Teo. 9 - Capacitância

Transcrição

1 Teo. 9 - apacitância 9. Introdução Uma das importantes aplicações da Eletrostática é a possibilidade de construir dispositivos que permitem o armazenamento de cargas elétricas. Esses dispositivos são chamados capacitores cuja medida é chamada capacitância. Para entender os capacitores consideremos dois condutores isolados, separados por um meio isolante, inicialmente descarregados o que implica que não existe ddp entre eles. Suponhamos agora que entre esses dois condutores seja aplicada uma diferença de potencial a qual provocará o aparecimento de uma corrente elétrica entre os dois condutores que persistirá até que a diferença de potencial entre os condutores seja igual à aplicada. Lembrando que corrente elétrica é deslocamento de elétrons, cada um dois condutores passa a apresentar cargas iguais em medida porém de sinais contrários. Figura 9- Por definição chama-se capacitância capacidade do sistema à relação entre a carga que se deposita no sistema e a ddp aplicada, seja lomb cuja unidade é olt unidade, conforme tabela: Equação 9- Farad F. Na prática usam-se submúltiplos desta mf milifarad 3 / Farad µ F microfarad 6 / Farad nf nanofarad 9 / Farad µµ F pf micromicrofarad 2 / Farad picofarad Os capacitores são representados pelo símbolo 9.. Exercícios 9... ( ) Aplica-se uma diferença de potencial de sobre um capacitor de capacidade. alcule a carga por ele armazenada. 22pF ( ) ual a diferença de potencial que deve ser aplicada sobre um capacitor de para que ele adquira uma carga 2µ de? µf ( ) Aplicando-se uma diferença de potencial de 35 sobre um capacitor observa-se que a carga sobre ele armazenada é de. alcule a capacitância do capacitor. 35µ 5/6/25 Teo-9-25.doc Página de 9

2 9.2 apacitores planos paralelos Apliquemos a definição acima em um caso particular que consiste de dois condutores planos de área S separados de um material isolante de permissividade ε de espessura d, tal que esta espessura seja pequena comparada com a área das placas. Figura 2 Aplicada uma diferença de potencial, cada uma das placas adquirirá uma carga, tal que as densidades superficiais de cargas serão dadas por sendo e S S Equação 9-2 e, sendo as placas grandes, podemos considerar o vetor campo elétrico gerado por cada uma das placas normal a elas e dado por Existirão no interior das placas E 2. ε (vide capítulo 7). dois campos elétricos gerados pelas duas placas E e E, de mesma intensidade e mesmo sentido de tal forma que o campo 2. ε 2. ε resultante será E E E Observando agora que o vetor campo elétrico esta na direção do eixo x auxiliar, podemos escrever E d que integrando: dx ε B B d B A A A ε dx ε ε (x B xa) ε d Figura 3 Lembrando a definição da densidade superficial de cargas podemos escrever S.d.d ainda, ε.s. ε lembrando a definição de capacitância dada pela Equação 9-3 teremos: S d Equação 9-4 5/6/25 Teo-9-25.doc Página 2 de 9

3 que é a expressão que permite calcular a capacitância de um sistema constituído de duas placas planas e paralelas. Observemos que essa capacitância aumenta com a área das placas e diminui com o aumento da separação entre elas bem como depende do material isolante que as separa através da sua permissividade. Observando a Equação verifica-se que a capacitância do capacitor depende da permissividade do meio. Lembrando o que foi dito no força de interação entre corpos eletrizados capítulo 3, esta permissividade varia de meio para meio e é dada por ε ε r ε. Assim, se o meio dielétrico não for o vácuo, a capacitância é dada por 9.2. Exercícios εr ( ) alcule a capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas de área separadas de uma distância de mm ε d S supondo que o dielétrico seja: a) o vácuo, b) o ar, c) água, d) borracha, e) glicerina. cm 2mF 2mm ( ) Deseja-se construir um capacitor de capacidade utilizando-se papel de espessura como meio dielétrico alcule a área das placas a serem utilizadas ( ) Um capacitor, chamado cilíndrico. é constituído de dois condutores cilíndricos concêntricos, o maior oco de raio a e o menor, interno, de raio b. alcule a capacitância do mesmo. 9.3 Associação de capacitores Em muitas aplicações práticas os capacitores são associados, tanto em série como em paralelo. Em ambas as situações temos interesse em conhecer a chamada capacitância equivalente, isto é, a capacidade de um capacitor que sozinho produz o mesmo efeito. O princípio básico que nos permite estudar estas associações, e portanto determinar a capacitância equivalente, é o princípio da conservação da carga, isto é, estando um sistema isolado a carga elétrica existente no mesmo se conserva. Lembremos que carga elétrica corresponde ao número de elétrons - eles não podem aparecer desaparecer Associação em paralelo onsideremos os dois capacitores de capacitâncias e2, inicialmente isolados e descarregados. Suponhamos então que eles sejam associados em paralelo e que sobre essa associação seja aplicada uma diferença de potencial. Figura 9-4 Nestas condições, cada um dos capacitores adquirirá cargas elétricas resultantes da potencial aplicado sobre eles. Portanto a carga adquirida por cada um deles pode ser calculada a partir da definição de capacitância, seja:. e 2 2 Isto significa que, como resultado da associação uma carga total: 5/6/25 Teo-9-25.doc Página 3 de 9 Equação Equação 9-6 é armazenada pelo sistema. Procuremos a capacitância equivalente, isto é, aquela que sob a mesma diferença de potencial armazena esta carga. No capacitor equivalente deveremos ter: eq Equação 9-7

