Alguns apontamentos da história da Análise Numérica

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1 Análise Numérica 1 Âmbito da Análise Numérica Determinar boas soluções aproximadas num tempo computacional razoável? Slide 1 Porquê? Porque em muitos problemas matemáticos e respectivas aplicações práticas as soluções exactas podem não ser obteníveis (por métodos analíticos) ou não se apresentarem de forma conveniente para a aplicação concreta. Alguns apontamentos da história da Análise Numérica Há mais de 3700 anos os Babilónios determinavam numericamente soluções de equações quadráticas e aproximações à raiz quadrada de um inteiro. Também usavam interpolação no cálculo de juros compostos (!) A aplicação da eliminação gaussiana na resolução de sistemas de equações lineares aparece num manuscrito chinês (os Nove Capítulos da dinastia Han (há aprox anos). Slide 2 O método das aproximações sucessivas é generalizado para a obtenção de soluções de equações de grau superior durante a dinastia Sung ( ). Numa carta de Arquimedes para Eratosthenes (250 a.c.) é descrito um método para determinar aproximadamente a área de uma dada região pela aproximação desta por várias regiões de áreas conhecidas (integração numérica). Esta carta foi descoberta em Os árabes são os herdeiros desta tradição para o primeiro milénio. Trabalhos importantes de Omar Khayyam e Jemshid Al-Kashi. Neste milénio matemáticos como Horner, Fibinacci, Napier, Kepler, Newton, Taylor (o da fórmula de Taylor), Runge, Kutta, Leibniz, etc. trabalharam na resolução aproximada de problemas matemáticos.

2 Análise Numérica 2 Métodos numéricos Directos Produzem uma resposta a um problema num número fixo de passos. Slide 3 Se os cálculos forem feitos com aritmética exacta, a solução é exacta. No entanto em implementações computacionais não há aritmética exacta. Substituição de funções por funções aproximantes (mais simples). A precisão depende da qualidade da função aproximante. Iterativos Produzem uma sequência de soluções aproximadas (delineados para convergirem para cada vez mais próximo da solução exacta, sob as condições apropriadas). Questões de convergência: estamos de facto a aproximarmo-nos da solução verdadeira (exacta)? Quando paramos o processo (critério de paragem)? Factores a considerar e a equilibrar: Esforço requerido para a resolução. Precisão da solução. Erros, precisão e estabilidade Computadores Número de dígitos finito para a representação das grandezas ( arredondamento, truncagem); Medidas experimentais Precisão finita nos aparelhos de medida. Slide 4 Erros na representação das grandezas diferenças entre a representação e o valor representado. Realização de cálculos envolvendo números não exactos (com erros). Acumulação de erros Instabilidade nos cálculos.

3 Análise Numérica 3 Erros de medida Erro absoluto Slide 5 x x x Valor aproximado Valor exacto x = x x Erro Valores aproximados: por defeito x > 0 Erro absoluto x = x x por excesso x < 0 x, x desconhecidos erro máximo absoluto epsilon : ε x isto é, x ]x ε, x + ε[ Quando se conhece o sentido da aproximação Slide 6 Aproximação por defeito x x x x + ε x + ε 2 é um novo valor aproximado de x com erro máximo absoluto ε 2.

4 Análise Numérica 4 Demonstração: x < ε ε < x x < ε Como x x > 0 (aproximação por defeito) vem: 0 < x x < ε Definindo x = x + ε 2 vem: 0 < x x + ε 2 < ε ε 2 < x x < ε 2 ou seja, x é um valor aproximado com erro máximo absoluto ε 2. Erro relativo Erro relativo = x x x x Slide 7 Erro máximo relativo = ε = ε x

5 Análise Numérica 5 Erros causados por aritmética não exacta Representações em vírgula flutuante A representação dos números reais num computador é feita num formato dito de vírgula flutuante: N = ±.d 1 d 2 d 3... d p B e Slide 8 onde B é a base, os d i são os dígitos que formam a mantissa e e o expoente. A mantissa tem um número fixo p de dígitos e cada um deles toma valores inteiros entre 0 e B 1. Por exemplo: Base 2: d i {0, 1} Base 10: d i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Base 16: d i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F } O expoente e também é um número inteiro e toma valores num intervalo [e min, e ]. Normalmente exige-se que d 1 0, dizendo-se nesse caso que o número está normalizado. Erros causados por aritmética não exacta O intervalo onde o expoente pode tomar valores determina o número maior e menor que se pode representar nesse sistema. Slide 9 Exemplo: Sistema em base 2 com 32 bits, sendo 23 usados para a mantissa, 8 para o expoente e 1 para o sinal. Os 8 bits do expoente permitem representar números com sinal no intervalo [ 128, 127], o que dá: Menor número representável Maior número representável Números menores underflow Números maiores overflow Como lidar com números com mais dígitos do que os que podem ser representados pelo sistema de vírgula flutuante?

