ANÁLISE NUMÉRICA DEC /97

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 1996/97"

Transcrição

1 ANÁLISE NUMÉRICA DEC - 996/97 Teoria de Erros A Teoria de Erros fornece técnicas para quantificar erros nos dados e nos resultados de cálculos com números aproximados. Nos cálculos aproximados deve-se considerar três tipos diferentes de erros: Erros de Arredondamento. Quando se utiliza instrumentos de cálculos, estes trabalham com um número finito de dígitos. Por exemplo, ao usar , 3.4 e.44 para números aproximados de /3, π e arredondamento. 2 comete-se um determinado erro de Erros de truncatura. Quando se utiliza fórmulas aproximadas. Por exemplo, ao calcular a função 3 5 n 2i 2i senx x x x i x i = + L= x ( ) + ( ) 3! 5! ( 2i )! n ( 2i 3 )! ε se só se considerar a soma das n primeiras parcelas comete-se um erro de truncatura ε que é dado pelo segundo somatório. Erros nos dados. Os erros que afectam informações previamente obtidas e com as quais vamos operar. Na pior das hipóteses estes erros acumulam-se. Felizmente, na prática, eles muitas vezes compensam-se ou, então, um ou outro é desprezável em face dos valores dos outros. Análise Numérica - DEC (996/97)

2 Análise Numérica - DEC 2 Noções gerais Como se vai trabalhar com números aproximados de uma dada quantidade exacta convém estabelecer critérios para avaliar qual a melhor aproximação. Para isso necessitamos de algumas noções. Algarismos significativos (a.s.) : chama-se a.s. a todos os dígitos usados para escrever um número com excepção dos zeros para obter a casa das unidades (zeros à esquerda). Exemplos: tem 3 a.s.; tem 5 a.s.; tem 3 a.s.. Algarismos significativos correctos (a.s.c.) : Diz-se que um algarismo significativo de uma aproximação a de um número A é algarismo significativo correcto se A-a 0.5 -m, onde m é a ordem decimal da casa que esse algarismo ocupa. Nesta notação considera-se que, por exemplo, a ordem decimal da casa das dezenas é -.(Nota: Há autores que dão a definição usando a relação A-a -m ). Exemplos: Se A=2, a =.9999 tem 4 a.s.c. e a =2.06 tem a.s.c.. É evidente que quando se tem um conjunto de números aproximados de uma mesma quantidade A a melhor aproximação é o número mais próximo do valor exacto. O número de algarismos significativos correctos permite também caracterizar essa melhor aproximação. De facto, com excepção de alguns casos pouco frequentes, o número com o maior número de a.s.c. é a melhor aproximação. (As excepções correspondem a números próximos de potências de ( k ) e com A-a > a- k. Exemplo: Se A= , a = tem 6 a.s.c. e a = também tem 6 a.s.c. e no entanto a está mais próximo de A do que a ). Regras de arredondamento. Muitas vezes, quer por não ter significado, quer por limitação do instrumento de cálculo que se está a usar, é necessário menosprezar alguns dos algarismos menos significativos. Quando tal for necessário, para reduzir ao mínimo o erro cometido, devemos apresentar o algarismo da última casa significativa conservada (a p ) do seguinte modo:

3 Análise Numérica - DEC 3. se a quantidade menosprezada for inferior a /2 unidade dessa última casa o algarismo mantém-se (a p = a p ). 2. se for superior ou igual aumentamos uma unidade àquele algarismo (a p = a p +). (A=0. a a 2 a p a p+ a n -k e a= 0.a a 2 a p -k, k Z). Exemplos: Arredondar para 4 a.s.: ; ; Por este processo de arredondamento, o erro cometido é sempre inferior a /2 unidade da última casa conservada e portanto todos os algarismos são algarismos significativos correctos, obtendo-se a melhor aproximação possível com p a.s.. Definições de erros Erro Absoluto (ε)- seja a um valor aproximado de A. Chama-se erro absoluto de a ao valor ε = α tal que, A=a+α. Erro máximo absoluto (e.m.a. - a)-supremo do conjunto dos valores que o erro absoluto pode tomar. Tem-se então a - a A a + a Muitas vezes escreve-se A= a ± a. Erro relativo (δ) - é a quantidade de erro absoluto por unidade de grandeza medida (mede precisão). δ ε = A A 0 Erro máximo relativo (e.m.r. - δa) - supremo do conjunto de valores que o erro relativo pode tomar. É dado geralmente sob a forma de percentagem. Nota: o e.m.a. depende das unidades do valor de A e o e.m. r. é independente dessas unidades. Relações entre o erro máximo absoluto e o erro máximo relativo

4 Análise Numérica - DEC 4 Se A>0 a δa = se a << a a δ 2 relações a a a aa δ a relação a = se δa << a aδa δa Logo se conhecermos o e.m.r. podemos escrever A= a (± δa) a (- δa) A a (+ δa). Relação entre o erro máximo absoluto e casas decimais correctas Se um número tem n casas decimais correctas então o erro absoluto é inferior a 0.5 -n e vice versa. nc. d. c a 0.5 -n Relações entre o erro máximo relativo e algarismos significativos correctos O erro relativo é independente da ordem de grandeza do número, dependendo apenas do número de a.s.c. e do valor do primeiro algarismo significativo. De facto se a e b são dois números aproximados, com n algarismos significativos correctos, que apenas diferem na ordem de grandeza, tem-se: a =0.a a 2 a n p b =0.a a 2 a n k e n 05. δa = p 0. a n 05. δb = k 0. a p k 05. = 0. a 05. = 0. a n n

5 Análise Numérica - DEC 5 Vemos portanto que o erro relativo é independente das unidades mas, é dependente da ordem de grandeza de a.assim se a tem n a.s.c. e e inversamente se a δa= 0.5 -(n-) se a δa = 0.5 -n δa = 0.5 -n a tem n a.s.c. (se a ) ou n+ a.s.c. (se a ) Como apresentar um número aproximado Se se souber que um dado número a é aproximado com um dado erro máximo a, essa informação apenas nos permite saber que o valor exacto é um dos pontos do intervalo centrado no número aproximado e de amplitude a. Logo não interessa escrever a com dígitos que não são significativos nem interessa escrever a com mais de (ou2) a.s.. Assim se, por exemplo, a = m com e.m.a. a = m, como é que se deve apresentar a? Como a < 0.5-2, por definição de a.s.c., a só tem 2 c.d.c. e pode-se pensar em escrever a = ou a = Vejamos qual a representação destas informações na recta real. a 64748a a a a = a +ε a onde ε a = a-a = é o erro de arredondamento de substituir a por a. [a- a,a+ a] [a - a,a + a] [a - a,a + a] [a - a,a + a ] Neste caso é preferível utilizar a representação a de a pois não há alteração significativa no posicionamento do intervalo. Se se tivesse utilizado a representação a de a, como o erro de arredondamento εa é da mesma ordem de grandeza de a, teríamos que passar a indicar o e.m.a. a para se ter a certeza de o novo intervalo conter o valor que a pretende aproximar. Se mantivéssemos a mesma amplitude a dos outros intervalos estaríamos, quase de certeza, a excluir o valor exacto que a pretende aproximar.

