MATEMÁTICA. Aula 04. Função Uma Ideia Fundamental Professor Luciano Nóbrega

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1 MATEMÁTICA 1 A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens. (Renê Descartes Filósofo, Físico e Matemático Françês) Aula 04 Função Uma Ideia Fundamental Professor Luciano Nóbrega

2 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO 2 A função é como uma máquina onde entram que são transformados e saem suas Matematicamente... Entra o x E sai o y. IMAGENS y 12 f(x) elementos O domínio é o conjunto de todas as entradas, enquanto a imagem é o conjunto de todas as saídas. 117 JOGO DE ADIVINHAÇÃO Consiste no seguinte: O Professor pede a um aluno que diga um número natural em voz alta e imediatamente em seguida o Professor responde dizendo outro número. Marca 1 ponto quem adivinhar primeiro qual é o padrão utilizado pelo Professor para responder o número.

3 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO Os fenômenos não ocorrem de forma isolada e sim em função da relação entre grandezas. Sendo assim, relacione as duas colunas: (A) Lucro de uma empresa ( ) Quantidade de Km rodados. (B) Quantidade de bactérias ( ) Medida do lado (C) Pressão em um mergulho ( ) Medida do raio (D) Medida de uma circunferência ( ) Quantidade de vendas (E) Área de um quadrado ( ) Profundidade (F) Valor pago em um táxi ( ) Tempo decorrido INTERPRETANDO A FUNÇÃO POR MEIO DE UM CONJUNTO Considere os seguintes conjuntos A e B A é o Conjunto DOMÍNIO A Definição de Função: f B Conjunto IMAGEM B é o Conjunto CONTRADOMÍNIO Dados dois conjuntos A e B, se para cada valor de x (x Є A) existir, em correspondência, um único valor de y (y Є B), então dizemos que y está em função de x. NOTAÇÃO: f (x) = y

4 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO 4 a b c 119 Considere os diagramas: x y z w a b c x y z w a b c y z (I) (II) (III) (IV) Assinale a alternativa correta: A) Somente a (IV) representa uma função. B) Somente a (I) e (IV) representam funções. C) Todas representam funções. D) Somente a (II) e (III) representam funções. 120 (UFRJ) Considere a relação de M em N, representada no diagrama abaixo. Para que seja uma função de M em N, basta: A) apagar a seta (1) e retirar o elemento s; B) apagar a setas (1) e (4) e retirar o elemento k; C) apagar a seta (4) e retirar o elemento k; D) apagar a seta (2) e retirar o elemento k. 121 Dada a função f (x) = ax + b, calcule o valor de a e b, sabendo que f (1) = 10 e f ( 1) = Dada a função f (x) = ax + b, sabendo que f (2) = 3 e f (1) = 2, calcule f ( 1). a y

5 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO Seja a função f: R R, definida por f(x) = x 2 3x + 5, determine: a) f(0), ou seja, o termo independente b) f(1), ou seja, a soma dos coeficientes c) f(2) f( 2) d) A imagem de x = 3 e) O valor de x, para y = Seja as funções de R R, definidas por f(x) = 2x e g(x) = m x, determine o valor de m, para que se tenha f( 1) + g(3) = Seja a função f: R R, definidas por para todo x R. Determine a, de tal forma que f(a) = f(a 4). 126 Considere as funções f(x) = 2x + m e g(x) = x 2 x + 4. Sabendo que f(2) = 6, determine a soma dos valores de x para que f(x) = g(x) (UFRN) Determine o valor da expressão 1 3a 1 3a para a = 1. A) 32 / 3 B) 32 / 3 C) 0,32 D) 0, a 2a 128 Determine o domínio das funções: a) f (x) = (x 7) 1 b) f(x) = (3x 1) 1/2 c) f(x) = (x + 1) 1/2 + (x 3) 1/2 d) f(x) = (2x 2 + x 1) 1 e) f(x) = (1 x) 1/2. x 1/2