6 Análise Numérica 6 Arredondamentos Quando não se devem usar todas as casas decimais que um número apresenta, este deve ser arredondado de acordo com as seguintes regras: Regras para arredondar um número para n casas decimais: Slide 10 Se a parte restante do número (da casa n + 1 para a frente) for superior a meia unidade da casa decimal n ( n ) arredonda-se a casa decimal n para cima. Se a parte restante do número (da casa n + 1 para a frente) for inferior a meia unidade da casa decimal n ( n ) arredonda-se a casa decimal n para baixo. Se a parte restante do número (da casa n + 1 para a frente) for exactamente igual a meia unidade da casa decimal n ( n ) arredonda-se a casa decimal n para o algarismo para mais próximo. Exemplos: 1. Arredondar às centésimas > Slide Arredondar às centésimas < Arredondar às centésimas = Arredondar às centésimas =

7 Análise Numérica 7 Erros de arredondamento de números representados por valores aproximados com n casas decimais Slide 12 Um número aproximado, que tenha sido obtido por arredondamento de um valor exacto, tem um erro máximo absoluto de 5 unidades da casa decimal seguinte (ou meia unidade da última casa decimal representada). Exemplo: 3.14 representará números compreendidos entre e 3.145, ou de outra forma: 3.14 ± Algarismos significativos Definição: São todos os algarismos da mantissa de um número com excepção dos zeros à esquerda. Teorema: Se um número tem n dígitos significativos então o erro relativo é inferior a 5 10 n. Demonstração: Seja x um número aproximado com n dígitos: x = d 1 d 2... d n 10 k, k Z Então o seu erro máximo absoluto será: Para o erro relativo teremos: ε x ε x x = Ora quanto à mantissa: ε x = 5 10 k k 1 d 1 d 2... d n 10 k = 10 n 1 d 1 d 2... d n < 10 n d 1 d 2... d n pois caso contrário o número teria n 1 ou n + 1 dígitos significativos, uma vez que os zeros à esquerda não contam. Então: ε x n 1 = 5 10 n

8 Análise Numérica 8 Efeito da ordem das operações Considere-se o seguinte problema de adição: Slide 13 Com aritmética exacta o seu resulatdo é , independentemente da ordem pela qual são efectuados os cálculos. No entanto se se usar uma aritmética de 3 dígitos e se fizerem os cálculos em vírgula flutuante normalizada da esquerda para a direita: ( ) = = Fazendo estes mesmo cálculos da direita para a esquerda: ( ) = = = Erro de cancelamento Slide 14 Ocorre quando se subtraem 2 números quase iguais. O resultado da subtracção será um valor muito pequeno, podendo o erro absoluto ser da sua ordem de grandeza e, consequentemente, apresentar erros relativos muito elevados. Exemplo: = O resultado apresenta um majorante para o erro absoluto se , o que dá um, erro relativo de 50%! Tomar precauções com a forma como se dispôem os cálculos. Exemplo: Resolução de uma equação do segundo grau do tipo x 2 bx + 1 = 0. Pela fórmula resolvente: x 1 = b + r 2 e x 2 = b r 2 com r = b 2 4 Quando b 4, r vem muito próximo de b. No cálculo de x 2 podem ocorrer erros de cancelamento elevados.

9 Análise Numérica 9 No entanto, se se racionalizar o numerador da fórmula de cálculo de x 2 : x 2 = b r 2 esse problema desaparece. (b + r) (b + r) = (b2 r 2 ) 2(b + r) = 4 2(b + r) = 2 (b + r) Slide 15 O que aconteceria se se fizesse mesmo à fórmula que calcula x 1? Erro no cálculo de funções do tipo y = f(x) Como estimar o erro do valor aproximado ȳ resultante do cálculo de f para o valor aproximado x com um erro absoluto x? Slide 16 Função bem condicionada no ponto x. Função mal condicionada no ponto x. Condição: sensibilidade do valor da função f(x) a variações (pequenas) no argumento x.

10 Análise Numérica 10 Estimativa de y Então: y = y ȳ = f(x) f( x) = f( x + x) f( x) = Slide 17 Vamos recordar o Teorema do Valor Médio: Seja g(x) uma função contínua e derivável em [a, b]. Então: c [a,b] : b a g(x)dx = g(c)(b a) Ou, fazendo g(x) = f (x): c [a,b] : f(b) f(a) = f (c)(b a) Retomando o cálculo de y e aplicando este resultado do Teorema do Valor Médio: f( x + x) f( x) = f ( x). x ȳ + y ȳ = f ( x). x y = f ( x). x, x [ x, x + x] Slide 18 Se tomarmos o erro máximo absoluto de x (que é o que conhecemos) em vez de x, vem: y f ( x).ε x Como x é desconhecido vamos majorar a expressão do lado direito considerando f (x) no intervalo x ± ε x, isto é: y f (x).ε x = ε y por definição de erro máximo absoluto. Então: ε y = f (x).ε x