6 Análise Numérica - DEC 6 Propagação de erros Seja f uma função de R n em R, contínua num domínio D R n. Se x 0 R n aproxima x com um e.m.a. x R n pretende-se saber qual o e.m.a. z R com que z 0 = f(x 0 ) aproxima z = f(x). Como x [x 0 - x, x 0 + x] D, se se designar por f min e f max respectivamente o valor mínimo e máximo de f em [x 0 - x, x 0 + x] então, por continuidade de f, z 0 [ f min, f max ] e z = max{ f(x 0 ) - f min, f max - f(x 0 )}. No entanto, como o cálculo de máximos e mínimos (extremos) de uma função nem sempre é simples, deve-se usar um processo mais eficiente para determinar esse erro. Assim, se a função f: D R n R, além de ser contínua em D, tiver derivadas parciais contínuas em D então f é continuamente diferenciável em D e em que ε 0 quando x 0. Tem-se, por isso e n f( x ) z = f( x0± x) f( x 0 0 ) = xi + ε xi n f( x ) z 0 xi () xi z n z f( x 0 ) xi xi f( x 0 ) d x i (2) Nota : se f: R R for contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo ]a,b[, pelo teorema dos acréscimos finitos (Lagrange), tem-se: z = f(x± x)-f(x) = f (ξ) x f (x) x (3)

7 Análise Numérica - DEC 7 Problema inverso Quando se pretende que o erro do resultado não ultrapasse um valor previamente fixado tem-se que calcular um limite para os erros dos argumentos que simultaneamente satisfaça () (2).ou (3). Se f: R R basta que f (x) 0 e tem-se de (3) : x = f(x) z Se f: D R n R, então o problema tem mais do que uma solução. É n- vezes indeterminada. Para que a solução seja praticável em vez de arbitrar n- incógnitas é comum proceder de um dos seguintes modos:. Fazer x = x 2 = = x n = y e por () vem y z n 0 f(x ) x i 2. Fazer δx =δx 2 = =δx n =δy e por (2) vem dy n dz f( x 0 ) x i xi f( x 0 ) 3. f( x 0 ) x f( x 0 ) f( x 0 ) z x = x2 = L= xn (Princípio das influências iguais) x2 xn n Casos particulares Considere os e.m.a. e e.m.r. das seguintes expressões: z = x±y z = x + y δz = x x± y δx + y x± y δy z = xy z = y x + x y δz = δx + δy z= x y z = y x + - x y y δz = δx + δy z=x p p (p é exacto) z = px x δz = p δx z=ln x z = δx δz = ln x δx z=a x (a>0 é exacto) z = a x ln a x δz = ln a x

8 Análise Numérica - DEC 8 A análise destas expressões dos erros e as relações entre e.m.a. e c.d.c. e entre e.m.r. e a.s.c. permite-nos tirar algumas conclusões interessantes. No caso das somas algébricas a expressão do e.m.a. diz-nos que o e.m.a. do resultado é da mesma ordem de grandeza do e.m.a. da parcela com maior erro. E tem-se: Regra prática da adição ou subtracção: Na adição ou subtracção de dois ou mais números aproximados o resultado deverá ter tantas casas decimais quantas as do(s) número(s) com menos casas decimais correctas. No caso dos produtos e divisões a expressão do e.m.r. diz-nos que o e.m.r. do resultado é da mesma ordem de grandeza do e.m.r. do argumento com maior erro. E tem-se: Regra prática do produto ou divisão: No produto ou divisão de dois ou mais números aproximados o resultado deverá ter tantas algarismos significativos quantos os do(s) número(s) com menos algarismos significativos correctos. A estimativa dos erros através de majorantes (fórmulas (),(2) e (3)) dão uma informação muito pessimista da precisão do resultado pois considera que os erros se acumulam sempre. As regras práticas, pelo contrário, consideram que os erros muitas vezes compensam-se e, portanto, o facto de se estar a operar com vários números aproximados não afecta muito o resultado. No entanto, no caso da potência, que se pode considerar como um caso particular de produtos com o mesmo factor, essa compensação não se verifica. Pode-se dar o caso de, se p for grande ( por exemplo p ), o resultado perder algarismos significativos e, se p for pequeno ( por exemplo p - ), o resultado pode ganhar algarismos significativos. Exemplo: Calcular z = 7.34 sabendo que 7.34 tem 3 a.s.c.. Resolução: Como x =7.34 tem 3 a.s.c x=0.5-2 e, por (2), δz= < ou 4 a.s. Como δz é mais natural que z tenha mesmo 4 a.s.c. Por enquadramento tem-se:

9 Análise Numérica - DEC 9 Logo x z z = aproxima z com pelo menos 4 a. s. c. Apesar de não fazer parte das regras práticas de cálculo aproximado, as expressões dos erros de z= ln x permite-nos tirar conclusões interessantes. O resultado z vai ter sensivelmente tantas c.d. quantos os a.s. de x. Deste modo a precisão do resultado piora, relativamente à precisão de x, se ln x 0 e melhora se ln x for grande. Sugestões para introduzir estas ideias aos alunos do secundário Convém introduzir a noção de algarismo significativo. Alguns alunos do secundário usam-na noutras disciplinas, por exemplo Química, por que não em Matemática? Pode-se introduzir a formula () para alguns casos particulares. EXEMPLO Calcule o e.m.a. do perímetro P e área A de um rectângulo de lados a e b usando valores aproximados a 0 e b 0 tais que: a=a 0 ± a e b= b 0 ± b b 0 b Supondo que o erro é positivo vem: a 0 a 0 b 0 a 0 b Analiticamente vem P = (2a 0 +2b 0 )±(2 a+2 b) P=2 a+2 b a b 0 a a b A = (a 0 b 0 )±( a 0 b+ b 0 a+ a b) A a 0 b+ b 0 a Nota: com este exemplo pode-se ver que a fórmula () é aproximada pois despreza termos de 2ª ordem ou superior em a ou b.