4 Figura 9-5 Substituindo as relações dadas pela Equação 9-3- na Equação podemos escrever: 2 ( 2 ) omparando com a Equação concluímos que: Equação 9-8 eq 2 Equação 9-9 Ou seja, quando capacitores são associados em paralelo, a capacitância equivalente da associação é a soma das capacitâncias associadas. Este resultado foi obtido com apenas dois capacitores associados. Entretanto podemos generalizar: quando n capacitores são associados em paralelo, a capacitância equivalente é a soma dos n capacitores associados Associação em série onsideremos os dois capacitores de capacitâncias e 2 Suponhamos então que eles sejam conectados em série e, que seja aplicada uma diferença de potencial sobre a associação. Figura 9-6 uando a diferença de potencial é conectada acontece um movimento de cargas elétricas carregando o sistema seja, os dois capacitores passam a apresentar carga elétrica. Sejam e 2 as cargas adquiridas pelos dois capacitores respectivamente. Mostremos que essas duas cargas são iguais. Para isto observe a figura lado que ilustra a situação. A região da associação marcada por (a) inicialmente não apresentava cargas. Agora pass a apresentar a carga total 2. omo a carga elétrica se conserva, deveremos ter 2 2 o que demonstra que os dois capacitores adquirem cargas iguais. hamemos esta carga comum aos dois capacitores de diferença de potencial sobre cada capacitor será: e 2 Equação 9-. Nestas condições, a 2 Equação 9- Observando que os capacitores estão em série e que, portanto os potenciais se somam podemos escrever: Equação 9-2 5/6/25 Teo-9-25.doc Página 4 de 9

5 Procuremos agora a capacitância equivalente. Lembremos que é a capacitância de um capacitor que sozinho é capaz de armazenar a mesma carga sob a mesma diferença de potencial. A carga armazenada pela associação é quando a diferença de potencial é e portanto, a partir da definição podemos escrever: omparando as equações Equação 9-7 e Equação 9-8 podemos concluir: eq Equação 9-3 eq 2 Equação 9-4 seja, numa associação em série o inverso da capacitância equivalente é igual à soma dos inversos das capacitâncias associadas. Este resultado pode ser generalizado para n capacitores associados em série Exercícios ( ) Dois capacitores iguais, de capacitâncias são associados em série e em paralelo. Determine a capacitância equivalente em cada caso. 4,7pF ( ) Determine a capacitância resultante em cada uma das situações abaixo ( ) onsidere dois capacitores de capacitâncias 2µ F e 2 3µ F conectados inicialmente aos potenciais 3 e 2 2 respectivamente, Suponha que esses dois capacitores sejam conectados em paralelo, com as polaridades coincidentes. Determine as cargas resultantes da cada capacitor bem como a tensão final. 4,8µ F, 2 7,2µ F e 2, ( ) Resolva o exercício supondo polaridades não coincidentes, 2 e ( ) Suponha que no exercício que a conexão seja feita de tal forma que a placa positiva de um seja conectada à placa positiva do tro. alcule a carga e o potencial de cada capacitor após a conexão ( ) onsidere os três capacitores da figura abaixo previamente carregados e conectados como mostrado. Observando atentamente a polaridade de cada capacitor, determine a ddp final da associação. 5/6/25 Teo-9-25.doc Página 5 de 9

6 a),76 d) 6,75 b),29 e) 2,46 c) 3,4 f ) 3, arga e descarga de capacitores 9.4. Processo arga do apacitor: Estudemos agora o processo de carga de um capacitor. Na definição dissemos que quando um capacitor é conectado a uma fonte de tensão ele adquire uma carga tal que. Observe a figura abaixo: ela ilustra o processo de carga no qual o capacitor é conectado diretamente sobre a fonte pelo fechamento da chave ch. Figura 9-7 uando isto acontece aparece uma corrente através dos fios condutores, chamada corrente de carga, a qual cessa quando a diferença de potencial sobre o capacitor se iguala àquela da fonte. omo os fios condutores não apresentam resistência essa corrente de carga é grande e a carga aparece sobre o capacitor quase que instantaneamente. Suponhamos agora que o processo de carga ocorra através de um resistor conforme figura ao abaixo. 5/6/25 Teo-9-25.doc Página 6 de 9

