Métodos Numéricos. A. Ismael F. Vaz. Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.

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1 Métodos Numéricos A. Ismael F. Vaz Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.pt Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Ano lectivo 2007/2008 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

2 Conteúdo 1 Introdução 2 Erros 3 Zeros de funções 4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial 7 Interpolação segmentada - Splines 8 Mínimos quadrados lineares 9 Equações diferenciais - Condições iniciais 10 Equações diferenciais - Condições Fronteira 11 Integração numérica A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

3 Introdução Conteúdo 1 Introdução 2 Erros 3 Zeros de funções 4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial 7 Interpolação segmentada - Splines 8 Mínimos quadrados lineares 9 Equações diferenciais - Condições iniciais 10 Equações diferenciais - Condições Fronteira 11 Integração numérica A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

4 Introdução Apresentação - Docente Aulas teóricas A. Ismael F. Vaz - aivaz@dps.uminho.pt Aula teórico-prática e práticas Senhorinha Teixeira st@dps.uminho.pt Ana Maria Rocha arocha@dps.uminho.pt Horário de atendimento Quintas das 14h00 às 15h00. Marcação por . As docentes das TPs e Ps terão o seu horário de atendimento. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

7 Introdução Apresentação - Disciplina Página da disciplina; 6 fichas TPs a realizar ao longo do semestre (17 valores nas aulas Ts) e 6 fichas Ps a realizar ao longo do semestre (3 valores cada - nas aulas Ps). A classificação final é: Fichas TPs + Fichas Ps. Não é obrigatória a presença nas aulas Ts, TPs ou Ps. Mas atenção aos momentos de avaliação. A avaliação feitas nas aulas Ps é considerada avaliação laboratorial, pelo que é exigido o valor mínimo de 50% para ter frequência (poder ir a exame). A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

12 Introdução Material necessário e de apoio Calculadora científica; Folhas das fichas TPs; Papel e caneta; Livro de Computação Numérica; Software CoNum; Formulário e acetatos disponíveis na página; A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

18 Introdução Programa detalhado Dia 28-Fev 06-Mar 13-Mar 27-Mar 03-Abr Matéria Apresentação da disciplina. Erros. Algarismos significativos. Fórmula fundamental dos erros. Erros de truncatura. Solução de equações não lineares. Método dos gráficos. Método da secante e sua convergência. Método de Newton e sua convergência. Critérios de paragem. Sistemas de equações lineares. Eliminação de Gauss com pivotagem parcial. Avaliação sobre zeros de funções (2.5 valores). Métodos iterativos de Gauss-Seidel e Jacobi. Sistemas de equações não lineares. Método de Newton. Interpolação polinomial. Diferenças divididas. Fórmula interpoladora de Newton. Erro da fórmula interpoladora de Newton. Avaliação sobre sistemas lineares e não lineares (2.5 valores). A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

19 Introdução Programa detalhado Dia 10-Abr 17-Abr 24-Abr 08-Mai 30-Mai 05-Jun 12-Jun 19-Jun 26-Jun 03-Jul Matéria Splines lineares e cúbicas. Splines cúbicas. Revisões Revisões. Avaliação sobre interpolação (3 valores). Mínimos quadrados polinomiais e modelos lineares. Equações diferenciais com condições iniciais de 1 a. Sistemas de equações diferenciais de 1 a ordem. Equações diferenciais de ordem superior. Avaliação sobre mínimos quadrados (3 valores). Equações diferencias com condições fronteira. Integração numérica. Fórmulas simples e compostas do Trapézio, Simpson e 3/8. Revisões. Avaliação sobre equações diferenciais (3 valores). Revisões. Avaliação sobre integração (3 valores). Revisões. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

20 Introdução Motivação da disciplina Presente em todos os cursos de engenharia (aplicações em todas as áreas da engenharia); A disciplina de métodos numéricos dedica-se à resolução numérica de problemas matemáticos. Com o desenvolvimento dos computadores encontra-se direccionada para a implementação de algoritmos estáveis. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

21 Introdução Motivação da disciplina Presente em todos os cursos de engenharia (aplicações em todas as áreas da engenharia); A disciplina de métodos numéricos dedica-se à resolução numérica de problemas matemáticos. Com o desenvolvimento dos computadores encontra-se direccionada para a implementação de algoritmos estáveis. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

