DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA CONSTANTE DIELÉCTRICA DE UM FILME DE POLIÉSTER (FOLHA DE ACETATO)

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1 TRABALHO PRÁTICO DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA CONSTANTE DIELÉCTRICA DE UM FILME DE POLIÉSTER (FOLHA DE ACETATO) 1. Noções básicas Consideremos dois condutores A e B, isolados e inicialmente descarregados, colocados a uma certa distância um do outro (conforme exemplifica a figura 1) e entre os quais se estabelece, de alguma forma, uma diferença de potencial V. O estabelecimento de uma carga +Q no condutor ao potencial maior e de uma carga -Q no condutor ao potencial menor surge associada à diferença de potencial V. A carga Q depende apenas, para um dado valor V da diferença de potencial aplicada, do meio e das características geométricas dos dois condutores, variando linearmente com V. Define-se então a capacidade C do sistema de dois condutores (designado neste contexto por condensador) como sendo o quociente entre a carga Q e a diferença de potencial V: Q C = (1) V A unidade S.I. de capacidade é o Farad (F), que corresponde à capacidade de um condensador que acumula uma carga de 1 Coulomb quando se lhe aplica uma diferença de potencial de 1 Volt. No caso exemplificado na figura 1, de um ' condensador plano e de placas paralelas, constituído por dois condutores planos de área A e colocados paralelamente, no vazio, a uma distância d um do outro, pode-se demonstrar que a capacidade vem dada pela seguinte expressão: ε A C = 0 (2) d Figura 1: Condensador constituído por dois 12 condutores planos de área A e colocados em que ε 0 = F / m paralelamente, no vazio, a uma distância d um é a permitividade eléctrica do vazio. Se do outro as placas estiverem separadas por um meio isolador dieléctrico, a capacidade vem aumentada de um factor κ, designado constante dieléctrica do meio: ε0 A εa C = κ =, ε = κε0 (3) d d ε designa-se então por permitividade eléctrica do meio dieléctrico. Este trabalho tem por objectivo medir a constante dieléctrica de um filme de poliéster (a vulgar "folha de acetato"). Departamento de Física da FCTUC 1/8

2 2. Carga e descarga de um condensador através de uma resistência 2.1 Carga Figura 2: Série de uma bateria de forçaelectromotriz E, de um condensador de capacidade C e de uma resistência R. Inicialmente, o condensador encontra-se descarregado e o interruptor S encontra-se aberto. Em t=0, fecha-se o interruptor, iniciando-se o processo de carga do condensador. Consideremos o circuito da figura 2. Quando se fecha o interruptor, a diferença de potencial devida à pilha força o estabelecimento de uma corrente i da placa do condensador ligada ao positivo da pilha para a placa ligada ao negativo. À medida que se vai armazenando a carga q nas placas do condensador (+q numa das placas e -q na outra), estabelece-se no circuito uma diferença de potencial que contraria a força electromotriz da pilha (E). Quando estas duas diferenças de potencial se igualam, cessa a corrente no circuito e a carga nas placas atinge o valor máximo Q f = CE (+Q f na placa positiva e -Q f na placa negativa). A corrente no circuito e a carga do condensador variam no tempo de acordo com as equações: q R i() t + = E (4) C dq i = (5) dt A solução destas equações, conforme pode ser facilmente verificado (admitindo que o condensador está inicialmente descarregado), é: t q = CE 1 exp (6) RC E t i = exp R RC (7) A evolução temporal prevista por estas equações está representada graficamente nas figuras 3 e 4. Saliente-se a importância do factor τ = RC, que tem dimensões de tempo (verifique!). τ corresponde ao tempo que o condensador levaria a carregar até à carga final Q f = CE, se a corrente se mantivesse constantemente igual a I 0 = E/R. No entanto, uma vez que a corrente diminui exponencialmente com o tempo, a carga acumulada em t = RC é (1-1/e)Q f, tendo nesse instante a corrente decrescido para I 0 /e. De qualquer forma, RC caracteriza o tempo típico que o condensador leva a carregar (ou a descarregar, como veremos adiante). Para tempos t >> RC, pode-se considerar o condensador completamente carregado. Departamento de Física da FCTUC 2/8

