CÁLCULO II. Prof. Jerônimo Monteiro. Gabarito - Lista Semanal 01

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1 CÁLCULO II Prof. Jerônimo Monteiro Gabarito - Lista Semanal 01 Questão 1. Encontre a equação da esfera que tem os pontos,, 1 e 7, 8, como extremos de um diâmetro. Solução: Nomeando os pontos A =,, 1 e B = 7, 8, e partindo da equação geral x a y b z c = r da esfera de centro em a, b, c e de raio r, deve-se, a partir das informações, buscar o centro e o raio da mesma para utilizar a equação dada. Como foi estabelecido que os pontos A e B são os extremos do diâmetro, para achar o centro da esfera C, basta encontrar o ponto médio entre estes dois, como segue: XA X B C = C =, Y A Y B, Z A Z B 7, 8, 1 C =,, Agora, precisamos do valor do raio para escrever a equação. Para isso, é necessário calcular a distância do centro até a borda da esfera. Como temos o ponto onde ca o centro e dois pontos nas bordas, basta calcular a distância de A até C ou de B até C, da seguinte maneira: X C X A Y C Y A Z C Z A r = Agora, podemos escrever a equação da esfera: x a y b z c = r x y z = x y z = Para conrmar as respostas, podemos plotar a esfera com os pontos marcados: 1

2 4 Questão. Verique se os pontos A0, 0, 0, B, 9 4, 1 e 4 C, 9 4, 1 são os vértices de um triângulo equilátero. Solução: Para vericar se o triângulo ABC é equilátero, podemos calcular o tamanho de cada lado e compará-los. Para isso, basta encontrar a distância entre os pontos, um a um, como segue: X B X A Y B Y A Z B Z A X C X A Y C Y A Z C Z A Prof. Jerônimo Monteiro

3 X C X B Y C Y B Z C Z B Logo, como, conclui-se que os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero de lado. Para ilustrar isso, pode-se vericar a seguinte imagem: Prof. Jerônimo Monteiro

4 Questão. Encontre o raio da esfera de equação x 4x y 8y z z 4 = 0. Solução: Utilizando mais uma vez a equação geral x a y b z c = r da esfera de centro em a, b, c e de raio r, deve-se manipular a equação dada anteriormente de forma a obter algo semelhante a ela, da seguinte maneira: x..x y.4.y z.1.z 4 = 0 x..x y.4.y 4 4 z.1.z = 0 x..x y.4.y 4 z.1.z 1 = Agora, deve-se notar a presença dos produtos notáveis para reescrevê-la da seguinte forma: x y 4 z 1 = x y 4 z 1 = Ou seja, a equação dada é de uma esfera de centro em, 4, 1 e raio r =, como ilustra a imagem: Questão 4. Calcule a altura em relação ao vértice A do triângulo do exercício. Solução: Para ilustrar, primeiro desenhamos um triângulo ABC equilátero: Prof. Jerônimo Monteiro 4

5 Agora, deve-se buscar o ponto médio do segmento BC, o qual vamos denominar M: Para encontrar o ponto M, utiliza-se, mais uma vez, o seguinte procedimento: XB X C M =, Y B Y C, Z B Z C 4 4 M = ,, M = 0, 8, 6 M = 0, 4, Agora, como o triângulo é equilátero, é possível armar que o segmento AM representa a altura deste em relação ao vértice A. Sendo assim, para achar o tamanho deste segmento, traçamos um vetor, como segue: Prof. Jerônimo Monteiro

6 AM = X M X A, Y M Y A, Z M Z A AM = 0 0, 4 0, 0 AM = 0, 4, Com essas informações, basta agora calcular a norma do vetor AM para obter a altura do triângulo: AM = 0 AM = AM = AM = U.C. Questão. Faça um gráco do sólido limitado pelos parabolóides z = x y 1 e z = 9 x y. Solução: Primeiro, plotamos o parabolóide de equação z = x y 1: Agora, o de equação z = 9 x y : Prof. Jerônimo Monteiro 6

7 A partir disso, buscamos agora, matematicamente, a interseção dos dois, para desenhar o sólido corretamente: z = z x y 1 = 9 x y x y = 8 x y = 4 z = x y 1 = 4 1 z = Logo, a interseção dos dois sólidos é uma circuinferência de raio que se encontra no nível z =, como mostra a imagem a seguir, na qual a interseção está destacada em preto: Prof. Jerônimo Monteiro 7