Relação de Conjuntos. Produto cartesiano A = 1,2 e o conjunto B = 2,3,4 queremos o produto cartesiano A x B

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2 Relação de Conjuntos Produto cartesiano A = 1,2 e o conjunto B = 2,3,4 queremos o produto cartesiano A x B A x B = { 1,2, 1,3, 1,4, 2,2, 2,3, 2,4 } A B

3 Funções Uma Relação será função se: 1. Todo elemento do conjunto domínio (A) possui um elemento correspondente no conjunto contradomínio (B); 2. Qualquer que seja o elemento do domínio (A), so existe um u nico correspondente no seu contradominio (B).

4 Relação de Conjuntos A: conjunto dos anos de vida de uma criança. B: conjunto dos pesos dessa criança. A (anos) B (kg) ,

5 Funções A pressão do mar depende da profundidade, dizemos que a pressão é uma função da profundidade

6 Funções Seja a função f: A B tal que y = x 2 A = 0,1,2,3 B = { 2, 1,0,1,2} A B

7 Funções Seja a função f: A B tal que y = x 2 A = 2, 1,0,1,2 B = {0,1,2,3,4} A B

8 Funções Seja a função f: A B tal que y = 2 x A = 2, 1,0,1,2 B = {, 1,2,3,4} A B -2 0,25-1 0,

9 Domínio Imagem e Contra domínio A Seja a função f: A B tal que y = x 2 A = 0,1,2,3 B = { 2, 1,0,1,2} B -2 D f = {0,1,2,3} -1 I f = { 2, 1,0,1} 0 CD 1 f = { 2, 1,0,1,2} 2

10 Funções Seja a função f: R R tal que y = x 2 Seja a função f: R R tal que y = x 2 Seja a função f: R R tal que y = 2 x

11 Domínio Imagem e Contra domínio Pede-se: a. o domi nio da func a o; b. o conjunto imagem da func a o; c. o ponto de ma ximo de f; d. o valor mi nimo de f; e. o intervalo onde a func a o e decrescente.

12 Funções Injetora Uma função é injetora quando todos os elementos do domínio possuem, respectivamente, imagens diferente: x 1 x 2 D f f(x) f(y)

13 Funções Sobrejetora Uma função é sobrejetora quando o conjunto-imagem é o próprio contradomínio (B) da função.

14 Funções Bijetora Uma função é bijetora quando for simultaneamente injetora e sobrejetora.

15 Funções Como identificar quando uma função é injetora ou sobrejetora a partir do gráfico Exercícios

16 Exercícios

17 Exercícios

18 Exercícios

19 Função afim Uma função é dita do primeiro grau se, e somente se, a sua lei é da forma: f x = ax + b; com a R e b R. Exemplos: a) f(x) = 3x 5 a = b = 3 5 b) f(x) = 5x a = b = 5 0 c) f(x) = 9 a = b = 0 9 Função Constante

20 Função afim

21 Função afim

22 Função afim Para acharmos o gráfico de uma função afim, podemos nos deparar com dois casos 1. Dois pontos 2. Um ponto e o coeficiente linear (taxa de variação) y 4 2 (1,2) (3,4) 1 3 x

23 Exercícios Seja a função f: R R definida por f x = ax + b, e sabendo que (1; 1) e ( 1; 3) são elementos de f, determinar f( 17) Seja f: R R uma função tal que f x + 1 = 2f x 5 e f 0 = 6. O valor de f(2) é: Sendo f(x) uma func a o tal que 5. f(x) x. f(x 1) = 10 para qualquer x real, o valor de f(1) e :

24 Função composta A f x = x 2 B g x = 3x + 1 C x f(x) g(f(x)) g f x = 3x 5

25 Função composta Seja f: R R uma função tal que f x = 5x + 3 e um número b, tem-se f f b = 2. Então o valor de b é: Sejam f e g funções de R em R tais que: f x = 3x 2 e g x = 2x + 1, se f g m 1 1 = 3m g f m + 1, então f m + g(m) é igual a: (EsSa) Sejam as funções reais dadas por f x = 5x + 1 e g x = 3x 2. Se m = f(n), então g(m) vale:

26 Função composta Com base no gráfico da função y = f x, o valor de f f f 1

27 Função Inversa f f 1 x = f 1 f x = x 1. Consideramos a função inversível f cujo o gráfico é visto a seguir

28 Função Inversa f f 1 x = f 1 f x = x 2. Seja f: R R, em que b R x y = x 2 f 1 é: + b, sabendo-se que f f 4 = 2, a lei que define

29 Função Para produzir um objeto, uma firma gasta R$ 1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4000,00 independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$ 2,00 por unidade. Qual é o número mínimo de unidades, a partir do qua a firma começa a ter lucro? Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de R$800,00 mais uma comissão de 4% sobre as vendas do mês. Considerando que seu salário mensal é S e o total das vendas e V, escreva a função que representa quanto ele ganhará por mês: Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada mais R$ 0,70 por quilômetro rodado. Determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 18 quilômetros.

30 Função do segundo grau f(x) = a. x 2 + b. x + c, a 0 (forma parcelada) f(x) = a. (x x 1 ). (x x 2 ), a 0 (forma fatorada) x 1 e x 2 são as raízes

31 Função do segundo grau

32 Função do segundo grau

33 Função do segundo grau

34 Raízes f(x) = a. x 2 + b. x + c, a 0 b ± b 2 4ac 2a b ± 2a = b 2 4ac

35 Vértice 1. A função f x = x 2 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale: 2. A função f x = x 2 + 2x + 2 tem máximo: x 1 x 2 = b 2 4ac

36 Exercícios Obtenha o conjunto imagem da função quadrática definida nos reais y = 2x 2 + 4x O valor de k para que a função quadrática definida por f x = x 2 2x + k tenha valor mínimo y = 1 A parábola correspondente ao gráfico da função quadrática f x = x 2 4x + m tangencia o eixo das abscissas. O valor de m é:

37 Exercícios Vende litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é: Preco Litros Arrecadação , ( ).( ) ( ).( ) x x ( x).( x)

38 Exercícios Preco Litros Arrecadação , ,50-0, (1,50-0,01.1).( ) 1,50-0, (1,50-0,01.2).( ) ,50-0,01.x x (1,50-0,01.x).( x) f(x) = ( x). ( x) f x = x 100x x 2 f x = x x

39 Exercícios Deseja-se construir uma casa térrea de planta retangular. Determine as dimensões do retângulo em que a casa será construída, sabendo-se que seu perímetro é 60m e que a área deve ser máxima Um comerciante compra peças diretamente do fabricante ao preço de R$ 720,00 a caixa com 12 unidades. O preço de revenda sugerido pelo fabricante é de R$ 160,00 a unidade. A esse preço o comerciante costuma vender 30 caixas por mês. Contudo, a experiência tem mostrado que a cada R$ 5,00 que dá de desconto no preço sugerido, ele consegue vender 3 caixas a mais. Por quanto deve vender cada peça para que seu lucro mensal seja máximo?

40 Exercícios Um comerciante compra peças diretamente do fabricante ao preço de R$ 720,00 a caixa com 12 unidades. O preço de revenda sugerido pelo fabricante é de R$ 160,00 a unidade. A esse preço o comerciante costuma vender 30 caixas por mês. Contudo, a experiência tem mostrado que a cada R$ 5,00 que dá de desconto no preço sugerido, ele consegue vender 3 caixas a mais. Por quanto deve vender cada peça para que seu lucro mensal seja máximo? Preco Peças Arrecadação Custo Lucro ( ).( ) 60.( ) ( ).( ) 60.( ) x x ( x).(160-5.x) 60.( x)

41 Exercícios Preco Peças Arrecadação Custo Lucro ( ).( ) 60.( ) ( ).( ) 60.( ) x x ( x).(160-5.x) 60.( x) Lucro = ( x). ( x) 60. ( x) Lucro = 180. x² x

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