4 Sistemas de Equações Lineares

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1 Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 4 Sistemas de Equações Lineares 1 Definição Rank ou característica de uma matriz ( ) Número máximo de linhas de que formam um conjunto linearmente independente. Ex.: porque * + (por exemplo) é linearmente independente e não existe nenhum conjunto de linhas de com ou vectores que o seja. 2 Facto Operações elementares sobre as linhas de uma matriz e rank da matriz A realização de operações elementares sobre as linhas de uma matriz não altera o seu rank. Ex.: 3 Definição Formato em escada por linhas de uma matriz Forma de uma matriz cujo primeiro elemento da 1ª linha não é, cujos primeiros elementos de cada linha, a começar na 2ª, são, e em que o número de primeiros elementos de cada linha que são é superior ao da linha anterior. 1

2 Ex. 1: [ ] tem o formato em escada por linhas porque o 1º elemento da 1ª linha não é, e o 1º elemento da 2ª linha, os primeiros elementos da 3ª linha e os primeiros elementos da 4ª linha são. Ex. 2: não tem o formato em escada por linhas porque o número de consecutivos nas primeiras posições da 4ª linha não é superior ao da 3ª. 4 Definição Pivot de uma matriz no formato em escada por linhas Elemento de que é o primeiro da sua linha diferente de. Ex.: 5 Definição Formato reduzido em escada por linhas de uma matriz Forma de uma matriz que tem o formato em escada por linhas, cujos pivots são elementos da mesma coluna e de linhas anteriores às de um pivot são. e cujos Ex.: tem o formato reduzido em escada por linhas porque tem o formato em escada por linhas, todos os seus pivots (, e ) são, e. 2

3 6 Algoritmo Algoritmo para redução de uma matriz ao formato reduzido em escada por linhas por eliminação de Gauss 1 Redução ao formato em escada por linhas: Anulação da parte inferior da coluna : Transformação de num número não nulo: Se for, trocar a linha com outra linha, abaixo desta, cujo elemento da coluna não seja. Caso contrário, saltar este passo. Transformação de em : Se não for, dividir a linha por. Caso contrário, saltar este passo. Anulação da parte inferior da coluna : Subtrair a cada linha abaixo da linha cujo elemento da coluna não seja o produto entre o elemento da coluna dessa linha e a linha. Anulação da parte inferior das restantes colunas: Aplicar os seguintes passos, substituindo por. Depois, repeti-los, substituindo por. Continuar a repeti-los, substituindo pelos restantes índices de linha da matriz, de forma crescente, até Fim do algoritmo: Se todas as linhas, desde a até à, forem nulas, parar. Senão, continuar. Ordenação dos s criados: Fazer as trocas de ordem necessárias para que as linhas, desde a até à, fiquem ordenadas pelo número de colunas. Transformação dos pivots em : Se o primeiro elemento da linha não nulo,, não for, dividir a linha por. Caso contrário, saltar este passo. Anulação da parte inferior da coluna : Subtrair a cada linha abaixo da linha cujo elemento da coluna não seja o produto entre o elemento da coluna dessa linha e a linha. 2 Anulação dos elementos superiores aos pivots: Depois de concluída a redução ao formato em escada por linhas, aplicar o seguinte passo, substituindo por. Depois, repetilo, substituindo por. Continuar a repeti-lo, substituindo pelos restantes índices de linha da matriz, de forma crescente, até ao índice da última linha que tem um pivot. Sendo o pivot da linha, subtrair a cada linha acima da linha cujo elemento da coluna não seja o produto entre o elemento da coluna dessa linha e a linha ( ). 3

4 Ex.: 1 Redução ao formato em escada por linhas: Anulação da parte inferior da coluna : Anulação da parte inferior das restantes colunas: 2 Anulação dos elementos superiores aos pivots: 4

