Intuitivamente, podemos pensar numa superfície no espaço como sendo um objeto bidimensional. Existem outros modos de se representar uma superfície:

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Intuitivamente, podemos pensar numa superfície no espaço como sendo um objeto bidimensional. Existem outros modos de se representar uma superfície:"

Transcrição

1 Capítulo 3 Integrais de superfícies 3.1 Superfícies no espaço Definição 3.1 Uma superfície S no espaço é definida como sendo a imagem de uma aplicação contínua r : K R R 3, (u, v) K 7 r (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)) R 3,onde K é um subconjunto fechado e limitado (um compacto) do R, com K 0 6= φ. A aplicação r é chamada representação paramétrica (parametrização) de S ou representação vetorial de S. Intuitivamente, podemos pensar numa superfície no espaço como sendo um objeto bidimensional. Existem outros modos de se representar uma superfície: 1. Representação explícita: Uma superfície S pode ser dada por uma ou mais equações da forma z = f (x, y), (x, y) K R, onde K é um conjunto fechado e limitado com K 0 6= φ e f : K R écontínua. Uma representação paramétrica, neste caso, pode ser r (x, y) =(x, y, f (x, y)), (x, y) K.. Representação implícita: Uma superfície S pode ser dada por uma equação da forma F (x, y, z) =0, onde F : D R 3 R. Neste caso, o Teorema da função implícita garante, que sob certas condições, podemos definir localmente uma das variáveis como função das outras duas. Por exemplo se z = z (x, y) para (x, y) V, então obtemos uma representação paramétrica da forma r (x, y) =(x, y, z (x, y)), (x, y) V. Exemplo 3. Seja S aesferacentradanaorigemeraioc>0. Temos 105

2 106 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES 1. Representação implícita: x + y + z = c.. Representação explícita: z = ± p c x y,x + y c 3. Representação paramétrica: usando coordenadas esféricas x = c cos u cos v, y = c sen u cos v, z = c sen v temos para 0 u π, π/ v π/, r (u, v) =(c cos u cos v, c sen u cos v, c sen v). Exemplo 3.3 Se S éocone Temos:

3 3.1. SUPERFÍCIES NO ESPAÇO Representação paramétrica: Sejam 0 v h, 0 u π e φ = c fixado com 0 <c<π/, logo r (u, v) =(v cos u sen φ, v sin u sen φ, v cos φ).. Representação explícita: 3. Representação implícita: z = 1 p x + y tan φ. x + y z tan φ =0. Exemplo 3.4 Se S éocilindro Temos 1. Representação paramétrica: para 0 u π e h v h r (u, v) =( c cos u, c sen u, v).. Representação implícita: x + y = c. 3. Representação explícita: x = ± p c y, c y c.

4 108 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES Exemplo 3.5 Se S é o elipsóide Temos 1. Representação implícita: x a + y b + z c =1.. Representação explícita: r z = ±c 1 x a y b, x a + y b Representação paramétrica: para 0 u π e 0 v π r (u, v) =(a cos u sen v, b sen u sen v, c cos v). Exemplo 3.6 Se S é o hiperbolóide de uma folha:

5 3.1. SUPERFÍCIES NO ESPAÇO Representação implícita: x a + y b z c =1.. Representação explícita: z = ±c r x a + y b 1, x a + y b Representação paramétrica: para 0 u π e v R, r (u, v) =(a cos u cosh v, b sen u cosh v, c senh v). Exemplo 3.7 Hiperbolóide de duas folhas: 1. Representação implícita: x a y b + z c =1.. Representação explícita: r z = ±c 1+ y b + x a. Exemplo 3.8 Parabolóide hiperbólico:

6 110 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES 1. Representação implícita: y b x a = z c.

7 3.. O PRODUTO VETORIAL FUNDAMENTAL O produto vetorial fundamental Sejam K R fechado e limitado com interior não vazio e S uma superfície dada por r (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)), (u, v) K. Se r é diferenciável em (u, v) K 0, podemos considerar os vetores derivadas parciais µ r x y z (u, v) = (u, v), (u, v), (u, v), u µ u u u r x y z (u, v) = (u, v), (u, v), (u, v). v v v v Definição 3.9 Nas condições acima, definimos o produto vetorial fundamental de r como sendo o vetor N (u, v) = r µ r (y, z) (z, x) (x, y) (u, v) (u, v) = (u, v), (u, v), (u, v). u v (u, v) (u, v) (u, v) Nota 3.10 Vejamos o significado geométrico de N (u, v) : Consideremos em K um segmento de reta horizontal (u, v 0 ),u 0 u u 0 + 4u. Sua imagem por r é uma curva, curva- u, em S parametrizada por r (u, v 0 )=(x (u, v 0 ),y(u, v 0 ),z(u, v 0 )),u 0 u u 0 + 4u, com vetor velocidade em u = u 0 dado por r u (u 0,v 0 )= µ x u (u 0,v 0 ), y u (u 0,v 0 ), z u (u 0,v 0 ).

