RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEMÁTICA 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS maio/2017

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1 RECURSOS COMPUTACIONAIS NO ENSINO DE MATEMÁTICA 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS maio/2017 enviar respostas para numerufpb@gmail.com até o dia 10 de junho de 2017 Escolha qual é a única alternativa correta em cada uma das questões de 1 a 40. 1) O Maxima é um programa aberto, gratuito, um sistema de Computação Algébrica de uso geral que foi criado nos Estados Unidos no final da década de 60. No início, o programa era conhecido por outro nome. Qual era o nome antigo do Maxima? a) Maple b) Fortran c) Basic d) Macsyma e) Mathematica f) Reduce g) Macsintosh h) Minima 2) O número x = e π 163 é muito próximo de um número inteiro n. Como x n < , podemos dizer que x é quase inteiro. Qual é esse inteiro n que está muito próximo de x? a) b) c) d) e) f) g)

2 h) ) Escrevendo 60! como um produto de potências de números primos, obtemos a seguinte representação: a) 60! = b) 60! = c) 60! = d) 60! = e) 60! = f) 60! = g) 60! = h) 60! = ) O número inteiro 2 (27) + 1 é um múltiplo do seguinte número primo: a) 89 b) 101 c) 641 d) 2011 e) f) g) h) ) Simplificando a expressão y = a10 a 8 + a 7 a 5 + a 4 a 2 + a + 1, obtemos: a 11 + a + 1 a) y = a 1 a 2 +a 1 b) y = a 1 a 2 a+1 2

3 c) y = a 1 a 2 +a+1 d) y = a+1 a 2 +a 1 e) y = a+1 a 2 a+1 f) y = a+1 a 2 +a+1 g) y = a3 +1 a 4 a+1 h) y = a3 +1 a 2 +a 1 6) A expressão a 4 + 6ba 3 11a 3 + 5b 2 a 2 61ba a 2 50b 2 a + 160ba 25a + 125b 2 25b a 4 4ba 3 11a 3 5b 2 a ba a b 2 a 90ba 25a 125b 2 25b é equivalente a: a) a+5b 1 a 2b 5 b) a 2b+5 a 5b+2 c) a+2b 5 a 5b 2 d) a 5b 1 a 5b+1 e) a+5b 1 a 5b 1 f) a+5b 1 a 2b+1 g) a+2b 2 a 5b 1 h) a+b 5 a 5b+1 7) Uma das raízes da equação 3x 6 11x x 4 56x 3 47x x 35 = 0 é: a) x = b) x = c) x = d) x =

4 e) x = f) x = 2 7 g) x = h) x = 7 2 8) Sendo i a unidade imaginária, o valor de (2i + 5) 17 é: a) i b) i c) i d) i e) i f) i g) i h) i ) Calculando a raiz quadrada de dois com sessenta casas decimais obtemos a seguinte representação: 2 = vwxyz Quais são os algarismos vwxyz que foram omitidos na representação acima? a) b) c) d) e) f) g) h)

5 10) O polinômio P (x) = x 16 + x pode ser fatorado da seguinte maneira: a) P (x) = (x 2 x + 1)(x 2 x + 1)(x 4 x 2 1)(x 8 x 4 1) b) P (x) = (x 2 + x + 1)(x 2 + x 1)(x 4 x 2 1)(x 8 x 4 + 1) c) P (x) = (x 2 x + 1)(x 2 + x + 1)(x 4 x 2 1)(x 8 x 4 1) d) P (x) = (x 2 x + 1)(x 2 + x + 1)(x 4 x 2 + 1)(x 8 x 4 + 1) e) P (x) = (x 2 + x + 1)(x 2 + x 1)(x 4 x 2 1)(x 8 x 4 + 1) f) P (x) = (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 1)(x 4 x 2 1)(x 8 + x 4 1) g) P (x) = (x 2 + x 1)(x 2 + x + 1)(x 4 + x 2 1)(x 8 x 4 + 1) h) P (x) = (x 2 + x 1)(x 2 + x 1)(x 4 x 2 1)(x 8 x 4 1) 11) Uma equação polinomial do sexto grau cujas raízes são r 1 = 3 + 4i, r 2 = 3 4i, r 3 = 1 7, r 4 = 7, r 5 = , r 6 = é dada por (x r 1 )(x r 2 )(x r 3 )(x r 4 )(x r 5 )(x r 6 ) = 0. Essa equação também pode ser escrita na forma: a) 56x 6 76x x x x x = 0 b) 56x 6 76x x x x x = 0 c) 56x 6 76x x x x x = 0 d) 56x 6 76x 5 943x x x x = 0 e) 56x 6 76x 5 943x x x x = 0 f) 56x 6 76x 5 943x x x x 175 = 0 g) 56x 6 76x 5 943x x x x = 0 h) 56x 6 76x 5 943x x x x 175 = 0 12) Uma expressão algébrica E1 foi criada no Maxima através do seguinte comando: E1: cos(x) + 4*sin(y)^5-11*log(z) + 3; Qual é o comando que podemos usar para criar uma outra expressão E2 obtida a partir da substituição de z por x 2 + y 2 na expressão E1? 5