6 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO 129 (UFPE) Observe a seguir a ilustração de uma operação correta de adição, na qual as parcelas e a soma estão expressas no sistema decimal de numeração hindu arábico e x, y e z são algarismos entre 0 e 9. Quanto vale x + y + z? A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 8 x 3 y 8 7 _ 5 7 z_ (UFCE) Qual dos gráficos ao lado não pode representar uma função? 131 Dados os pontos A( 3, 2), C(2, 2), E(4, 2), G(2, 5), I(0, 3), J( 1, 4) e L( 5, 3). a) Marque no plano cartesiano ao lado os pontos supra citados. b) Determine as coordenadas dos pontos B, D, F, H, K e M. c) Ligue os pontos na ordem alfabética. Feche a figura, ligando os pontos M e A. d) O gráfico formado representa uma função? Por quê? Vamos formalizar o estudo do Plano Cartesiano.

7 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO COORDENADAS CARTESIANAS PLANO CARTESIANO 2º Quadrante Q(-x, +y) y Eixo das ordenadas 1º Quadrante P(+x, +y) 7 S(+x, -y) R(-x, -y) 3º Quadrante 4º Quadrante x Eixo das abscissas Todo ponto possui uma coordenada dada por um par ordenado (x, y); 132 Esboçe, atribuindo valores, os gráficos das funções e, em seguida, determine suas respectivas imagens. a) f(x) = 2x b) f(x) = 2x 1 c) f(x) = 2x + 1 d) f(x) = x 2 e) f(x) = x 2 3 f) f(x) = x g) f(x) = x 2 3x h) f(x) = x 2 + 3x i ) f(x) = x 2 + 5x 6

8 FUNÇÃO COMPOSTA Considere as funções f: A B e g: B C, então a função h: A C é a função composta g(f(x)), com x A. A NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO B C 8 x f(x) g(f(x)) x = 5 EXEMPLO: f(x) = x+2 e g(x) = x 2, então g(f(x)) =? 133 Sejam as funções f(x) = x 2 1 e g(x) = 3x, calcule: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) e) f(g( 1)) 134 Considere as funções f(x) = x 2 5x + 6 e g(x) = x + 1, determine: a) f(g(x)) b) Se f(g(x)) = 0, x =? c) Se g(g(x)) = 1, x =? 135 (IFRN) Se f(g(x)) = 4x 2 8x + 6 e g(x) = 2x 1, então f (2) é igual a: A) 2 B) 1 C) 3 D) 5 E) (IFRN) Dadas as funções f(x) = 3x + 4 e f(g(x)) = x 5, então g( 3) é igual a: A) 4 B) 3 C) 3 D) 4 E) 5

9 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO 9 FUNÇÃO COMPOSTA 137 Dadas f(x) = x 2 4 e g(x) = 2x + 1, determine: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) e) f(g( 7)) 138 Sendo f(x) = 2x 5 e g(x) = 3x + m. determine m de modo que f(g(x)) = g(f(x)). 139 Se f(g(x)) = 6x 13 e g(x) = 3x + 2, calcule o valor de f (7). 140 Sendo f(x) = 2x 10 e g(x) = x 2 100, calcule x para g(f(x)) = Sejam f(x) = x 2 2x 3 e g(x) = 4x + m. Sabendo que f(g( 1)) = 12, calcule o valor de m. 142 Considere as funções f(x) = 2x + 1, g(x) = 5x + 9 e h(x) = 6x 2, determine: a) f(g(h(x))) b) h(g(f(x))) c) g(f(h(x))) d) g(h(f(x))) 143 Dada a função f(x + 1) = x 2, determine: a) f(4) b) f(a) 144 (UFCE) Seja f: R R tal que f(1) = 4 e f(x + 1) = 4.f(x) para todo x real. Nestas condições, f(10) é igual a: A) 2 10 B) 4 10 C) 2 10 D) 4 10

