INEQUAÇÕES ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA. Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 1

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1 ANÁLISE DE MÉTODOS M MÁTEMÁTICOSTICOS INEQUAÇÕES Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 1

2 ANÁLISE DE MÉTODOS M MÁTEMÁTICOS TICOS I INEQUAÇÕES 1º GRAU Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 2

3 INEQUAÇÕES DE 1º 1 GRAU i) simples Resolver como uma equação de 1º grau, isolando x e caso multiplicar por (-1) a inequação terá a desigualdade invertida. Exemplos: x 3 5 x x + 5 > 2 x 3 Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 3

4 INEQUAÇÕES DE 1º 1 GRAU ii) Produto e quociente Resolver cada função separadamente: 1º Passo: determine o zero de cada função. 2º Passo: Estude o sinal da função verificando se a mesma é crescente ou decrescente e determine os sinais. 3º Passo: Monte o quadro do produto e/ou do quociente e faça o jogo de sinais. 4º Passo: Através da desigualdade determine se o intervalo é aberto ou fechado e ainda se a condição exige sinal é positivo ou negativo. Obs.: Caso seja inequação do tipo quociente o denominador deve ser sempre aberto independente do sinal da desigualdade. Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 4

5 INEQUAÇÕES DE 1º 1 GRAU Exemplos: a ) b ) c ) d ) ( x + 2 ).( 2 x 1) > 0 4 2x 0 ( x + 1 ).( x + 2 ) 2 x x + 1 (1 2 x ).( 4 x + 3) 0 ( 4 x ) Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 5

6 1.Um comerciante gastou R$ 300,00 na compra de um lote de maçãs. Como cada maçã será vendida a R$ 2,00, ele deseja saber quantas maçãs devem ser vendidas para que haja lucro no final da venda. Resolução: Resultado final (receita despesa) é dado em função do número x de maçãs vendidas e a lei da função é f(x) = 2x 300, logo: f(x) > 0, ou seja, para que haja lucro é necessário vender mais de 150 maçãs. Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 6

7 2. Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00, o lucro final será dado em função das x unidades vendidas. Responda: a) Qual a lei de formação dessa função f? b) Para que valores de x temos f(x)<0? Como pode ser interpretado esse caso? c) Para que valor de x haverá um lucro de R$ 315,00? d) Para que valores de x o lucro será maior que R$ 280,00? e) Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00? Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 7

8 3. Numa pequena indústria, o faturamento líquido relativo a um certo produto é calculado pela fórmula f(x) = 4x -1000, onde f(x) representa o faturamento líquido de x unidades vendidas. Faça um estudo do comportamento dessa função e determine a quantidade mínima de unidades que devem ser vendidas para que haja lucro. Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 8

9 4. João possui um terreno de m 2, no qual pretende construir uma casa. Ao engenheiro responsável pela planta, ele impõe as seguintes condições: a área destinada ao lazer (piscina, churrasqueira etc.) deve ter 200 m 2, e a área interna da casa mais a área de lazer devem ultrapassar 50% da área total do terreno; além disso, o custo para construir a casa deverá ser de, no máximo, R$ ,00. Sabendo que o metro quadrado construído nessa região custa R$ 500,00, qual é a área interna da casa que o engenheiro poderá projetar? Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 9

10 5. A empresa de programas de computador Comp paga a seus vendedores R$ 2,00 por programa vendido, mais uma quantidade fixa de R$ 800,00. Uma outra empresa concorrente, a Soft, para R$ 2,50 por programa vendido, mais um fixo de R$ 500,00. Qual a quantidade mínima de programas que um vendedor da Soft deve vender para ganhar mais que um vendedor da Comp? Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 10

11 6. Quando uma família tem uma renda mensal de R$ 5 000,00, ela consome R$ 4 800,00 por mês; quando a renda é R$ 8 000,00, ela consome R$ 7 200,00. a) Chamando de x a renda mensal e de C, o consumo, obtenha C em função de x, sabendo que o gráfico de C em função de x é uma reta. b) Chama-se poupança mensal da família (P) à renda mensal menos o correspondente consumo. Obtenha P em função de x e encontre os valores da renda para os quais a poupança é maior que R$ 1 000,00 Prof. Msc. Armando Paulo da Silva 11

12 7. Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, recolhe-se a um spa onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições: a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após n semanas; b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no spa para sair de lá com menos de 120 kg de peso. Prof. Msc. Armando Paulo da Silva 12

13 8. Uma empresa A paga a cada um de seus vendedores uma remuneração mensal que é função do 1º grau de suas vendas mensais. Quando ele vende R$ ,00, sua remuneração é R$ 1 800,00, e quando vende R$ ,00 sua remuneração é R$ 2 400,00. a) Obter a remuneração R A em função das vendas (x). b) Uma outra empresa B paga a cada um de seus vendedores uma remuneração mensal R B = ,01x, onde x são as vendas mensais. Para que valores de x a remuneração mensal do vendedor em A é superior à do vendedor em B? Prof. Msc. Armando Paulo da Silva 13

