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1 Capítulo 3 Integrais de superfícies 3.1 Superfícies no espaço Definição 3.1 Uma superfície S no espaço é definida como sendo a imagem de uma aplicação contínua r : K R R 3, (u, v) K 7 r (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)) R 3,onde K é um subconjunto fechado e limitado (um compacto) do R, com K 0 6= φ. A aplicação r é chamada representação paramétrica (parametrização) de S ou representação vetorial de S. Intuitivamente, podemos pensar numa superfície no espaço como sendo um objeto bidimensional. Existem outros modos de se representar uma superfície: 1. Representação explícita: Uma superfície S pode ser dada por uma ou mais equações da forma z = f (x, y), (x, y) K R, onde K é um conjunto fechado e limitado com K 0 6= φ e f : K R écontínua. Uma representação paramétrica, neste caso, pode ser r (x, y) =(x, y, f (x, y)), (x, y) K.. Representação implícita: Uma superfície S pode ser dada por uma equação da forma F (x, y, z) =0, onde F : D R 3 R. Neste caso, o Teorema da função implícita garante, que sob certas condições, podemos definir localmente uma das variáveis como função das outras duas. Por exemplo se z = z (x, y) para (x, y) V, então obtemos uma representação paramétrica da forma r (x, y) =(x, y, z (x, y)), (x, y) V. Exemplo 3. Seja S aesferacentradanaorigemeraioc>0. Temos 105

2 106 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES 1. Representação implícita: x + y + z = c.. Representação explícita: z = ± p c x y,x + y c 3. Representação paramétrica: usando coordenadas esféricas x = c cos u cos v, y = c sen u cos v, z = c sen v temos para 0 u π, π/ v π/, r (u, v) =(c cos u cos v, c sen u cos v, c sen v). Exemplo 3.3 Se S éocone Temos:

3 3.1. SUPERFÍCIES NO ESPAÇO Representação paramétrica: Sejam 0 v h, 0 u π e φ = c fixado com 0 <c<π/, logo r (u, v) =(v cos u sen φ, v sin u sen φ, v cos φ).. Representação explícita: 3. Representação implícita: z = 1 p x + y tan φ. x + y z tan φ =0. Exemplo 3.4 Se S éocilindro Temos 1. Representação paramétrica: para 0 u π e h v h r (u, v) =( c cos u, c sen u, v).. Representação implícita: x + y = c. 3. Representação explícita: x = ± p c y, c y c.

4 108 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES Exemplo 3.5 Se S é o elipsóide Temos 1. Representação implícita: x a + y b + z c =1.. Representação explícita: r z = ±c 1 x a y b, x a + y b Representação paramétrica: para 0 u π e 0 v π r (u, v) =(a cos u sen v, b sen u sen v, c cos v). Exemplo 3.6 Se S é o hiperbolóide de uma folha:

5 3.1. SUPERFÍCIES NO ESPAÇO Representação implícita: x a + y b z c =1.. Representação explícita: z = ±c r x a + y b 1, x a + y b Representação paramétrica: para 0 u π e v R, r (u, v) =(a cos u cosh v, b sen u cosh v, c senh v). Exemplo 3.7 Hiperbolóide de duas folhas: 1. Representação implícita: x a y b + z c =1.. Representação explícita: r z = ±c 1+ y b + x a. Exemplo 3.8 Parabolóide hiperbólico:

6 110 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES 1. Representação implícita: y b x a = z c.

7 3.. O PRODUTO VETORIAL FUNDAMENTAL O produto vetorial fundamental Sejam K R fechado e limitado com interior não vazio e S uma superfície dada por r (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)), (u, v) K. Se r é diferenciável em (u, v) K 0, podemos considerar os vetores derivadas parciais µ r x y z (u, v) = (u, v), (u, v), (u, v), u µ u u u r x y z (u, v) = (u, v), (u, v), (u, v). v v v v Definição 3.9 Nas condições acima, definimos o produto vetorial fundamental de r como sendo o vetor N (u, v) = r µ r (y, z) (z, x) (x, y) (u, v) (u, v) = (u, v), (u, v), (u, v). u v (u, v) (u, v) (u, v) Nota 3.10 Vejamos o significado geométrico de N (u, v) : Consideremos em K um segmento de reta horizontal (u, v 0 ),u 0 u u 0 + 4u. Sua imagem por r é uma curva, curva- u, em S parametrizada por r (u, v 0 )=(x (u, v 0 ),y(u, v 0 ),z(u, v 0 )),u 0 u u 0 + 4u, com vetor velocidade em u = u 0 dado por r u (u 0,v 0 )= µ x u (u 0,v 0 ), y u (u 0,v 0 ), z u (u 0,v 0 ).