10 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO FUNÇÃO INVERSA Inicialmente, vamos conhecer alguns conceitos importantes: FUNÇÃO INJETORA É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B. 10 Ou seja, x diferente, tem y diferente!!! FUNÇÃO SOBREJETORA É quando o conjunto Imagem da função for igual ao conjunto contradomínio. ( Im = CD ). FUNÇÃO BIJETORA É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora. Ou seja, NÃO pode sobrar y!!! 145 Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas: (UFRN) Seja B o conjunto formado por todos os brasileiros e R o conjunto dos números reais. Se f: B R é a função que associa a cada brasileiro sua altura, medida em centímetros, então f : A) é injetora e não é sobrejetora. B) é injetora e é sobrejetora. C) não é injetora e é sobrejetora. D) não é injetora e não é sobrejetora

11 D x NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO FUNÇÃO INVERSA Uma função f(x) tem inversa se e somente ela for bijetora. Para determiná-la, basta seguir o procedimento: 1º) Isola x ; OBS: O símbolo 1 em f 1 (x) não é 2º) Troca x por y e vice versa. um expoente. f 1 (x) não significa 1 / f(x). f(x) f -1 (x) OBS: Os gráficos de f(x) e f 1 (x) são simétricos em relação a função y = x. y R A função inversa f 1 (x) desfaz o que a função f(x) faz. Sendo f(x) = 2x + 1, determine f 1 (x). Em seguida, calcule f(3) e f 1 (7). 148 Se f (1) = 5 e f (8) = 10, determine f 1 (5) e f 1 ( 10). 149 (UFSE) Considere a função bijetora y = ( 3x 1) : (x + 3), a expressão que define sua inversa é: A) (x + 3) : ( 3x 1) B) ( 3x + 1) : ( 3 x) C) ( 2x 1) : (x + 1) D) ( 3x 1) : (x + 3)

12 NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO FUNÇÃO INVERSA 150 (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E. Se f: E P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores, então: A) f é uma função sobrejetora. B) f não pode ser uma função bijetora. C) f não pode ser uma função injetora. D) f é necessariamente uma função injetora. 151 Dadas as funções ƒ(x) = 5x + 1 e g(x) = 6x + 6, resolva a equação ƒ -1 (g(x)) = 7, seguindo o procedimento em cada item: a) Determine ƒ -1 (x); b) Na função ƒ -1 (x) obtida no item (a), substitua x por g(x), em seguida, iguale a 7 e resolva a equação; 152 Dadas as funções ƒ(x) = 2x + 1 e g(x) = x 2, resolva a equação ƒ -1 (g(x)) = Dada a função f(x) = 2x + 5. Determine: a) f 1 (x); b) f(f 1 (x)) c) f 1 (f(x)) d) f(f 1 (7)) 154 Represente em um mesmo plano cartesiano, o gráfico da função f(x) = x, g(x) = 2 3x e g 1 (x). O que você pode observar? 12

13 MATEMÁTICA 13 Eu sou um Matemático! E você? Antes de responder, saibas o significado dessa bela palavra de origem grega. Mathematikós = Disposto à aprender. (Professor Luciano Nóbrega) Aula 05 Função Polinomial do 1º Grau Professor Luciano Nóbrega

