxdy. Nota 3.3 Se S é uma superfície situada num plano não perpendicular ao plano xoy, temos a (K) =a (S)cosθ. Esta equação, chamada princípio do cosseno para áreas generaliza o caso em que S éumretângulo. Exemplo 3.4 DeterminemosaáreadasuperfícieS dada por r (u, v) =(u, v, 1 u v), (u, v) K : u 0, v 0, u+ v 1. Como r C 1 (K) e N (u, v) =(1, 1, 1) segue ZZ Z 1 a (S) = 3 dudv = 3 Z 1 u K u=0 v=0 dudv = 3.
13 3.3. ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE 117 Exemplo 3.5 DeterminemosaáreadasuperfícieS do cilindro x + z =16(z 0) limitada pelos planos x =0,x=,y=0e y =3. Temos S parametrizada por r (x, y) = ³x, y, 16 x, (x, y) K =[0, ] [0, 3]. Vemos que r C 1 (K) e µ x N (x, y) =, 0, 1, 16 x logo ZZ a (S) = K Z 4 3 dxdy = 16 x y=0 Z x= x dxdy =π. Exemplo 3.6 Área de uma superfície de revolução: Seja f :[a, b] R com f C 1 ([a, b]) e f (x) > 0 para todo x [a, b]. Se S é a superfície de revolução obtida ao girarmos o gráfico de f emtornodoeixoox, determinemos a área de S. Dados os pontos P =(x, y, z) e A =(x, 0, 0). Temos P S kap k = f (x) y + z =[f (x)]. Assim podemos parametrizar S por r (x, u) =(x, f (x)cosu, f (x)senu),a x b, 0 u π. O produto vetorial fundamental é N (x, u) =f (x) (f 0 (x), cos u, sen u), logo Z b q a (S) =π f (x) 1+[f 0 (x)] dx. (3.3) x=a
14 118 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES Exemplo 3.7 Determinemos a área de S dada por 1. Se f (x) =x, temos y + z 4x =0, 0 x. y + z =[f (x)], 0 x. Não podemos usar diretamente a fórmula em (3.3) pois f se anula em x =0. No entanto, podemos usar um processo de limite. Consideramos x a > 0, e tomamos o limite quando a 0. Assim Z a (S) = lim π x 5 dx =8 5π. a 0 x=a. Observando que S também pode ser parametrizada por Ãp! y + z r (y, z) =,y,z, (y, z) K : y + z 16, vemos que r/ C 1 (K) uma vez que Ã! y N (y, z) = 1, p y + z, z p, y + z não está definido para (y, z) =(0, 0). Novamente, podemos usar um processo de limite. No lugar de K consideramos e depois fazemos a 0. Assim D :0<a y + z 16, a (S) = lim kn (y, z)k dydz =8 a 0 ZZD 5π.
LISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO).
LISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO. PROFESSOR: RICARDO SÁ EARP OBS: Faça os exercícios sobre
Leia maisAula 16 Mudança de Variável em Integrais Múltiplas
Aula 16 Mudança de Variável em Integrais Múltiplas MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade
Leia mais3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1
1 3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1 3.3.1 Sistema de Coordenadas Tridimensionais Como vimos no caso do R, para localizar um ponto no plano precisamos de duas informações e assim um ponto P
Leia maisExercícios resolvidos P2
Exercícios resolvidos P Questão 1 Dena as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente, por sinh(t) = et e t e cosh(t) = et + e t. (1) 1. Verique que estas funções satisfazem a seguinte
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL Professora Salete Souza de Oliveira Aluna Thais Silva de Araujo P1 Turma
Leia maisMAT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 13.11.
MT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - tualizado 13.11.2012 1. Segunda-feira, 30 de julho de 2012 presentação do curso. www.ime.usp.br/
Leia maisCÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ
CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA Departamento de Análise - IME UERJ 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total 3
Leia maisObjetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e
MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas
Leia mais4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r
94 4. Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u v (ou u v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes,
Leia maisAula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente
Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual
Leia maisIBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =
Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo
Leia maisA abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y
5 Taxa de Variação Neste capítulo faremos uso da derivada para resolver certos tipos de problemas relacionados com algumas aplicações físicas e geométricas. Nessas aplicações nem sempre as funções envolvidas
Leia maisDefinição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).
PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx
Leia maisPARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma
Leia mais1 Módulo ou norma de um vetor
Álgebra Linear I - Aula 3-2005.2 Roteiro 1 Módulo ou norma de um vetor A norma ou módulo do vetor ū = (u 1, u 2, u 3 ) de R 3 é ū = u 2 1 + u2 2 + u2 3. Geometricamente a fórmula significa que o módulo
Leia maisAula 7 Valores Máximo e Mínimo (e Pontos de Sela)
Aula 7 Valores Máximo e Mínimo (e Pontos de Sela) MA - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual
Leia maisRotação de um corpo rígido e as equações de Euler
Rotação de um corpo rígido e as equações de Euler As componentes u x, u y e u z de um vetor u podem ser escritas em termos de produtos escalares entre u e os versores da base x, ŷ e ẑ, u x = x u, e Como
Leia mais4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. cos (1=t), para 0 < t 1 e y 0 (0) = 0. Sendo esta derivada
4.1 Curvas Regulares 4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. (a) ~r (t) = t~i + (1 t)~j; 0 t 1 (b) ~r (t) = 2t~i + t 2 ~j; 1 t 0 (c) ~r (t) = (1=t)~i + t~j; 1 t
Leia maisCapítulo 5: Aplicações da Derivada
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f
Leia mais1.1 Domínios e Regiões
1.1 Domínios e Regiões 1.1A Esboce o conjunto R do plano R 2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classi que R em: aberto, fechado, itado, compacto, ou conexo. (a) R = (x; y) 2 R 2 ; jxj 1; 0 y (b) R
Leia maisSoluções abreviadas de alguns exercícios
Tópicos de cálculo para funções de várias variáveis Soluções abreviadas de alguns exercícios Instituto Superior de Agronomia - 2 - Capítulo Tópicos de cálculo diferencial. Domínio, curva de nível e gráfico.
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática 3 a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 241
Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 41 1. Calcule, se existirem, as derivadas parciais f f (0, 0) e (0, 0) sendo: x + 4 (a) f(x, ) = x,
Leia mais4. Curvas planas. T = κn, N = κt, B = 0.
4. CURVAS PLANAS 35 4. Curvas planas Nesta secção veremos que no caso planar é possível refinar a definição de curvatura, de modo a dar-lhe uma interpretação geométrica interessante. Provaremos ainda o
Leia maisMAT2454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II
MAT454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II a Lista de Exercícios -. Ache os pontos do hiperboloide x y + z = onde a reta normal é paralela à reta que une os pontos (,, ) e (5,, 6).. Encontre
Leia maisJá vimos que a energia gravitacional entre duas partículas de massas m 1 e m 2, com vetores posição em r 1 e r 2, respectivamente, é dada por
Força conservativa Já vimos que a energia gravitacional entre duas partículas de massas m 1 e m 2, com vetores posição em r 1 e r 2, respectivamente, é dada por U 12 = Gm 1m 2 r 2 r 1. Vimos também que
Leia mais4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos
Capítulo 4 Funções de duas variáveis 4.1 Funções de varias variáveis - Definição e eemplos Definição 1: Chamamos de função real com n variáveis a uma função do tipo f : D R com D R n = R R. Ou seja, uma
Leia maisRESUMO 2 - FÍSICA III
RESUMO 2 - FÍSICA III CAMPO ELÉTRICO Assim como a Terra tem um campo gravitacional, uma carga Q também tem um campo que pode influenciar as cargas de prova q nele colocadas. E usando esta analogia, podemos
Leia maisUniversidade Federal da Bahia
Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática DISCIPLINA: CALCULO B UNIDADE III - LISTA DE EXERCÍCIOS Atualizado 2008.2 Domínio, Imagem e Curvas/Superfícies de Nível y2 è [1] Determine o domínio
Leia maisCEFET/RJ - Cálculo a Várias Variáveis Professor: Roberto Thomé e-mail: rthome@cefet-rj.br homepage: www.rcthome.pro.br LISTA DE EXERCÍCIOS 01
CEFET/RJ - Cálculo a Várias Variáveis Professor: Roberto Thomé e-mail: rthome@cefet-rj.br homepage: www.rcthome.pro.br LISTA DE EXERCÍCIOS 01 1) Seja f = 36 9x 2 4y 2. Então : (a) Calcule f, f(2, 0) e
Leia maisMA211 - Lista 09. Coordenadas Esféricas e Mudança de Variáveis 7 de outubro de 2015
MA2 - Lista 9 Coordenadas sféricas e Mudança de Variáveis 7 de outubro de 25. Marque o ponto cujas coordenadas esféricas é (,, ) e encontre as coordenadas retangulares do ponto. 2. Mude o ponto (, 3, 2
Leia maisPonto, reta e plano no espaço tridimensional, cont.
Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Matemática para arquitetura Ton Marar 1. Posições relativas Posição relativa entre pontos Dois pontos estão sempre alinhados. Três pontos P 1 = (x 1,
Leia maisII Cálculo Integral em R n
Análise Matemática II Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de omputadores Ano Lectivo 2/22 2 o emestre Exercícios propostos para as aulas práticas II álculo Integral em R n Departamento de
Leia maisÁlgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios
FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Engenharia de Produção Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária
Leia maisCálculo Diferencial e Integral III - EAD. Professor Paulo Cupertino de Lima
Cálculo Diferencial e Integral III - EAD Professor Paulo Cupertino de Lima Sumário Sumário i 0.1 Apresentação do livro............................. v 1 Revisão: retas, planos, superfícies cilíndricas
Leia maisResumo com exercícios resolvidos do assunto: Funções de duas ou mais variáveis.
www.engenhariafacil.weebly.com Resumo com exercícios resolvidos do assunto: (I) (II) (III) Funções de duas ou mais variáveis; Limites; Continuidade. (I) Funções de duas ou mais variáveis. No Cálculo I
Leia maisAPLICAÇÕES DA DERIVADA
Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,
Leia maisComplementos de Análise Matemática
Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Departamento: Matemática Ficha prática n o 1 - Cálculo Diferencial em IR n 1. Para cada um dos seguintes subconjuntos de IR, IR 2 e IR 3, determine
Leia maisO Teorema da Função Inversa e da Função Implícita
Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit O Teorema da Função Inversa
Leia maisVetores. Definição geométrica de vetores
Vetores Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, olume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma ez que a magnitude (intensidade) é dada. Tais grandezas são
Leia mais1.1 Domínios e Regiões
1.1 Domínios e Regiões 1.1A Esboce a região R do plano R 2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classi que R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C). (a) R = (x; y) 2 R
Leia maisCapítulo 7 Conservação de Energia
Função de mais de uma variável: Capítulo 7 Conservação de Energia Que para acréscimos pequenos escrevemos Onde usamos o símbolo da derivada parcial: significa derivar U parcialmente em relação a x, mantendo
Leia maisUniversidade Federal do Paraná
Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matematica Prof. Juan Carlos Vila Bravo Curitiba, 1 de Dezembro de 005 1. A posição de uma particula é dada por: r(t) = (sen t)i+(cost)j
Leia maisLista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT 1153-2006.1
Lista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT 1153-2006.1 1. Fazer exercícios 1, 4, 5, 7, 8, 9 da seção 8.4.4 pgs 186, 187 do livro
Leia maisMATEMÁTICA I AULA 07: TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO TÓPICO 02: CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO Este tópico tem o objetivo de mostrar como a derivada pode ser usada
Leia mais9. Derivadas de ordem superior
9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de
Leia mais1. Extremos de uma função
Máximo e Mínimo de Funções de Várias Variáveis 1. Extremos de uma função Def: Máximo Absoluto, mínimo absoluto Seja f : D R R função (i) Dizemos que f assume um máximo absoluto (ou simplesmente um máximo)
Leia mais12. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 12.1 FUNÇÕES INJETORAS. Definição
90 1. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 1.1 FUNÇÕES INJETORAS Definição Dizemos que uma função f: A B é injetora quando para quaisquer elementos x 1 e x de A, f(x 1 ) = f(x ) implica x 1 = x. Em
Leia maisCAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO
CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO Ricardo Bianconi Primeiro Semestre de 2008 Revisado em Fevereiro de 2015 Resumo Relacionamos os conceitos de campos irrotacionais, campos conservativos e forma do domínio
Leia maisUFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam. Lista 1. Curvas
UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam Lista 1 Curvas 1. Desenhe as imagens das seguintes curvas: (a) γ(t) = (1, t) (b) γ(t) = (cos
Leia maisNotas para um curso de Cálculo 1 Duilio T. da Conceição
Notas para um curso de Cálculo 1 Duilio T. da Conceição 1 2 Sumário 1 WOLFRAM ALPHA 5 1.1 Digitando Fórmulas e Expressões Matemáticas......... 6 1.1.1 Expoentes......................... 6 1.1.2 Multiplicação.......................
