CÁLCULO I Aula 15: Concavidade. Teste da Segunda Derivada.

Transcrição

1 CÁLCULO I Aula 15: Concavidade.. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará

2 1 Concavidade 2

3 Considere um intervalo I e uma função f : I R derivável cujo gráco é dado abaixo. Concavidade Figura: Gráco de uma Função f

4 Sejam p, x I tais que x p, sendo representados no gráco como mostra abaixo: Concavidade

5 Agora, tracemos a reta tangente ao gráco de f que passa pelo ponto (p, f (p)), como está ilustrado abaixo. Concavidade

6 Como já foi observado em aulas anteriores, sabemos que a equação da referida reta tangente em (p, f (p)) é dada por y = f (p) + f (p)(x p) que vamos denotar por: T (x) = f (p) + f (p)(x p)

7 Note que para x p, temos que a reta tangente possui um valor menor que f (x) como foi ilustrado a seguir Concavidade

8 Dessa forma, denimos que f tem concavidade para cima em um intervalo aberto I se f (x) > T (x) para quaisquer x, p I com x p. De forma análoga, dizemos que f possui concavidade para baixo em um intervalo aberto I se para quaisquer x, p I com x p. f (x) < T (x)

9 Denição Sejam f uma função contínua em um intervalo I e p I. Dizemos que p é ponto de inexão de f se existirem números reais a e b com p (a, b) I, tal que f tenha concavidade de nomes contrários em (a, p) e (p, b).

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12 Teorema Seja f uma função que admite derivada até 2 a ordem no intervalo aberto I. (i) Se f (x) > 0 em I, então f terá concavidade para cima em I ; (ii) Se f (x) < 0 em I, então f terá concavidade para baixo em I ;

13 Exemplo Estude a função f (x) = x 3 3x 2 9x com relação à concavidade e pontos de inexão.

14 Exemplo Estude a função f (x) = x 3 3x 2 9x com relação à concavidade e pontos de inexão. Exemplo Estude a função f (x) = inexão. x com relação à concavidade e pontos de 1 + x 2

15 Observação De posse desse resultado, podemos buscar os pontos de inexão de f analisando os pontos em f (x) = 0. Contudo, só vericar as raízes de f não basta, devemos também analisar a concavidade da função em pontos próximos dessas raízes.

16 Observação De posse desse resultado, podemos buscar os pontos de inexão de f analisando os pontos em f (x) = 0. Contudo, só vericar as raízes de f não basta, devemos também analisar a concavidade da função em pontos próximos dessas raízes. Exemplo Considere a função f (x) = x 4. Determine seus pontos de inexão, caso existam.

17 Exemplo Estude a função f (x) = sen x cos x com relação à concavidade e pontos de inexão.

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19 Teorema ( ) Sejam f uma função que admite derivada de 2 a ordem contínua no intervalo I e p I. (i) Se f (p) = 0 e f (p) > 0 então p é um ponto de mínimo local ou relativo; (ii) Se f (p) = 0 e f (p) < 0 então p é um ponto de máximo local ou relativo

20 Exemplo Utilizando o, determine os máximos e mínimos relativos da função f (x) = x 4 4 x 3 2x

21 Exemplo Utilizando o, determine os máximos e mínimos relativos da função f (x) = x 4 4 x 3 2x Exemplo Considere a função f (x) = x 3 3x 2 + 3x 1. Podemos armar algo sobre seu(s) ponto(s) crítico(s), utilizando o?

22 Observação Note que o é inconclusivo se f (c) = 0 ou se f (c) não existir no ponto crítico c. Contudo, no exemplo anterior, estudando a concavidade de f notamos que x = 1 é um ponto de inexão de f (x) = x 3 3x 2 + 3x 1. Observando o gráco, podemos notar esse fato.

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24 Exemplo Dada a função f (x) = 3x 5 5x 3. Classique os pontos críticos de f em máximos locais, mínimos locais ou pontos de inexão.

25 Exemplo Dada a função f (x) = 3x 5 5x 3. Classique os pontos críticos de f em máximos locais, mínimos locais ou pontos de inexão. Exemplo Classique os pontos críticos da função f (x) = ex, caso existam. x

26 Na próxima aula... Concavidade Problemas de Otimização.