11 Análise Numérica 11 Erro relativo no cálculo de y = f(x) Partindo da expressão do erro absoluto de y e dividindo ambos os membros da inequação por y, ao mesmo tempo que se multiplica e divide o 2 o membro por x, vem: Slide 19 Então, se y f (x).ε x y y f (x). x y ε x x ε y f (x). x y ε x f (x). x y < 1, o erro relativo diminui f (x). x y 1, o erro relativo mantém-se não há perda de dígitos significativos f (x). x > 1, o erro relativo aumenta y há perda de dígitos significativos Erro no cálculo de funções de várias variáveis y = f(x 1, x 2,..., x n ) Slide 20 Vamos supôr que como argumentos da função temos valores aproximados x i. Seguindo o mesmo racciocínio do caso y = f(x) e aplicando o teorema do valor médio para funções de R n R, temos: n ( ) δf y = y ȳ = f(x 1, x 2,..., x n ) f( x 1, x 2,..., x n ) =. x i δx i Então: n y δf δx i=1 i.ε xi Ou: n ε y = δf δx i.ε xi Para o erro relativo: ε y = i=1 n δf. x i δx i y.ε x i i=1 i=1 ( x 1, x 2,..., x n )

12 Análise Numérica 12 Exemplos: 1. Calcule um majorante para o erro absoluto de y no cálculo da função sin x+a y = 1.5, quando x = 2 (número exacto) e a = 2.37 ± y dy da. a = Quantos dígitos significativos se podem perder no cálculo da função f(x) = quando x toma valores em torno de 0.8. x 1 x 2 f(x) = x 1 x 2 f (x) = 1 + x 2 1 x 2 (1 x2 ) 3 f (x) x x x 3 y = 1 x 2 (1 x x + 2 ) 3 x = 1 x 2 1 x 1 + x2 1 x 2 2 f (x) x y \ x=0.8 = > 1 Logo, pode-se perder 1 dígito significativo. Fazendo os mesmo cálculos para x = 0.99 obteríamos f (x) x y 50, pelo que ε y é mais do que 10 vezes maior do que ε x, pelo que se podem perder até 2 dígitos significativos. 3. Calcule um majorante para o erro absoluto de z no cálculo da função z = ln(a+b) c, quando a = 3.52 ± , b = 2.1 (número exacto) e c = 1.1 ± z 1 c(a + b) b) ln(a c z 1 ln( ) ( )( ) ( ) Calcule um majorante para o erro absoluto de w no cálculo da função w = sin(x+y) z, quando x = 0.5 ± , y = 0.7 (número exacto) e z [1.7, 2.3]. w = δw δx. x + δw δz. z cos(x + y) z y) sin(x z cos( ) = sin( )

13 Análise Numérica 13

14 Análise Numérica 14 Erro de truncatura no cálculo de uma série de Taylor Considere-se um desenvolvimento de uma função f(x), em torno de x = x 0, numa série de Taylor convergente. Pretende-se estudar o erro que se comete quando não se toma um número infinito de termos erro de truncatura. Slide 21 f(x)\ x=x0 = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0) R n { }} { + f n 1 (x 0 ) (x x 0) n 1 + f n (x 0 + θ(x x 0 )) (x x 0) n, 0 θ 1 (n 1)! n! Exemplo: Considere uma máquina de calcular onde a função sin é calculada por um polinómio de Taylor. Para se obter o valor de sin x em x π com um 4 erro relativo devido à truncatura da série não superior a , quantos e quais os termos do respectivo desenvolvimento em série de Taylor que devem ser considerados? ( Sugestão: Uma vez que o intervalo sob consideração é x π 4, desenvolva a função em torno de x = 0 série de Maclaurin) Desenvolvimento em Série de Maclaurin de f(x): f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) x f n 1 (0) xn 1 (n 1)! + R n Com R n = f n (θx) xn n!, 0 θ 1 Então, com f(x) = sin x: sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! +... ± xn 1 (n 1)! + sin(θx)xn n! (n par, 0 θ 1) O erro relativo, ao tomarmos apenas termos na série até à potência n 1 será dado por: ε trunc = R n sin x = sin(θx) x n sin x n!

15 Análise Numérica 15 Como na vizinhança de 0 a função sin x é estritamente crescente, pode-se dizer que o máximo de sin(θx) ocorrerá quando o argumento da função for máximo, i.e, quando θ = 1. Então a expressão acima pode ser majorada fazendo θ = 1: ε trunc x n n! ( π 4 )n n! uma vez que, por enunciado, x π 4. Para que este erro não exceda os determinados, dever-se-ão tomar 10 termos da série (i.e., desenvolver a série até à nona potência de x), uma vez que: n = 10 R 10 sin x ( π 4 )10 = ! Então: sin x x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9!, para x π 4 com ε sin x =