3 Figura 3: Evolução temporal da carga do condensador do circuito da figura 2. O condensador carrega desde a carga inicial Q(0)=0 até à carga final Q f = CE. Em t = RC, acumulou já a carga Q f (1-1/e). Figura 4: Evolução temporal da corrente no circuito da figura 2. A corrente diminui exponencialmente desde o valor inicial I(0)=E/R até zero. Em t = RC, diminui de um factor e para I 0 /e. 2.2 Descarga Figura 5: Condensador inicialmente carregado com a carga Q 0 ligado em série a uma resistência R. Em t=0, fecha-se o interruptor S, iniciando-se o processo de descarga do condensador. Consideremos agora que temos um condensador inicialmente carregado com uma carga Q 0 e que o ligamos em série com uma resistência R, conforme esquematiza a figura 5. Quando se fecha o interruptor S, a diferença de potencial existente entre as placas do condensador motiva o estabelecimento de uma corrente i através da qual ocorre a descarga do condensador. Este processo é regido pelas equações: () q t R i + = 0 (8) C i A solução das equações (8) e (9) é, agora, dq = (9) dt t q = Q0 exp (10) RC Q () = 0 t i t exp RC RC (11) Departamento de Física da FCTUC 3/8

4 Agora, quer a carga do condensador quer a corrente i no circuito diminuem exponencialmente desde os seus valores iniciais. τ = RC corresponde, analogamente ao processo de carga, ao tempo que o condensador levaria a descarregar completamente se a corrente se mantivesse constantemente igual a Q 0 /RC em todo o processo de descarga. Não sendo i constante, τ corresponde agora ao tempo que a carga e a corrente levam até verem os respectivos valores iniciais diminuídos de um factor e. Figura 6: Evolução temporal da carga do condensador do circuito da figura 5. O condensador descarrega exponencialmente desde a carga inicial Q 0 até zero. Em t=rc, a carga diminuiu de um factor e para Q 0 /e. Figura 7: Evolução temporal da corrente no circuito da figura 5. A corrente diminui exponencialmente desde o valor inicial I(0)=Q 0 /RC até zero. Em t=rc, diminui de um factor e para I 0 /e. 2.3 Estudo da carga e descarga de condensadores usando ondas quadradas Se, em vez de uma fonte de tensão contínua, usarmos um gerador de tensão fornecendo ondas quadradas como a idealizada na figura 8, o processo de carga e descarga do condensador será, em geral, mais complicado do que os processos de carga e descarga simples descritos anteriormente. Tensão (unidades arbitrárias) T Tempo (unidades arbitrárias) Figura 8: Idealização de uma onda quadrada de período T (neste caso T=2). Na realidade, o gerador é obviamente incapaz de fazer subir ou descer a tensão de um modo infinitamente rápido. A tensão leva um certo tempo para conseguir elevar-se desde zero até ao valor máximo, bem como para efectuar o processo inverso, conforme se discute nas notas de introdução ao osciloscópio e noutro trabalho prático (Medição de grandezas eléctricas. Utilização do osciloscópio e do multímetro.). Se escolhermos um período T da onda quadrada suficientemente grande em comparação com τ = RC (T >> RC), então poderemos admitir que o condensador carrega completamente nos intervalos de tempo em que a tensão aplicada é não nula e que também descarrega completamente nos intervalos de tempo em que a tensão Departamento de Física da FCTUC 4/8

5 aplicada é nula. No caso de uma tensão como a da figura 8, por exemplo, o condensador carregará no intervalo de tempo [0,1], descarregará no intervalo [1,2], etc. Vemos assim que, em rigor, devemos escolher o período T de forma que seja T/2 >> RC e não T >> RC. Podemos, com o auxílio do osciloscópio, estudar simultaneamente os dois processos. Note-se que este instrumento mede diferenças de potencial e não cargas eléctricas. No entanto, da equação 1 temos que a diferença de potencial nos terminais de um condensador é directamente proporcional à sua carga, pelo que o comportamento temporal da tensão é idêntico ao da carga. Questão: sabendo que disporá de uma resistência da ordem das centenas de kω e que as capacidades que vai medir são da ordem dos nf, estime um valor máximo de frequência da onda quadrada a utilizar. Bibliografia - M.M.R.R. Costa, M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, Coimbra, Livraria Almedina (1993) - Marcelo Alonso, Edward Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999) - Paul Tipler, Física, 4ª edição, Editora Guanabara-Koogan (2000) - Osciloscópio, Notas de apoio para Física Laboratorial I, Coimbra, Departamento de Física da FCTUC (2002/2003). - Introdução ao cálculo de erros nas medidas de grandezas físicas, Coimbra, Departamento de Física da FCTUC (2002/2003). Material Folhas de Alumínio Folhas de acetato Osciloscópio Resistências Gerador de sinais Fita cola Condensadores comerciais Departamento de Física da FCTUC 5/8