14 9. Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e a da última prova é multiplicada por 3. Os resultados, após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por este critério for maior ou igual a 6,5, o aluno é dispensado das atividades de recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda. Quanto precisará tirar na terceira para ser dispensado da recuperação? Prof. Msc. Armando Paulo da Silva 14

15 ANÁLISE DE MÉTODOS M MÁTEMÁTICOS TICOS I INEQUAÇÕES 2º GRAU Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 15

16 i) Simples: INEQUAÇÕES DE 2º 2 GRAU Resolver a inequação da seguinte forma: 1º Passo: determine o(s) zero(s) da função, caso existir. 2º Passo: Estude o sinal da função verificando se a concavidade da mesma é para cima ou para baixo e determine os sinais. 3º Passo: Através da desigualdade determine se o intervalo é aberto ou fechado e ainda se a condição exige o sinal é positivo ou negativo. Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 16

17 INEQUAÇÕES DE 2º 2 GRAU Exemplos: 2 a) x + x + 1 > 0 b) x + 1< 0 2 Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 17

18 INEQUAÇÕES DE 2º 2 GRAU ii) Produto e quociente: Resolve-se separadamente cada função e faz-se o jogo de sinal. ( análogo a inequação do 1º grau). Exemplos: a)( x 2 4).( x 2 + 2x + 3) > 0 b x ) 2 x x x Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 18

19 1. O Lucro de uma empresa é dado por L(x)=100(10-x)(x-2), onde x é a quantidade vendida. Podemos afirmar que: a) O lucro é positivo qualquer que seja x; b) O lucro é positivo para x maior do que 10; c) O lucro é positivo para x entre 2 e 10; d) O lucro é máximo para x igual a 10; e) O lucro é máximo para x igual a 3. Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 19

20 2. O dono de uma marcenaria, que fabrica um certo tipo de armário, sabe que o número de armários N que ele pode fabricar por mês depende do número x de funcionários trabalhando na marcenaria, e essa dependência é dada pela função N(x)= x 2 +2x. Qual é o número de empregados necessários para fabricar mais de 168 armários em um mês? Prof. Msc. Armando Paulo da Silva 20

21 3. A medida do lado de um quadrado é l e as medidas dos lados de um retângulo 2l e 3. Determine o menor valor inteiro de l para que a área do quadrado seja maior que a área do retângulo. Prof. Msc. Armando Paulo da Silva 21

22 4. A receita mensal (em reais) de uma empresa é R= p 2 000p 2, onde p é o preço de venda de cada unidade ( ). 0 p 10 a) Qual o preço p que deve ser cobrado para dar uma receita de R$ ,00? b) Para que valores de p a receita é inferior a R$ ,00? Prof. Msc. Armando Paulo da Silva 22

23 DOMÍNIO DE FUNÇÕES REAIS Definição: é o valor de x, para os quais a função existe ou é o campo de existência da função. Temos duas condições básicas: 1ª condição: Se a função for uma fração Se f(x) = N(x) D(x) temos : Dom : D(x) 2ª condição: Se a função for uma raiz de índice par Se n f ( x) = R( x) sendo n par, temos: Dom: R( x) 0 Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 23 0

24 DOMÍNIO DE FUNÇÕES REAIS Pode-se encontrar as seguintes situações: SITUAÇÃO 1) f (x) = n N(x) D(x) CONDIÇÃO Se n é par, temos: N(x) 0 e D(x) 0 Neste caso devemos fazer a intersercção Se n é ímpar, temos: D(x) 0 2) 3) f (x) = f ( x) = N(x) n D(x) n n N( x) D( x) Se n é par, temos: D ( x) > 0 Se n é ímpar, temos: D(x) 0 Se n é par, temos: N(x) 0 e D (x) > 0 Neste caso devemos fazer a intersercção Se n é ímpar, temos: D(x) 0 Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 24

25 DOMÍNIO DE FUNÇÕES REAIS Pode-se encontrar as seguintes situações: SITUAÇÃO 4) f (x) = n g(x).h(x) 5) n 6) CONDIÇÃO Se n é par, temos: g(x).h(x) 0 Neste caso devemos resolver a inequação do produto Se n é ímpar, temos: = R N(x) N(x) f (x) = Se n é par, temos: 0 D(x) D(x) N(x) G(x) f(x) = + D(x) 4 H(x) Df Neste caso devemos resolver a inequação do quociente Se n é ímpar, temos: D(x) 0 Caso aparecer mais de uma função, devemos resolver cada uma e fazer a intersecção de seus resultados, neste caso temos: D(x) H(x) Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva 25