CÁLCULO II. (a) Mostre que (1) é a equação de uma esfera. Assim, divindindo a equação (1) por 9, tem-se: Completando-se os quadrados na equação (1):

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1 CÁLCULO II Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro Gabarito da Lista Semanal 1-30/03/2018 Questão 1. Seja a equação 9x 2 + 9y 2 + 9z 2 6x + 18y = 1. (1) (a) Mostre que (1) é a equação de uma esfera. Para mostrar que a equação (1) é uma esfera, deve-se escrevê-la na forma: Assim, divindindo a equação (1) por 9, tem-se: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2 x 2 + y 2 + z x + 2y = 1 9 Completando-se os quadrados na equação (1): x x y2 + 2y z 2 = ( x 1 3) 2 + (y + 1) 2 + z 2 = 1 Logo, a equação (1) é uma esfera de raio R = 1 e centro C( 1 3, 1, 0). (b) Faça um esboço da esfera no sistema tridimensional de eixos, indicando o centro e o raio da esfera. 1

2 Questão 2. Considere os pontos (0, 0, 0), (2, 6, 7) e (6, 4, 8). (a) Faça um esboço do triângulo formado por estes pontos no sistema tridimensional de eixos. (b) Verique se o triângulo é retângulo, isósceles, equilátero ou escaleno. Seja os pontos A(0, 0, 0), B(2, 6, 7) e C(6, 4, 8), para classicar o triângulo com respeito aos seus lados, deve-se descobrir, primeiramente, o comprimento deles: AB = 2 (2 0) 2 + (6 0) 2 + (7 0) 2 = 89 u.c. AC = 2 (6 0) 2 + (4 0) 2 + ( 8 0) 2 = 116 u.c. BC = 2 (6 2) 2 + (4 6) 2 + ( 8 7) 2 = 245 u.c. Além disso, como: pois AB 2 + AC 2 BC 2 ( 89) 2 + ( 116) 2 ( 245) 2 O triângulo não pode ser retângulo. Logo, o triângulo é escaleno. (c) Adicionando 5 unidades à coordenada z de cada vértice, o triângulo permanecerá com a mesma classi- cação do item anterior? Justique. Não mudará a posição relativa entre os lados, só deslocará a gura toda 5 unidades acima da posição original. Além disso, note que: Dados A, B e C tais que A (0, 0, 5), B (2, 6, 12) e C (6, 4, 3) (Cada ponto foi teve em sua coordenada z adicionada 5 unidades). Assim, o tamanho dos lados não muda, pois: A B = 2 (2 0) 2 + (6 0) 2 + (12 5) 2 = 89 u.c. A C = 2 (6 0) 2 + (4 0) 2 + ( 3 5) 2 = 116 u.c. B C = 2 (6 2) 2 + (4 6) 2 + ( 3 12) 2 = 245 u.c. Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 2

3 Questão 3. O triângulo de Penrose é o caminho no espaço que liga os pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 0, 0), C = (0, 0, 1) e D = (0, 1, 1). Enquanto a distância entre A e D é positiva, vemos um triângulo impossível, quando a linha de visão passa por A e D. Encontre a distância entre os pontos A e D. Dados os pontos A(1, 0, 0) e D(0, 1, 1), a distância entre eles é: d(a, D) = (0 1) 2 + (1 0) 2 + (1 0) 2 = 3 u.d. Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 3

4 Questão 4. Descreva o sólido que satisfaz a seguinte condição: x 2 + y 2 + z 2 9. Escrevendo a equação da forma: x 2 + y 2 + z Dado que a equação geral de uma esfera é: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2 A desigualdade, então, representa o conjunto de pontos que estão na superfície e no interior da esfera de centro C(0, 0, 0) e raio R = 3, ou seja, o conjunto de pontos D={(x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 + z } Esboço: Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 4

5 Questão 5. Seja u, v e w vetores no plano, a e b dois escalares. Para cada uma das armativas abaixo, julgue verdadeiro ou falso. Em ambos os casos, justique ou dê um contra-exemplo. (a) ( u + v) + w = u + ( v + w). Dados u, v e w R 2, com u = (u 1, u 2 ), v = (v 1, v 2 ) e w = (w 1, w 2 ), tem-se: ( u+ v)+ w = ((u 1, u 2 )+(v 1, v 2 ))+(w 1, w 2 ) = (u 1 +v 1, u 2 +v 2 )+(w 1, w 2 ) = (u 1 +v 1 +w 1, u 2 +v 2 +w 2 ) u+( v+ w) = (u 1, u 2 )+((v 1, v 2 )+(w 1, w 2 )) = (u 1, u 2 )+(v 1 +w 1, v 2 +w 2 ) = (u 1 +v 1 +w 1, u 2 +v 2 +w 2 ) Logo, como a soma de vetores é associativa, o item é verdadeiro. (b) a. u = a. u, para todo a < 0. a. u = a. u, pois a.u = (a.u 1 ) 2 + (a.u 2 ) 2 = a. u u2 2 tem-se: a. u = a. u = a. u. Logo, o item é falso. (c) u v = ( u v). Dado u v = ( u v) tem-se que u v + u v = 0 u v = 0 = a. u. Assim, como a < 0, Logo, o item só é verdadeiro para o caso em que u e v são perpendiculares, para qualquer outro caso essa armação é falsa. Exemplo: Dados u = (1, 1) e v = (2, 4), tem-se u v = (1, 1) (2, 4) = 6 e 6 6, Logo, o item é falso. Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro 5