10 Análise Numérica - DEC Usar as regras práticas nos cálculos aproximados a partir do º ano (?). Nos anos anteriores apenas pedir estimativas usando aproximações dos dados com um número fixo de casas decimais (ou a.s.). Nunca pedir aproximações dos resultados com um número fixo de c.d. (ou a.s.) pois os alunos não sabem responder correctamente. Conhecida a noção de a. s. c. as regras práticas podem ser facilmente induzidas usando a técnica de enquadramento. EXEMPLO 2 Considere a aproximação de π com 2 c.d.c. ( = 3 a.s.c.), π 3.4. Determine o número de a.s.c. e de c.d.c. que se pode garantir a 2π = e 2 + π = =5.4 A informação de que π tem 2 c.d.c diz-nos que e Podemos então concluir que: 3.35 π π π aproxima 2π com 2 a.s.c.+ a.s. com bastante significado e apenas c.d. com bastante significado, isto é, o produto tem sensivelmente o mesmo número de a.s. do valor com que se entrou para π; 5.4 aproxima 2 + π com 4 a.s.c. e 2 c.d.c., isto é, a soma tem o mesmo número de c.d. do valor com que se entrou para π. EXEMPLO 3

11 Análise Numérica - DEC Sejam x 0 = e y 0 = dois valores aproximados de x e y com todos os dígitos correctos, isto é, x 0 tem 2 c.d.c e 6 a.s.c. ao aproximar x ( x [ , ]) e y 0 tem 4 c.d.c e 3 a.s.c. ao aproximar y ( y [ , ]) Por enquadramento pode-se concluir que: x 0 + y 0 = tem 2 c.d.c. (tantas quantas as da parcela que tem menos) pois, x+y [ , ] x+y [ , ] (x 0 + y 0 ) = max { f min - (x 0 + y 0 ), f max - (x 0 + y 0 ) } = max { , } c.d.c. x 0 - y 0 = tem 2 c.d.c. (tantas quantas as do argumento que tem menos) pois, x-y [ , ] x-y [ , ] (x 0 - y 0 ) = max { f min - (x 0 - y 0 ), f max - (x 0 - y 0 ) } = max { , } c.d.c. x 0 y 0 = tem 3a.s.c. (tantos quantos os do factor que tem menos) pois, x y [ , ] x y [ , ] (x 0 y 0 ) = max { f min - (x 0 y 0 ), f max - (x 0 y 0 ) } = max { , } < c.d.c. e 3 a.s.c.

12 Análise Numérica - DEC 2 x 0 y 0 = tem 3 a.s.c.. (tantos quantos os do argumento que tem menos) pois, x y [ , ] x y [ , ] (x 0 y 0 ) = max { f min - (x 0 y 0 ), f max - (x 0 y 0 ) } = max { , } 3 < c.d de ordem -2.3 a.s.c. correcta A aplicação das regras práticas mostra que, para algumas operações aritméticas o que sensivelmente se mantém é o número de c.d. (adição e subtracção) enquanto que para outras é o número de a.s. (produto e divisão). Como o número de a.s. nos dá uma boa informação da precisão de um número, no caso do produto e divisões temos sensivelmente a precisão do argumento menos preciso. Enquanto que no caso da adição e subtracção teremos que converter a informação de c.d. em a.s. para saber a precisão. Se se está a adicionar (números do mesmo sinal) como a ordem de grandeza da soma é superior a cada uma das parcelas o número de a.s. pode ser superior ao da parcela que tem menos. Se se está a subtrair, a ordem de grandeza da diferença pode ser significativamente inferior se se estiver a subtrair números muito próximos e, neste caso, o resultado pode perder muitos a.s. relativamente aos a.s. dos argumentos. EXEMPLO tem c.d.c. e 3 a.s.c. (+ a.s. do que 2.6) tem 3c.d.c. e 2 a.s.c. (-2 a.s. do que.523) Para que o resultado da diferença de números muito próximos tenha um número suficiente de a.s. é necessário trabalhar com mais a.s. para cada parcela ou então recorrer a expressões equivalentes. Na realidade, quando se efectuam cálculos com números aproximados a propagação dos erros vai depender do algoritmo utilizado.

13 Análise Numérica - DEC 3 EXEMPLO 5 Se se considerar as expressões equivalentes ( 3+ 8) 3 ( ) 3 = 3 8 = e se calcular os seus valores usando a aproximação 8 = 28. 3, obtém-se: ( 3+ 8) ( ) Se as expressões são equivalentes, por que razão os resultados são tão diferentes? As regras práticas, neste caso, são suficientes para explicar esta diferença tão significativa. De facto, o valor 2.83 aproxima 8 com 2 c.d.c. e 3 a.s.c. portanto, na ª expressão, a primeira operação executada, a adição, vem com 2 c.d. e 3 a.s. (pois é da ordem das unidades); a segunda operação é uma potência de ordem 3 (não muito elevada) logo o resultado mantém 3 a.s.c.. Como a terceira operação é uma divisão com um número exacto, pode-se concluir que o resultado final vai ter 3 a.s.. na 2ª expressão, a primeira operação executada, a subtracção, vem com 2 c.d. e 2 a.s. (pois é da ordem das décimas); a segunda operação é uma potência de ordem 3 logo o resultado final vai ter 2 a.s.. na 3ª expressão, a primeira operação executada, a multiplicação, vem com 3 a.s. e c.d.. (pois é da ordem das dezenas); a segunda operação é uma diferença logo o resultado final vai ter c.d. mas, como é da ordem das milésimas, vai ter 0 a.s., isto é, o erro é superior à ordem de grandeza do resultado. Sugestão: use toda a precisão da sua máquina para calcular as expressões anteriores e justifique os resultados obtidos.

14 Análise Numérica - DEC 4 Número de condição Quando se executam cálculos aproximados para determinar uma expressão y=f(x) o resultado obtido ~ y = f ( x) é, normalmente, diferente de y. Isto é, ao substituir-se o a cálculo de f por um algoritmo aproximado fa comete-se um erro que interessa quantificar. Se f: X Y é contínua em X então pode-se interpretar que ~ y = f ( x ~ ), isto é, ~ y é o resultado exacto que se obteria aplicando f a x ~ e em que ~x é um valor aproximado de x. Então se y 0, por (3), pode-se obter a expressão y δy = y f ( x) x x f ( x). x que relaciona os erros máximos relativos do dado e do resultado. O valor cond f ( x) = f ( x) x f ( x). designa-se por número de condição da função f no ponto x. Uma função diz-se mal condicionada se o seu número de condição for muito elevado, e bem condicionada se o seu número de condição for pequeno. Isto é, um problema é bem condicionado se pequenas perturbações nos dados provocarem pequenas variações nos resultados e mal condicionado se pequenas perturbações nos dados provocarem grandes variações nos resultado. O algoritmo f a utilizado para calcular y por sua vez diz-se estável se ~x, tal que fa (x)=f( ~x ), for próximo de x e instável, se x ~ não for suficientemente proximo de x. Exemplo : Se f ( x) = x f ( x) = x e cond f ( x) = <, isto é a função é bem condicionada Exemplo 2: Se f(x)=-x f (x)=- e cond f(x)= x x e a condição depende de x. Por exemplo, se x, caso de diferença de números muito próximos, a condição é muito grande e f(x) é bastante mal condicionada; no entanto, se x = 2, cond f ( x ) = e f(x) é bem condicionada. 2 9

