Sistemas de Controle em Rede

Transcrição

1 Sistemas de Controle em Rede Análise, Projeto e Aplicação Prática José C. Geromel FEEC UNICAMP XX CBA 2014 Belo Horizonte, de Setembro de /53

2 Conteúdo 1 Introdução 2 Preliminares Planta Controle Rede 3 Sistemas Amostrados Sistema Discreto Equivalente 4 Sistemas Híbridos Modelagem e Otimalidade 5 Controle em Rede Limitação de Banda Limitação de Banda com Perda de Pacotes 6 Aplicação Prática 7 Conclusão 2/53

3 Introdução Desde o início... Planta P Modelagem Controlador C Teoria de Controle 3/53

4 Introdução... em um futuro próximo! Planta P Modelagem Controlador C Teoria de Controle Rede Teoria de Comunicações 4/53

5 Introdução A rede influencia a dinâmica do sistema em malha fechada tendo em vista a ocorrência de: Limitação de banda Perda de pacotes Atraso... O projeto do controlador deve levar em conta que as medidas e o sinal de controle transitam pela rede: Maior abrangência Problemas de síntese determinísticos podem ser levados ao âmbito estocástico 5/53

6 Notação K = {1,2,,N} N denota o conjunto {0,1,2, } O conjunto L 2 denota o espaço das funções quadraticamente integráveis A notação ξ(t k ) para t k 0 indica o limite ξ(t k ) = lim ε 0 ξ(t k +ε) Uma matriz é Hurwitz estável autovalores em Re(s) < 0 Uma matriz é Schur estável autovalores em z < 1 6/53

8 Planta Planta A planta P é linear e invariante no tempo ẋ(t)=ax(t)+bu(t)+ew(t) z(t)=cx(t)+du(t) x 0 R n é a condição inicial x(t) : R + R n é a variável de estado u(t) : R + R m é a variável de controle z(t) : R + R q é a saída controlada w(t) : R + R p é a entrada de perturbação exógena 8/53

9 Controle Controle É preciso modelar o canal de comunicação! Operador R( ) f(t) }{{} Rf(t) } {{ } sinal transmitido sinal recebido Controle efetivo aplicado na planta u(t) = RC(Rx(t))(t) O estado x(t) é medido mas o controlador dispõe apenas de Rx(t) O controle C(Rx(t)) é transmitido e resulta no sinal de controle u(t) 9/53

10 Rede Rede Limitação de banda: Dados transmitidos com uma frequência máxima 1/T. A distância temporal entre amostras sucessivas T k = t k+1 t k T para todo k N, (Matveev and Savkin, 2009). Temos para todo k N. Rf(t) = f(t k ), t [t k,t k+1 ) Este operador é o mesmo que trata sistemas de controle amostrados, (Chen and Francis, 1995)! 10/53

11 Rede Rede Perda de pacotes: Parte da informação transmitida pela rede é perdida. Temos Rf(t) = Γ θ(t) f(t) onde θ(t) K = {1,,N} são os estados de uma cadeia de Markov, (Costa, Fragoso and Todorov, 2013). O modelo obtido insere o problema de síntese em um ambiente de controle estocástico! 11/53

12 Rede Rede Atraso: A velocidade com que os dados transitam na rede depende do protocolo, dos nós de processamento e do caminho físico percorrido. Assim sendo, temos Rf(t) = f(t τ(t)) onde τ(t) Ω define um atraso limitado mas variante no tempo, (Hespanha et al., 2007). Note que a escolha particular de τ(t) = t t k Ω é possível, (Suplin et al., 2007). Tem como caso particular o operador de limitação de banda! 12/53

13 Rede Síntese de Controle Controle H 2 : A partir de condições iniciais nulas J 2 (u) = p z }{{} l w(t)=e l δ(t) l=1 2 2 perturbações impulsivas modificam as condições iniciais. Controle H : A partir de condições iniciais nulas { J (u) = inf γ 2 : z 2 γ 2 γ 2 w 2 } 2, w L 2 perturbação de pior caso é desconhecida. Passa pela rede? 13/53

14 Rede Síntese de Controle Deseja-se determinar o controlador C que resolve inf J α(u) u U onde: α {2, } u U define os sinais factíveis que sofrem os efeitos da rede Estratégia de solução eliminar a restrição u U e redefinir a função objetivo 14/53