22 Introdução Controlo óptimo - Um exemplo Problema de optimização do processo semi-contínuo de produção de Etanol. O problema de optimização é: (t 0 = 0 e t f = 61.2 dias) max u(t) s.t. J(t f ) x 3 (t f )x 4 (t f ) dx 1 = g 1 x 1 u x 1 dt x 4 dx 2 = 10g 1 x 1 + u 150 x 2 dt x 4 dx 3 = g 2 x 1 u x 3 dt x 4 dx 4 = u dt 0 x 4 (t f ) u(t) 12 t [t 0, t f ] com ( ) ( ) x 2 g 1 = 1 + x 3 / x 2 ( ) ( ) 1 x 2 g 2 = 1 + x 3 / x 2 onde x 1, x 2 e x 3 são as concentrações da massa celular, substrato e produto (g/l), e x 4 é o volume (L). As condições iniciais são: x(t 0 ) = (1, 150, 0, 10) T. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

23 Introdução Abordagem para a resolução Grande exigência em termos numéricos; Grande exigência em termos de programação; Solução da equação diferencial com o CVODE (software em C); Problemas codificados em AMPL (linguagem de modelação); Algoritmo para optimização sem derivadas; A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

28 Erros Conteúdo 1 Introdução 2 Erros 3 Zeros de funções 4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial 7 Interpolação segmentada - Splines 8 Mínimos quadrados lineares 9 Equações diferenciais - Condições iniciais 10 Equações diferenciais - Condições Fronteira 11 Integração numérica A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

29 Erros Formato de vírgula flutuante normalizado fl(x) = ±0.d 1 d 2...d k 10 e onde, 0.d 1 d 2... d k corresponde à mantissa, e e é o expoente. fl t (x) representa o valor de x em vírgula flutuante truncado e fl a (x) representa o valor de x em vírgula flutuante arredondado. Exemplo x = 2 3 fl t (x) = fl a (x) = A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

30 Erros Formato de vírgula flutuante (norma IEEE-754, 32 bits) σ e + 64 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 1 bit 7 bits 4 bits 4 bits 4 bits 4 bits 4 bits 4 bits Exemplo x = = = ( ) σ e + 64 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

31 Erros Exemplo de programação A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

32 Erros Exemplo de programação A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

33 Erros Erros Seja x o valor exacto e x o seu valor aproximado, que será usado nos cálculos x x é o erro absoluto (normalmente não se pode calcular, porque x é desconhecido); x x δ x é o limite superior do erro absoluto; r x = x x x = δx x δx x é o erro relativo. Exemplo Pediu-se a duas pessoas para contarem laranjas de dois cestos. A primeira contou 980 laranjas num cesto de 1000 e a segunda contou 480 num cesto de 500. Apesar de cometerem o mesmo erro absoluto (δ 1 = 20 laranjas e δ 2 = 20 laranjas) a segunda cometeu um erro maior, visto que r 1 = = 0.02 e r 2 = = A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

37 Erros Fórmula fundamental dos erros Dados n valores aproximados, x 1,..., x n, e os seus respectivos erros absolutos é possível calcular um majorante para o erro absoluto cometido quando se aplica uma função f, através da fórmula fundamental dos erros. δ f M x1 δ x1 + M x2 δ x M xn δ xn f onde max x I xi Mxi, com I = I x1 I xn I xi = [x i δ xi, x i + δ xi ] r f δ f f(x 1,..., x n ) e A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

38 Erros Exemplo Cálculo dos limites do erro absoluto e relativo do cálculo da função f(x) = x 1 x 2. Temos que f x 1 Mx1 = 1 e f x 2 Mx2 = 1, logo e δ f = δ x1 + δ x2 r f δ x 1 + δ x2 x 1 x 2 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

39 Erros Algarismos Significativos Casa decimais são as casas (algarismos) à direita da vírgula. Os algarismos significativos são aqueles em que temos confiança do seu valor. Exemplos: tem 1 algarismo significativo se δ = 0.05, 2 se δ = e 7 se δ = tem 7 casas decimais e 2 algarismos significativos (δ = ). Quando todas as casas decimais são significativas 0.2 é diferente de A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

