Como aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos?

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1 &DStWXOR±5HSUHVHQWDomRGH1~PHURVH(UURV,QWURGXomR Como aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos? 7LSRVGH(UURV Erros inerentes à matematização do fenómeno físico: os sistemas adoptados para representar a realidade (modelos) são geralmente (necessariamente) aproimações; Erros nos dados: resultam da incerteza eistente nas medições de grandezas físicas. Devem-se às precisões finitas e limitadas dos instrumentos de medida. São estudados no âmbito das Probabilidades e Estatística; Erros de método ou de truncatura: resultam de substituir o modelo matemático adoptado por um processo de tratamento numérico aproimado. Eemplos: substituir derivadas por razões incrementais, integrais por somatórios, séries por somas de um número finito de termos; Erros de arredondamento: surgem pelas limitações dos instrumentos de cálculo utilizados na efectivação de operações numéricas elementares, os quais trabalham com um número limitado de algarismos.

2 9DORUHVDSUR[LPDGRVHHUURV (UUR$EVROXWRH(UUR5HODWLYR 'HILQLomR (UUR$EVROXWR como este valor é geralmente desconhecido, faz mais sentido falar em: 'HILQLomR 0DMRUDQWHGR(UUR$EVROXWR e assim,

3 Para uma melhor percepção da qualidade da aproimação, o valor do erro deve ser independente da ordem de grandeza, por isso: 'HILQLomR (UUR5HODWLYR O Erro Relativo é portanto uma grandeza sem dimensões. Ao produto epresso em percentagem. chamamos SHUFHQWDJHPGHHUUR, 'HILQLomR 0DMRUDQWHGR(UUR5HODWLYR

4 Alguns casos concretos: Neste caso, não eiste muita diferença entre o erro absoluto e o erro relativo. Como os valores são de grande magnitude, apesar do erro absoluto ser elevado, a aproimação pode ser considerada boa. Caso oposto ao anterior: um erro relativo de 25% não é aceitável.

5 5HODo}HVHQWUHPDMRUDQWHV &DVR Sendo conhecido um PDMRUDQWHGRHUURDEVROXWR, encontrar umpdmrudqwhsdudrhuuruhodwlyr. A partir da definição do Erro Relativo, procuremos um majorante: majorando o numerador: minorando o denominador: assim, uma estimativa de é dada por: Em muitos casos, e então podemos simplificar:

6 &DVR Sendo conhecido um PDMRUDQWHGRHUURUHODWLYR, encontrar umpdmrudqwhsdudrhuurdevroxwr. Consideremos a definição do Erro Relativo, escrita na forma: Tratando-se de um produto, procuremos majorantes para ambos os factores: portanto, uma estimativa de é dada por: donde, assumindo que, resulta:

7 Dado um número aproimado e o seu erro, como identificar os algarismos significativos? $OJDULVPRV6LJQLILFDWLYRV 'HILQLomR$OJDULVPRV6LJQLILFDWLYRV ([HPSOR

8 ([HPSOR

9 5HSUHVHQWDomRGHQ~PHURV Comecemos por recordar a Representação de Números Reais em Vírgula Flutuante, também chamada 1RWDomR&LHQWtILFD1RUPDOL]DGDGHEDVHE. onde: %DVH: do sistema de numeração, habitualmente E =10 0DQWLVVD: G G G, é uma sequência de dígitos, possivelmente LQILQLWD. ([SRHQWH: H ± À 5HSUHVHQWDomR1RUPDOL]DGD: G 0. Garante a unicidade da representação. O ]HURnão tem representação normalizada. Mas como são representados os Números Reais num computador? ^ VRERSRQWRGHYLVWDGRXWLOL]DGRUHQmRGDUHSUHVHQWDomRLQWHUQD` A representação dos números reais QmRpH[DFWD. O número de dígitos da mantissa determina o grau de precisão. $ JUDQGH]DGRVQ~PHURVUHDLV éolplwdgd. O número de dígitos do epoente determina a grandeza máima. A variação dos números reais representados é GLVFUHWD e não contínua. A densidade de valores representados decresce eponencialmente com a grandeza dos números. > Representação GLVFUHWDe OLPLWDGDdo conjunto.