8 11 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES Enquanto u varia de u 0 até u 0 + 4u, um ponto incialmente em r (u 0,v 0 ), percorre ao longodacurva-u uma distância aproximadamente igual a r u (u 0,v 0 ) 4u. Analogamente, um segmento vertical u = u 0,v 0 v v 0 + 4v, temcomoimagemems acurva-v dada por r (u 0,v). Um ponto inicialmente em r (u 0,v 0 ) percorre ao longo da curva- v uma distância aproximadamente igual a r v (u 0,v 0 ) 4v. Assim, um retângulo K uv em K, de área 4u4v, é levado por r numa porção S uv em S cuja área é aproximadamente igual a área do paralelogramo formado pelos vetores r u (u 0,v 0 ) 4u e r v (u 0,v 0 ) 4v, isto é, a área de S uv é aproximadamente igual a r u (u 0,v 0 ) r v (u 0,v 0 ) 4u4v = kn (u, v)k4u4v. (3.1) Deste modo podemos concluir que: 1. A grandeza de N (u, v) pode ser considerado como um fator de ampliação de área..nospontosemquen (u, v) se anula, o paralelogramo se degenera num ponto ou numa curva. 3. NospontosemqueN (u, v) não se anula, os vetores derivadas parciais de r geram um plano que tem N (u, v) como vetor normal. Este plano é o plano tangente à S no ponto r (u, v). 4. Se N (u, v) não se anula em nenhum ponto, a continuidade das derivadas parciais de r implica em que o plano tangente varia continuamente em S. Isto evita a ocorrência de arestas em S e a não existência de casos degenerados. Definição 3.11 Sejam K R fechado e limitado com K 0 6= φ e S = r (K) uma superfície dada por r (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)). 1. Se (u, v) K 0 étalquen (u, v) 6= 0, r/ u e r/ v são contínuas em (u, v), dizemos que o ponto r (u, v) éumponto regular de S.

9 3.. O PRODUTO VETORIAL FUNDAMENTAL 113. Dizemos que um ponto r (u, v) é ponto singular quando não é ponto regular. 3. Dizemos que S é uma superfície regular ou r é uma parametrização regular quando todos os pontos de S são regulares. 4. Dizemos que S éumasuperfície simples quando r éumaaplicaçãoinjetiva. Exemplo 3.1 Sejam K R um conjunto fechado e limitado com K 0 6= φ e f : K R com f C 1 (K 0 ). Ográfico de f é a superfície S que tem a representação paramétrica r (x, y) =(x, y, f (x, y)), (x, y) K. Temos que S é uma superfície simples e para (x, y) K 0 : µ r (x, y) = 1, 0, f (x, y) x x e r µ (x, y) = 0, 1, f (x, y), y y logo N (x, y) = µ f (x, y), f (x, y), 1. x y Como f C 1 (K 0 ) segue que S éumasuperfícieregular. Exemplo 3.13 Seja S dada explicitamente por z =1 x,x 0, y 0, x+ y 1. Uma parametrização de S é r (x, y) = x, y, 1 x, (x, y) K : x 0, y 0, x+ y 1. Assim S é uma superfície regular e simples com N (x, y) =(x, 0, 1), (x, y) K 0. Para determinar o plano α tangente à S no ponto A =(1/3, 1/3, 8/9) observamos que A = r (1/3, 1/3) e N (1/3, 1/3) = (/3, 0, 1), logo a equação de α é ou seja µ x 1 3,y 1 3,z 8 µ À, 9 3, 0, 1 =0, 6x +9z 10 = 0.

10 114 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES Exemplo 3.14 Por S+ representamos a semi-esfera unitária superior centrada na origem que pode ser parametrizada por r (x, y) = ³x, y, p 1 x y, (x, y) K : x + y 1. Vemos que S+ é uma superfície regular, simples com Ã! x N (x, y) = p 1 x y, y p 1 x y, 1, (x, y) K 0. Exemplo 3.15 Podemos usar coordenadas esféricas para parametrizar S +,ouseja Temos r (u, v) =(cosu cos v, sen u cos v, sen v), (u, v) K :0 u π, 0 v π/. N (u, v) =cosvr(u, v), (u, v) K 0. Observamos que com esta parametrização S+ é uma superfície regular mas não é uma superfície simples uma vez que ³ n π o r [0, π] =(0, 0, 1), eportantor não é injetiva.

11 3.3. ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE Área de uma superfície Definição 3.16 Seja K R um subconjunto fechado e limitado. Dizemos que o campo vetorial r : K R 3 é de classe C 1 em K quando existem um subconjunto aberto D R e um campo vetorial σ : D R 3 de classe C 1 em D, talqueσ K = r. A aplicação σ é chamada uma extensão de classe C 1 de r. Exemplo 3.17 Seja r (x, y) =(x, y, 1 x ), (x, y) K : x 0, y 0, x+ y 1. Se σ : D = R R 3,σ(x, y) =(x, y, 1 x ). Temos σ C 1 (D) e σ K = r. Logo r C 1 (K). Exemplo 3.18 Seja r (x, y) = ³x, y, p 1 x y, (x, y) K : x + y 1. Vemos que as derivadas parciais de r não estão definidas nos pontos (x, y) K : x + y =1. Logo não pode existir uma extensão de classe C 1 de r. Assim r/ C 1 (K). Daqui em diante, a menos que se diga o contrário, K denotará um subconjunto fechado e limitado com K 0 6= φ do R com interior não vazio. Seja S = r (K), uma superfície regular dada por r (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)), (u, v) K. Consideremos uma partição de K em sub-retângulos K ij =[u i 1,u i ] [v j 1,v j ],i=1,,..., n, j =1,,.., m. com área igual a 4u i 4v j =(u i u i 1 )(v j v j 1 ). Como consequência de (3.1), cada K ij é levado por r numa porção S ij de S, cujaárea, a (S ij ), é aproximadamente igual a N u i,vj 4u i 4v j, u i,vj K 0 ij. (3.) Deste modo vemos que a área de S é aproximadamente igual a nx i=1 Isto nos leva à seguinte definição. mx N u i,vj 4u i 4v j. j=1