40 Zeros de funções Conteúdo 1 Introdução 2 Erros 3 Zeros de funções 4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial 7 Interpolação segmentada - Splines 8 Mínimos quadrados lineares 9 Equações diferenciais - Condições iniciais 10 Equações diferenciais - Condições Fronteira 11 Integração numérica A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

41 Zeros de funções Forma geral do problema Pretende-se determinar x tal que f(x) = 0 Exemplo Temos x = como solução para e x + x = 0 Nota: uma equação não linear pode não ter solução, ou ter mais do que uma. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

42 Zeros de funções Métodos iterativos Uma sequência diz-se iterativa se é definida por uma função F independente de k e dependente de um ou vários elementos anteriores a ele, x k = F (x k 1, x k 2,... ) Aproximações iniciais Um método que se baseie numa sequência iterativa com k 1 elementos anteriores necessita também de k 1 valores iniciais. Exemplo x k = x k 1 + x k 2 Partindo de x 0 = 1 e x 1 = 1 temos x 2 = x 1 + x 0 = 2, x 3 = x 2 + x 1 = = 3, x 4 = x 3 + x 2 = = 5 gera uma sequência com os números de Fibonacci. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

43 Zeros de funções Convergência Uma sequência iterativa diz-se convergente quando Convergência superlinear lim x k = x k lim k + x x k+1 x = L ou lim x k k + x x k+1 x x k = 0 Convergência quadrática x x k+1 lim k + x x k 2 = L A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

44 Zeros de funções Critério de Paragem A sequência de aproximações pode ser infinita. Como se pretende obter uma aproximação à solução implementa-se um critério de paragem. Estimativa do erro relativo d k = x k+1 x k x k+1 ɛ 1 Valor da função f(x k+1 ) ɛ 2 Número máximo de iterações k n max A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

45 Zeros de funções Método dos gráficos Uma aproximação ao zero da função f(x) pode obter-se pela intersecção do gráfico de f(x) com o eixo dos xx; se f(x) = g(x) h(x) os zeros de f(x) são os pontos de intersecção de g(x) com h(x). O método dos gráficos é frequentemente usado para obtermos uma aproximação inicial para outros métodos mais precisos. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

46 Zeros de funções Exemplo f(x) = e x + x g(x) = e x h(x) = x g(x) 0.2 h(x) y f(x) x A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

47 Zeros de funções Método da bissecção Se f(x i )f(x s ) < 0 então existe um número ímpar de raízes de f(x) no intervalo [x i, x s ]. Aproxima-se da raiz calculando x k = x i+x s 2, k = 1, 2,... Considera-se o intervalo [x i, x k ] se f(x i )f(x k ) < 0 e faz-se x s x k ou [x k, x s ] se f(x k )f(x s ) < 0 e faz-se x i x k A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

48 Zeros de funções Interpretação gráfica (Bissecção) f(x) = e x + x f(x) xi xk+1 xk xs xs x A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

49 Zeros de funções Método da secante Método iterativo em que se fornece o x 1 e x 2 (a raiz não está necessariamente no intervalo [x 1, x 2 ]). O próximo valor é calculado pela seguinte fórmula (equação iterativa): x k+1 = x k (x k x k 1 )f(x k ), k = 2, 3,... f(x k ) f(x k 1 ) Zeros complexos: O método da secante também calcula zeros complexos, bastando para isso usar aritmética complexa. Convergência: A convergência do método da Secante depende do valor de M 2m ser pequeno. M é o max f (ξ) e m é o min f (η), onde ξ, η I. ɛ k+1 = f (ξ) 2f (η) ɛ k 1ɛ k A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

50 Zeros de funções Interpretação gráfica (Secante) f(x) = e x + x f(x) xk+2 xk+1 xk xk x A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

51 Zeros de funções Método de Newton Método iterativo em que se fornece o x 0. O próximo valor é calculado pela seguinte formula (equação iterativa): x k+1 = x k f(x k) f, k = 1, 2,... (x k ) Zeros complexos: O método de Newton também calcula zeros complexos, bastando para isso usar aritmética complexa. Convergência: A convergência do método de Newton depende do valor de M 2m ser pequeno. M é o max f (ξ) e m é o min f (η), onde ξ, η I. ɛ k+1 = f (ξ) 2f (η) ɛ2 k A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