6 a) E2 = subst(z = sqrt(x^2 + y^2), E1); b) E2 = subst(sqrt(x^2 + y^2) = z, E1); c) E2: subst(z = sqrt(x^2 + y^2), E1); d) E2: subst(sqrt(x^2 + y^2) = z, E1); e) E1: subst(sqrt(x^2 + y^2) = z, E2); f) E1: subst(z = sqrt(x^2 + y^2), E2); g) subst(e2, E1, z, sqrt(x^2 + y^2)); h) subst(z, sqrt(x^2 + y^2), E1, E2); 13) Desenvolvendo cos 12x, depois substituindo sen x por 1 cos 2 x e, finalmente, expandindo, obtemos o seguinte: a) cos 12x = 2048 cos 12 x 6144 cos 10 x cos 8 x 3584 cos 6 x cos 4 x b) cos 12x = 2048 cos 12 x cos 10 x cos 8 x 3584 cos 6 x 840 cos 4 x c) cos 12x = 2048 cos 12 x cos 10 x 6912 cos 8 x 3584 cos 6 x 840 cos 4 x d) cos 12x = 2048 cos 12 x 6144 cos 10 x 6912 cos 8 x 3584 cos 6 x 840 cos 4 x e) cos 12x = 2048 cos 12 x 6144 cos 10 x cos 8 x cos 6 x cos 4 x + f) cos 12x = 2048 cos 12 x cos 10 x cos 8 x cos 6 x cos 4 x + g) cos 12x = 2048 cos 12 x 6144 cos 10 x cos 8 x 3584 cos 6 x cos 4 x + h) cos 12x = 2048 cos 12 x 6144 cos 10 x cos 8 x 3584 cos 6 x cos 4 x + 6

7 14) Sabendo que a derivada de ordem n de uma função f(x) com relação a x é dada por diff(f(x), x, n), calculando a derivada de ordem 10 da função tg x, depois substituindo sec x por 1 + tg 2 x, obtemos: a) d10 dx 10 (tg x) = tg 11 x tg 9 x tg 7 x tg 5 x tg tg x b) d10 dx 10 (tg x) = tg 11 x tg 9 x tg 7 x tg 5 x tg tg x c) d10 dx 10 (tg x) = tg 11 x tg 9 x tg 7 x tg 5 x tg tg x d) d10 dx 10 (tg x) = tg 11 x tg 9 x tg 7 x tg 5 x tg tg x e) d10 dx 10 (tg x) = tg 11 x tg 9 x tg 7 x tg 5 x tg tg x f) d10 dx 10 (tg x) = tg 11 x tg 9 x tg 7 x tg 5 x tg tg x g) d10 dx 10 (tg x) = tg 11 x tg 9 x tg 7 x tg 5 x tg tg x h) d10 dx 10 (tg x) = tg 11 x tg 9 x tg 7 x tg 5 x tg tg x 15) Lembrando que um sistema pode ser resolvido com um comando solve([lista de equaç~oes], [lista de variáveis]), o valor de w que é solução do sistema linear 3x 7y + 4z 11t + 14w = 131 2x + 5y 6z + 10t 7w = 81 5x 4y + 2z 13t + 5w = 44 4x + 5y 13z + 2t 5w = 76 3x + 7y 6z + 11t + 20w = 127 é: a) 3 b) 4 c) 5 7