8 11 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES Enquanto u varia de u 0 até u 0 + 4u, um ponto incialmente em r (u 0,v 0 ), percorre ao longodacurva-u uma distância aproximadamente igual a r u (u 0,v 0 ) 4u. Analogamente, um segmento vertical u = u 0,v 0 v v 0 + 4v, temcomoimagemems acurva-v dada por r (u 0,v). Um ponto inicialmente em r (u 0,v 0 ) percorre ao longo da curva- v uma distância aproximadamente igual a r v (u 0,v 0 ) 4v. Assim, um retângulo K uv em K, de área 4u4v, é levado por r numa porção S uv em S cuja área é aproximadamente igual a área do paralelogramo formado pelos vetores r u (u 0,v 0 ) 4u e r v (u 0,v 0 ) 4v, isto é, a área de S uv é aproximadamente igual a r u (u 0,v 0 ) r v (u 0,v 0 ) 4u4v = kn (u, v)k4u4v. (3.1) Deste modo podemos concluir que: 1. A grandeza de N (u, v) pode ser considerado como um fator de ampliação de área..nospontosemquen (u, v) se anula, o paralelogramo se degenera num ponto ou numa curva. 3. NospontosemqueN (u, v) não se anula, os vetores derivadas parciais de r geram um plano que tem N (u, v) como vetor normal. Este plano é o plano tangente à S no ponto r (u, v). 4. Se N (u, v) não se anula em nenhum ponto, a continuidade das derivadas parciais de r implica em que o plano tangente varia continuamente em S. Isto evita a ocorrência de arestas em S e a não existência de casos degenerados. Definição 3.11 Sejam K R fechado e limitado com K 0 6= φ e S = r (K) uma superfície dada por r (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)). 1. Se (u, v) K 0 étalquen (u, v) 6= 0, r/ u e r/ v são contínuas em (u, v), dizemos que o ponto r (u, v) éumponto regular de S.

9 3.. O PRODUTO VETORIAL FUNDAMENTAL 113. Dizemos que um ponto r (u, v) é ponto singular quando não é ponto regular. 3. Dizemos que S é uma superfície regular ou r é uma parametrização regular quando todos os pontos de S são regulares. 4. Dizemos que S éumasuperfície simples quando r éumaaplicaçãoinjetiva. Exemplo 3.1 Sejam K R um conjunto fechado e limitado com K 0 6= φ e f : K R com f C 1 (K 0 ). Ográfico de f é a superfície S que tem a representação paramétrica r (x, y) =(x, y, f (x, y)), (x, y) K. Temos que S é uma superfície simples e para (x, y) K 0 : µ r (x, y) = 1, 0, f (x, y) x x e r µ (x, y) = 0, 1, f (x, y), y y logo N (x, y) = µ f (x, y), f (x, y), 1. x y Como f C 1 (K 0 ) segue que S éumasuperfícieregular. Exemplo 3.13 Seja S dada explicitamente por z =1 x,x 0, y 0, x+ y 1. Uma parametrização de S é r (x, y) = x, y, 1 x, (x, y) K : x 0, y 0, x+ y 1. Assim S é uma superfície regular e simples com N (x, y) =(x, 0, 1), (x, y) K 0. Para determinar o plano α tangente à S no ponto A =(1/3, 1/3, 8/9) observamos que A = r (1/3, 1/3) e N (1/3, 1/3) = (/3, 0, 1), logo a equação de α é ou seja µ x 1 3,y 1 3,z 8 µ À, 9 3, 0, 1 =0, 6x +9z 10 = 0.

10 114 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES Exemplo 3.14 Por S+ representamos a semi-esfera unitária superior centrada na origem que pode ser parametrizada por r (x, y) = ³x, y, p 1 x y, (x, y) K : x + y 1. Vemos que S+ é uma superfície regular, simples com Ã! x N (x, y) = p 1 x y, y p 1 x y, 1, (x, y) K 0. Exemplo 3.15 Podemos usar coordenadas esféricas para parametrizar S +,ouseja Temos r (u, v) =(cosu cos v, sen u cos v, sen v), (u, v) K :0 u π, 0 v π/. N (u, v) =cosvr(u, v), (u, v) K 0. Observamos que com esta parametrização S+ é uma superfície regular mas não é uma superfície simples uma vez que ³ n π o r [0, π] =(0, 0, 1), eportantor não é injetiva.