52 Zeros de funções Interpretação gráfica (Newton) f(x) = e x + x f(x) xk+2 xk+1 xk x A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

53 Zeros de funções Principais propriedades Ambos possuem convergência local. Superlinear no caso do método da secante e quadrática no método de newton. O método da secante não usa derivadas. O método da secante e de Newton podem falhar quando o denominador da equação iterativa é próximo de zero, i.e., quando f(x k ) f(x k 1 ) ou f (x k ) 0. O método da secante e de Newton não convergem necessariamente para o zero mais próximo da aproximação inicial. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

54 Zeros de funções Exemplo e x + x = 0 Método de Newton com x 0 = 0.5, ε 1 = 0.5, ε 2 = 0.1, n max = 2. Temos então que f(x) = e x + x e que f (x) = e x a iteração x 0 = 0.5 f( 0.5) = e = e f ( 0.5) = x 1 = x 0 f( 0.5) f ( 0.5) = = CP: f( ) = (Verdadeiro) x 1 x 0 x 1 = = (Verdadeiro) O processo iterativo pára com x x 1 = E se o ε 1 fosse 0.1? A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

64 Resolução de sistemas lineares Conteúdo 1 Introdução 2 Erros 3 Zeros de funções 4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial 7 Interpolação segmentada - Splines 8 Mínimos quadrados lineares 9 Equações diferenciais - Condições iniciais 10 Equações diferenciais - Condições Fronteira 11 Integração numérica A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

65 Resolução de sistemas lineares Forma geral do problema a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n É um sistema com n equações lineares nas n incógnitas, x 1, x 2,..., x n. O sistema pode ser escrito na forma matricial Ax = b a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a n1 a n2... a nn x 1 x 2... x n = b 1 b 2... b n A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

66 Resolução de sistemas lineares Exemplo x 1 x 2 x 3 = É um sistema linear de dimensão 3 3. A matriz dos coeficientes A = R 3 3 e o vector b = (1, 1, 1) T R 3 é o vector dos termos independentes A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

67 Resolução de sistemas lineares Definições A característica de uma matriz A, c(a), é o número máximo de linhas paralelas, ou colunas, linearmente independentes que existem na matriz. Para que um sistema seja possível e determinado temos de ter c(a) = n. Caso contrário (c(a) < n) o sistema é indeterminado ou impossível. À matrix (A b) que se obtém ampliando A com a coluna do termo independente b chama-se matriz ampliada do sistema. Triangular superior (inferior): É uma matriz em que os elementos abaixo (acima) da diagonal principal são zeros. Tridiagonal: Matriz em que a ij = 0, se i j 2, i, j = 1,..., n. Uma matriz com muitos elementos nulos diz-se esparsa. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

72 Resolução de sistemas lineares Tipos de métodos Métodos directos e estáveis. Métodos que calculam a solução exacta do sistema ao fim de um número finito de operações elementares, caso não ocorram erros de arredondamento. Matrizes dos coeficientes densas e de pequena dimensão. Métodos iterativos. Métodos que definem uma sequência infinita de operações, determinando uma sequência de aproximações, cujo limite é a solução exacta do sistema. Matrizes dos coeficientes esparsas e de grande dimensão. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

73 Resolução de sistemas lineares Tipos de métodos Métodos directos e estáveis. Métodos que calculam a solução exacta do sistema ao fim de um número finito de operações elementares, caso não ocorram erros de arredondamento. Matrizes dos coeficientes densas e de pequena dimensão. Métodos iterativos. Métodos que definem uma sequência infinita de operações, determinando uma sequência de aproximações, cujo limite é a solução exacta do sistema. Matrizes dos coeficientes esparsas e de grande dimensão. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

74 Resolução de sistemas lineares Estabilidade numérica Considere-se o seguinte sistema linear: { x1 + x 2 = x 1 + x 2 = 2 cuja solução é x = (1, 1) T. Usando aritmética de três algarismos significativos e considerando o multiplicador igual a = , surge o sistema condensado { x 1 + x 2 = cuja solução é x = (0, 1) T!!! x 2 = A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