16 z k =C d x k +D d u k 16/53 Sistema Discreto Equivalente Sistema Discreto Equivalente Considere a planta com entrada de perturbação nula, período de amostragem constante T = t k+1 t k > 0 e u U u(t) = u(t k ), t [t k,t k+1 ) Sistema discreto equivalente ẋ(t)=ax(t)+bu(t), x(0) = x 0 z(t)=cx(t)+du(t) 0 z(t) z(t)dt = z k z k k=0 x k+1 =A d x k +B d u k, x(0) = x 0

17 Sistema Discreto Equivalente Sistema Discreto Equivalente Equação fundamental Fato [ ] x(t) = e F(t t k) u(t) [ ] x(tk ), t [t u(t k ) k,t k+1 ) [ ] [ ] A B F = e FT Ad B = d I G = [ C D ] T [ ] e F t G Ge Ft C dt = d [ ] Cd D d 0 D d 17/53

18 Sistema Discreto Equivalente Sistema Discreto Equivalente Solução ótima do problema de controle H 2 Teorema (Controle H 2 ) inf J 2(u) = min (C d +D d L)(zI (A d +B d L) 1 E 2 u U L 2 A matriz de ganho é calculada através da solução da equação algébrica de Riccati a tempo discreto O controle ótimo é da forma u(t) = Lx(t k ), t [t k,t k+1 ) 18/53

19 Sistema Discreto Equivalente Sistema Discreto Equivalente Fato Considere agora a planta com entrada de perturbação w L 2 ẋ(t)=ax(t)+bu(t)+ew(t), x(0) = 0 z(t)=cx(t)+du(t) Neste caso, a equação fundamental torna-se [ t x(t) t k e A(t τ) ] Ew(τ)dτ = e F(t t k) u(t) [ ] x(tk ), t [t u(t k ) k,t k+1 ) Muito difícil obter o sistema discreto equivalente a não ser que w(t) = w(t k ), t [t k,t k+1 ) 19/53

20 Sistema Discreto Equivalente Sistema Discreto Equivalente A perturbação deve transitar pela rede pouco severa! w L 2T L 2 Este fato permite definir o índice de desempenho { J T (u) = inf γ 2 : z 2 γ 2 γ 2 w 2 } 2, w L 2T e concluir imediatamente que inf J (u) inf J T(u) u U u U Limitante inferior para o custo ótimo do controle H! 20/53

21 Sistema Discreto Equivalente Sistema Discreto Equivalente Como tratar ambos os casos (e outros) em um mesmo contexto teórico? Sistemas Híbridos! + 21/53

22 Sistema Discreto Equivalente Sistema Discreto Equivalente Como tratar ambos os casos (e outros) em um mesmo contexto teórico? Sistemas Híbridos! + Problema com duas condições de contorno 22/53

24 Modelagem e Otimalidade Modelagem e Otimalidade O sistema em estudo, período de amostragem constante T = t k+1 t k > 0 e realimentação de estado u U u(t) = Lx(t k ), t [t k,t k+1 ) pode ser reescrito na forma ξ(t) = [ ] x(t) u(t) ξ(t) = [ ] A B ξ(t)+ 0 0 [ ] E w(t) 0 z(t)= [ C D ] ξ(t) [ ] I 0 ξ(t k ) = ξ(t L 0 k ), t [t k,t k+1 ) 24/53

25 Modelagem e Otimalidade Modelagem e Otimalidade Sistema híbrido genérico com condição inicial ξ(0 ) = 0 ξ(t)=fξ(t)+jw(t) z(t)=gξ(t) ξ(t k ) =Hξ(t k ) do qual, o anterior é um caso particular! Condição necessária e suficiente para estabilidade assintótica do processo a tempo discreto ξ(t k ) ξ(t k+1 ) ξ(t k+1), k N Avaliação dos custos J 2 (u) e J (u) 25/53

26 Modelagem e Otimalidade Modelagem e Otimalidade Estabilidade e critério de desempenho J 2 (u) Teorema (H 2 ) Se a equação diferencial matricial linear Ṗ(t)+F P(t)+P(t)F = G G admitir uma solução que satisfaz simultaneamente as duas condições de contorno P(0) < S 1, P(T) > H S 1 H para alguma matriz S > 0 então o sistema linear híbrido é assintoticamente estável e satisfaz J 2 (u) < Tr(J H S 1 HJ) 26/53

27 Modelagem e Otimalidade Modelagem e Otimalidade A matriz S > 0 deve satisfazer a desigualdade de Lyapunov : T e F T H S 1 He FT < S 1 e F t G Ge Ft dt 0 } {{ } 0 que admite solução se e somente se He FT for Schur estável. Para sistemas amostrados det(zi He FT ) = z m det(zi (A d +B d L)) a matriz A d +B d L deve ser Schur estável! Para sistemas amostrados o controle ótimo H 2 resulta de inf L,S>0 Tr(J H S 1 HJ) CONVEXO? 27/53

