Capítulo 4: INEQUAÇÕES. Uma equação é uma igualdade, logo usa-se o sinal de =.

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1 1 Capítulo 4: INEQUAÇÕES Uma equação é uma igualdade, logo usa-se o sinal de =. Por outro lado, uma inequação é uma desigualdade, então, em vez de um sinal de igual, usam-se sinais de: > Maior que < Menor que Maior que ou igual a Menor que ou igual a Diferente de Propriedades de inequações: A) Inequações equivalentes B) Produto de inequações C) Inequação quociente D) Inequações de primeiro grau; E) Inequações de segundo grau A) Inequações equivalentes: 1) Se A B então A + C B + C Exemplo: Se x 4 8, então x ) Se C > O e A B então CA CB Exemplo: Se 13x 0, então 13x ) Se C < 0 e A B, então CA CB Exemplo: Se x 3, então x ) Se A B e C D então A + C B + D Exemplo: Se x 3 e y 4, então x + y 8 + 5

2 B) Produto de inequações: Alguma inequações apresentam produtos de funções. Neste caso: - fazer a análise de sinais de todas as funções e; - determinar a solução pela intersecção do estudo de sinais das funções da inequações. Exemplo: Determine os valores de x que satisfaçam a desigualdade abaixo: ( 3x + 6) (5x 7) < 0 Equação 1 Primeiro, o estudo do sinal de cada função 3x + 6 = 0 x = Equação 5x 7 = 0 x = 7/5 Equação 3 Em seguida, faz-se os gráficos de sinais de cada função (Figura 1): Figura 1. Análise de sinais para as Equações e 3. E por último a análise de sinal de cada função (Figura ): Figura. Análise de sinais da Equação 1.

3 3 Como a inequação requer valores que sejam menores que 0 escrevemos que o conjunto solução da inequação será: S = {x R x < 7 ou x > } 5 C) Inequação quociente: Na resolução da inequação quociente, utilizamos os mesmos recursos da inequação produto - o que difere é que: a função expressa no denominador não pode ser igual a zero. Nesse caso, adotamos valores ou maiores ou menores que zero. Exemplo: Determine o conjunto solução para a inequação abaixo: x + 5 x 0 Equação 4 Como o x no denominador não pode ser igual a dois, pode-se afirmar que o valor de x é diferente de. x 0 x Equação 5 Agora, o estudo de sinal da função no numerador: x + 5 = 0 x = 5 Equação 6 Sendo assim, tem-se que (Figura 3): Figura 3. Análise de sinais para Equação 5 e 6. Como consequência, a análise de sinais para a Equação 4 torna-se (Figura 4):

4 4 Figura 4. Análise de sinais para Equação 4. Logo o estudo de sinais do sistema é: S = {x R x 5 x > } D) Inequação de primeiro grau Uma inequação é de primeiro grau se apresentar uma desigualdade, o coeficiente de x tiver expoente 1 e este expoente for o de maior grau na expressão. Uma inequação é de primeiro grau se: ax + b > 0 ou ax + b < 0 ax + b 0 ou ax + b 0 Em que a 0 e a e b são constantes reais. Para resolvermos uma inequação de primeiro grau, devemos: 1. Igualar a sentença do 1 grau a zero e achar os valores de x possíveis: 3. Estudar o sinal da função correspondente. As inequações do primeiro grau sempre têm infinitas soluções, que podem ser apresentadas usando a notação de conjunto, mostrado abaixo. Exemplo: 1 x x x 150 x 300 Solução = {x R x 300 } = ( : 300]

5 5 E) Inequações de segundo grau Uma inequação é de grau se apresentar uma desigualdade, haver um termo onde o expoente de x for e este for o maior o de maior grau em toda a expressão. ax + bx + c > 0 ou ax + bx + c < 0; ax + bx + c 0 ou ax + bx + c 0. Em que a 0 e a e b são constantes reais. Para resolvermos uma inequação de segundo grau, devemos: 1. Igualar a sentença do grau a zero;. Determinar (se existir) as raízes da equação; Equação de Bhaskara 3. Estudar o sinal da função correspondente (Figura 5). Concavidade para baixo (ax >0) Concavidade para cima (ax <0) Figura 5. Estudo de sinais da inequação de segundo grau de acordo com as raízes.