15 Análise Numérica - DEC 5 Aritmética computacional Existem vários processos de representar números, podem ser representados em diferentes bases, por exemplo: Os números inteiros na base : (428) = na base 2 :...() 2 = na base b :...(d n d n-...d d 0 ) b = d n b n + d n- b n d b + d 0 b 0 b 2 e 0 d i <b Quando existem bases superiores a além dos dígitos de 0 a 9 é comum usar as letras do alfabeto; por exemplo, na base hexadecimal (6), os dígitos são 0,,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E e F. (outra forma possível é usar os grupos de dígitos,,...). Os números reais na base : (76.075) = na base b :..(d n d n-...d d 0 d - d -2...d --p ) b = d n b n d 0 b 0 + d - b d -p b -p Os dígitos (d n d n-...d d 0 ) b constituem a parte inteira, e os dígitos ( d - d -2...d --p ) b, a parte fraccionária da representação do número na base b Se os números são muito grandes ou muito pequenos é usada a chamada notação científica. Esta notação consiste em escrever um número na forma x = ± m b t em que m é um número real não negativo designado por mantissa, b 2 é um número inteiro positivo designado por base e t é um numero inteiro designado por expoente. Na representação normalizada m= 0 se x = 0 b m< se x 0 Nesta representação o primeiro dígito da mantissa de um número diferente de zero é sempre diferente de zero. Esta representação normalizada aparece para uniformizar a representação dos números. No entanto não elimina todas as ambiguidades. Qualquer

16 Análise Numérica - DEC 6 representação com m=0 e t qualquer serve para representar o zero, e o número 0.(9) com dízima periódica 9 e 0. representam o mesmo número. De facto, pela fórmula da soma das progressões geométricas, Mudanças de bases i 0. 0.( 9) = 9 = 9 = 0. Para efectuar a conversão de um número x na base a para a base b teremos que encontrar a sequência de dígitos β i tal que: Se x é inteiro e ( x) a n = β b i i n i 2 a a i 2 ( x) ( b) = β b + β b Fr Q onde Fr é a parte fraccionária da divisão de (x) a por (b) a e Q é o quociente inteiro, logo β é o resto da divisão inteira. Para encontrar todos os dígitos repete-se o processo para Q até Q = 0. Exemplo: (5) = () Se x é fraccionário e ( x) a n = β b i i ( x) ( b) = β + β b a a i 2 n ( i ) Int Fr onde Fr é a parte fraccionária e β é a parte inteira do produto. Para encontrar todos os dígitos repete-se o processo para Fr até Fr = 0.

17 Análise Numérica - DEC 7 Exemplo: (0.55) =(0.(00)) =. 0. 2= = = = = encontrou-se o período. Com este exemplo verifica-se que, quando se muda de base, a representação exacta pode deixar de ser finita e passar a ter um número infinito de dígitos. A representação na base obtém-se directamente fazendo: (β n β 0.β - β -p ) b = β n b n + +β 0 +β - b - + +β -p b -p Exemplo:(0.) 2 = Erros na aritmética em vírgula flutuante As máquinas de calcular e os computadores só dispõem de um número finito de dígitos para representar os números. Deste modo, as máquinas usam uma notação científica modificada pois utilizam um número finito de dígitos p para a mantissa e um número finito de dígitos q para o expoente, obtendo-se a chamada representação em vírgula flutuante. Isto é, as máquinas de calcular e os computadores trabalham com um número fixo de a.s. e só conseguem representar exactamente números reais da forma x = ± m b t em que q t b b m b p Esta representação de x é denotada usualmente por fl(x). Erros de representação Se x tiver uma representação exacta em vírgula flutuante fl(x)=x. Se não for possível obter a representação exacta, normalmente, a máquina arredonda de modo a que todos os dígitos sejam a.s.c., cometendo um dado erro relativo fl(x)=x(+δ). Se a representação de x na base b necessitar de um expoente superior a b q - o número não é

18 Análise Numérica - DEC 8 representável e diz-se que ocorreu um overflow. Analogamente, se o expoente for inferior a -(b q - ) diz-se que ocorreu um underflow. Suponhamos uma máquina que trabalha com p=4,q= e b=. Os 4 a.s. vem por arredondamento de cada um dos resultados das operações Vejamos o que acontece quando se executam determinados cálculos. Adição de números de ordem de grandeza muito diferente. Exemplo : =564. A parcela mais pequena não influênciou o resultado. Como consequência disto pode-se verificar que, no cálculo aproximado, a propriedade associativa da adição deixa de ser válida. Exemplo 2 : (((( ) ) ) ) = (3.567+( ( ( )))) = Conseguiu-se com o segundo algoritmo um resultado mais preciso. Por quê? As máquinas de calcular, como trabalham com um número fixo p de a.s., quando efectuam um cálculo cometem um erro relativo que depende de p. Isto é, quando operam com números x e y, os resultados obtidos são valores aproximados dos exactos que se podem representar do seguinte modo: ~ fl( x + y) = ( x + y) ( + δ ); fl( x y) = ( x y) ( + δ ); fl( x y) = ( x y) ( + δ $ ) Logo ao calcular (x+y)+z) tem-se: e (x+y) (+δ ) ((x+y) (+δ )+z) (+δ 2 )= =((x+y)+(x+y) δ +z) (+δ 2 )= =(x+y+z) +[(x+y) (δ +δ 2 ) + z δ 2 ] +(x+y) δ δ desprezável

19 Análise Numérica - DEC 9 Isto é, o erro que afecta (x+y) é (δ +δ 2 ), em princípio, maior do que δ 2 que afecta.z. Logo se se deixar para o fim a parcela maior há mais probabilidades de obter um resultado mais preciso. Demonstre que: (...((x +x 2 )+x 3 )+...)+x n (x +x x n )+[(x +x 2 )(δ +δ δ n- )+x 3 (δ 2 +δ δ n- )+...+x n δ n- ] e como, em princípio, δ +δ δ n- > δ n- então é vantajoso que x < x n. Erros devido à mudança de bases Enquanto as máquinas de calcular trabalham na base, os computadores trabalham na base 2. É por isso mais difícil dizer com quantos a.s., da base, os computadores trabalham. Exercício: Usou-se um computador e uma máquina para determinar xi =0.5 e x i =0. e obteve-se os seguintes resultados: para x i =0.5 na máquina S=5000 no computador S=5000 para x i =0. na máquina S=3300 no computador S= Justifique os resultados obtidos x i S = para Exercício2: Use uma máquina de calcular com 4 a.s. para obter as raízes da equação x 2-4x + 0.0=0 com o máximo da precisão permitida pela máquina.

Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ

Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ Instituída pela Lei 0.45, de 9/04/00 - D.O.U. de /04/00 Pró-Reitoria de Ensino de Graduação - PROEN Disciplina: Cálculo Numérico Ano: 03 Prof: Natã Goulart

Leia mais

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante

Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante Capítulo 2 Análise de Arredondamento em Ponto Flutuante 2.1 Introdução Neste capítulo, chamamos atenção para o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto

Leia mais

Sistema de ponto flutuante

Sistema de ponto flutuante Exemplo: FP(,4,,A) e FP(,4,,T) Sistema de ponto flutuante FP( b, p, q,_) = FP(, 4,, _ ) base 4 dígitos na mantissa dígitos no expoente A=Arredondamento T=Truncatura x ± =± m b t x =± d 1d d d 4 dígitos

Leia mais

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Teoria de Erros

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Teoria de Erros Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010 O que é a Análise Numérica? Ramo da Matemática dedicado ao estudo e desenvolvimento de métodos (métodos

Leia mais

Aula 2 - Cálculo Numérico

Aula 2 - Cálculo Numérico Aula 2 - Cálculo Numérico Erros Prof. Phelipe Fabres Anhanguera Prof. Phelipe Fabres (Anhanguera) Aula 2 - Cálculo Numérico 1 / 41 Sumário Sumário 1 Sumário 2 Erros Modelagem Truncamento Representação

Leia mais

Capítulo 1 - Erros e Aritmética Computacional

Capítulo 1 - Erros e Aritmética Computacional Capítulo 1 - Erros e Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança 2 o Ano - Eng. Civil, Electrotécnica e Mecânica Carlos Balsa Métodos Numéricos

Leia mais

Representação de números em máquinas

Representação de números em máquinas Capítulo 1 Representação de números em máquinas 1.1. Sistema de numeração Um sistema de numeração é formado por uma coleção de símbolos e regras para representar conjuntos de números de maneira consistente.

Leia mais

Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 083020 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/04/2008

Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 083020 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/04/2008 Universidade Federal de São Carlos Departamento de Matemática 08300 - Curso de Cálculo Numérico - Turma E Resolução da Primeira Prova - 16/0/008 1. (0 pts.) Considere o sistema de ponto flutuante normalizado

Leia mais

CCI-22 CCI-22. 2) Erros de arredondamento. Matemática Computacional

CCI-22 CCI-22. 2) Erros de arredondamento. Matemática Computacional Matemática Computacional 2) Erros de arredondamento Carlos Alberto Alonso Sanches Erros de representação e de cálculo Tipos de erros Erro inerente: sempre presente na incerteza das medidas experimentais

Leia mais

Alguns apontamentos da história da Análise Numérica

Alguns apontamentos da história da Análise Numérica Análise Numérica 1 Âmbito da Análise Numérica Determinar boas soluções aproximadas num tempo computacional razoável? Slide 1 Porquê? Porque em muitos problemas matemáticos e respectivas aplicações práticas

Leia mais

Aritmética de Ponto Flutuante e Noções de Erro. Ana Paula

Aritmética de Ponto Flutuante e Noções de Erro. Ana Paula Aritmética de Ponto Flutuante e Noções de Erro Sumário 1 Introdução 2 Sistemas de Numeração 3 Representação de Números Inteiros no Computador 4 Representação de Números Reais no Computador 5 Operações

Leia mais

Cálculo Numérico Aula 1: Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante

Cálculo Numérico Aula 1: Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante Cálculo Numérico Aula : Computação numérica. Tipos de Erros. Aritmética de ponto flutuante Computação Numérica - O que é Cálculo Numérico? Cálculo numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos

Leia mais

Métodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza. josineys@inf.ufpr.br

Métodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza. josineys@inf.ufpr.br Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza josineys@inf.ufpr.br Agenda do Dia Aula 3 (10/08/15) Aritmética de ponto flutuante Representação de ponto flutuante Normalização Binária Decimal Situações

Leia mais

Notas de Cálculo Numérico

Notas de Cálculo Numérico Notas de Cálculo Numérico Túlio Carvalho 6 de novembro de 2002 2 Cálculo Numérico Capítulo 1 Elementos sobre erros numéricos Neste primeiro capítulo, vamos falar de uma limitação importante do cálculo

Leia mais

Eduardo Camponogara. DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação. Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina

Eduardo Camponogara. DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação. Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação 1/48 Sumário Arredondamentos Erros 2/48 Sumário Arredondamentos

Leia mais

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Introdução O Cálculo Numérico

Leia mais

Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias

Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática Aplicada - Mestrados

Leia mais

Introdução. A Informação e sua Representação (Parte II) Universidade Federal de Campina Grande. Unidade Acadêmica de Sistemas e Computação

Introdução. A Informação e sua Representação (Parte II) Universidade Federal de Campina Grande. Unidade Acadêmica de Sistemas e Computação Universidade Federal de Campina Grande Unidade Acadêmica de Sistemas e Computação Introdução à Computação A Informação e sua Representação (Parte II) Prof. a Joseana Macêdo Fechine Régis de Araújo joseana@computacao.ufcg.edu.br

Leia mais

Métodos Numéricos. A. Ismael F. Vaz. Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.

Métodos Numéricos. A. Ismael F. Vaz. Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho. Métodos Numéricos A. Ismael F. Vaz Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho aivaz@dps.uminho.pt Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Ano lectivo 2007/2008 A.

Leia mais

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1998/99. Erros

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1998/99. Erros Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Análise Numérica 1998/99 Erros Objectivos: Arredondar um número para n dígitos significativos. Determinar os erros máximos absoluto e relativo

Leia mais

Cálculo Numérico / Métodos Numéricos. Representação de números em computadores Mudança de base 14:05

Cálculo Numérico / Métodos Numéricos. Representação de números em computadores Mudança de base 14:05 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Representação de números em computadores Mudança de base 14:05 Computadores são "binários" Por que 0 ou 1? 0 ou 1 - "fácil" de obter um sistema físico Transistores

Leia mais

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo

Leia mais

Noções Básicas de Erros

Noções Básicas de Erros Noções Básicas de Erros PROF. ALIRIO SANTOS DE SÁ ALIRIOSA@UFBA.BR MATERIAL ADAPTADA DOS SLIDES DA DISCIPLINA DE CÁLCULO NUMÉRICO DOS PROFESSORES BRUNO QUEIROZ, JOSÉ QUEIROZ E MARCELO BARROS (UFCG). DISPONÍVEL

Leia mais

Truques e Dicas. = 7 30 Para multiplicar fracções basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 2 30 = 12 5

Truques e Dicas. = 7 30 Para multiplicar fracções basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 2 30 = 12 5 Truques e Dicas O que se segue serve para esclarecer alguma questão que possa surgir ao resolver um exercício de matemática. Espero que lhe seja útil! Cap. I Fracções. Soma e Produto de Fracções Para somar

Leia mais

1. Introdução 2. Representação de números 2.1. Conversão Numérica 2.2. Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos

1. Introdução 2. Representação de números 2.1. Conversão Numérica 2.2. Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos 1. Introdução 2. Representação de números 2.1. Conversão Numérica 2.2. Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos 1. Introdução O que é cálculo numérico? Corresponde a um conjunto

Leia mais

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS

QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS LENIMAR NUNES DE ANDRADE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA: QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS 1 a edição ISBN 978-85-917238-0-5 João Pessoa Edição do Autor 2014 Prefácio Este texto foi elaborado para a disciplina Introdução

Leia mais

Aula 2 Sistemas de Numeração (Revisão)

Aula 2 Sistemas de Numeração (Revisão) Aula 2 Sistemas de Numeração (Revisão) Anderson L. S. Moreira anderson.moreira@recife.ifpe.edu.br http://dase.ifpe.edu.br/~alsm 1 O que fazer com essa apresentação 2 Agenda Breve revisão da aula anterior

Leia mais

Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Equações Diferenciais Ordinárias Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais funções (desconhecidas com uma ou mais das suas derivadas. Eemplos: ( t dt ( t, u t d u ( cos( ( t d u +

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) II Métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais. Objetivos:

Leia mais

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0. Introdução Por método numérico entende-se um método para calcular a solução de um problema realizando apenas uma sequência finita de operações aritméticas. A obtenção

Leia mais

Como aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos?