10 Por isso, em vez de utilizamos um subconjunto finito chamado (IORDWLQJ SRLQW). DUUHGRQGDPHQWR FRUWH 5HSUHVHQWDomR1RUPDOL]DGDGRVHOHPHQWRVGH QDEDVHE. onde: %DVH: do sistema de numeração. 6LQDO: representado por V ± ^`. 0DQWLVVD: G G G G W, é uma sequência ILQLWD dew dígitos. ([SRHQWH: H ± T T com T e T! ILQLWRV. 5HSUHVHQWDomR1RUPDOL]DGD: G 0. Garante a unicidade da representação. 2VYDORUHVH[DFWRVGRVSDUkPHWURVGHXPDUHSUHVHQWDomRGHSHQGHPGR 3URFHVVDGRU$ULWPpWLFRHGD/LQJXDJHPGH3URJUDPDomRXWLOL]DGRV

11 4XDORHUUR SURYRFDGRSHODUHSUHVHQWDomRGH[ ± SRUIO[ ± " DUUHGRQGDPHQWR FRUWH Seja, IO[ V G G G G W E H ± EWT T a representação de um dado [ ± [ V G G G G W G W E H onde assumimos que H ± T T, ou seja, que o erro afecta apenas a representação da mantissa. O HUURDEVROXWR cometido SRUFRUWH será então: ' FRUWH _IO[[_ G W E H G W E HW E HW E HW eo HUURDEVROXWR cometido SRU DUUHGRQGDPHQWRVLPpWULFR será: ' DUUHG _IO[[_ G W E H E HW = ò E HW

12 Procurando majorantes para os respectivos erros relativos, teremos para o HUUR UHODWLYR cometido SRUFRUWH: U FRUWH = _ IO[[ [_ E HW _[_ E HW G G E H E HW E H E W e para o HUURUHODWLYR cometido SRUDUUHGRQGDPHQWRVLPpWULFR: U DUUHG = _ IO[[ [_ ò E HW _[_ òe HW G G E H ò E HW E H òe W Estes resultados são referidos QRH[HUFtFLRGD IROKDSUiWLFD:

13 A norma IEEE 754 YHU representação ELQiULD normalizada em vírgula flutuante IRUPDWRVLPSOHV: palavras de 32 bits IRUPDWRGXSOR: palavras de 64 bits base de representação: E por defeito, o MATLAB usa o IRUPDWRGXSOR Distribuição dos bits: Se 1 epoente 2046 então o valor 9 representado é

14 (1') representa a mantissa normalizada ( 1 PDQWLVVD2 ). O primeiro bit da mantissa é sempre 1 (bit implícito) e não é armazenado. O epoente ( é enviesado. Para permitir a representação de epoentes negativos: Assim, o menor número real positivo representável é Qualquer valor inferior iria gerar uma situação de XQGHUIORZ. 5HSUHVHQWDomRGR=HUR Se H[SRHQWH e PDQWLVVD então o valor 9 representado é: se V então 9 se V então 9 í

15 5HSUHVHQWDomRGDYL]LQKDQoDGH=HURXQGHUIORZJUDGXDO A vizinhança do zero é tratada de modo diferente, por forma a permitir uma representação PDLVGHQVD dos números de pequena grandeza. Se H[SRHQWH e PDQWLVVD então o valor 9 representado é: (') representa uma mantissa não normalizada ( 0 PDQWLVVD1). O primeiro bit da mantissa é sempre 0 (bit implícito) e não é armazenado. A técnica de XQGHUIORZ gradual permite representar uma mais vasta gama de valores na vizinhança de zero. O menor número positivo representável é agora, 2 í = 2 í 2 í = 2 í Números positivos inferiores são colocados a zero.

16 &DVRGRV,QILQLWRVH1$1V Se H[SRHQWH e PDQWLVVD então o valor 9 representado é: se V então 9 ˆ se V então 9 íˆ Se H[SRHQWH e PDQWLVVD então o valor 9 representado é: 9 1$1 (Not A Number)

17 (UURVGHPpWRGRRXGHWUXQFDWXUD Cometem-se HUURVGHWUXQFDWXUD quando se usam: Métodos de discretização: aproimação de um problema de natureza contínua por outro de natureza discreta. Eemplos: substituições de derivadas por razões incrementais. integrais por somatórios séries por somas de um número finito de termos Métodos iterativos: a partir de uma aproimação inicial, a solução é obtida (teoricamente) ao fim de um número infinito de operações. Na prática os processos iterativos são terminados ao fim de um número finito de operações. Um eemplo: Consideremos o seguinte desenvolvimento em VpULHGH0DFODXULQ da função VHQR, Dada a impossibilidade prática de calcular um número infinito de termos, só poderemos considerar somas parciais, que são os sucessivos SROLQyPLRVGH0DFODXULQ. Cada polinómio constitui uma DSUR[LPDomR da função VHQR pretendida.