5 7 Definição Sistema de equações lineares Conjunto de equações de variáveis, cada uma consistindo numa igualdade entre uma combinação linear das variáveis e um número real. Igualdade entre dois membros: o primeiro,, e o segundo,. Sistema de equações lineares Ex.: é um sistema de equações lineares com equações e variáveis. 8 Classificação Classificação de um sistema de equações Possível: Tem pelo menos uma solução. Determinado: Tem apenas uma solução. Indeterminado: Tem mais do que uma solução. Impossível: Não tem soluções. Ex. 1: é possível e determinado, porque a sua única solução é o vector. Ex. 2: é possível e indeterminado, porque o seu conjunto de soluções é * +, que contém um número infinito de vectores. Ex. 3: é impossível, porque não há nenhum vector de que o resolva. 9 Facto Sistemas de equações lineares possíveis e indeterminados e número de soluções Qualquer sistema de equações lineares possível e indeterminado tem um número infinito de soluções. 5

6 * + Ex.: é possível e indeterminado e, tendo os vectores e como soluções, tem também todos os vectores da forma, com. 10 Definição Matriz aumentada de um sistema de equações lineares Matriz cujas primeiras colunas são as colunas de e cuja última coluna é., - Ex.:, - 11 Facto Classificação de um sistema de equações lineares e rank das matrizes do sistema Um sistema de equações lineares é: Possível e determinado Possível e indeterminado Impossível Ex.: 6

7 12 Definição Sistema homogéneo associado a um sistema de equações lineares ( ) Sistema de equações lineares cujo primeiro membro é o de e cujo segundo membro é o vector nulo do espaço vectorial a que pertence. Ex.: 13 Definição Espaço nulo de uma matriz ( ) Conjunto de vectores de que resolvem o sistema de equações lineares homogéneo associado a. * + Ex.: } * + 14 Fórmula Resolução de um sistema de equações lineares possível e determinado por eliminação de Gauss Realização de operações elementares sobre as linhas de até que esteja reduzida ao formato em escada por linhas, eliminando-se as linhas nulas que aparecem no processo, 7

8 seguida da realização de operações elementares sobre as linhas da matriz resultante até que esta se torne na matriz identidade. Nesta altura, a sua última coluna torna-se na solução de. Ex.:, - *+ 15 Fórmula Resolução de um sistema de equações lineares possível e determinado por cálculo da inversa Realização de operações elementares sobre as linhas de com o objectivo de reduzir ao formato em escada por linhas, eliminando as linhas nulas que aparecem no processo, até que seja quadrada, seguida da resolução do sistema obtido,, equivalente ao original, em ordem a : (se for quadrada, basta resolver o sistema original em ordem a : ). Ex.: 8

9 , - *+ 16 Fórmula Resolução de um sistema de equações lineares possível e determinado pela regra de Cramer Realização de operações elementares sobre as linhas de com o objectivo de reduzir ao formato em escada por linhas, eliminando as linhas nulas que aparecem no processo, até que seja quadrada, seguida da obtenção, para o sistema obtido, equivalente ao original, dos valores das coordenadas,, e da solução do sistema da seguinte forma (se for quadrada, e são utilizados em vez de e ):... Ex.:, - 9

10 *+ 17 Algoritmo Algoritmo para a resolução de um sistema de equações lineares possível e indeterminado 1 Definição das variáveis livres de : Encontrar o número de variáveis, entre as que definem cada solução de, que podem ser escolhidas arbitrariamente ( ) e escolher para variáveis livres aquelas associadas a colunas de, reduzida ao formato reduzido em escada por linhas, que não têm pivots. 2 Resolução de : Encontrar, o sub-espaço vectorial de dos vectores que são solução de ( ). 3 Identificação de uma solução particular de : Encontrar, um vector de que seja solução de. 4 Especificação da solução geral de : Escrever, o conjunto de soluções de, ou seja, o conjunto dos vectores de que representam a soma de uma solução particular de com um vector do conjunto de soluções de. 10

11 Ex.: 1 Determinação do número de variáveis livres de : * + * + 2 Resolução de : * + * + 3 Identificação de uma solução particular de : 11

12 4 Especificação da solução geral de : } } 12