12 116 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES Definição 3.19 Seja S = r (K) uma superfície regular com r C 1 (K), dada por r (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)), (u, v) K. Se N (u, v) = r r (u, v) (u, v), definimos a área de S como sendo u v ZZ a (S) = kn (u, v)k dudv. Nota 3.0 Nas condições da Definição 3.19 temos ZZ a (S) = K K # 1/ " (y, z) (z,x) (x, y) (u, v) + (u, v) + (u, v) dudv (u, v) (u, v) (u, v) Nota 3.1 Quando S é dada por z = f (x, y), (x, y) K, comf C 1 (K), temos ZZ a (S) = K " 1+ µ µ # 1/ f f (x, y) + (x, y) dxdy. x y Nota 3. Seja S como na Nota 3.1. Se denotarmos por θ (x, y) o ângulo entre o versor k =(0, 0, 1) eovetorn (x, y), normal à S, temos cos θ (x, y) = 1 kn (x, y)k, portanto ZZ a (S) = K 1 cos θ (x, y) dxdy. Nota 3.3 Se S é uma superfície situada num plano não perpendicular ao plano xoy, temos a (K) =a (S)cosθ. Esta equação, chamada princípio do cosseno para áreas generaliza o caso em que S éumretângulo. Exemplo 3.4 DeterminemosaáreadasuperfícieS dada por r (u, v) =(u, v, 1 u v), (u, v) K : u 0, v 0, u+ v 1. Como r C 1 (K) e N (u, v) =(1, 1, 1) segue ZZ Z 1 a (S) = 3 dudv = 3 Z 1 u K u=0 v=0 dudv = 3.

13 3.3. ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE 117 Exemplo 3.5 DeterminemosaáreadasuperfícieS do cilindro x + z =16(z 0) limitada pelos planos x =0,x=,y=0e y =3. Temos S parametrizada por r (x, y) = ³x, y, 16 x, (x, y) K =[0, ] [0, 3]. Vemos que r C 1 (K) e µ x N (x, y) =, 0, 1, 16 x logo ZZ a (S) = K Z 4 3 dxdy = 16 x y=0 Z x= x dxdy =π. Exemplo 3.6 Área de uma superfície de revolução: Seja f :[a, b] R com f C 1 ([a, b]) e f (x) > 0 para todo x [a, b]. Se S é a superfície de revolução obtida ao girarmos o gráfico de f emtornodoeixoox, determinemos a área de S. Dados os pontos P =(x, y, z) e A =(x, 0, 0). Temos P S kap k = f (x) y + z =[f (x)]. Assim podemos parametrizar S por r (x, u) =(x, f (x)cosu, f (x)senu),a x b, 0 u π. O produto vetorial fundamental é N (x, u) =f (x) (f 0 (x), cos u, sen u), logo Z b q a (S) =π f (x) 1+[f 0 (x)] dx. (3.3) x=a

14 118 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES Exemplo 3.7 Determinemos a área de S dada por 1. Se f (x) =x, temos y + z 4x =0, 0 x. y + z =[f (x)], 0 x. Não podemos usar diretamente a fórmula em (3.3) pois f se anula em x =0. No entanto, podemos usar um processo de limite. Consideramos x a > 0, e tomamos o limite quando a 0. Assim Z a (S) = lim π x 5 dx =8 5π. a 0 x=a. Observando que S também pode ser parametrizada por Ãp! y + z r (y, z) =,y,z, (y, z) K : y + z 16, vemos que r/ C 1 (K) uma vez que Ã! y N (y, z) = 1, p y + z, z p, y + z não está definido para (y, z) =(0, 0). Novamente, podemos usar um processo de limite. No lugar de K consideramos e depois fazemos a 0. Assim D :0<a y + z 16, a (S) = lim kn (y, z)k dydz =8 a 0 ZZD 5π.

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA Departamento de Análise - IME UERJ 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total 3

Leia mais

MAT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 13.11.

MAT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 13.11. MT 2352 - Cálculo Diferencial e Integral II - 2 semestre de 2012 Registro das aulas e exercícios sugeridos - tualizado 13.11.2012 1. Segunda-feira, 30 de julho de 2012 presentação do curso. www.ime.usp.br/

Leia mais

3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1

3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1 1 3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1 3.3.1 Sistema de Coordenadas Tridimensionais Como vimos no caso do R, para localizar um ponto no plano precisamos de duas informações e assim um ponto P

Leia mais

Aula 16 Mudança de Variável em Integrais Múltiplas

Aula 16 Mudança de Variável em Integrais Múltiplas Aula 16 Mudança de Variável em Integrais Múltiplas MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO).

LISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO). LISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO. PROFESSOR: RICARDO SÁ EARP OBS: Faça os exercícios sobre

Leia mais

Soluções abreviadas de alguns exercícios

Soluções abreviadas de alguns exercícios Tópicos de cálculo para funções de várias variáveis Soluções abreviadas de alguns exercícios Instituto Superior de Agronomia - 2 - Capítulo Tópicos de cálculo diferencial. Domínio, curva de nível e gráfico.