75 Resolução de sistemas lineares Motivação - Continuação Se nas mesmas condições usarmos a pivotagem parcial temos { x 1 + x 2 = x 1 + x 2 = m = = cuja solução é x = (1, 1) T. { x1 + x 2 = 2 x 2 = A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

76 Resolução de sistemas lineares Eliminação de Gauss com Pivotagem Parcial (EGPP) Corresponde a eliminação de Gauss, mas em que a linha usada na eliminação dos elementos da coluna das linhas seguintes é o maior em módulo. Exemplo: m 21 = 3 9 m 31 = 6 9 = A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

77 Resolução de sistemas lineares Eliminação de Gauss com Pivotagem Parcial (EGPP) m 32 = = 0.1 = A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

78 Resolução de sistemas lineares Substituição inversa Quando a matriz é triangular superior pode-se determinar a solução directamente, através da substituição inversa. Exemplo vem que x 3 = = 0.875, x ( 2) = = x 1 = 1 ( 9) = 0.5 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

79 Resolução de sistemas lineares Substituição directa Quando a matriz é triangular inferior pode-se determinar a solução directamente, através da substituição directa. Exemplo vem que x 1 = 2 1 = 2, x 2 = = 1 x 3 = ( 1) 1 = 0 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

80 Resolução de sistemas lineares Decomposição LU Da eliminação de Gauss com Pivotagem Parcial resulta Exemplo ( ) (A I ) (U J ) ( ) ( ) A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

81 Resolução de sistemas lineares Determinantes de Matrizes det(a) = ( 1) s n u ii onde u ii corresponde aos elementos da diagonal da matriz U e s é o número de trocas de linhas para obter a matriz U. Exemplo ( 1 2 det 2 1 ) ( = ( 1) det i=1 ) = ( 1) = 3 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

82 Resolução de sistemas lineares Cálculo da Inversa de Matrizes A matriz inversa de A (A 1 ) verifica AA 1 = I = A 1 A. O cálculo da matriz inversa reduz-se a resolução de n sistemas lineares da forma Ax j = e j, j = 1,..., n, em que os vectores independentes e j são as colunas da matriz identidade. O vector solução x j corresponde à coluna j da matriz inversa. Na prática resolve-se os n sistemas em simultâneo, i.e., resolve-se a equação (U J ) por substituição inversa. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

83 Resolução de sistemas lineares Cálculo da Inversa de Matrizes - Exemplo ( ) ( ) ( ) ( ) { x11 = = x 21 = = ( ) { x12 = 1 1 ( ) 2 = x 22 = = ( ) ( ) A inversa de é A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

84 Resolução de sistemas lineares Métodos iterativos Nos métodos iterativos a solução exacta só é obtida ao fim de uma sequência infinita de operações. O processo parte de uma aproximação inicial para a solução do sistema e usa uma equação iterativa da forma Mx (k+1) = Nx (k) + b, para k = 1, 2,... Os métodos em que M e N não dependem de k dizem-se estacionários. Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos estacionário. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

85 Resolução de sistemas lineares Método Iterativo Jacobi D matriz dos elementos da diagonal principal, L matriz dos simétricos dos elementos abaixo da diagonal principal e U matriz dos simétricos dos elementos acima da diagonal principal. O método de Jacobi usa a partição de A em D (L + U), i.e, M = D e N = L + U A equação iterativa fica Dx (k+1) = (L + U)x (k) + b ou x (k+1) = D 1 (L + U)x (k) + D 1 b A matriz iteração é C J = M 1 N = D 1 (L + U) A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

86 Resolução de sistemas lineares Método Iterativo Gauss-Seidel M = D L N = U A equação iterativa fica Mx (k+1) = Nx (k) + b ou x (k+1) = M 1 Nx (k) + M 1 b A matriz iteração é C GS = M 1 N = (D L) 1 U. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

87 Resolução de sistemas lineares Critério de Paragem Erro relativo na aproximação x (k+1) x (k) x (k+1) < ɛ 1 Resíduo Ax (k+1) b < ɛ 2 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