Como aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos? &DStWXOR±5HSUHVHQWDomRGH1~PHURVH(UURV,QWURGXomR Como aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos? 7LSRVGH(UURV Erros inerentes à matematização do fenómeno físico: os sistemas

Leia mais

Cálculo numérico. ln 1 = 0. Representação numérica. Exemplo. Exemplos. Professor Walter Cunha. ln 1. I s

Cálculo numérico. ln 1 = 0. Representação numérica. Exemplo. Exemplos. Professor Walter Cunha. ln 1. I s Representação numérica Cálculo numérico Professor Walter Cunha Um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam

Leia mais

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto Erros Nenhum resultado obtido através de cálculos eletrônicos ou métodos numéricos tem valor se não tivermos conhecimento e controle sobre os possíveis erros envolvidos no processo. A análise dos resultados

Leia mais

Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo. Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas

Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo. Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas Métodos Quantitativos Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo Funções Exponenciais e Logarítmicas Progressões Matemáticas Funções Exponenciais e Logarítmicas. Progressões Matemáticas Objetivos

Leia mais

4 Operações aritméticas em sistema de vírgula flutuante

4 Operações aritméticas em sistema de vírgula flutuante 77 4 Operações aritméticas em sistema de vírgula lutuante 4. Introdução É imediato reconhecer que, dados dois números, F, o resultado de qualquer das operações aritméticas +, -,, com esses números pode

Leia mais

MEDIÇÃO EM QUÍMICA ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

MEDIÇÃO EM QUÍMICA ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS MEDIÇÃO EM QUÍMICA ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2 O que são e Por que se usam algarismos significativos? O valor 1,00 não é igual a 1? Do ponto de vista matemático, sim. Mas sempre que se façam medições

Leia mais

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

Karine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta

Karine Nayara F. Valle. Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Professor Orientador: Alberto Berly Sarmiento Vera Belo Horizonte 2012 Karine Nayara F. Valle Métodos Numéricos de Euler e Runge-Kutta Monografia

Leia mais

Capítulo SETE Números em Ponto Fixo e Ponto Flutuante

Capítulo SETE Números em Ponto Fixo e Ponto Flutuante Capítulo SETE Números em Ponto Fixo e Ponto Flutuante 7.1 Números em ponto fixo Observação inicial: os termos ponto fixo e ponto flutuante são traduções diretas dos termos ingleses fixed point e floating

Leia mais

Teorema de Taylor. Prof. Doherty Andrade. 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange. 2 Exemplos 2. 3 Exercícios 3. 4 A Fórmula de Taylor 4

Teorema de Taylor. Prof. Doherty Andrade. 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange. 2 Exemplos 2. 3 Exercícios 3. 4 A Fórmula de Taylor 4 Teorema de Taylor Prof. Doherty Andrade Sumário 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange 1 2 Exemplos 2 3 Exercícios 3 4 A Fórmula de Taylor 4 5 Observação 5 1 Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange

Leia mais

Aritmética de Ponto Flutuante

Aritmética de Ponto Flutuante Aritmética de Ponto Flutuante Entre 1970 e 1980 um grupo formado por cientistas e engenheiros de diferentes empresas de computação realizou um trabalho intenso na tentativa de encontrar um padrão de representação

Leia mais

Aula 1: Introdução à Probabilidade

Aula 1: Introdução à Probabilidade Aula 1: Introdução à Probabilidade Prof. Leandro Chaves Rêgo Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE Recife, 07 de Março de 2012 Experimento Aleatório Um experimento é qualquer processo

Leia mais

Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas

Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas Introdução aos Modelos Biomatemáticos - aulas Teórico-Práticas Mestrado em BBC, 2008/2009 1 Capítulo 1 Nos exercícios 1) e 2) suponha que o crescimento é exponencial. 1. Entre 1700 e 1800 a população humana

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais

Matemática Computacional - Exercícios

Matemática Computacional - Exercícios Matemática Computacional - Exercícios 1 o semestre de 2009/2010 - LEMat e MEQ Teoria de erros e Representação de números no computador Nos exercícios deste capítulo os números são representados em base

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais Matemática (AP) - 2008/09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 77 Introdução ao estudo de equações diferenciais Introdução e de nição de equação diferencial Existe uma grande variedade de situações

Leia mais

Aula 1 Representação e Operações Aritméticas em Ponto Flutuante.

Aula 1 Representação e Operações Aritméticas em Ponto Flutuante. Aula 1 Representação e Operações Aritméticas em Ponto Flutuante. MS211 - Cálculo Numérico Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Leia mais

Frações. Números Racionais

Frações. Números Racionais Frações Números Racionais Consideremos a operação 4:5 =? onde o dividendo não é múltiplo do divisor. Vemos que não é possível determinar o quociente dessa divisão no conjunto dos números porque não há

Leia mais

CURSO E COLÉGIO APOIO. Professor: Ronaldo Correa

CURSO E COLÉGIO APOIO. Professor: Ronaldo Correa CURSO E COLÉGIO APOIO Professor: Ronaldo Correa Holiday - Christmas.mpg medidas 1-Medidas Grandeza tudo aquilo que pode ser medido. Medir comparar com um padrão. No Brasil e na maioria dos países as unidades

Leia mais

Prova Escrita de Matemática A

Prova Escrita de Matemática A EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março Prova Escrita de Matemática A 12.º Ano de Escolaridade Prova 635/2.ª Fase 11 Páginas Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância:

Leia mais

2ª fase. 19 de Julho de 2010

2ª fase. 19 de Julho de 2010 Proposta de resolução da Prova de Matemática A (código 635) ª fase 19 de Julho de 010 Grupo I 1. Como só existem bolas de dois tipos na caixa e a probabilidade de sair bola azul é 1, existem tantas bolas

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA CURSO BIETÁPICO EM ENGENHARIA CIVIL º ciclo Regime Diurno/Nocturno Disciplina de COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA Ano lectivo de 7/8 - º Semestre Etremos

Leia mais

Sistemas de Numeração (Aula Extra)

Sistemas de Numeração (Aula Extra) Sistemas de Numeração (Aula Extra) Sistemas de diferentes bases Álgebra Booleana Roberta Lima Gomes - LPRM/DI/UFES Sistemas de Programação I Eng. Elétrica 27/2 Sistemas de Numeração Um sistema de numeração

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Apontamentos: Curso de Conhecimentos Básicos de Matemática Cursos do Departamento de Gestão Maria Cristina