6 6 Exemplo: 3x + x 1 0 Equação 7 Primeiro, achar as raízes: x 1 = 1 3 ; x = 1. Depois, fazer estudo de sinal: Figura 6. Estudo de sinais da equação 7. S = {x R 1 x < 1} 3 Lista de Exercícios Inequações: 1. Determine os valores de x em R que satisfaçam as seguintes inequações: a) 3x > x + 14 b) 3 x < 5 + x c) x 18 > 4x 38 d) x + 1 x + 6 e) x + 3 > x 1 f) x 3 < x + g) (3x + 1) (x + 1) 0 h) (x + 4) (x 4) < 0 i) (x 3) (x + ) > 0 j) (x 5) (x + 4) 0 k) (3x + 1) (x + 1) 0 l) (x ) < x 1 m) x x 3 0 n) 8x 3 4x x + 1 < 0 o) x 4 x

7 7. Determine os valores de x em R que satisfaçam as seguintes inequações: a) x 3 x+1 0 b) x x 1 > 0 c) 3x+9 6x+3 > 0 d) 5 x < 3 4 e) 3x + x 3 + x 6 > 0 f) 1 x+1 > 3 x 3. Determine os valores de x em R que satisfaçam as seguintes inequações: a) 6 < 9x 3 < 1 b) 13 < x + 3 < 15 c) 4 < x+3 < d) 9 < 4x+7 e) < x+ 1 x x 4. Resolva os exercícios abaixo usando conceitos de inequações: a) Se um terreno retangular deve ter perímetro de 10 m e um dos lados deve medir ao menos o dobro do outro, quanto deve medir o lado menor? Lembre-se de que o perímetro de um retângulo é igual à soma dos comprimentos de seus lados. b) João poupou R$ 1.50,00 para sua viagem de férias. Desse montante, R$ 375,00 serão gastos com passagens. O resto será usado no pagamento de refeições e diárias de hotel. Supondo que João pretenda gastar R$ 30,00 por dia com refeições, por quantos dias ele pode se hospedar em um hotel com diária de R$ 75,00?

8 8 c) A nota final de uma disciplina de pós-graduação é obtida segundo a fórmula NF = (P1 +3P)/5, em que P1 e P são, respectivamente, as notas que o aluno obteve na primeira e na segunda prova. Posteriormente, a nota final é convertida em uma menção, que é divulgada no histórico escolar do aluno. A tabela abaixo fornece a menção relativa a cada faixa de notas. Menção Intervalo A 9 NF 10 B 7 NF < 9 C 5 NF < 7 D 3 NF < 5 E 0 NF < 3 Se Ivete tirou 7,5 em sua primeira prova, quanto deve tirar na segunda para ficar com menção B? d) Depois de encontrar uma iguana verde (iguana iguana) seriamente ferida, um biólogo faz o possível para mantê-la viva, começando pelo controle da temperatura ambiente (já que a iguana não regula a temperatura de seu corpo). Consultando um livro em inglês, o biólogo descobriu que a iguana deve ser mantida entre 79 o F e 95 o F. Ajude o biólogo a converter para graus Celsius a faixa de temperatura correta para a iguana, usando a relação o F = 9/5 o C + 3, em que o F é a temperatura em graus Fahrenheit e o C a temperatura em graus Celsius. 5. (UNICAMP) Uma lâmpada incandescente de 100 W custa R$,00. Já uma lâmpada fluorescente de 4 W, que é capaz de iluminar tão bem quanto a lâmpada incandescente de 100 W, custa R$ 13,40. Responda às questões abaixo, lembrando que, em uma hora, uma lâmpada de 100 W consome 100 Wh, ou 0,1 kwh. Em seus cálculos, considere que 1 kwh de energia custa R$ 0,50. a) Levando em conta apenas o consumo de energia, ou seja, desprezando o custo de compra da lâmpada, determine quanto custa manter uma lâmpada incandescente de 100 W acesa por 750 horas. Faça o mesmo cálculo para uma lâmpada fluorescente de 4 W.

9 9 b) Para iluminar toda a sua casa, João comprou e instalou apenas lâmpadas fluorescentes de 4 W. Fernando, por sua vez, instalou somente lâmpadas incandescentes de 100 W em sua casa. Considerando o custo de compra de cada lâmpada e seu consumo de energia, determine em quantos dias Fernando terá gasto mais com iluminação que João. Suponha que cada lâmpada fica acesa 3 h por dia e que as casas possuem o mesmo número de lâmpadas. 6. Os tipos principais de gordura no sangue: colesterol total (CT), colesterol HDL (bom colesterol ), colesterol LDL ( mau colesterol ) e triglicérides (TG). Esses valores relacionam-se pela fórmula de Friedewald: CT= LDL + HDL + TG/5. A tabela abaixo mostra os valores normais dos lipídios sanguíneos para um adulto, segundo o laboratório Sangue Bom. O perfil lipídico de Pedro revelou que seu colesterol total era de 198 mg/dl, e que a de triglicérides era de 130 mg/dl. Sabendo que todos os seus indicadores estavam normais, qual o intervalo possível para o seu nível de LDL? Indicador CT LDL HDL TG Valores normais Até 00 mg/dl Até 130 mg/dl Entre 40 e 60 mg/dl Até 150 mg/dl