6 Procedimento Determinação da constante dieléctrica 1. Comece por preparar o condensador, colocando uma folha de acetato entre duas folhas de alumínio e a cada uma das quais ligou previamente (colando com fita isoladora) os fios que efectuarão o contacto eléctrico. Tenha o cuidado de forçar um bom contacto entre as folhas de alumínio e a folha de acetato, colocando um peso em cima do conjunto (distribuído uniformemente com o auxílio de um interface adequado). 2. Meça, com o auxílio de um multímetro, o valor da resistência (da ordem de 100 kω) que utilizará no circuito. Anote esse valor, bem como uma estimativa da imprecisão na medida. 3. Monte o circuito esquematizado na figura 2. (Note que disporá de um gerador de sinais em vez de uma pilha e que não disporá, por não ser necessário, de qualquer interruptor.) 4. Ligue o gerador de sinais, ajustando-o para que forneça ondas quadradas de frequência da ordem da dezena de khz. 5. Observe, com o auxílio do osciloscópio, a tensão aos terminais do condensador e a tensão à saída do gerador. Para isso, observe no canal 1 do osciloscópio, com o auxílio da ponta de prova adequada, a tensão nos terminais do condensador. No canal 2, com o auxílio de outra ponta, observe a tensão à saída do gerador. Estabilize a imagem da tensão no condensador, fazendo o trigger pela tensão de saída do gerador. Ajustando o trigger e a base de tempos de forma adequada, obtenha no écrã imagens semelhantes às das figuras 3 e A partir das imagens obtidas no ponto 5, pode estimar o tempo característico RC. Partindo da imagem correspondente à descarga do condensador, e com o auxílio dos botões de posicionamento vertical da imagem no écrã, ajuste a tensão de saída do gerador de modo que a tensão no condensador evolua, no écrã, entre as referências de 100% e 0%. Identifique, no osciloscópio, o instante em que a tensão nos terminais do condensador atinge cerca de 37% do valor máximo. Esse instante corresponde a RC. Não deixe de estimar a imprecisão na medida de RC (σ τ, na tabela Ι). Extraia, deste valor, a capacidade do condensador. Usando a propagação dos erros, extraia também a respectiva imprecisão (C ± σ C ). (Consulte o ponto 8 das folhas de Introdução ao cálculo de erros nas medidas de grandezas físicas.) Tabela I τ = RC (ms) σ τ (ms) C ± σ C (nf) d (m) 1/d (m -1 ) ε (F.m -1 ) κ Questão: também pode extrair RC a partir da imagem correspondente à carga do condensador. Como? Departamento de Física da FCTUC 6/8

7 7. Determine, usando a equação (3), a permeabilidade eléctrica e a constante dieléctrica do meio, completando a tabela I. Para isso, estime a espessura média das folhas de acetato com o auxílio de uma craveira, medindo a espessura de um conjunto de folhas (cerca de 5). Meça também os lados das folhas de alumínio, calculando assim a respectiva área. 8. Repita a medição da capacidade, mas sem forçar um bom contacto entre a folha de alumínio e a folha de acetato. Comente o resultado. Dependência da capacidade com a espessura 9. Repita a medição da capacidade do condensador (passos 3 até 6), usando sucessivamente 2, 4, 8 folhas de acetato entre as folhas de alumínio. Agrupe todos os valores numa tabela semelhante à tabela I e represente graficamente a variação da capacidade em função de 1/d. 10. A partir do gráfico, determine o valor da permeabilidade eléctrica e da constante dieléctrica do meio. Compare com os valores obtidos no ponto 7 e comente. Tabela I Nº de folhas de acetato τ = RC (s) C (F) d (m) 1/d (m -1 ) Dependência da capacidade com a área 11. Repita a medição da capacidade do condensador formado por uma única folha de acetato, para pelo menos um valor diferente da área das folhas de alumínio. Comente. Observação da variação da forma da tensão nos terminais do condensador com a frequência da onda quadrada aplicada 12. Varie a frequência da onda quadrada entre o valor máximo e o valor mínimo possível. Vá observando a forma da tensão correspondente nos terminais do condensador. Descreva a variação observada. Será capaz de explicar a forma observada para frequências muito elevadas? (Sugestão: e x ~1+x, para x~0) Comparação com condensadores comerciais 13. Substitua o condensador de acetato por cada um dos condensadores comerciais disponibilizados. Usando o mesmo método utilizado anteriormente, meça as respectivas capacidades. Comente. Departamento de Física da FCTUC 7/8

8 Relatório Elabore um relatório da experiência, não se esquecendo de incluir: o valor da resistência utilizada; as tabelas 1 e 2; o gráfico da capacidade em função do inverso da distância entre as folhas de alumínio; gráficos ilustrativos da evolução da tensão observada aos terminais do condensador com a frequência aplicada. N.B.: Antes de elaborar o relatório, deve consultar a folha com instruções para a elaboração de relatórios, bem como o relatório modelo. Departamento de Física da FCTUC 8/8