Leia mais

Elementos de Matemática Discreta

Elementos de Matemática Discreta Elementos de Matemática Discreta Prof. Marcus Vinícius Midena Ramos Universidade Federal do Vale do São Francisco 9 de junho de 2013 marcus.ramos@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~marcus.ramos Marcus

Leia mais

Construção dos números racionais, Números fracionários e operações com frações

Construção dos números racionais, Números fracionários e operações com frações Construção dos números racionais, Números fracionários e operações com frações O número racional pode ser definido a partir da aritmética fechamento da operação de divisão entre inteiros ou partir da geometria

Leia mais

Computador HIPO. Inicialmente vamos apresentar as unidades fundamentais de um computador:

Computador HIPO. Inicialmente vamos apresentar as unidades fundamentais de um computador: Computador HIPO Para introduzirmos as noções básicas de como funciona um computador, empregaremos um modelo imaginário (hipotético) que denominaremos de computador hipo. O funcionamento desse modelo tem

Leia mais

É usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A, simplesmente por y=f(x), x A

É usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A, simplesmente por y=f(x), x A 4. Função O objeto fundamental do cálculo são as funções. Assim, num curso de Pré-Cálculo é importante estudar as idéias básicas concernentes às funções e seus gráficos, bem como as formas de combiná-los

Leia mais

FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. 1. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de x = 0. Então:

FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. 1. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de x = 0. Então: FICHA DE TRABALHO DERIVADAS I PARTE. Uma função f tem derivadas finitas à direita e à esquerda de = 0. Então: (A) f tem necessariamente derivada finita em = 0; (B) f não tem com certeza derivada finita

Leia mais

Escola Secundária c/3º CEB José Macedo Fragateiro. Curso Profissional de Nível Secundário. Componente Técnica. Disciplina de

Escola Secundária c/3º CEB José Macedo Fragateiro. Curso Profissional de Nível Secundário. Componente Técnica. Disciplina de Escola Secundária c/3º CEB José Macedo Fragateiro Curso Profissional de Nível Secundário Componente Técnica Disciplina de Sistemas Digitais e Arquitectura de Computadores 29/21 Módulo 1: Sistemas de Numeração

Leia mais

TEXTO DE REVISÃO: Uso da calculadora científica e potências de 10.

TEXTO DE REVISÃO: Uso da calculadora científica e potências de 10. TEXTO DE REVISÃO: Uso da calculadora científica e potências de 10. Caro aluno (a): No livro texto (Halliday) cap.01 - Medidas alguns conceitos muito importantes são apresentados. Por exemplo, é muito importante

Leia mais

Introdução. A Informação e sua Representação (Parte III) Universidade Federal de Campina Grande Departamento de Sistemas e Computação

Introdução. A Informação e sua Representação (Parte III) Universidade Federal de Campina Grande Departamento de Sistemas e Computação Universidade Federal de Campina Grande Departamento de Sistemas e Computação Introdução à Computação A Informação e sua Representação (Parte III) Prof.a Joseana Macêdo Fechine Régis de Araújo joseana@computacao.ufcg.edu.br

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) I Representação dos números, aritmética de ponto flutuante e erros em máquinas

Leia mais

28 de agosto de 2015. MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior

28 de agosto de 2015. MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior 28 de agosto de 2015 Derivação Impĺıcita Considere o seguinte conjunto R = {(x, y); y = 2x + 1} O conjunto R representa a reta definida

Leia mais

Computabilidade 2012/2013. Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Computabilidade 2012/2013. Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Computabilidade 2012/2013 Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Capítulo 1 Computabilidade 1.1 A noção de computabilidade Um processo de computação

Leia mais

Índice de conteúdos. Índice de conteúdos. Capítulo 2. Representação de Números e Erros...1. 1.Representação de números em diferentes bases...

Índice de conteúdos. Índice de conteúdos. Capítulo 2. Representação de Números e Erros...1. 1.Representação de números em diferentes bases... Índice de conteúdos Índice de conteúdos Capítulo 2. Representação de Números e Erros...1 1.Representação de números em diferentes bases...1 1.1.Representação de números inteiros e conversões de base...1

Leia mais

A declaração de uma variável vel define o seu tipo. O tipo do dado define como ele será: Armazenado na memória. Manipulado pela ULA.

A declaração de uma variável vel define o seu tipo. O tipo do dado define como ele será: Armazenado na memória. Manipulado pela ULA. Representação de Dados Tipos de dados: Caracteres (letras, números n e símbolos). s Lógicos. Inteiros. Ponto flutuante: Notações decimais: BCD. A declaração de uma variável vel define o seu tipo. O tipo

Leia mais

2. Representação Numérica

2. Representação Numérica 2. Representação Numérica 2.1 Introdução A fim se realizarmos de maneira prática qualquer operação com números, nós precisamos representa-los em uma determinada base numérica. O que isso significa? Vamos

Leia mais

INSTITUTO TECNOLÓGICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO PAC - PROGRAMA DE APRIMORAMENTO DE CONTEÚDOS. ATIVIDADES DE NIVELAMENTO BÁSICO. DISCIPLINAS: MATEMÁTICA & ESTATÍSTICA. PROFº.: PROF. DR. AUSTER RUZANTE 1ª SEMANA DE ATIVIDADES DOS CURSOS DE TECNOLOGIA

Leia mais

Análise de Regressão Linear Simples e Múltipla

Análise de Regressão Linear Simples e Múltipla Análise de Regressão Linear Simples e Múltipla Carla Henriques Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Carla Henriques (DepMAT ESTV) Análise de Regres. Linear Simples e Múltipla

Leia mais

UNIDADE 3 MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAGEM

UNIDADE 3 MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAGEM Unidade 2 Distribuições de Frequências e Representação Gráfica UNIDADE 3 MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE APRENDIZAGEM Ao finalizar esta Unidade, você deverá ser capaz de: Calcular

Leia mais

Trabalho Computacional. A(h) = V h + 2 V π h, (1)

Trabalho Computacional. A(h) = V h + 2 V π h, (1) Unidade de Ensino de Matemática Aplicada e Análise Numérica Departamento de Matemática/Instituto Superior Técnico Matemática Computacional (Mestrado em Engenharia Física Tecnológica) 2014/2015 Trabalho

Leia mais

Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto

Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto Maria Angélica Araújo Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Graduanda em Matemática - Programa de Educação

Leia mais

X.0 Sucessões de números reais 1

X.0 Sucessões de números reais 1 «Tal como a tecnologia requer as tøcnicas da matemætica aplicada, tambøm a matemætica aplicada requer as teorias do nœcleo central da matemætica pura. Da l gica matemætica topologia algøbrica, da teoria

Leia mais

COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS. 1.0 Representação

COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS. 1.0 Representação COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS.0 Representação O sistema de numeração decimal é o mais usado pelo homem nos dias de hoje. O número 0 tem papel fundamental, é chamado de base do sistema. Os símbolos 0,,, 3, 4, 5,

Leia mais

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos PROVA 435/9 Págs. Duração da prova: 120 minutos 2005 1.ª FASE