28 Modelagem e Otimalidade Modelagem e Otimalidade Estabilidade e critério de desempenho J (u) Teorema (H ) Se a equação diferencial matricial não linear Ṗ(t)+F P(t)+P(t)F +γ 2 P(t)JJ P(t) = G G admitir uma solução que satisfaz simultaneamente as duas condições de contorno P(0) < S 1, P(T) > H S 1 H para alguma matriz S > 0 então o sistema linear híbrido é assintoticamente estável e satisfaz J (u) < γ 2 28/53

29 Modelagem e Otimalidade Modelagem e Otimalidade Fato Devemos resolver uma equação diferencial não linear! Existe uma solução P(t) para todo t [0,T] se e somente se a equação algébrica de Riccati FQ +QF +γ 2 JJ +QG GQ = 0 admitir uma solução. Definimos F = F +QG G. Em geral, a solução Q não tem sinal definido Podemos calcular as matrizes F d = e FT, T 0 e F τ G Ge Fτ dτ = Ḡ dḡd 29/53

30 Modelagem e Otimalidade Modelagem e Otimalidade A solução da equação diferencial não linear de Riccati Teorema (Descrição convexa) O problema com duas condições de contorno (H ) tem solução se e somente se existirem matrizes W e S tais que S > Q e [ ] W WH > 0 S [ ] W Q 0 > I [ F d Ḡ d ] [ F (S Q) d Ḡ d ] 30/53

31 Modelagem e Otimalidade Modelagem e Otimalidade Solução geral, em forma fechada, da equação diferencial de Riccati, (Geromel, 1978) Problema convexo conjuntamente nas variáveis (W, S) Incluindo a matriz de ganho L, o problema mantém-se CONVEXO? Com a situação limite γ +, Q = 0 caracterizamos a existência de solução do problema com duas condições de contorno no caso (H 2 ) 31/53

32 Modelagem e Otimalidade Modelagem e Otimalidade Verificação importante: Sistemas a tempo contínuo H = I Solução do problema com duas condições de contorno P(t) = P = S 1, t [0,T] sendo P > 0 a solução estabilizante da equação algébrica de Riccati F P +PF +γ 2 PJJ P = G G Os resultados clássicos são exatamente reproduzidos J 2 = G(sI F) 1 J 2 2 J = G(sI F) 1 J 2 32/53

34 Limitação de Banda Limitação de Banda Propriedade fundamental Fato (Solução estabilizante da equação de Riccati) [Ā ] F = }{{} F + Q G B A B }{{} }{{} G = 0 0 Q 0 C D as matrizes F e F têm a mesma estrutura! [Ād F d = B d 0 I ], Ḡ d = [ C ] d D d 34/53

35 Limitação de Banda Limitação de Banda Para a determinação do ganho L é preciso particionar [ ] X Y S = Z Teorema (H ) O problema com duas condições de contorno (H ) tem solução se e somente se existir S > 0 tal que S > Q e [ ] X Q 0 [Ād > I C d No caso afirmativo L = Y X 1. ][ B d X Q Y ][Ād D d Z C d ] B d ( ) D d 35/53

36 Limitação de Banda Limitação de Banda Controle ótimo H inf S>0,S>Q,γ {γ2 : ( )} Existência de solução para o caso H 2 γ +, Q = 0 e o controle ótimo é obtido através da solução de inf S>0 {Tr(E X 1 E) : ( )} 36/53

37 Limitação de Banda Exemplo Sistema de segunda ordem com representação de estado [ ] [ ] [ ] A =, B =, E = C = [ ] [ 0, D = 1 que ilustra os seguintes aspectos teóricos: Controle ótimo H Controle ótimo H - w(t) passa pela rede! Controle subótimo H ] 37/53

38 Limitação de Banda Exemplo log 10 ( γ) T [s] 38/53

39 Limitação de Banda Amostragem Robusta Período de amostragem variante no tempo t k+1 t k = T k T, k N Controle ótimo H 2 inf S>0 Tr(E X 1 E) : ( ), T T }{{} Ψ(S,T)>0 LMI = conjunto convexo para T T fixo! 39/53

40 Limitação de Banda Amostragem Robusta Linearização externa converge para a solução ótima global! Exemplo [ A = C = J l+1 J l,l {0,1, } [ ] [ 0, B = 16 ] [ 0, D = 0.1 ] [ 0, E = 16 ], T = (0,π/25] L = [ ] γ = , (Suplin et al., 2007) L = [ ] γ = ] 40/53