8 d) 6 e) 7 f) 8 g) 9 h) 10 16) Ao desenvolver (1 3x + 5x 2 ) 25 como uma soma de potências de x, qual é o coeficiente de x 8? a) b) c) d) e) f) g) h) ) Quais são os elementos em comum entre os 200 primeiros termos da progressão aritmética cujo termo geral é a n = 3n 109 e os 200 primeiros termos da progressão geométrica cujo termo geral é b n = 6 2n? a) 8, 16, 32 e 64 b) 8, 16, 64 e 128 c) 2, 8, 32 e 64 d) 2, 8, 16 e 64 e) 2, 8, 16 e 128 f) 2, 8, 32 e 128 g) 4, 8, 32 e 256 8

9 h) 4, 8, 64 e ) As seguintes operações são realizadas com uma função f e uma lista L: f(x) := x^2 + 1/x^2; L: [-1/20, -1/5, -1/3, -2, 1, 4, 10]; L: map(f, L); L: sort(l); L[5]*L[6] - L[1]; Qual é o valor final obtido com essa sequência de operações? a) b) c) d) e) f) g) h) ) Considere a seguinte sequência de comandos envolvendo conjuntos A e B: A: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ; B: { 1, 5, 6, 7, 8, 9 } ; C: setdifference(a, B); D: setdifference(b, A); E: union(c, D); F: powerset(e); O que é o conjunto F assim obtido? 9

10 a) F é o conjunto das partes de (A B) (B A) b) F é o conjunto das partes de (A B) (B A) c) F é o conjunto das partes de (A B) (B A) d) F é o conjunto das partes de A B e) F é o conjunto das potências cujas bases são os elementos de A e expoentes são os elementos de B f) F é o conjunto das potências cujas bases são os elementos de B e expoentes são os elementos de A g) F é o produto cartesiano (A B) (B A) h) F é o produto cartesiano (A B) (B A) 20) Dados os pontos P 1 (x 1, y 1 ), P 2 (x 2, y 2 ), P 3 (x 3, y 3 ), P 4 (x 4, y 4 ) e P 5 (x 5, y 5 ), o polinômio de grau mínimo cujo gráfico passa por todos esses pontos é dado por (x x p(x) = y 2 )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) 1 (x 1 x 2 )(x 1 x 3 )(x 1 x 4 )(x 1 x 5 ) + y 2 (x x + y 1 )(x x 2 )(x x 4 )(x x 5 ) 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 )(x 3 x 4 )(x 3 x 5 ) + y 4 (x x + y 1 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 4 ) 5 (x 5 x 1 )(x 5 x 2 )(x 5 x 3 )(x 5 x 4 ) (x x 1 )(x x 3 )(x x 4 )(x x 5 ) (x 2 x 1 )(x 2 x 3 )(x 2 x 4 )(x 2 x 5 ) (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 5 ) (x 4 x 1 )(x 4 x 2 )(x 4 x 3 )(x 4 x 5 ) (Esse p(x) é conhecido como sendo o polinômio de interpolação dos pontos dados) Determine o polinômio de grau mínimo p(x) cujo gráfico passa pelos pontos P 1 ( 2, 18), P 2 ( 1, 11), P 3 (1, 27), P 4 (2, 26) e P 5 (3, 13). a) p(x) = x 4 2x 2 + 5x 19 b) p(x) = x 4 + 2x 2 5x 19 c) p(x) = x 4 x 3 7x 20 d) p(x) = x 4 + x 3 + 7x 20 e) p(x) = x 4 + 3x 3 5x + 40 f) p(x) = x 4 + 3x 3 + 5x 40 g) p(x) = x 4 x 2 + 7x + 10 h) p(x) = x 4 + x 2 + 7x 10 10