11 3.3. ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE Área de uma superfície Definição 3.16 Seja K R um subconjunto fechado e limitado. Dizemos que o campo vetorial r : K R 3 é de classe C 1 em K quando existem um subconjunto aberto D R e um campo vetorial σ : D R 3 de classe C 1 em D, talqueσ K = r. A aplicação σ é chamada uma extensão de classe C 1 de r. Exemplo 3.17 Seja r (x, y) =(x, y, 1 x ), (x, y) K : x 0, y 0, x+ y 1. Se σ : D = R R 3,σ(x, y) =(x, y, 1 x ). Temos σ C 1 (D) e σ K = r. Logo r C 1 (K). Exemplo 3.18 Seja r (x, y) = ³x, y, p 1 x y, (x, y) K : x + y 1. Vemos que as derivadas parciais de r não estão definidas nos pontos (x, y) K : x + y =1. Logo não pode existir uma extensão de classe C 1 de r. Assim r/ C 1 (K). Daqui em diante, a menos que se diga o contrário, K denotará um subconjunto fechado e limitado com K 0 6= φ do R com interior não vazio. Seja S = r (K), uma superfície regular dada por r (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)), (u, v) K. Consideremos uma partição de K em sub-retângulos K ij =[u i 1,u i ] [v j 1,v j ],i=1,,..., n, j =1,,.., m. com área igual a 4u i 4v j =(u i u i 1 )(v j v j 1 ). Como consequência de (3.1), cada K ij é levado por r numa porção S ij de S, cujaárea, a (S ij ), é aproximadamente igual a N u i,vj 4u i 4v j, u i,vj K 0 ij. (3.) Deste modo vemos que a área de S é aproximadamente igual a nx i=1 Isto nos leva à seguinte definição. mx N u i,vj 4u i 4v j. j=1

12 116 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES Definição 3.19 Seja S = r (K) uma superfície regular com r C 1 (K), dada por r (u, v) =(x (u, v),y(u, v),z(u, v)), (u, v) K. Se N (u, v) = r r (u, v) (u, v), definimos a área de S como sendo u v ZZ a (S) = kn (u, v)k dudv. Nota 3.0 Nas condições da Definição 3.19 temos ZZ a (S) = K K # 1/ " (y, z) (z,x) (x, y) (u, v) + (u, v) + (u, v) dudv (u, v) (u, v) (u, v) Nota 3.1 Quando S é dada por z = f (x, y), (x, y) K, comf C 1 (K), temos ZZ a (S) = K " 1+ µ µ # 1/ f f (x, y) + (x, y) dxdy. x y Nota 3. Seja S como na Nota 3.1. Se denotarmos por θ (x, y) o ângulo entre o versor k =(0, 0, 1) eovetorn (x, y), normal à S, temos cos θ (x, y) = 1 kn (x, y)k, portanto ZZ a (S) = K 1 cos θ (x, y) dxdy. Nota 3.3 Se S é uma superfície situada num plano não perpendicular ao plano xoy, temos a (K) =a (S)cosθ. Esta equação, chamada princípio do cosseno para áreas generaliza o caso em que S éumretângulo. Exemplo 3.4 DeterminemosaáreadasuperfícieS dada por r (u, v) =(u, v, 1 u v), (u, v) K : u 0, v 0, u+ v 1. Como r C 1 (K) e N (u, v) =(1, 1, 1) segue ZZ Z 1 a (S) = 3 dudv = 3 Z 1 u K u=0 v=0 dudv = 3.

13 3.3. ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE 117 Exemplo 3.5 DeterminemosaáreadasuperfícieS do cilindro x + z =16(z 0) limitada pelos planos x =0,x=,y=0e y =3. Temos S parametrizada por r (x, y) = ³x, y, 16 x, (x, y) K =[0, ] [0, 3]. Vemos que r C 1 (K) e µ x N (x, y) =, 0, 1, 16 x logo ZZ a (S) = K Z 4 3 dxdy = 16 x y=0 Z x= x dxdy =π. Exemplo 3.6 Área de uma superfície de revolução: Seja f :[a, b] R com f C 1 ([a, b]) e f (x) > 0 para todo x [a, b]. Se S é a superfície de revolução obtida ao girarmos o gráfico de f emtornodoeixoox, determinemos a área de S. Dados os pontos P =(x, y, z) e A =(x, 0, 0). Temos P S kap k = f (x) y + z =[f (x)]. Assim podemos parametrizar S por r (x, u) =(x, f (x)cosu, f (x)senu),a x b, 0 u π. O produto vetorial fundamental é N (x, u) =f (x) (f 0 (x), cos u, sen u), logo Z b q a (S) =π f (x) 1+[f 0 (x)] dx. (3.3) x=a

14 118 CAPÍTULO 3. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES Exemplo 3.7 Determinemos a área de S dada por 1. Se f (x) =x, temos y + z 4x =0, 0 x. y + z =[f (x)], 0 x. Não podemos usar diretamente a fórmula em (3.3) pois f se anula em x =0. No entanto, podemos usar um processo de limite. Consideramos x a > 0, e tomamos o limite quando a 0. Assim Z a (S) = lim π x 5 dx =8 5π. a 0 x=a. Observando que S também pode ser parametrizada por Ãp! y + z r (y, z) =,y,z, (y, z) K : y + z 16, vemos que r/ C 1 (K) uma vez que Ã! y N (y, z) = 1, p y + z, z p, y + z não está definido para (y, z) =(0, 0). Novamente, podemos usar um processo de limite. No lugar de K consideramos e depois fazemos a 0. Assim D :0<a y + z 16, a (S) = lim kn (y, z)k dydz =8 a 0 ZZD 5π.

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