18 ILJXUDGH: Polinómios de Maclaurin: [ [±[ [±[ [ [±[ [ ±[ [±[ [ ±[ [

19 Caso geral: Cálculo do erro de truncatura: S Q [ é uma aproimação de I[com erro absoluto_5 Q [_ 5 Q [ não pode ser calculado porque se desconhece F PDV é possível calcular um limite superior para _5 Q [_, determinando um majorante para _I Q F_ com F ± LQWHU[ [

20 voltando ao eemplo: Analisemos a aproimação com erro de truncatura Calculemos um majorante do erro cometido no ponto S : Como e podemos estabelecer: Caso particular das Séries Alternadas Convergentes: para o mesmo eemplo:

21 Observação: Enquanto que a função seno é SHULyGLFD, a aproimação polinomial já não o é. Assim, o cálculo dos sucessivos valores de VLQS r NS N virá afectado de um erro cada vez maior. 3RGHPRVFDOFXODUHVVHHIHLWR XWLOL]DQGRRPDMRUDQWHDQWHULRU N 5 S NS Por isso, no cálculo aproimado das funções trigonométricas comuns, é LQGLVSHQViYHOUHGX]LU o valor do ângulo ao intervalo > S

22 A questão inversa: 'DGRXPHUURTXDQWRVWHUPRV VRPDU" Eemplo: e = Para calcular uma aproimação de H pelo desenvolvimento em VpULHGH0DFODXULQ qual a ordem do menor polinómio que garante um erro inferior a? 1RWD Calculemos o valor do erro de truncatura, para [, [, I[ H [ :

23 para F ± LQWHU, um majorante aceitável poderá ser, Resta encontrar uma ordem Q capaz de garantir que: ou seja, que: e podemos verificar que este valor é atingido para Q, tal como previsto. YHU &RQWpPXPDDQLPDomRGDVVXFHVVLYDVDSUR[LPDo}HV EHPFRPRRUHVSHFWLYRSURJUDPDHP0$7/$%

24 3URSDJDomRGHHUURV Consideremos um determinado problema de cálculo numérico, Mesmo que seja possível eecutar ) de forma eacta, qualquer perturbação no valor dos dados irá afectar o valor dos resultados. São os (UURV3URSDJDGRV Por outro lado, mesmo que os dados sejam eactos, o método de cálculo pode ser aproimado. Os resultados virão afectados de (UURV*HUDGRV Na maior parte das vezes, ocorrem sucessivas combinações desses dois tipos de erros: Como se propagam os Erros? SRU H[HPSOR SRUTXr"

25 Procuremos uma fórmula geral para a propagação dos erros: Mas antes disso recordemos: Teorema do Valor Médio (Lagrange) Portanto, eiste (pelo menos) um ponto F onde: ou seja, onde a WDQJHQWH é paralela à VHFDQWH:

26 Eercício + Corolário do T.V.M.: Resolução + Demonstração + Comentários: D

27 E FRQGI[ = Q~PHURGHFRQGLomR de f em FRQGI[ é um indicador do efeito da propagação do erro relativo, no valor da função I no ponto [, que nos permite avaliar em que condições a função é EHP ou PDOFRQGLFLRQDGD.