14 14 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Uma função polinomial do 1º grau (ou simplesmente, função do 1º grau) é uma relação entre a variável dependente y e a variável independente x de grau 1. EXEMPLOS: f(x) = 3x + 2; f(x) = ( ½).x f(x) = 5 2x f(x) = (2 x) / 7 Podemos observar que a forma algébrica é do tipo f(x) = ax + b, onde a e b são números reais, x é a variável independente e y é a variável dependente de x. OBS: Lembre se que f(x) = y y = f(x) 155 Determine os valores de a e b nos exemplos acima. CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES DO 1º GRAU (ou função afim) Função Linear f(x) = ax, com a R*, ou seja, b = 0. Função Identidade f(x) = x. Função Constante f(x) = b, com b R*, ou seja a = 0 Função Nula f(x) = 0. OBS: Essas duas últimas não são do 1º grau. 156 Simplifique as funções e classifique-as quanto a serem: Linear; Nula; Constante ou Identidade 157 Determine a função afim a) f(x) = 3.(x+1) + 4(x 1) + 7 f(x) = ax + b, sendo: b) f(x) = (x+2) 2 (x+2)(x 2) 4.(x +2) a) f(1) = 5 e f( 3) = 7 c) f(x) = (x 3) 2 x(x 5) + x b) f( 1) = 7 e f(2) = 1 d) (x 4) 2 + (x+4)(x 4) c) f(5) = 1 e f( 2) = 3

15 15 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 158 Num determinado dia registaram-se as temperaturas numa certa cidade, de hora a hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das temperaturas em função da hora do dia. Indique: a) o domínio; b) a imagem; c) Quais as horas do dia em que se registou a temperatura 3ºC? d) Este gráfico representa uma função? Justifique. 159 Ainda em relação ao gráfico da questão anterior, represente os intervalos que a respectiva função pode ser classificada como: a) constante; b) linear 160 (UFRN) Na figura abaixo, tem-se o gráfico de uma reta que representa a quantidade, medida em m, de um medicamento que uma pessoa deve tomar em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção. O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em cada dose: A) 7 m B) 9 m C) 8 m D) 10 m

16 16 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU COEFICIENTE ANGULAR E LINEAR O coeficiente angular de uma reta representa a inclinação dessa reta. Observe a figura: 161 No triângulo retângulo destacado, calcule tg β. y LEMBRE SE: tg β = cateto oposto a β_ cateto adjacente a β y 2 y 1 x 1 x 2 OBS 2 : O coeficiente b é denominado coeficiente linear, ele determina o ponto em que a reta corta o eixo y. ß 162 A partir do resultado da questãao anterior, fazendo tg β = m e isolando y 2 y 1, que expressão obtemos? 163 Utilize as expressões obtidas nos exercícios anteriores para determinar a equação da reta que passa pelos pontos A (2, 3) e B (6, 6). x OBS 1 : Na função do 1º grau f(x) = ax + b, o coeficiente a é denominado coeficiente angular, tem-se que tg β = a, e portanto a determina o grau de inclinação da reta. 164 Dados o coeficiente angular m = 1 e o ponto P( 2, 3), determine a equação da reta

17 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Em um mesmo plano cartesiano, construa os gráficos das funções f(x) = 2x + 1, g(x) = 2x 1 e h(x) = 2x. Em seguida, responda: a) Os gráficos tem algum ponto em comum? b) As retas são paralelas entre si? c) Quais os coeficientes angulares das funções? d) Quais os coeficientes lineares? 166 Em um mesmo plano cartesiano, construa os gráficos das funções f(x) = 3x 2, g(x) = x e h(x) = f 1 (x). Em seguida, responda aos mesmos itens da questão anterior. RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU É todo número x que possui imagem nula. Isto é, f(x) = Determine a raiz (ou zero) de cada uma das seguintes equações: a) f(x) = 2x + 5 b) f(x) = ax + b c) f(x) = ( 1 / 3 )x + 3 d) f(x) = 4x f(x) = x + 2 FUNÇÃO CRESCENTE OU DECRESCENTE CRESCENTE A função é crescente se o coeficiente angular for positivo. Ex: y = 2x +1 a = 2 a > 0 FUNÇÃO CRESCENTE DECRESCENTE A função é decrescente se o coeficiente angular for negativo. Ex: y = x + 3 a = 1 a < 0 FUNÇÃO DECRESCENTE 168 Classifique entre crescente ou decrescente as funções da questão anterior:

18 18 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU INEQUAÇÕES DO 1º GRAU Uma inequação do 1º grau pode ser definida como uma função do 1º grau que apresenta um sinal de desigualdade. Assim: ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b 0 ax + b Determine todos os possíveis números inteiros positivos para os quais satisfaça a inequação 3x + 5 < Resolva as inequações: < < 171 Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00 o lucro final será dado em função das x unidades vendidas. Responda. a) Qual a lei dessa função? b) Para que valores de x temos f (x) < 0? c) Como a resposta ao item (b) pode ser interpretada? d) Para que valor de x haverá um lucro de R$ 315,00? e) Para que valores de x o lucro será maior que R$ 280,00? f) Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00?