Leia mais

ARQUITETURA E ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: REPRESENTAÇÃO EM PONTO FLUTUANTE. Prof. Dr. Daniel Caetano 2012-1

ARQUITETURA E ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: REPRESENTAÇÃO EM PONTO FLUTUANTE. Prof. Dr. Daniel Caetano 2012-1 ARQUITETURA E ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: REPRESENTAÇÃO EM PONTO FLUTUANTE Prof. Dr. Daniel Caetano 2012-1 Objetivos Compreender o que é notação em ponto flutuante Compreender a

Leia mais

Exercícios Teóricos Resolvidos

Exercícios Teóricos Resolvidos Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA PARA OS CANDIDATOS MAIORES DE 23 ANOS

PROVA DE MATEMÁTICA PARA OS CANDIDATOS MAIORES DE 23 ANOS PROVA DE MATEMÁTICA PARA OS CANDIDATOS MAIORES DE ANOS Duração: 60 minutos Nome: 1ª Parte Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta com um círculo de entre

Leia mais

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser:

Estudaremos métodos numéricos para resolução de sistemas lineares com n equações e n incógnitas. Estes podem ser: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

Representação Binária de Números

Representação Binária de Números Departamento de Informática Notas de estudo Alberto José Proença 01-Mar-04 Dep. Informática, Universidade do Minho Parte A: Sistemas de numeração e representação de inteiros A.1 Sistemas de numeração

Leia mais

LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES. : R R + o x x

LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES. : R R + o x x LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES Noções prévias 1. Valor absoluto de um número real: Chama-se valor absoluto ou módulo de um número real ao número x tal que: x se x 0 x = x se x < 0 Está assim denida

Leia mais

Representação de Dados

Representação de Dados Representação de Dados Introdução Todos sabemos que existem diferentes tipos de números: fraccionários, inteiros positivos e negativos, etc. Torna-se necessária a representação destes dados em sistema

Leia mais

(Testes intermédios e exames 2010/2011)

(Testes intermédios e exames 2010/2011) (Testes intermédios e eames 00/0) 57. Na Figura, está parte da representação gráfica da função f, de domínio +, definida por f() = log 9 () Em qual das opções seguintes está definida uma função g, de domínio,

Leia mais

ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE/ERROS EM OPERAÇÕES NUMÉRICAS

ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE/ERROS EM OPERAÇÕES NUMÉRICAS ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE/ERROS EM OPERAÇÕES NUMÉRICAS. Intodução O conjunto dos númeos epesentáveis em uma máquina (computadoes, calculadoas,...) é finito, e potanto disceto, ou seja não é possível

Leia mais

Métodos Numéricos 2010-11. Exame 11/07/11

Métodos Numéricos 2010-11. Exame 11/07/11 ESCOLA SUPERIOR DE BIOTECNOLOGIA Métodos Numéricos 2010-11 Exame 11/07/11 Parte Teórica Duração: 30 minutos Atenção: Teste sem consulta. Não é permitido o uso da máquina de calcular. Não esquecer de indicar

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

Capítulo 3 Modelos Estatísticos

Capítulo 3 Modelos Estatísticos Capítulo 3 Modelos Estatísticos Slide 1 Resenha Variáveis Aleatórias Distribuição Binomial Distribuição de Poisson Distribuição Normal Distribuição t de Student Distribuição Qui-quadrado Resenha Slide

Leia mais

Introdução à Topologia Resoluções de exercícios. Capítulo 1

Introdução à Topologia Resoluções de exercícios. Capítulo 1 Introdução à Topologia Resoluções de exercícios Exercício nº5 (alíneas 3. e 4.) Capítulo 1 É imediato, directamente a partir da definição, que, dados r, s Q, d p (r, s) e que d p (r, s) = se e só se r

Leia mais

I. Cálculo Diferencial em R n

I. Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Ano Lectivo 2010/2011 2 o Semestre Exercícios propostos para as aulas práticas I. Cálculo Diferencial em R n Departamento

Leia mais

Representando Instruções no Computador

Representando Instruções no Computador Representando Instruções no Computador Humanos aprenderam a pensar na base 10 Números podem ser representados em qualquer base Números mantidos no hardware como série de sinais eletrônicos altos e baixos

Leia mais

Tópico 2. Conversão de Unidades e Notação Científica

Tópico 2. Conversão de Unidades e Notação Científica Tópico 2. Conversão de Unidades e Notação Científica Toda vez que você se refere a um valor ligado a uma unidade de medir, significa que, de algum modo, você realizou uma medição. O que você expressa é,

Leia mais

Sistemas de Numeração

Sistemas de Numeração Departamento de Informática Sistemas de Numeração Notas de estudo Alberto José Proença Luís Paulo Santos 18-Fev-05 1. Sistemas de numeração e representação de inteiros 1.1. Sistemas de numeração 1.2. Conversão

Leia mais

Análise de regressão linear simples. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu

Análise de regressão linear simples. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Análise de regressão linear simples Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Introdução A análise de regressão estuda o relacionamento entre uma variável chamada a variável dependente

Leia mais

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA E N A D E 005 LICENCIATURA MATEMÁTICA QUESTÕES RESOLVIDAS I N T R O D U Ç Ã O Estamos apresentando a prova do ENADE aplicada em 005 para os cursos de Licenciatura em Matemática. Este trabalho tem o objetivo

Leia mais

Métodos de Adams-Bashforth. Se y é uma solução exacta do problema de Cauchy, então

Métodos de Adams-Bashforth. Se y é uma solução exacta do problema de Cauchy, então Métodos de Adams-Bashforth Se y é uma solução exacta do problema de Cauchy, então ti+1 y(t i+1 ) = y(t i )+ f(t, y(t)) dt. t i A ideia é de aproximar a função f(t, y(t)) no intervalo [t i, t i+1 ] pelo

Leia mais

Prova Escrita de Matemática Aplicada às Ciências Sociais

Prova Escrita de Matemática Aplicada às Ciências Sociais Exame Nacional do Ensino Secundário Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março Prova Escrita de Matemática Aplicada às Ciências Sociais 10.º e 11.º Anos de Escolaridade Prova 835/2.ª Fase 13 Páginas Duração

Leia mais

CAPÍTULO 1 MEDIÇÃO E O ERRO DE MEDIÇÃO

CAPÍTULO 1 MEDIÇÃO E O ERRO DE MEDIÇÃO CAPÍTULO 1 MEDIÇÃO E O ERRO DE MEDIÇÃO 1.1. Definições do Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM) Metrologia: Ciência das medições [VIM 2.2]. Medição: Conjunto de operações que têm por objectivo

Leia mais

Aula 9 Plano tangente, diferencial e gradiente

Aula 9 Plano tangente, diferencial e gradiente MÓDULO 1 AULA 9 Aula 9 Plano tangente, diferencial e gradiente Objetivos Aprender o conceito de plano tangente ao gráfico de uma função diferenciável de duas variáveis. Conhecer a notação clássica para

Leia mais