Leia mais

Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente

Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual

Leia mais

Universidade Federal da Bahia

Universidade Federal da Bahia Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática DISCIPLINA: CALCULO B UNIDADE III - LISTA DE EXERCÍCIOS Atualizado 2008.2 Domínio, Imagem e Curvas/Superfícies de Nível y2 è [1] Determine o domínio

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL Professora Salete Souza de Oliveira Aluna Thais Silva de Araujo P1 Turma

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

Exercícios resolvidos P2

Exercícios resolvidos P2 Exercícios resolvidos P Questão 1 Dena as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente, por sinh(t) = et e t e cosh(t) = et + e t. (1) 1. Verique que estas funções satisfazem a seguinte

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral III - EAD. Professor Paulo Cupertino de Lima

Cálculo Diferencial e Integral III - EAD. Professor Paulo Cupertino de Lima Cálculo Diferencial e Integral III - EAD Professor Paulo Cupertino de Lima Sumário Sumário i 0.1 Apresentação do livro............................. v 1 Revisão: retas, planos, superfícies cilíndricas

Leia mais

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas

Leia mais

MAT2454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II

MAT2454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II MAT454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II a Lista de Exercícios -. Ache os pontos do hiperboloide x y + z = onde a reta normal é paralela à reta que une os pontos (,, ) e (5,, 6).. Encontre

Leia mais

1.1 Domínios e Regiões

1.1 Domínios e Regiões 1.1 Domínios e Regiões 1.1A Esboce o conjunto R do plano R 2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classi que R em: aberto, fechado, itado, compacto, ou conexo. (a) R = (x; y) 2 R 2 ; jxj 1; 0 y (b) R

Leia mais

Aula 7 Valores Máximo e Mínimo (e Pontos de Sela)

Aula 7 Valores Máximo e Mínimo (e Pontos de Sela) Aula 7 Valores Máximo e Mínimo (e Pontos de Sela) MA - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática 3 a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 241

Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática 3 a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 241 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática a Lista de exercícios de Cálculo III - MAT 41 1. Calcule, se existirem, as derivadas parciais f f (0, 0) e (0, 0) sendo: x + 4 (a) f(x, ) = x,

Leia mais

Geometria Analítica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici

Geometria Analítica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici 8 C U RVA S 8.1 parametrização de curvas No Capítulo 3 estudamos as equações de uma reta no espaço e vimos que tal entidade geométrica pode ser representada pelas equações paramétricas: x r : z = a+v 1

Leia mais

Rotação de um corpo rígido e as equações de Euler

Rotação de um corpo rígido e as equações de Euler Rotação de um corpo rígido e as equações de Euler As componentes u x, u y e u z de um vetor u podem ser escritas em termos de produtos escalares entre u e os versores da base x, ŷ e ẑ, u x = x u, e Como

Leia mais

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y 5 Taxa de Variação Neste capítulo faremos uso da derivada para resolver certos tipos de problemas relacionados com algumas aplicações físicas e geométricas. Nessas aplicações nem sempre as funções envolvidas

Leia mais

MA211 - Lista 09. Coordenadas Esféricas e Mudança de Variáveis 7 de outubro de 2015

MA211 - Lista 09. Coordenadas Esféricas e Mudança de Variáveis 7 de outubro de 2015 MA2 - Lista 9 Coordenadas sféricas e Mudança de Variáveis 7 de outubro de 25. Marque o ponto cujas coordenadas esféricas é (,, ) e encontre as coordenadas retangulares do ponto. 2. Mude o ponto (, 3, 2

Leia mais

II Cálculo Integral em R n

II Cálculo Integral em R n Análise Matemática II Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de omputadores Ano Lectivo 2/22 2 o emestre Exercícios propostos para as aulas práticas II álculo Integral em R n Departamento de

Leia mais

4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. cos (1=t), para 0 < t 1 e y 0 (0) = 0. Sendo esta derivada

4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. cos (1=t), para 0 < t 1 e y 0 (0) = 0. Sendo esta derivada 4.1 Curvas Regulares 4.1A Esboce o grá co de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva. (a) ~r (t) = t~i + (1 t)~j; 0 t 1 (b) ~r (t) = 2t~i + t 2 ~j; 1 t 0 (c) ~r (t) = (1=t)~i + t~j; 1 t

Leia mais

1 Módulo ou norma de um vetor

1 Módulo ou norma de um vetor Álgebra Linear I - Aula 3-2005.2 Roteiro 1 Módulo ou norma de um vetor A norma ou módulo do vetor ū = (u 1, u 2, u 3 ) de R 3 é ū = u 2 1 + u2 2 + u2 3. Geometricamente a fórmula significa que o módulo

Leia mais

O coeficiente angular

O coeficiente angular A UA UL LA O coeficiente angular Introdução O coeficiente angular de uma reta já apareceu na Aula 30. Agora, com os conhecimentos obtidos nas Aulas 40 e 45, vamos explorar mais esse conceito e descobrir

Leia mais

Derivação Implícita e Taxas Relacionadas

Derivação Implícita e Taxas Relacionadas Capítulo 14 Derivação Implícita e Taxas Relacionadas 14.1 Introdução A maioria das funções com as quais trabalhamos até agora é da forma y = f(x), em que y é dado diretamente ou, explicitamente, por meio

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = = Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo

Leia mais

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos Capítulo 4 Funções de duas variáveis 4.1 Funções de varias variáveis - Definição e eemplos Definição 1: Chamamos de função real com n variáveis a uma função do tipo f : D R com D R n = R R. Ou seja, uma