88 Resolução de sistemas lineares Convergência dos métodos iterativos Condições suficientes A simétrica e definida positiva = GS exibe convergência global; A é estrita e diagonalmente dominante = J e GS exibem convergência global; C p < 1, para qualquer normal p, = J e GS exibem convergência global; C é a matriz iteração de Jacobi ou Gauss-Seidel. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

91 Resolução de sistemas lineares Algumas definições Uma matriz A diz-se simétrica se A = A T. Uma matriz é definida positiva se d T Ad > 0, d 0. É equivalente a verificar que todos os determinante das sub-matrizes principais são maiores do que zero. Uma matriz A diz-se estrita e diagonalmente dominante se a ii > n a ij, i = 1,..., n j=1 j i A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

94 Resolução de sistemas lineares Exemplo - convergência de Gauss-Seidel Considere-se a seguinte matriz dos coeficientes de um sistema linear ( ) 3 1 A = 1 2 Como a A = A T a matriz é simétrica. ( ) 3 1 det( 3 ) = 3 > 0 det(a) = = 5 > Logo A é simétrica e definida positiva e o método de Gauss-Seidel converge. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

95 Resolução de sistemas lineares Exemplo - convergência de Jacobi Considere-se o seguinte sistema ( Como 1 2 a matriz dos coeficientes não é estrita e diagonalmente dominante e nada se pode concluir acerca da convergência do método de Jacobi. No entanto se trocarmos as linhas temos ( 3 1 ) e como 3 > 1 e 2 > 1 a matriz é estrita e diagonalmente dominante, logo o método de Jacobi converge. ) A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

96 Resolução de sistemas lineares Exemplo - convergência de Jacobi Considere-se a seguinte matriz dos coeficientes de um sistema linear ( ) 3 2 A = 3 1 Como 3 > 2, mas 1 3 a matriz dos coeficientes não é estrita e diagonalmente dominante e nada se pode concluir acerca da convergência do método de Jacobi. D = ( ) L = ( ) U = ( ) A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

97 Resolução de sistemas lineares Continuação ( ) ( C J = D (L + U) = ( ) = 3 0 ) Como C J = max{ , } = 3 1 e c J 1 = max{ 0 + 3, } = 3 1 nada se pode concluir acerca da convergência do método de Jacobi. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

98 Resolução de sistemas lineares Uma iteração do método de Gauss-Seidel Considere-se o seguinte sistema linear ( A = ), x (1) = (0, 0) T e ɛ 1 = ɛ = 0.1 ( ) 3 0 D = L = 0 2 Equação iterativa é ( ) U = ( ) (D L)x (k+1) = Ux (k) + b A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

99 Resolução de sistemas lineares Continuação 1 a iteração C.P. ( ) ( x (2) 0 1 = 0 0 ( x (2) x (1) x (2) = ) { ( ( ) ( 0 0 ) ( ) = ( 1 1 x (2) 1 = 1 3 = x (2) 2 = = ) ( 0 0 ) ) ) = = Como o critério não se verifica deve-se continuar com a próxima iteração. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

100 Resolução de sistemas não lineares Conteúdo 1 Introdução 2 Erros 3 Zeros de funções 4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial 7 Interpolação segmentada - Splines 8 Mínimos quadrados lineares 9 Equações diferenciais - Condições iniciais 10 Equações diferenciais - Condições Fronteira 11 Integração numérica A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

101 Resolução de sistemas não lineares Sistemas de equações não lineares Forma geral do problema f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0... f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0 em que f = (f 1, f 2,..., f n ) T é um vector de funções pelo menos uma vez continuamente diferenciáveis. Pretende-se determinar um x = (x 1, x 2,..., x n) T tal que f(x ) = (0, 0,..., 0) T = 0. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

102 Resolução de sistemas não lineares Fórmula de Taylor a uma dimensão Se f : R R for l + 1 vezes diferenciável temos que f(x) = l k=0 f (k) (a) k! (x a) k + f (l+1) (ξ) (x a)l+1 (l + 1)! com ξ [a, x] e a função definida em torno de a. Exemplo: Valor da função em x (k+1) definido em torno de x (k). f(x (k+1) ) f(x (k) ) + f (x (k) )(x (k+1) x (k) ) ou seja, quando se pretende que f(x (k+1) ) = 0 vem x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ) Eq. it. do método de Newton A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