7 Figura 9-8 uando é fechada a chave ch aparece a corrente de carga, porém como existe resistência, essa corrente é limitada e o processo de carga é mais lento pois o potencial sobre o capacitor aumenta gradativamente e portanto a diferença de potencial[ sobre o resistor diminuí, fazendo com que a corrente fique cada vez menor. hamemos de I(t) a corrente no circuito. Determinemos como varia a carga sobre o capacitor em função do tempo, seja determinemos (t), supondo que a chave ch é fechada no instante t no qual o capacitor está descarregado. Para isso lembremos que, passado o tempo, o capacitor atingirá uma carga, tal quer, ainda, tal que onde R Apliquemos a lei das malhas na Figura 9-4-2: R I(t) Equação 9-5 R é a queda de potencial no resistor, no capacitor. Substituindo na Equação 9-6 Lembrando agora que R I(t) (t) Equação 9-6 (t) é a queda de potencial d(t) I (t) e que a Equação 9-7 fica: dt d(t) (t) R dt Equação 9-7 Equação 9-8 ue é uma equação na qual não se conhece (t) que pode ser determinada por integração, bastando para isto que se separe as variáveis. Assim procedendo: (t) R d(t) dt Fazendo agora a mudança de variáveis e substituindo d(t) dt (t) R z (a) teremos que dz d(t ) (t) dz dt z R que pode ser integrada entre os instantes t no qual o capacitor está descarregado, (), e um instante qualquer t tem que o capacitor apresenta carga (t) t t ln z t Lembrando a definição de z : R t ln ( (t)) t [ ln ( (t)) ln ( ()) ] t R R ln (t) (t) e t R R ainda e passando para a exponencial correspondente: e finalmente: 5/6/25 Teo-9-25.doc Página 7 de 9

8 (t) R e que é a expressão que fornece a carga sobre o capacitor em função do tempo. Figura 9-9 Figura 9- O gráfico acima mostra o comportamento da carga durante o processo de carga, crescente tendendo ao valor final. A partir deste resultado podemos obter a variação do potencial sobre o capacitor, bastando lembrar a definição de capacitância. Obtermos: (t) R e ue apresenta o mesmo comportamento mostrado na figura acima. Equação 9-9 A partir da expressão da carga podemos obter o comportamento da corrente no processo de carga. Para isto lembremos que obteremos: I(t) R e d(t) I. Derivando então a Equação 9-7 dt R Equação 9-2 Figura 9- Na figura ao acima é mostrado o comportamento da corrente em função do tempo. Observe que quando t temos (I ) I R que é a corrente que acontece no momento do fechamento da chave e que, com o passar do tempo a corrente diminui exponencialmente tendendo a zero. Isto se justifica pelo que foi dito acima: na medida em que o capacitor carrega, o potencial sobre ele aumenta, diminuindo a diferença de potencial sobre o resistor o quer causa redução na corrente Descarga do apacitor carregado: Estudemos agora processo inverso, seja, o processo de descarga do capacitor. Para isto consideremos um capacitor que tenha sido carregado por um potencial, adquirindo uma carga. Este capacitor pode ser descarregado diretamente, colocando seus conectores em curso circuito. uando isto ocorre, aparece uma corrente de alta intensidade que o descarrega quase que instantaneamente. 5/6/25 Teo-9-25.doc Página 8 de 9

9 Figura 9-2 onsideremos uma tra situação na qual o capacitor seja descarregado através de um resistor R através do fechamento da chave ch no instante t conforme mostrado na figura ao lado. Aplicando nesse circuito a lei das malhas: (t) R R I(t) d(t) d(t) (t) Sendo I (t) teremos R que pode ser integrada desde o dt dt instante inicial t no qual a carga do capacitor é até um instante qualquer t no qual a carga é (t). Separando as variáveis e integrando: d(t) (t) ln(t) quociente: t t d(t) dt R dt (t) R (t) ln ln (t) t t R ln () t. A aplicando a propriedade do logaritmo do R t Aplicando agora a definição de logaritmo: R (t) t R e Equação 9-2 ue dá o comportamento da carga do capacitor durante o processo de descarga através de um resistor. Este resultado mostra que a carga diminui exponencialmente com o tempo. Podemos agora aplicar a definição de capacitância e obter o comportamento do potencial sobre o capacitor, obteremos: (t) R e t Figura 9-3 Nesta equação é o potencial inicial do capacitor. A figura acima mostra o comportamento do potencial durante o processo de descarga. 5/6/25 Teo-9-25.doc Página 9 de 9