DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA CONSTANTE DIELÉCTRICA DE UM FILME DE POLIÉSTER (FOLHA DE ACETATO)

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1 TRABALHO PRÁTICO DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DA CONSTANTE DIELÉCTRICA DE UM FILME DE POLIÉSTER (FOLHA DE ACETATO) Objectivo Este trabalho pretende ilustrar a constituição e o funcionamento de um condensador, bem como determinar, de uma forma simples, a constante dieléctrica que o caracteriza. 1. Introdução 1.1 Noções básicas Consideremos dois condutores A e B, isolados e inicialmente descarregados, colocados a uma certa distância um do outro (conforme exemplifica a figura 1) e entre os quais se estabelece, de alguma forma, uma diferença de potencial V. O estabelecimento de uma carga +Q no condutor ao potencial maior e de uma carga -Q no condutor ao potencial menor surge associada à diferença de potencial V. A carga Q depende apenas, para um dado valor V da diferença de potencial aplicada, do meio e das características geométricas dos dois condutores, variando linearmente com V. Define-se então a capacidade C do sistema de dois condutores (designado neste contexto por condensador) como sendo o quociente entre a carga Q e a diferença de potencial V: Q C = (1) V A unidade S.I. de capacidade é o Farad (F), que corresponde à capacidade de um condensador que acumula uma carga de 1 Coulomb quando se lhe aplica uma diferença de potencial de 1 Volt. No caso exemplificado na figura 1, de um condensador plano e de placas paralelas, constituído por dois condutores planos de área A e colocados paralelamente, no vazio, a uma distância d um do outro, pode-se demonstrar que a capacidade vem dada pela seguinte expressão: ε A C = 0 (2) d 12 em que ε 0 = F / m é a permitividade eléctrica do vazio. Se as placas estiverem separadas por um meio isolador dieléctrico, a capacidade vem aumentada de um factor κ, designado constante dieléctrica do meio: Figura 1: Condensador constituído por dois condutores planos de área A e colocados paralelamente, no vazio, a uma distância d um do outro ε εa d 0 C = κ =, ε = κε0 (3) d A ε designa-se então por permitividade eléctrica do meio dieléctrico. Neste trabalho prático determinar-se-á a constante dieléctrica de um filme de poliéster (a vulgar "folha de acetato"). Departamento de Física da FCTUC 1/7

2 1.2 Carga e descarga de um condensador através de uma resistência Carga Figura 2: Série de uma bateria de força electromotriz E, de um condensador de capacidade C e de uma resistência R. Inicialmente, o condensador encontra-se descarregado e o interruptor S encontra-se aberto. Em t = 0, fecha-se o interruptor, iniciando-se o processo de carga do condensador. Consideremos o circuito da figura 2. Quando se fecha o interruptor, a diferença de potencial devida à pilha força o estabelecimento de uma corrente i da placa do condensador ligada ao positivo da pilha para a placa ligada ao negativo. À medida que se vai armazenando a carga q nas placas do condensador (+q numa das placas e -q na outra), estabelece-se no circuito uma diferença de potencial que contraria a força electromotriz da pilha (E). Quando estas duas diferenças de potencial se igualam, cessa a corrente no circuito e a carga nas placas atinge o valor máximo Q f = CE (+Q f na placa positiva e -Q f na placa negativa). A corrente no circuito e a carga do condensador variam no tempo de acordo com as equações: q R i() t + = E (4) C dq i = (5) dt A solução destas equações, conforme pode ser facilmente verificado (admitindo que o condensador está inicialmente descarregado), é: t q = CE 1 exp (6) RC E t i = exp R RC (7) A evolução temporal prevista por estas equações está representada graficamente nas figuras 3 e 4. Saliente-se a importância do factor τ = RC, que tem dimensões de tempo (verifique!). τ corresponde ao tempo que o condensador levaria a carregar até à carga final Q f = CE, se a corrente se mantivesse constantemente igual a I 0 = E/R. No entanto, uma vez que a corrente diminui exponencialmente com o tempo, a carga acumulada em t = RC é (1-1/e)Q f, tendo nesse instante a corrente decrescido para I 0 /e. De qualquer forma, RC caracteriza o tempo típico que o condensador leva a carregar (ou a descarregar, como veremos adiante). Para tempos t >> RC, pode-se considerar o condensador completamente carregado. Departamento de Física da FCTUC 2/7