103 Resolução de sistemas não lineares Fórmula de Taylor para dimensão n Se f : R n R n temos que f(x (k+1) ) f(x (k) )+ f 1 (x (k) ) f 1 (x (k) ) x 1 f 2 (x (k) ) f 2 (x (k) ) x 1 x 2... x f n(x (k) ) x 1 f n(x (k) ) x 2... f 1 (x (k) ) x n f 2 (x (k) ) x n f n(x (k) ) x n x (k+1) 1 x (k) 1 x (k+1) 2 x (k) 2 x (k+1) n... x (k) n e deduzindo a equação iterativa do método de Newton para sistemas de equações não lineares temos, J(x (k) ) (k) x = f(x (k) ), com x (k+1) = x (k) + (k) x em que J(x) é o Jacobiano da função. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

104 Resolução de sistemas não lineares Critério de paragem x (k+1) x (k) 2 x (k+1) = (k) x 2 2 x (k+1) ɛ 1 2 Se x (k+1) 2 é zero, ou próximo de zero, então o critério deve ser (k) x 2 ɛ 1 Número máximo de iterações. f(x (k+1) ) 2 ɛ 2 A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

107 Resolução de sistemas não lineares Propriedades Convergência local quadrática. Determina a solução de um sistema linear numa única iteração. Inconveniente do cálculo do Jacobiano. (Também existe um método da secante para sistemas.) O método falha quando o Jacobiano é singular (nova aproximação inicial). O método de Newton não converge necessariamente para a solução mais próxima da aproximação inicial. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

112 Resolução de sistemas não lineares Um exemplo Considere-se o seguinte sistema não linear { 3x 2 + 2y 2 = 35 4x 2 3y 2 cujo Jacobiano é J(x, y) = = 24 ( 6x 4y 8x 6y ) Temos f(x, y) = ( 3x 2 + 2y x 2 3y 2 24 ) e a aproximação inicial é (x, y) (1) = (2.5, 2). Pretende-se determinar a solução com uma precisão de ɛ 1 = ɛ 2 = A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

113 Resolução de sistemas não lineares Continuação 1 a iteração ( ) J((x, y) (1) 15 8 ) = J(2.5, 2) = ( ) f((x, y) (1) 8.25 ) = f(2.5, 2) = 11 ( (1) (x,y) = ( ) ) ( ) ( e (x, y) (2) = (x, y) (1) + (1) (x,y) = (3.05, 2)T ) A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

114 Resolução de sistemas não lineares Continuação C.P. ( f (x, y) (2)) ( ) = = 1.21 ɛ 2 = 0.1 Como o critério não se verifica faz-se uma nova iteração. A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

115 Interpolação polinomial Conteúdo 1 Introdução 2 Erros 3 Zeros de funções 4 Resolução de sistemas lineares 5 Resolução de sistemas não lineares 6 Interpolação polinomial 7 Interpolação segmentada - Splines 8 Mínimos quadrados lineares 9 Equações diferenciais - Condições iniciais 10 Equações diferenciais - Condições Fronteira 11 Integração numérica A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

116 Interpolação polinomial Motivação Pretende-se determinar uma função aproximação que descreva o melhor possível o comportamento de um conjunto de pontos (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ),..., (x m, f m ). Este conjunto de pontos pode ter sido obtido de: observações de uma experiência (função desconhecida); uma função complexa cujo cálculo é difícil (função pode ser conhecida). A função aproximação server para: formular um modelo matemático que descreve o processo em causa; obter valores da função em pontos que são desconhecidos. Problema: Como implementar a função sin(x) num microcontrolador? A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

117 Interpolação polinomial Motivação Pretende-se determinar uma função aproximação que descreva o melhor possível o comportamento de um conjunto de pontos (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ),..., (x m, f m ). Este conjunto de pontos pode ter sido obtido de: observações de uma experiência (função desconhecida); uma função complexa cujo cálculo é difícil (função pode ser conhecida). A função aproximação server para: formular um modelo matemático que descreve o processo em causa; obter valores da função em pontos que são desconhecidos. Problema: Como implementar a função sin(x) num microcontrolador? A. Ismael F. Vaz (UMinho) MN MIEMec. 2007/ / 203

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