Leia mais

Produtos. 4.1 Produtos escalares

Produtos. 4.1 Produtos escalares Capítulo 4 Produtos 4.1 Produtos escalares Neste tópico iremos estudar um novo tipo de operação entre vetores do plano e do espaço. Vamos fazer inicialmente uma consideração geométrica, como segue. Seja

Leia mais

Lista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT 1153-2006.1

Lista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT 1153-2006.1 Lista de Exercícios sobre trabalho, teorema de Green, parametrizações de superfícies, integral de superfícies : MAT 1153-2006.1 1. Fazer exercícios 1, 4, 5, 7, 8, 9 da seção 8.4.4 pgs 186, 187 do livro

Leia mais

4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r

4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r 94 4. Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u v (ou u v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes,

Leia mais

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D

6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D 6. Geometria, Primitivas e Transformações 3D Até agora estudamos e implementamos um conjunto de ferramentas básicas que nos permitem modelar, ou representar objetos bi-dimensionais em um sistema também

Leia mais

MAT 2455 - Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia 1 ā Prova - 1o semestre de 2005

MAT 2455 - Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia 1 ā Prova - 1o semestre de 2005 MAT 4 - Cálculo iferencial e Integral III para Engenharia ā Prova - o semestre de Questão. Calcule: (,- ). (a) (. pontos) (b) (. pontos) x e + d dx (x + ) (x ) dx d, onde é o triângulo de vértices (,),

Leia mais

Notas de Aulas de Cálculo III. Prof. Sandro Rodrigues Mazorche. Turmas: A e C

Notas de Aulas de Cálculo III. Prof. Sandro Rodrigues Mazorche. Turmas: A e C Notas de Aulas de Cálculo III Prof. Sandro Rodrigues Mazorche 1 o semestre de 2015 Turmas: A e C Capítulo 4: Campos Escalares e Vetoriais Campo Escalar: Seja D uma região no espaço tridimensional e seja

Leia mais

UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam. Lista 1. Curvas

UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam. Lista 1. Curvas UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM042 - Cálculo II Prof. José Carlos Eidam Lista 1 Curvas 1. Desenhe as imagens das seguintes curvas: (a) γ(t) = (1, t) (b) γ(t) = (cos

Leia mais

Notas para um curso de Cálculo 1 Duilio T. da Conceição

Notas para um curso de Cálculo 1 Duilio T. da Conceição Notas para um curso de Cálculo 1 Duilio T. da Conceição 1 2 Sumário 1 WOLFRAM ALPHA 5 1.1 Digitando Fórmulas e Expressões Matemáticas......... 6 1.1.1 Expoentes......................... 6 1.1.2 Multiplicação.......................

Leia mais

CEFET/RJ - Cálculo a Várias Variáveis Professor: Roberto Thomé e-mail: rthome@cefet-rj.br homepage: www.rcthome.pro.br LISTA DE EXERCÍCIOS 01

CEFET/RJ - Cálculo a Várias Variáveis Professor: Roberto Thomé e-mail: rthome@cefet-rj.br homepage: www.rcthome.pro.br LISTA DE EXERCÍCIOS 01 CEFET/RJ - Cálculo a Várias Variáveis Professor: Roberto Thomé e-mail: rthome@cefet-rj.br homepage: www.rcthome.pro.br LISTA DE EXERCÍCIOS 01 1) Seja f = 36 9x 2 4y 2. Então : (a) Calcule f, f(2, 0) e

Leia mais

Seja D R. Uma função vetorial r(t) com domínio D é uma correspondência que associa a cada número t em D exatamente um vetor r(t) em R 3

Seja D R. Uma função vetorial r(t) com domínio D é uma correspondência que associa a cada número t em D exatamente um vetor r(t) em R 3 1 Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire Cálculo Vetorial Texto 01: Funções Vetoriais Até agora nos cursos de Cálculo só tratamos de funções cujas imagens

Leia mais

Uma introdução ao estudo de funções multivariáveis

Uma introdução ao estudo de funções multivariáveis Uma introdução ao estudo de funções multivariáveis Universidade Federal do Amazonas Instituto de Educação, Agricultura e Ambiente Janeiro de 2014 Bem-vindo Este material trata da introdução ao estudo de

Leia mais

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y). PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx

Leia mais

Mudança de Coordenadas

Mudança de Coordenadas Mudança de Coordenadas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi regi@mat.ufmg.br 13 de deembro de 2001 1 Rotação e Translação

Leia mais

CADERNO DE ATIVIDADES

CADERNO DE ATIVIDADES 1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática CADERNO DE ATIVIDADES DESENVOLVIMENTO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O PROCESSO DE APRENDIZAGEM

Leia mais

Lista 4. 2 de junho de 2014

Lista 4. 2 de junho de 2014 Lista 4 2 de junho de 24 Seção 5.. (a) Estime a área do gráfico de f(x) = cos x de x = até x = π/2 usando quatro retângulos aproximantes e extremidades direitas. Esboce os gráficos e os retângulos. Sua

Leia mais

2.3 Aplicações das Leis de Newton

2.3 Aplicações das Leis de Newton 2.3-1 2.3 Aplicações das Leis de Newton 2.3.1 Movimento tridimensional de um projétil (se despreza quaisquer efeitos do ar) Nesta seção retomamos a análise do movimento de um projétil, visando a obter