41 Limitação de Banda com Perda de Pacotes Limitação de Banda com Perda de Pacotes Perda de pacotes na rede = processo estocástico! ẋ(t)=a θ(t) x(t)+b θ(t) u(t)+e θ(t) w(t) z(t)=c θ(t) x(t)+d θ(t) u(t) em que: θ(t) K é um processo markoviano definido por P(θ(t +h) = j θ(t) = i) = δ i j +λ ij h+o(h) x(0) = 0 θ(0) = θ 0 com probabilidade P(θ 0 = i) = π i0, i K Os índices de desempenho são definidos a partir de η 2 2 = E{η(t) η(t)}dt 0 41/53

42 Limitação de Banda com Perda de Pacotes Limitação de Banda com Perda de Pacotes Sistema híbrido com saltos markovianos ξ(t)=f θ(t) ξ(t)+j θ(t) w(t) z(t)=g θ(t) ξ(t) ξ(t k ) =H θ(tk )ξ(t k ) O período de amostragem T = t k+1 t k > 0, k N é essencialmente independente do processo markoviano Pode ocorrer saltos entre instantes de amostragem sucessivos Controle via realimentação de estado u(t) = u(t k ) = L θ(tk )x(t k ), t [t k,t k+1 ) Impossível determinar um sistema discreto equivalente! 42/53

43 Limitação de Banda com Perda de Pacotes Limitação de Banda com Perda de Pacotes Estabilidade e critério de desempenho J 2 (u) Teorema (H 2 ) Se o sistema de equações diferenciais acopladas Ṗ i (t)+f i P i(t)+p i (t)f i + λ ij P j (t) = G i G i i K admitir uma solução tal que P i (0) < S 1 i, P i (T) > H i S i 1 H i, i K com S i > 0 então o sistema linear híbrido satisfaz J 2 (u) < i0 Tr(J i i Kπ H i S i 1 H i J i ) 43/53

44 Limitação de Banda com Perda de Pacotes Limitação de Banda com Perda de Pacotes Estabilidade assintótica em média quadrática Solução ótima global Como anteriormente, definimos as matrizes F i = F i +(λ ii /2)I = F di = e F i T, i K T Ḡ diḡdi= e F i τ 0 G i G i + j i K } {{ } 0 λ ij P j (τ) e F i τ dτ, i K 44/53

45 Limitação de Banda com Perda de Pacotes Limitação de Banda com Perda de Pacotes Controle ótimo H 2 É necessário particionar a matriz [ ] Xi Y S i = i > 0, i K Z i Fato (H 2 ) inf S i >0 i K [ ] Xi 0 [Ādi > I ] B di C di D di π i0 Tr(E ix 1 i E i ) [Ādi S i C di L i = Y ix 1 i,i K B di D di ], i K 45/53

46 Limitação de Banda com Perda de Pacotes Limitação de Banda com Perda de Pacotes Importante N subproblemas desacoplados O acoplamento se dá através da solução do sistema de equações diferenciais Não há dificuldades em tratar o problema de controle H Dificuldade em considerar, conjuntamente, o operador atraso Ru(t) = u(t τ(t)) devido a perda do caráter markoviano! 46/53

48 Aplicação Prática Pêndulo invertido sem atrito sobre um carro f tr mg φ u x h Com o deslocamento vertical θ v = φ π/2 do pêndulo (M +m)ẍ h ml θ v =u l θ v ẍ h gθ v =0 48/53

49 Aplicação Prática Dados numéricos de (Geromel and Korogui, 2011) Controle ótimo H 2 com limitação de banda e T = 500 ms L = [ ] = J 2 (u) = Controle ótimo H 2 com limitação de banda e T k T = [300,700] ms k N L = [ ] = J 2 (u) = /53

50 Aplicação Prática Simulação temporal 50 θv [ o ] t [s] u [N] t [s] 50/53

52 Problemas em Aberto Filtragem Linear: Filtragem ótima levando em conta os efeitos de limitação de banda e perda de pacotes Controle via Realimentação de Saída: Problema genérico de informação parcial levando em conta os efeitos de limitação de banda e perda de pacotes. Verificação da validade da propriedade de separação. Análise Numérica: Regra ótima de comutação que permite escolher T k T em cada instante de tempo k N com objetivo de melhorar o desempenho global. 52/53

53 Agradecimento Agradeço a presença e a atenção de todos 53/53