3 Figura 3: Evolução temporal da carga do condensador do circuito da figura 2. O condensador carrega desde a carga inicial Q(0)=0 até à carga final Q f = CE. Em t = RC, acumulou já a carga Q f (1-1/e). Figura 4: Evolução temporal da corrente no circuito da figura 2. A corrente diminui exponencialmente desde o valor inicial I(0)=E/R até zero. Em t = RC, diminui de um factor e para I 0 /e Descarga Figura 5: Condensador inicialmente carregado com a carga Q 0 ligado em série a uma resistência R. Em t = 0, fecha-se o interruptor S, iniciando-se o processo de descarga do condensador. Consideremos agora que temos um condensador inicialmente carregado com uma carga Q 0 e que o ligamos em série com uma resistência R, conforme esquematiza a figura 5. Quando se fecha o interruptor S, a diferença de potencial existente entre as placas do condensador motiva o estabelecimento de uma corrente i através da qual ocorre a descarga do condensador. Este processo é regido pelas equações: A solução das equações (8) e (9) é, agora, () q t R i + = 0 (8) C i dq = (9) dt t q = Q0 exp (10) RC Q () = 0 t i t exp RC RC (11) Departamento de Física da FCTUC 3/7

4 Agora, quer a carga do condensador quer a corrente i no circuito diminuem exponencialmente desde os seus valores iniciais. τ = RC corresponde, analogamente ao processo de carga, ao tempo que o condensador levaria a descarregar completamente se a corrente se mantivesse constantemente igual a Q 0 /RC em todo o processo de descarga. Não sendo i constante, τ corresponde agora ao tempo que a carga e a corrente levam até verem os respectivos valores iniciais diminuídos de um factor e. Figura 6: Evolução temporal da carga do condensador do circuito da figura 5. O condensador descarrega exponencialmente desde a carga inicial Q 0 até zero. Em t = RC, a carga diminuiu de um factor e para Q 0 /e. Figura 7: Evolução temporal da corrente no circuito da figura 5. A corrente diminui exponencialmente desde o valor inicial I(0) = Q 0 /RC até zero. Em t = RC, diminui de um factor e para I 0 /e Estudo da carga e descarga de condensadores usando ondas quadradas Se, em vez de uma fonte de tensão contínua, usarmos um gerador de tensão fornecendo ondas quadradas como a idealizada na figura 8, o processo de carga e descarga do condensador será, em geral, mais complicado do que os processos de carga e descarga simples descritos anteriormente. Tensão (unidades arbitrárias) T Tempo (unidades arbitrárias) Figura 8: Idealização de uma onda quadrada de período T (neste caso T = 2). Na realidade, o gerador é obviamente incapaz de fazer subir ou descer a tensão de um modo infinitamente rápido. A tensão leva um certo tempo para conseguir elevar-se desde zero até ao valor máximo, bem como para efectuar o processo inverso, conforme se discute nas notas de introdução ao osciloscópio e noutro trabalho prático (Medição de grandezas eléctricas. Utilização do osciloscópio e do multímetro.). Se escolhermos um período T da onda quadrada suficientemente grande em comparação com τ = RC (T >> RC), então poderemos admitir que o condensador carrega completamente nos intervalos de tempo em que a tensão aplicada é não nula e que também descarrega completamente nos intervalos de tempo em que a tensão aplicada é nula. No caso de uma tensão como a da figura 8, por exemplo, o condensador carregará no intervalo de tempo [0,1], Departamento de Física da FCTUC 4/7

5 descarregará no intervalo [1,2], etc. Vemos assim que, em rigor, devemos escolher o período T de forma que seja T/2 >> RC e não T >> RC. Podemos, com o auxílio do osciloscópio, estudar simultaneamente os dois processos. Note-se que este instrumento mede diferenças de potencial e não cargas eléctricas. No entanto, da equação 1 temos que a diferença de potencial nos terminais de um condensador é directamente proporcional à sua carga, pelo que o comportamento temporal da tensão é idêntico ao da carga. 2. Realização experimental Como preparação para o trabalho, aconselha-se a leitura das notas Introdução à análise de dados nas medidas de grandezas físicas, nomeadamente, das secções 1 a 5.1 e 6. Material necessário: folhas de alumínio; folhas de acetato; osciloscópio; resistências; gerador de sinais; condensadores comerciais; fita cola. 2.1 Determinação da constante dieléctrica Comece por preparar o condensador, colocando uma folha de acetato entre duas folhas de alumínio e a cada uma das quais ligou previamente (colando com fita isoladora) os fios que efectuarão o contacto eléctrico. Tenha o cuidado de forçar um bom contacto entre as folhas de alumínio e a folha de acetato (porquê?), colocando um peso em cima do conjunto (distribuído uniformemente com o auxílio de um interface adequado) Meça, com o auxílio de um multímetro, o valor da resistência (da ordem de 10 kω) que utilizará no circuito. Considere a incerteza nesta determinação desprezável Monte o circuito esquematizado na figura 2. (Note que disporá de um gerador de sinais em vez de uma pilha e que não disporá, por não ser necessário, de qualquer interruptor.) Ligue o gerador de sinais, ajustando-o para que forneça ondas quadradas de frequência da ordem da dezena de khz Observe, com o auxílio do osciloscópio, a tensão aos terminais do condensador e a tensão à saída do gerador. Para isso, observe no canal 1 do osciloscópio, com o auxílio da ponta de prova adequada, a tensão nos terminais do condensador. No canal 2, com o auxílio de outra ponta, observe a tensão à saída do gerador. Estabilize a imagem da tensão no condensador, fazendo o trigger pela tensão de saída do gerador. Ajustando o trigger e a base de tempo de forma adequada, obtenha no écrã imagens semelhantes às das figuras 3 e A partir das imagens obtidas no ponto 2.1.5, pode estimar o tempo característico RC. Para tal, orientando-se pela imagem correspondente à descarga do condensador (figura 6) e com o auxílio de um pequeno papel, determine o ponto em que a tangente à curva de descarga no ponto inicial corta o eixo dos tempos. Esse instante corresponde a τ = RC. Faça também uma estimativa para a imprecisão na medida de τ (σ τ, na tabela Ι) [Consulte a ref. bibliográfica [5], secção 5.1] Extraia do valor de τ a capacidade do condensador. Usando a propagação de erros, determine a imprecisão associada a esse valor (C ± σ C ) [Consulte a mesma ref. [5], secção 6]. Departamento de Física da FCTUC 5/7