Leia mais

3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (terça parte)

3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (terça parte) 3.4-41 3.4 Movimento ao longo de uma curva no espaço (terça parte) Antes de começar com a nova matéria, vamos considerar um problema sobre o material recentemente visto. Problema: (Projeção de uma trajetória

Leia mais

APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA

APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA FACULDADE DE TECNOLOGIA DE POMPEIA CURSO TECNOLOGIA EM MECANIZAÇÃO EM AGRICULTURA DE PRECISÃO APOSTILA TECNOLOGIA MECANICA Autor: Carlos Safreire Daniel Ramos Leandro Ferneta Lorival Panuto Patrícia de

Leia mais

x + y + 1 (2x 4y) = 10. (x 3) 5 y 2 + (x 3) 4 y 4 (x 2 6x + 9 + y 6 ) 3

x + y + 1 (2x 4y) = 10. (x 3) 5 y 2 + (x 3) 4 y 4 (x 2 6x + 9 + y 6 ) 3 1 Lista 2 de Cálculo Diferencial e Integral II Funções de Várias Variáveis e Diferenciação Parcial 1. Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo: (a) f(x, y) = xy 5 x

Leia mais

28 de agosto de 2015. MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior

28 de agosto de 2015. MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior 28 de agosto de 2015 Derivação Impĺıcita Considere o seguinte conjunto R = {(x, y); y = 2x + 1} O conjunto R representa a reta definida

Leia mais

Universidade Federal do Paraná

Universidade Federal do Paraná Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matematica Prof. Juan Carlos Vila Bravo Curitiba, 1 de Dezembro de 005 1. A posição de uma particula é dada por: r(t) = (sen t)i+(cost)j

Leia mais

CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO

CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO Ricardo Bianconi Primeiro Semestre de 2008 Revisado em Fevereiro de 2015 Resumo Relacionamos os conceitos de campos irrotacionais, campos conservativos e forma do domínio

Leia mais

Exercícios Resolvidos Integrais de Linha. Teorema de Green

Exercícios Resolvidos Integrais de Linha. Teorema de Green Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Exercícios Resolvidos Integrais de Linha. Teorema de Green Exercício 1 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo

Leia mais

Computação Gráfica Interativa

Computação Gráfica Interativa Computação Gráfica Interativa conceitos, fundamentos geométricos e algoritmos 1. Introdução Computação Gráfica é a criação, armazenamento e a manipulação de modelos de objetos e suas imagens pelo computador.

Leia mais

Capítulo 7 Conservação de Energia

Capítulo 7 Conservação de Energia Função de mais de uma variável: Capítulo 7 Conservação de Energia Que para acréscimos pequenos escrevemos Onde usamos o símbolo da derivada parcial: significa derivar U parcialmente em relação a x, mantendo

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

2.2 Subespaços Vetoriais

2.2 Subespaços Vetoriais 32 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 2.2 Subespaços Vetoriais Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subconjunto de V. Dizemos que W é um subespaço (vetorial) de V se as seguintes condições são satisfeitas:

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais

Complementos de Análise Matemática

Complementos de Análise Matemática Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Departamento: Matemática Ficha prática n o 1 - Cálculo Diferencial em IR n 1. Para cada um dos seguintes subconjuntos de IR, IR 2 e IR 3, determine

Leia mais

CINEMÁTICA - É a parte da mecânica que estuda os vários tipos de movimento, sem se preocupar com as causas destes movimentos.

CINEMÁTICA - É a parte da mecânica que estuda os vários tipos de movimento, sem se preocupar com as causas destes movimentos. INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA REPOUSO OU MOVIMENTO? DEPENDE DO REFERENCIAL! CINEMÁTICA - É a parte da mecânica que estuda os vários tipos de movimento, sem se preocupar com as causas destes movimentos. REFERENCIAL.

Leia mais

(c) f(x, y) = x 2 + y 2. (3) Faça a correspondência entre a função dada e seu o gráfico. Justifique sua resposta.

(c) f(x, y) = x 2 + y 2. (3) Faça a correspondência entre a função dada e seu o gráfico. Justifique sua resposta. UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Quarta Lista de Exercícios de Cálculo II - MTM13 Prof. Júlio César do Espírito Santo (com colaboraçao

Leia mais

Prof. José Carlos Morilla

Prof. José Carlos Morilla 1 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Santos 009 1 CÁLCULO VETORIAL... 4 1.1 Segmentos Orientados... 4 1. Vetores... 4 1..1 Soma de um ponto com um vetor... 5 1.. Adição de vetores... 5 1..3 Diferença

Leia mais

Aula 17 GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS. META Apresentar as grandezas vetoriais e seu signifi cado

Aula 17 GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS. META Apresentar as grandezas vetoriais e seu signifi cado GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS META Apresentar as grandezas vetoriais e seu signifi cado OBJETIVOS Ao fi nal desta aula, o aluno deverá: Diferenciar grandezas escalares e vetoriais; compreender a notação

Leia mais

Unidade: Vetores e Forças. Unidade I:

Unidade: Vetores e Forças. Unidade I: Unidade I: 0 Unidade: Vetores e Forças 2.VETORES 2.1 Introdução Os vetores são definidos como entes matemáticos que dão noção de intensidade, direção e sentido. De forma prática, o conceito de vetor pode

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental

Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro De Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Teórica e Experimental Programa de Educação Tutorial Curso de Nivelamento: Pré-Cálculo PET DE FÍSICA:

Leia mais

1.1 Domínios e Regiões

1.1 Domínios e Regiões 1.1 Domínios e Regiões 1.1A Esboce a região R do plano R 2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classi que R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C). (a) R = (x; y) 2 R

Leia mais

I. Cálculo Diferencial em R n

I. Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Ano Lectivo 2010/2011 2 o Semestre Exercícios propostos para as aulas práticas I. Cálculo Diferencial em R n Departamento

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA. Dirce Uesu Pesco 29/01/2013

GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA. Dirce Uesu Pesco 29/01/2013 GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA Dirce Uesu Pesco 29/01/2013 I) Dados um ponto do plano e vetor normal ao plano; II) III) Dados um ponto do plano e dois vetores paralelos

Leia mais

Vestibular1 A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br. Cinemática escalar

Vestibular1 A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br. Cinemática escalar Cinemática escalar A cinemática escalar considera apenas o aspecto escalar das grandezas físicas envolvidas. Ex. A grandeza física velocidade não pode ser definida apenas por seu valor numérico e por sua

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

II BIENAL DA SBM 06 A 11 DE NOVEMBRO DE 2006. Equações Paramétricas E... x y. Animação ADELMO RIBEIRO DE JESUS UCSAL/FJA - SALVADOR BAHIA

II BIENAL DA SBM 06 A 11 DE NOVEMBRO DE 2006. Equações Paramétricas E... x y. Animação ADELMO RIBEIRO DE JESUS UCSAL/FJA - SALVADOR BAHIA II BIENAL DA SBM 06 A DE NOVEMBRO DE 006 Equações Paramétricas E... Animação ADELMO RIBEIRO DE JESUS UCSAL/FJA - SALVADOR BAHIA INTRODUÇÃO Neste trabalho analisaremos as várias formas de apresentação das

Leia mais

Campos Vetoriais e Integrais de Linha

Campos Vetoriais e Integrais de Linha Cálculo III Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha Campos Vetoriais e Integrais de Linha Um segundo objeto de interesse do Cálculo Vetorial são os campos de vetores, que surgem principalmente

Leia mais

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Departamento de Matemática - UEL - 2010. Ulysses Sodré. http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010. Matemática Essencial Extremos de funções reais Departamento de Matemática - UEL - 2010 Conteúdo Ulysses Sodré http://www.mat.uel.br/matessencial/ Arquivo: minimaxi.tex - Londrina-PR, 29 de Junho de 2010.

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais

Já vimos que a energia gravitacional entre duas partículas de massas m 1 e m 2, com vetores posição em r 1 e r 2, respectivamente, é dada por

Já vimos que a energia gravitacional entre duas partículas de massas m 1 e m 2, com vetores posição em r 1 e r 2, respectivamente, é dada por Força conservativa Já vimos que a energia gravitacional entre duas partículas de massas m 1 e m 2, com vetores posição em r 1 e r 2, respectivamente, é dada por U 12 = Gm 1m 2 r 2 r 1. Vimos também que

Leia mais

Capítulo 2. Funções complexas. 2.1. Introdução

Capítulo 2. Funções complexas. 2.1. Introdução Capítulo Funções complexas 1 Introdução Neste capítulo consideram-se vários exemplos de funções complexas e ilustram-se formas de representação geométrica destas funções que contribuem para a apreensão

Leia mais

Vetores. Definição geométrica de vetores

Vetores. Definição geométrica de vetores Vetores Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, olume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma ez que a magnitude (intensidade) é dada. Tais grandezas são

Leia mais

Matemática. Subtraindo a primeira equação da terceira obtemos x = 1. Substituindo x = 1 na primeira e na segunda equação obtém-se o sistema

Matemática. Subtraindo a primeira equação da terceira obtemos x = 1. Substituindo x = 1 na primeira e na segunda equação obtém-se o sistema Matemática 01. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6 cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da face contendo C e D, e F é o pé da perpendicular a BD traçada a

Leia mais

O Teorema da Função Inversa e da Função Implícita

O Teorema da Função Inversa e da Função Implícita Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit O Teorema da Função Inversa

Leia mais

Mecânica Geral Básica

Mecânica Geral Básica Mecânica Geral Básica Conceitos Básicos Prof. Nelson Luiz Reyes Marques Unidades - o sistema métrico O sistema internacional de unidades (SI) o sistema MKS Baseado em potências de 10 de unidades de base

Leia mais

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Funções de duas ou mais variáveis.

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Funções de duas ou mais variáveis. www.engenhariafacil.weebly.com Resumo com exercícios resolvidos do assunto: (I) (II) (III) Funções de duas ou mais variáveis; Limites; Continuidade. (I) Funções de duas ou mais variáveis. No Cálculo I

Leia mais

Professor Bruno Alves

Professor Bruno Alves Professor Bruno Alves Engenharia maecânica Engenharia de produção Engenharia de controle e automação Poços de Caldas Segundo semestre de 1 Notas de aula da disciplina Cálculo III ministrada no segundo

Leia mais

PSAEN 2007/08 Primeira Fase - Matemática

PSAEN 2007/08 Primeira Fase - Matemática PSAEN 007/08 Primeira Fase - Matemática : Caio Guimarães, Rodolpho Castro, Victor Faria, Paulo Soares, Iuri Lima Digitação: Caio Guimarães, Júlio Sousa. Comentário da Prova: A prova de matemática desse

Leia mais

Apostila de Cálculo Vetorial

Apostila de Cálculo Vetorial PET-EM Apostila de álculo Vetorial Iury de Araujo umário 1 Unidade I 5 1.1 Operações Vetoriais........................ 5 1.1.1 Adição e subtração.................... 5 1.1.2 Multiplicações Vetoriais.................