Leia maisI. Cálculo Diferencial em R n
Análise Matemática II Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Ano Lectivo 2010/2011 2 o Semestre Exercícios propostos para as aulas práticas I. Cálculo Diferencial em R n Departamento
Leia maisGeometria Analítica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici
8 C U RVA S 8.1 parametrização de curvas No Capítulo 3 estudamos as equações de uma reta no espaço e vimos que tal entidade geométrica pode ser representada pelas equações paramétricas: x r : z = a+v 1
Leia mais6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D
6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D Até agora estudamos e implementamos um conjunto de ferramentas básicas que nos permitem modelar, ou representar objetos bi-dimensionais em um sistema também
Leia mais3.6 O Teorema de Stokes
18 CAPÍTULO 3. INTEGRAI DE UPERFÍCIE 3.6 O Teorema de tokes Definição 3.41 eja K R um conjunto fechado e limitado, com interior não vazio, cuja fronteira K é uma curva fechada, simples e regular ou regular
Leia maisProdutos. 4.1 Produtos escalares
Capítulo 4 Produtos 4.1 Produtos escalares Neste tópico iremos estudar um novo tipo de operação entre vetores do plano e do espaço. Vamos fazer inicialmente uma consideração geométrica, como segue. Seja
Leia mais3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (parte segunda)
3.4-17 3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (parte segunda) 3.4.4 Mais exemplos sobre curvas no espaço. No parágrafo anterior discutimos os elementos que entram na descrição de uma trajetória
Leia maisAula 18 Elipse. Objetivos
MÓDULO 1 - AULA 18 Aula 18 Elipse Objetivos Descrever a elipse como um lugar geométrico. Determinar a equação reduzida da elipse no sistema de coordenadas com origem no ponto médio entre os focos e eixo
Leia maisSeja D R. Uma função vetorial r(t) com domínio D é uma correspondência que associa a cada número t em D exatamente um vetor r(t) em R 3
1 Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire Cálculo Vetorial Texto 01: Funções Vetoriais Até agora nos cursos de Cálculo só tratamos de funções cujas imagens
Leia maisUnidade: Vetores e Forças. Unidade I:
Unidade I: 0 Unidade: Vetores e Forças 2.VETORES 2.1 Introdução Os vetores são definidos como entes matemáticos que dão noção de intensidade, direção e sentido. De forma prática, o conceito de vetor pode
Leia mais5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 15
Ondas (continuação) Ondas propagando-se em uma dimensão Vamos agora estudar propagação de ondas. Vamos considerar o caso simples de ondas transversais propagando-se ao longo da direção x, como o caso de
Leia maisCálculo em Computadores - 2007 - trajectórias 1. Trajectórias Planas. 1 Trajectórias. 4.3 exercícios... 6. 4 Coordenadas polares 5
Cálculo em Computadores - 2007 - trajectórias Trajectórias Planas Índice Trajectórias. exercícios............................................... 2 2 Velocidade, pontos regulares e singulares 2 2. exercícios...............................................
Leia maisNúmeros Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo
Capítulo 1 Números Complexos 11 Unidade Imaginária O fato da equação x 2 + 1 = 0 (11) não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos Para solucionar (11) denimos a unidade
Leia mais4. Tangentes e normais; orientabilidade
4. TANGENTES E NORMAIS; ORIENTABILIDADE 91 4. Tangentes e normais; orientabilidade Uma maneira natural de estudar uma superfície S consiste em considerar curvas γ cujas imagens estão contidas em S. Se
Leia maisMAT 2455 - Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia 1 ā Prova - 1o semestre de 2005
MAT 4 - Cálculo iferencial e Integral III para Engenharia ā Prova - o semestre de Questão. Calcule: (,- ). (a) (. pontos) (b) (. pontos) x e + d dx (x + ) (x ) dx d, onde é o triângulo de vértices (,),
Leia maisLista 4. 2 de junho de 2014
Lista 4 2 de junho de 24 Seção 5.. (a) Estime a área do gráfico de f(x) = cos x de x = até x = π/2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce os gráficos e os retângulos. Sua
Leia maisMudança de Coordenadas
Mudança de Coordenadas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi regi@mat.ufmg.br 13 de deembro de 2001 1 Rotação e Translação
Leia maisEsboço de Gráficos (resumo)
Esboço de Gráficos (resumo) 1 Máximos e Mínimos Definição: Diz-se que uma função tem um valor máximo relativo (máximo local) em c se existe um intervalo ( a, b) aberto contendo c tal que f ( c) f ( x)
Leia maisGAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar
GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,
Leia maisResolução dos Exercícios sobre Derivadas
Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas
Leia maisCINEMÁTICA - É a parte da mecânica que estuda os vários tipos de movimento, sem se preocupar com as causas destes movimentos.
INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA REPOUSO OU MOVIMENTO? DEPENDE DO REFERENCIAL! CINEMÁTICA - É a parte da mecânica que estuda os vários tipos de movimento, sem se preocupar com as causas destes movimentos. REFERENCIAL.
Leia maisMovimentos Periódicos: representação vetorial
Aula 5 00 Movimentos Periódicos: representação vetorial A experiência mostra que uma das maneiras mais úteis de descrever o movimento harmônico simples é representando-o como uma projeção perpendicular
Leia maisIBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 4
Lei de Gauss Considere uma distribuição arbitrária de cargas ou um corpo carregado no espaço. Imagine agora uma superfície fechada qualquer envolvendo essa distribuição ou corpo. A superfície é imaginária,
Leia mais3.5 Outras notações para integrais de superfícies
3.5. OUTRA NOTAÇÕE PARA INTEGRAI DE UPERFÍCIE 13 3.5 Outras notações ara integrais de suerfícies eja F : D R 3 R 3 um camo vetorial contínuo com F (x, y, z) (P (x, y, z),q(x, y, z),r(x, y, z)). eja r ()
Leia maisConsequências Interessantes da Continuidade
Consequências Interessantes da Continuidade Frederico Reis Marques de Brito Resumo Trataremos aqui de um dos conceitos basilares da Matemática, o da continuidade no âmbito de funções f : R R, mostrando
Leia maisVestibular1 A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br. Cinemática escalar
Cinemática escalar A cinemática escalar considera apenas o aspecto escalar das grandezas físicas envolvidas. Ex. A grandeza física velocidade não pode ser definida apenas por seu valor numérico e por sua
Leia maisExercícios Resolvidos Integrais de Linha. Teorema de Green
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Exercícios Resolvidos Integrais de Linha. Teorema de Green Exercício 1 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo
Leia maisINTEGRAIS MÚLTIPLAS. [a, b] e [c, d], respectivamente. O conjunto P = {(x i, y j ) i = 0,..., n, j = i=1
Teoria INTEGRAIS MÚLTIPLAS Integral Dupla: Seja o retângulo R = {(x, y) R a x b, c y d} e a = x 0 < x 1
Leia maisTransformada de Hough. Cleber Pivetta Gustavo Mantovani Felipe Zottis
Transformada de Hough Cleber Pivetta Gustavo Mantovani Felipe Zottis A Transformada de Hough foi desenvolvida por Paul Hough em 1962 e patenteada pela IBM. Originalmente, foi elaborada para detectar características
Leia maisNotas de Aulas de Cálculo III. Prof. Sandro Rodrigues Mazorche. Turmas: A e C
Notas de Aulas de Cálculo III Prof. Sandro Rodrigues Mazorche 1 o semestre de 2015 Turmas: A e C Capítulo 4: Campos Escalares e Vetoriais Campo Escalar: Seja D uma região no espaço tridimensional e seja
Leia maisDepartamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.
Leia maisAPOSTILA TECNOLOGIA MECANICA
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE POMPEIA CURSO TECNOLOGIA EM MECANIZAÇÃO EM AGRICULTURA DE PRECISÃO APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA Autor: Carlos Safreire Daniel Ramos Leandro Ferneta Lorival Panuto Patrícia de
Leia maisMatemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência
Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: ircunferência p. (Uneb-A) A condição para que a equação 6 m 9 represente uma circunferência é: a), m, ou, m, c) < m < e), m, ou,
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...