19 19 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 172 (UFRS) Certo dia de janeiro, a temperatura em São Leopoldo, situada no interior do Rio Grande do Sul, subiu uniformemente desde 23 C, às 10 h, até 38 C, às 15 h. Fazendo-se um gráfico cartesiano que representa tal situação térmica, no qual se marca os tempos (em horas) nas abscissas e as temperaturas (em graus centígrados) nas ordenadas, obtem-se o segmento de reta AB, como mostra a figura. a) Encontre uma função que indique a temperatura em São Leopoldo em função do tempo verificada no intervalo [10,15]. b) A partir de que horas a temperatura ultrapassa 32º? 173 (UFRS) Uma locadora de veículos apresenta, para aluguel de certo tipo de carro a seguinte tabela: Em uma diária, com percurso não superior a 100 km, para que a 2ª opção seja menor em reais, é necessário que o número de quilômetros percorridos pelo locatário pertença ao intervalo: A) [60, 100] B) ]60, 100] C) [0, 60[ D) ]60, 100[ E) [0, 60]

20 20 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 174 (FUVEST) A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do Oceano Atlântico (ao nível do Equador) em função da profundidade: Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear entre cada uma das medições feitas para a profundidade, a temperatura prevista para a profundidade de 400m é de: A) 16ºC B) 14ºC C) 12ºC D) 10,5ºC e) 8ºC 175 (UFRJ) Uma fábrica produz óleo de soja por encomenda, de modo que a produção é comercializada. O custo de produção é composto de duas parcelas. Uma parcela fixa, independente do volume produzido, corresponde a gastos com aluguel, manutenção de equipamentos, salários, etc; a outra parcela é variável, dependente da quantidade de óleo fabricado. No gráfico a seguir, a reta r 1 representa o custo de produção e a reta r 2 descreve o faturamento da empresa, ambos em função do número de litros comercializados. A escala é tal que uma unidade representa R$ 1.000,00 (mil reais) no eixo das ordenadas e 1000 (mil litros) no eixo das abscissas. a) Determine em reais, o custo correspondente à parcela fixa; b) Determine o volume mínimo de óleo a ser produzido para que a empresa não tenha prejuízo.

21 21 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 176 (UFRN) Seja a função linear y = ax 4. Se y = 10 para x = 2, então o valor de y para x = 1 é: A) 3 B) 4 C) 7 D) 11 E) NDA 177 (UFRJ) O gráfico ao lado expressa a temperatura em graus Fahrenheit em função da temperatura em graus Celsius. a) Encontre a equação que expressa os graus Fahrenheit em função dos graus Celsius; b) Determine o valor aproximado da temperatura na escala Celsius correspondente a zero graus Fahrenheit. 178 (UFPB) Considere a função bijetora f: R R definida por f(x) = 2x + b, onde b é uma constante. Sendo f 1 (x) a sua inversa, qual o valor de b sabendo que f 1 (x) passa pelo ponto A (1, 2)? 179 (UFCE) Se f: R R é a função dada por f(x) = 100x 5, então o valor de é: A) 10 1 B) 1 C) 10 D) 10 2