Leia mais

6. Aplicações da Derivada

6. Aplicações da Derivada 6 Aplicações da Derivada 6 Retas tangentes e normais - eemplos Encontre a equação da reta tangente e da normal ao gráfico de f () e, em 0 Represente geometricamente Solução: Sabemos que a equação da reta

Leia mais

Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão.

Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. Capítulo 8 Nesta aula iremos continuar com os exemplos de revisão. 1. Exemplos de revisão Exemplo 1 Ache a equação do círculo C circunscrito ao triângulo de vértices A = (7, 3), B = (1, 9) e C = (5, 7).

Leia mais

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo

Números Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo Capítulo 1 Números Complexos 11 Unidade Imaginária O fato da equação x 2 + 1 = 0 (11) não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos Para solucionar (11) denimos a unidade

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral II

Cálculo Diferencial e Integral II Cálculo Diferencial e Integral II Claudio Aguinaldo Buzzi Departamento de Matemática UNESP - Campus de São José do Rio Preto Índice 1 Superfícies especiais 4 1.1 Planos........................................

Leia mais

Centro Federal de Educação Tecnológica Departamento Acadêmico da Construção Civil Curso Técnico de Geomensura Disciplina: Matemática Aplicada

Centro Federal de Educação Tecnológica Departamento Acadêmico da Construção Civil Curso Técnico de Geomensura Disciplina: Matemática Aplicada Centro Federal de Educação Tecnológica Departamento Acadêmico da Construção Civil Curso Técnico de Geomensura Disciplina: Matemática Aplicada MATEMÁTICA APLICADA 1. SISTEMA ANGULAR INTERNACIONAL...2 2.

Leia mais

Teste Intermédio Matemática. 9.º Ano de Escolaridade. Versão 1. Duração do Teste: 30 min (Caderno 1) + 60 min (Caderno 2) 21.03.

Teste Intermédio Matemática. 9.º Ano de Escolaridade. Versão 1. Duração do Teste: 30 min (Caderno 1) + 60 min (Caderno 2) 21.03. Teste Intermédio Matemática Versão 1 Duração do Teste: 30 min (Caderno 1) + 60 min (Caderno 2) 21.03.2014 9.º Ano de Escolaridade Indica de forma legível a versão do teste. O teste é constituído por dois

Leia mais

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova

Leia mais

São grandezas que para que a gente possa descrever 100%, basta dizer um número e a sua unidade.

São grandezas que para que a gente possa descrever 100%, basta dizer um número e a sua unidade. Apostila de Vetores 1 INTRODUÇÃO Fala, galera! Essa é a primeira apostila do conteúdo de Física I. Os assuntos cobrados nas P1s são: Vetores, Cinemática Uni e Bidimensional, Leis de Newton, Conservação

Leia mais

Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont.

Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Ponto, reta e plano no espaço tridimensional, cont. Matemática para arquitetura Ton Marar 1. Posições relativas Posição relativa entre pontos Dois pontos estão sempre alinhados. Três pontos P 1 = (x 1,

Leia mais

12. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 12.1 FUNÇÕES INJETORAS. Definição

12. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 12.1 FUNÇÕES INJETORAS. Definição 90 1. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 1.1 FUNÇÕES INJETORAS Definição Dizemos que uma função f: A B é injetora quando para quaisquer elementos x 1 e x de A, f(x 1 ) = f(x ) implica x 1 = x. Em

Leia mais

Capítulo 5 Filtragem de Imagens

Capítulo 5 Filtragem de Imagens Capítulo 5 Filtragem de Imagens Capítulo 5 5.1. Filtragem no Domínio da Frequência 5.2. Filtragem no Domínio Espacial 2 Objetivo Melhorar a qualidade das imagens através da: ampliação do seu contraste;

Leia mais

TRIÂNGULO RETÂNGULO. Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:

TRIÂNGULO RETÂNGULO. Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes: TRIÂNGULO RETÂNGULO Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema

Leia mais

Álgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios

Álgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Engenharia de Produção Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária

Leia mais

Capítulo I GENERALIDADES

Capítulo I GENERALIDADES Topografia I Profa. Andréa Ritter Jelinek 1 Capítulo I GENERALIDADES 1. Conceitos Fundamentais Definição: a palavra Topografia deriva das palavras gregas topos (lugar) e graphen (descrever), que significa

Leia mais

NOTAS DE AULA. Cláudio Martins Mendes

NOTAS DE AULA. Cláudio Martins Mendes NOTAS DE AULA FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS - DIFERENCIAÇÃO Cláudio Martins Mendes Segundo Semestre de 2005 Sumário 1 Funções de Várias Variáveis - Diferenciabilidade 2 1.1 Noções Topológicas no R n.............................

Leia mais

canal 1 canal 2 t t 2 T

canal 1 canal 2 t t 2 T ircuito L (Prova ) --7 f [khz] L T [s] s canal canal t t T Fig. ircuito usado Tarefas: ) Monte o circuito da figura usando o gerador de funções com sinais harmônicos como força eletromotriz. Use um resistor

Leia mais