Processo de Linearização de Gráficos

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1 Aula Linearização de Gráficos 16 1 Processo de Linearização de Gráficos O que é linearização? Procedimento para tornar uma curva em uma reta. Permite determinar a relação entre duas variáveis (y e x), que satisfaça a equação da reta, ou seja, determinar os coeficientes angular e linear da reta (a e b). y = ax + b Por que linearizar? A análise de uma reta é mais simples que a análise de uma curva. O processo de linearização facilita a determinação das leis físicas que governam o experimento que gerou os dados. 1

2 Métodos de Linearização Troca de variáveis A equação que governa o comportamento dos dados deve ser conhecida. A troca de variáveis permite converter uma equação de uma curva numa equação de reta. Exemplo: y = ax + b Termo não linear x = x Equação linear y = ax + b 3 Exemplo y = ax + b y = ax + b 16 4

3 Outro exemplos de troca de variáveis y = a x + b x = 1 x y = ax + b 5 Nem todas as equações podem ser linearizadas com troca de variável y = ax + bx + c x = x Termo não linear se x = x então x = x Equação resultante y = ax + b x + c

4 Exemplo y = ax + bx + c y = ax + b x + c 16 7 Outros Métodos de Linearização Uso de papéis especiais: mono-log e di-log Quando um gráfico em papel milimetrado fornece uma curva, ainda assim é possível obter, em casos específicos, gráficos lineares usando papéis mono e di-log. Este método se aplica quando a equação que governa o comportamento dos dados não é conhecida. Funciona por tentativa e erro. Os softwares matemáticos permitem a troca das escalas linear para logarítmica facilitando o processo. 8 4

5 Escala logarítmica Escala logarítmica Métodos de Linearização Tipos de Papéis: Escala logarítmica milimetrado mono-log di-log 9 Exemplo 1 Conjunto de dados (qualquer) Obtido experimentalmente / simulação numérica Não conheço as leis físicas que governam o fenômeno medido/simulado Como proceder? Plota no milimetrado Plota no papel mono-log

6 Tira-teima Usando papel di-log para ver se lineariza Análise do ajuste linear no papel mono-log y = ax + b equação linear y 1 Achando a e b a = log y log y 1 log,8 log = x x 1 1 y a = 1,969,31 = 1,3979~ 1,4 x 1 x b = log y x y = 1,4. x +,31 = log =,31 x= mas y = log y então log y = 1,4. x +,31 Para determinar y 1 log y = 1 1,4.x+,

7 Para determinar y Partindo de log y = 1,4. x +,31 temos 1 log y = 1 1,4.x+,31 y = 1 1,4.x. 1,31 =. 1 1,4.x y =. 1 1,4.x 13 Exemplo Conjunto de dados (qualquer) Obtido experimentalmente / simulação numérica Não conheço as leis físicas que governam o fenômeno medido/simulado Como proceder? Plota no milimetrado Plota no papel mono-log

8 Ultima tentativa com papel di-log Análise do ajuste linear no papel di-log y = ax + b equação linear y 3 y x Achando a e b a = log y log y 1 log log,3 = log x log x 1 log 1 log,6 y 1 x 1 x 3,31 1,58 a = 1,18 = 1,497~1,5 Selecionar um ponto para determinar b y 3 = a. x 3 + b b = y 3 a. x 3 = log,5 1,5. log,4 =,959 b =,

9 Para determinar a equação original Partindo de y = ax + b equação linear Reescrevendo log y = a. log x + b temos 1 log y = 1 a.log x +b y = 1 b. 1 log xa = 1 b. x a = 1,959. x 1,5 y = 1,9765. x 1,5 ~. x 1,5 17 Exemplo de confecção de gráfico, linearização e ajuste de reta Dados obtidos: Objetivo: Determinar a aceleração a partir das medidas de v e x. x (cm) v (m/s),691 1,435 1,913,93,77 3,8 3,

10 1) unificar as unidades para o mesmo sistema de unidades Por exemplo, no SI. x (m),15,3,45,6,75,9 v (m/s),691 1,435 1,913,93,77 3,8 3,37 ) Fazer o gráfico: v versus x Não é reta!!! 19 3) Fazer a linearização: É necessário conhecer a equação que relaciona as variáveis V e X Análise: Este problema é um problema típico de cinemática, que envolve aceleração constante, ou seja, MRUV. As equações do MRUV são: at x x vt v v at v v ax x x x A equação que relaciona v com x é: v v ax como x x x 1

11 3) Fazer a linearização (cont): Comparar com a equação da reta e fazer a mudança de variável. v v ax Assim: y v y b cx coeficiente linear: b v v b coeficiente angular: c a c a 1 4) Montar uma tabela com as variáveis linearizadas v e x. x (m),15,3,45,6,75,9 y = v (m/s),477,59 3,66 5,58 7,437 9,169 1,478 5) Fazer o gráfico linearizado, isto é, o gráfico de v versus x Y V Y (m /s ) 6 4,,,4,6,8 1, X (m) 11

12 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ x v x y x i y i x i x i.yi,,477 -,45-5,3,3,66,15,59 -,3-3,45,9 1,338,3 3,66 -,15-1,85,3,769,45 5,58, -,5,,,6 7,437,15 1,93,3,897,75 9,169,3 3,66,9 1,99,9 1,478,45 4,97,3,378 Média =,45 5,51 Soma =,63 7, Calculando o coeficiente angular: xi. yi i A x i i 7, A 11,486 m/s,63 3 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ (cont.) Calculando o coeficiente linear B: y B Ax y N y i x N x i B y Ax 5,5111,486,45 B,3671m /s Comparar os coeficientes e calcular a aceleração: a A/ 11,486 / a 5,7143 m/s calcular a velocidade inicial V : V B,3671 V,659 m/s 4 1

13 7) Desenhar a melhor reta no gráfico Escolher dois pontos X 1 e X e a partir da equação da melhor reta calcular Y 1 e Y Exemplo: x, 1 y,367111,486.x y1,367111,486(,),653 pontos da melhor reta: Gráfico com a melhor reta 1 x y,,653,7 8,367 Y (m /s ) Pontos da melhor reta X (m) 5 FIM 6 13