22 GABARITO 117) Dinâmica em Grupo. 118) F, E, D, A, C e B 119) B 120) C 121) a = 3 e b = 7 122) ) a) 5 b) 3 c) 12 d) 23 e) x = 1 ou x = 2 124) m = 4 125) a = 2 126) x = 1 ou x = 2 127) A 128) a) R {7} b) x 1 / 3 c) x > 3 d) x = ½ ou x = 1 e) 0 < x 1 129) B 130) D 131) a) Gráfico b) B (0, 4) ; D (4, 0) ; F (3, 4) ; H (1, 4) ; K ( 3, 5) c) Gráfico d) Não, porque nesse gráfico existem x que se correspondem com mais de um y. 132) a) R b) R c) R d) y 0 e) y 3 f) y 3 g) y 2,25 h) y 2,25 i) y g) y 0,25 133) a) 9x 2 1 b) 3x 2 3 c) x 4 2x 2 d) 9x e) 8 134) a) x 2 3x + 2 b) x = 1 ou x = 2 c) x = 1 135) C 136) A 137) a) 4x 2 + 4x + 5 b) 2x 2 7 c) x 4 8x d) 4x + 3 e) ) m = ) 3 140) x = 0 ou x = ) m = 1 ou m = 9 142) a) 60x b) 600x x c) 60x d) 120x x ) a) 9 b) a 2 2a ) A) 145) Injetora; Sobrejetora; Bijetora e NDA 146) D 147) f 1 (x) = (x 1) / 2 ; f(3) = 7 ; f 1 (x) = 3 148) f 1 (5) = 1 ; f 1 ( 10) = 8 149) B 150) A 151) x = 6 152) x = ± 5 153) a) f 1 (x) = (x 5) / 2 ; b) x c) x d) 7 154) Os gráficos de g(x) e g 1 (x) são simétricos a f(x) = x 155) a) a = 3 e b = 2 ; b) a = 1 / 2 e b = 0 ; c) a = 2 e b = 5 ; d) a = 1 / 7 e b = 2 / 7 156) a) f(x) = x Função Identidade Cont. 156) b) f(x) = 0 Função Nula ; c) f(x) = 9 Função Constante ; d) f(x) = 8x Função Linear 157) a) a = 3 e b = 2 ; b) a = 2 e b = 5 ; c) a = 4 / 7 e b = 13 / 7 158) a) D f = [0;24] b) Im f = [ 3; 6] c) 8h e das 15 às 17 h d) Sim. Pois, para cada hora corresponde uma, e só uma, temperatura. 159) a) [2; 4], [15; 17] e [20; 22] b) [0; 2] 160) B 161) (y2 y1) / (x2 x1) 162) y 2 y 1 = m.(x 2 x 1 ) 163) y = 0,75x +1,5 164) y = x 5 165) a) Não b) Sim c) 2 em todas d) 1, 1 e 0 166) a) Sim b) Não c) 3, 1 e 1 / 3 d) 2, 0 e 2 / 3

23 GABARITO 167) a) x = 5/2 b) x = b/a c) x = 9 d) x = 0 e) x = 2 168) a) b) c) Crescentes ; d) e) Decrescentes ) S = {1, 2, 3} 170) a) 2 x 1 / 2 b) x< 1 ou x > 3 / 2 c) x 14 d) 0 x < 4 e) 2 x < 4 f) 1 / 2 x < 3 171) a) f(x) = 5x 230 b) x < 46 c) Terá prejuízo se vender menos que 46 unidades. d) x = 109 e) x > 102 f) 66 < x < ) f(x) = 3x 7 b) 13 hrs 173) B 174) D 175) a) 10 mil reais b) 10 mil litros 176) A 177) a) f(x) = 1,8x + 32 b) x = ) b = 5 179) D

24 A Matemática é como um jogo. Aprenda a jogar e você vai se divertir com ela. (Francisco das Chagas Gomes Meu Pai) Foi colocado uma planta num lago que todos os dias aumenta para o dobro do seu tamanho. Ao fim de quinze dias já ocupava metade do lago. Daí a quantos dias cobrirá o lago inteiro? Vá correndo acessar... Você só paga R$ 5,00 (Brincadeirinha... É de graça!)