1. Introdução 2. Representação de números 2.1. Conversão Numérica 2.2. Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos

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1 1. Introdução 2. Representação de números 2.1. Conversão Numérica 2.2. Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos

2 1. Introdução O que é cálculo numérico? Corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

3 1. Introdução Exemplo: Circuito elétrico composto de uma fonte de tensão e um resistor I V V R. I i Solução Exata R V R Introduzindo um diodo no circuito kt i kt i v( i) ln 1 V R. i ln 1 q I s q I s 0 I V D R Solução Utilizando Métodos Numéricos

4 1. Introdução Por que produzir resultados numéricos? 1. Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema. Exemplo: Solução de sistemas de equações lineares (cálculo de estruturas, redes elétricas etc.

5 1. Introdução 2. A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente). Exemplo: a) e dx Não se tem primitiva de forma simples; x2 b) Equações diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente só em casos particulares.

6 Algumas observações sobre os métodos numéricos. 1. Introdução Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para formulações matemáticas. Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não e um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição. Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação do erro, o desvio.

7 1. Introdução Qual a função do cálculo numérico na engenharia? Buscar solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos, ou seja: Modelo Matemático

8 1. Introdução

9 1. Introdução

10 1. Introdução

11 Como pode ser visto, ainda que todas as fases da solução estejam corretas podem ocorre erros pelos seguintes motivos: Da precisão dos dados de entrada Da forma com que estes dados são representados no computador Das operações numéricas efetuadas 1. Introdução

12 2. Representação de Números Exemplo 1: Calcular a área de uma circunferência de raio 100 m. Resultados: a) A=31400 m 2 b) A=31416 m 2 c) A= m 2 Como justificar estas diferenças? É possível obter-se exatamente esta área?

13 Para x i =0.5 e para x i =0.11 Resultados obtidos: i) Para x i =0.5 calculadora S=15000 computador S=15000 ii) Para x i =0.11 calculadora S=3300 computador S= Representação de Números Exemplo 2: Efetuar o somatório em calculadora e computador. S x i i 1 Como justificar estas diferenças nos resultados obtidos pela calculadora o pelo computador?

14 2. Representação de Números Quanto maior o número de dígitos maior será a precisão obtida; Nos trabalhamos no sistema decimal e o computador no sistema binário. Desta forma o processo de conversão de binário para decimal e vice versa constitui uma fonte de erro; Um número pode possuir representação finita em uma base e não finita em outras bases. Processo de interação entre usuário e computador Usuário Decimal Binária Computador

15 2.1. Conversão Numérica Base Decimal: É a base numérica que possui 10 símbolos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. A posição relativa dos algarismos nos números, unidade dezena, centena é definida pela base 10 Exemplo: (342) 10 =3*10 2 = 3*100=300+ 4*10 1 = 4 * 10= 40+ 2*10 0 = 2 * 1= 2= =342

16 2.1. Conversão Numérica Base Binária: É a base numérica que possui 2 símbolos : 0, 1. A posição relativa dos algarismos nos números, é definida pela base 2, analogamente à base 10. Exemplo: (10111) 2 =1*2 4 0*2 3 1*2 2 1*2 1 1*2 0 Mudança de Base

17 Conversão de Binário para Decimal: Se for realizada a operação acima ou seja elevando-se as bases às potências, o número (10111) 2 é automaticamente convertido em decimal. Exemplo: (10111) 2 =1*2 4 =1 *16 =16+ 0*2 3 =0 * 8 = 0+ 1*2 2 =1 * 4 = 4+ 1*2 1 =1 * 2 = 2+ 1*2 0 =1 * 1 = 1= = Conversão Numérica

18 2.1. Conversão Numérica Conversão de Decimal para Binário: Constitui-se no processo inverso da conversão binária para decimal. Basta dividir-se o valor em decimal por 2 e depois proceder o processo de leitura do algarismo mais significativo, correspondente ao quociente da última divisão até o algarismo menos significativo correspondente ao resto da primeira divisão.

19 2.1. Conversão Numérica Conversão de Número Fracionário Binário para Decimal: O processo é semelhante à conversão inteira, mas o valor fracionário é representado pela base elevada ao expoente negativo. Exemplo: (11,1011) 2 Parte inteira: (11)2=1*2+1=(3) 10 Parte Fracionária: 0,1011= 1*2-1 =1*0,5+ 0*2-2 =0*0,25+ 1*2-3 =1*0,125+ 1*2-4 =1*0,0625= =0,6875 Portanto:(11,1011) 2 = (3,6875) 10

20 2.1. Conversão Numérica Conversão de Número Fracionário Decimal para Binário: Análogo ao processo anterior, o a parte inteira é convertida separadamente da parte fracionária. Trabalhando apena a parte fracionária Exemplo: (0,125) 10 O algoritmo consiste na multiplicação sucessiva do valor, separando-se a cada divisão o valor inteiro montando-se o valor fracionário do número na base binária na ordem do mais significativo ao menos significativo até o resultado do produto for zero, ou, no caso de um processo infinito, trunca-se a divisão.

21 Exemplo: (0,125) 10 = 0,001 0,125 x 2 0,25 x 2 0,5 x 2 1, Conversão Numérica

22 2.1. Conversão Numérica Exemplo: (0,11) 10 0,11 0,52 x 2 x 2 0,22 0,04 x 2 0,04 0,44 x 2 x 2 0,08 0,88 x 2 x _2 0,16 1,76 x _2 0,76 0,32 x 2 x 2 1,52 0,64 =(0, ) 2 0,64 x 2 1,28 0,28 x 2 0,56 x 2 1,12 0,12 x _2 0,24

23 2. 1. Aritmética de ponto flutuante Constitui-se da representação interna da calculadora ou do computador do número na forma: ±(.d 1 d 2...d t ) x b e Onde: b base em que a máquina opera t número de dígitos da mantissa: 0 dj (b 1),j 1...t; d 1 K0; e é o expoente no intervalo [min,max] Exemplo: Máquina que opera com o sistema: b=10;t=3;ex[-5,5] representação do número: 0.d 1 d 2 d 3 x10 e,0od j O9, ex[-5,5] Menor número: m=0.100x10-5 =10-6 Maior número: M=0.999x10 5 =99900

24 2. 1. Aritmética de ponto flutuante Dado um número real x= que deve ser inserido na máquina. Pode ocorrer as seguintes situações: Caso 1: Respeitando-se os critérios da máquina e de aproximação x= x 10 3 Caso 2: x <m ocorreria um underflow. Ex: x=0.345 x 10-7 Caso 3: x >M ocorreria um overflow. Ex: x=0.875 x 10 9

25 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos Erro absoluto constitui na diferença entre o valor exato x e o valor aproximado x. EA x x x O erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor aproximado. ER x EA x x x x x

26 3.1 Erros Absolutos e Relativos Exemplo: Seja o valor aproximado igual a de tal forma que EA x <0.1, ou seja, x X (2112.8,2113) determine o erro relativo de x. ER x EA x x

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