Leia maisIBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3
Linhas de Força Mencionamos na aula passada que o físico inglês Michael Faraday (79-867) introduziu o conceito de linha de força para visualizar a interação elétrica entre duas cargas. Para Faraday, as
Leia mais(x, y) = (a, b) + t*(c-a, d-b) ou: x = a + t*(c-a) y = b + t*(d-b)
Equação Vetorial da Reta Dois pontos P e Q, definem um único vetor v = PQ, que representa uma direção. Todo ponto R cuja direção PR seja a mesma de PQ está contido na mesma reta definida pelos pontos P
Leia maisINTRODUÇÃO O sistema de coordenadas ao qual estamos acostumados é o sistema de coordenadas
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 17 ESTUDO DAS CÔNICAS USANDO COORDENADAS POLARES Tiago Santos Arruda 1, Bruno Rogério Locatelli dos Santos, Eugenia
Leia mais3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (terça parte)
3.4-41 3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (terça parte) Antes de começar com a nova matéria, vamos considerar um problema sobre o material recentemente visto. Problema: (Projeção de uma trajetória
Leia maisFEUSP- SEMINÁRIOS DE ENSINO DE MATEMÁTICA-1º semestre/2008 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA ESCOLA BÁSICA: POSSÍVEL E NECESSÁRIO
1 FEUSP- SEMINÁRIOS DE ENSINO DE MATEMÁTICA-1º semestre/008 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA ESCOLA BÁSICA: POSSÍVEL E NECESSÁRIO Nílson José Machado njmachad@usp.br Sempre que pensamos em grandezas que
Leia mais6. Aplicações da Derivada
6 Aplicações da Derivada 6 Retas tangentes e normais - eemplos Encontre a equação da reta tangente e da normal ao gráfico de f () e, em 0 Represente geometricamente Solução: Sabemos que a equação da reta
Leia mais2.2 Subespaços Vetoriais
32 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 2.2 Subespaços Vetoriais Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subconjunto de V. Dizemos que W é um subespaço (vetorial) de V se as seguintes condições são satisfeitas:
Leia mais1 Propriedades das Funções Contínuas 2
Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005 Sumário 1 Propriedades das Funções Contínuas 2 2 Continuidade 2 3 Propriedades 3 4 Continuidade Uniforme 9 5 Exercício 10 1 1 PROPRIEDADES
Leia maisNesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão.
Capítulo 8 Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. 1. Exemplos de revisão Exemplo 1 Ache a equação do círculo C circunscrito ao triângulo de vértices A = (7, 3), B = (1, 9) e C = (5, 7).
Leia mais(3) Fazer os seguintes exercícios do livro texto. Exercs da seção : 1(d), 1(f), 1(h), 1(i), 1(j). 2(b), 2(d)
LISTA DE EXECÍCIOS DE GEOMETIA NO PLANO E NO ESPAÇO E INTEGAIS DUPLAS POFESSO: ICADO SÁ EAP (1) Fazer os seguintes exercícios do livro texto. Exercs da seção 1.1.4: 1(d), 1(f), 1(h), 1(i), 1(j). 2(b),
Leia maisEscola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota:
Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota: Questão 1 (OBMEP RJ) Num triângulo retângulo, definimos o cosseno de seus ângulos agudos O triângulo retângulo da figura
Leia maisO coeficiente angular
A UA UL LA O coeficiente angular Introdução O coeficiente angular de uma reta já apareceu na Aula 30. Agora, com os conhecimentos obtidos nas Aulas 40 e 45, vamos explorar mais esse conceito e descobrir
Leia maisModelos de Iluminação
C A P Í T U L O 4 Modelos de Iluminação Um modelo de iluminação é um conjunto de equações que determinam quantitativamente qual é a cor sobre um ponto da superfície de um objeto em função das propriedades
Leia maisAs assíntotas são retas que passam no centro da hipérbole e tem coeficiente angular m = b / a e m = b / a, logo temos:
Exercício 01. Dada à hipérbole de equação 5x 2 4y 2 20x 8y 4 = 0 determine os focos e as equações das assintotas. Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x 2 4x + 4 4] 4[y 2 + 2y + 1]
Leia maisVetores no R 2 : = OP e escreve-se: v = (x, y), identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v.
Vetores no R 2 : O conjunto R 2 = R x R = {(x, y) / x, y Є R} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xoy. Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante OP
Leia maisUFPR_VESTIBULAR _2004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA
UFR_VESTIBULAR _004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO OR ROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA QUESTÃO Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços,
Leia maisRetas e Planos. Equação Paramétrica da Reta no Espaço
Retas e lanos Equações de Retas Equação aramétrica da Reta no Espaço Considere o espaço ambiente como o espaço tridimensional Um vetor v = (a, b, c) determina uma direção no espaço Dado um ponto 0 = (x
Leia mais