6 Tabela I R (Ω) =... ; A (m 2 ) =... τ = RC (ms) σ τ (ms) C ± σ C (nf) d (m) 1/d (m -1 ) ε (F.m -1 ) κ Questão: também pode extrair RC a partir da imagem correspondente à carga do condensador. Como? Determine, usando a equação (3) e desprezando a incerteza associada às grandezas medidas e calculadas, a permeabilidade eléctrica e a constante dieléctrica do meio, completando a tabela I. Para isso, calcule a espessura média das folhas de acetato com o auxílio de uma craveira, medindo a espessura de um conjunto de folhas (cerca de 5). Meça também os lados das folhas de alumínio, calculando assim a respectiva área. 2.2 Dependência da capacidade com a espessura Repita a medição da capacidade do condensador (passos até 2.1.7) usando, sucessivamente, 2, 4 e 8 folhas de acetato entre as folhas de alumínio. Desta vez não se preocupe com a incerteza associada à medida de τ. Agrupe todos os valores numa tabela semelhante à tabela II e represente graficamente a variação da capacidade em função de 1/d. [Consulte a ref. bibliográfica [5], secções 7 e 8] A partir do gráfico, determine o valor da permeabilidade eléctrica e da constante dieléctrica do meio. Compare com os valores obtidos no ponto e comente. Tabela II R (Ω) =... ; A (m 2 ) =... Nº de folhas de acetato τ = RC (ms) C (nf) d (m) 1/d (m -1 ) ε (F.m -1 ) κ Dependência da capacidade com a área Repita a medição da capacidade do condensador formado por uma única folha de acetato, para pelo menos um valor diferente da área das folhas de alumínio. Comente. 2.4 Observação da variação da forma da tensão nos terminais do condensador com a frequência da onda quadrada aplicada Varie a frequência da onda quadrada entre o valor máximo e o valor mínimo possível. Vá observando a forma da tensão correspondente nos terminais do condensador. Descreva a Departamento de Física da FCTUC 6/7

7 variação observada. Será capaz de explicar a forma observada para frequências muito elevadas? (Sugestão: e x ~1+x, para x~0) 2.5 Comparação com condensadores comerciais No circuito eléctrico utilizado, substitua o condensador de acetato por um ou vários dos condensadores comerciais disponibilizados. Compare a forma dos sinais de carga e descarga com os do condensador artesanal e comente. Se tiver tempo, meça a capacidade de um dos condensadores comerciais usando o mesmo método utilizado anteriormente. Relatório Elabore um relatório do trabalho efectuado, no qual deve incluir, para além da identificação do trabalho e da equipa (nome, licenciatura, turma e grupo) que o realizou: o objectivo do trabalho (4 a 5 linhas); os resultados experimentais obtidos (organizados em tabelas e gráficos sempre que possível); o tratamento matemático adequado desses resultados e a discussão/comentário dos mesmos; as conclusões finais. Bibliografia [1] M.M.R.R. Costa, M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, Coimbra, Livraria Almedina (1993) [2] Marcelo Alonso, Edward Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999) [3] Paul Tipler, Física, 4ª edição, Editora Guanabara-Koogan (2000) [4] Osciloscópio, Notas de apoio para Física Laboratorial, Coimbra, Departamento de Física da FCTUC (2003/2004). [5] Introdução à análise de dados nas medidas de grandezas físicas, Coimbra, Departamento de Física da Universidade (2003/04). [6] M. C. Abreu, L. Matias e L. F. Peralta, Física Experimental Uma Introdução, Lisboa, Editorial Presença (1994). Departamento de Física da FCTUC 7/7