28 eemplo: Analisemos os efeitos da propagação de erros nas funções [ Q e Q [ com Q ± Ü Verificamos que a propagação do erro relativo depende apenas de Q e não de [. Com efeito para, obtemos: e para, obtemos:

29 Neste caso, a propagação do erro relativo depende de [ mais do que de Q Com efeito para, obtemos: e para, obtemos:

30 Como se propagam os erros nas operações aritméticas? No que se segue, são valores aproimados dos números S e T, ambos com o mesmo sinal e são desprezados os erros de arredondamento das próprias operações. $GLomR (UUR $EVROXWR 2 HUURDEVROXWRGDVRPDGHGRLVQ~PHURVpOLPLWDGRSHODVRPDGRVHUURV DEVROXWRVLQGLYLGXDLV (UUR 5HODWLYR Considerando, conclui-se que 2 HUURUHODWLYRGDVRPDGHGRLVQ~PHURVpOLPLWDGRSHORPDLRUGRVHUURV UHODWLYRVLQGLYLGXDLV

31 6XEWUDFomR (UUR $EVROXWR 2 HUURDEVROXWRGDVXEWUDFomRGHGRLVQ~PHURVpOLPLWDGRSHODVRPDGRV HUURVDEVROXWRVLQGLYLGXDLV (UUR 5HODWLYR Fenómeno de &DQFHODPHQWR6XEWUDFWLYR Quando se subtraem quantidades muito próimas (diferença S í T pequena) o erro relativo pode vir muito elevado. 0XOWLSOLFDomR H 'LYLVmR 8PDHVWLPDWLYDSDUDRHUURUHODWLYRQRSURGXWRGLYLVmRpGDGDSHODVRPD GRVHUURVUHODWLYRVGRVRSHUDQGRVGHVGHTXHHVWHVYHQKDPDIHFWDGRV SRUXPHUURUHODWLYRSHTXHQR ^ 'HPRQVWUH `

32 7UDQVIRUPDomRGH)yUPXODV H[HPSOR Calcular H = pelo desenvolvimento, Usando, por eemplo, o seguinte programa em MATLAB com [, VRPD WHUPR [ Q ZKLOH DEVWHUPR!A VRPD VRPDWHUPR Q Q WHUPR WHUPR[Q HQG GLVS>VRPDGHLQWVWUQ WHUPRV QXPVWUVRPD@ GLVS>SUR[LPRWHUPR QXPVWUWHUPR@ GLVS>YDORUSUHWHQGLGR QXPVWUH[S[@ verificamos que é tarefa praticamente impossível. O que acontece? Porquê? Como a grandeza dos termos tende para zero (série convergente), a partir de certa ordem irão ocorrer sucessivos FDQFHODPHQWRV VXEWUDFWLYRV entre números muito pequenos de sinal alternado. Para resolver este problema, basta constatar que H [ H [ programa para [, invertendo o resultado obtido. e eecutar o mesmo

33 H[HPSOR Calcular para valores grandes de [. Tente no MATLAB e verificará que, por eemplo, para números de grandeza o resultado virá (erradamente) nulo. Uma transformação adequada da fórmula poderá ser, que já permitirá obter resultados razoáveis. H[HPSOR Calcular para valores muito pequenos de [. A fim de evitar a divisão por uma quantidade muito pequena, é preferível o desenvolvimento,

34 &RQGLFLRQDPHQWRHHVWDELOLGDGH Num SUREOHPD 3 eistem GDGRVGHHQWUDGD, que podemos agrupar muito geralmente num vector [ e resultados (GDGRVGHVDtGD), que podemos designar por \ \ 3[ 'HILQLomR Um problema diz-se EHPFRQGLFLRQDGR(ou matematicamente HVWiYHO) se pequenos erros relativos nos dados produzem pequenos erros relativos no resultado. Caso contrário, diz-se PDOFRQGLFLRQDGR(ou matematicamente LQVWiYHO). ([HPSOR GH SUREOHPD PDO FRQGLFLRQDGR Resolver a equação que tem raízes reais Uma pequena variação nos valores de e de, por eemplo causada por arredondamentos a 6 casas decimais, resulta na equação: que não tem raízes reais!

35 Na resolução de um problema 3 por utilização de um algoritmo $, para além dos erros dos dados temos de considerar os HUURV GH DUUHGRQGDPHQWR que se irão propagar ao longo da eecução do algoritmo. Assim, considerando os dados de entrada [ e os resultados \ \ $[ 'HILQLomR Um PpWRGR (ou algoritmo) diz-se FRPSXWDFLRQDOPHQWH(ou numericamente) HVWiYHO se a acumulação e propagação dos erros de arredondamento provoca um pequeno erro relativo no resultado. Caso contrário, diz-se FRPSXWDFLRQDOPHQWH(ou numericamente)lqvwiyho. QRWD Nenhum algoritmo, quando aplicado a um problema mal condicionado, poderá ser computacionalmente estável!