INSTITUTO SUPERIOR DE GESTÃO

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1 INSTITUTO SUPERIOR DE GESTÃO INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR (Exercícios) ( Texto revisto para o ano lectivo 1- ) António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. / ISG

2 Recomendações 1. Fazer dez exercícios ou o mesmo exercício 1 vezes? Em regra obtém-se melhor rendimento executando várias vezes o mesmo exercício, com critério e sentido da descoberta, do que resolvendo vários exercícios com o obectivo enganador de acertar na solução.. Exercício feito, tarefa pronta? Rever criticamente a história da execução de um exercício melhora substancialmente a capacidade pessoal de identificação dos problemas e de arquitectar o plano de aplicação do ferramental técnico necessário (o quê ; quando ; como). A Programação Matemática apela ao engenho e arte de quem quer mesmo utilizá-la. 3. Sim ou não ao software da disciplina? O passado escolar ensina que o recurso intensivo ao software académico, desenhado especificamente para apoio do ensino desta disciplina, traduz-se rapidamente na melhoria do rendimento porque além de permitir exercitar a curiosidade intelectual (vertente fundamental) garante a obtenção rápida de respostas rigorosas e detalhadas para exercícios propostos pelo professor ou gizados pelo próprio aluno (aumento da produtividade).

3 Exercícios de PNL (5ª edição) 1. Métodos da Bissecção e do Gradiente 1.1. Calcular o Máximo livre de f(x) = - x 6-3x 4 + 1x pelo Método da Bissecção ( tolerância =.1) 1.. Calcular o Máximo livre de f(x) = -.5x 4 + x 3 - x + x pelo Método da Bissecção ( tolerância =.) 1.3. Calcular o Máximo livre de f(x 1,x ) = 4x 1 + 6x - x 1 - x 1 x - x pelo Método do Gradiente 1.4. Calcular o Máximo livre de f (x 1, x ) = x 1 x + x - x 1 - x pelo Método do Gradiente Calcular o Máximo livre de f (x 1, x ) = 8x 1 - x 1-1x - x + x 1 x pelo Método do Gradiente Calcular o Mínimo livre de f (x 1, x ) = x 1 x + x 1 + x - 4x 1 + 4x pelo Método do Gradiente Elabore um fluxograma do Método da Bissecção Fundamente e descreva o Método do Gradiente. geocities.com/ms_io 1-1

4 Exercícios de PNL (5ª edição). Método dos Multiplicadores de Lagrange.1. Descrever o Método dos Multiplicadores de Lagrange à luz do respectivo Teorema... Se (X,λ) são soluções das condições de Lagrange para um problema de PNL (maximização) só com restrições de igualdade, pode concluir-se que são todos pontos onde a função atinge o máximo?.3. Calcular pelo Método dos Multiplicadores de Lagrange: Max f(x 1,x ) = x 1 x + x 1 s.a. 4x 1 + x = 6.4. Deduza as condições de 1ª ordem para extremo de: Max f(x) s.a. x.5. Usando o Método dos Multiplicadores de Lagrange deduza as condições de 1ª ordem para extremo de: Max f(x) s.a. g(x) b.6. Calcular pelo Método dos Multiplicadores de Lagrange: Max f(x 1,x ) = 5x 1 - x 1 + 3x 1 x - x s.a. x 1 + x.7. Calcular pelo Método dos Multiplicadores de Lagrange: Max f(x 1,x ) = 3x 1 + x + x 1 x + 6x 1 + x s.a. x 1 - x = 4 O ponto óptimo é extremo global da função?.8. Calcular pelo Método dos Multiplicadores de Lagrange o extremo da função: Min f(x 1,x ) x 1 - x s.a. x 1 + x = 1 geocities.com/ms_io -1

5 Exercícios de PNL (5ª edição) 3. Programação Não Linear (alguns conceitos fundamentais) 3.1. Classifique e compare as soluções de modelos de PL e de PNL. 3.. A solução óptima de um modelo de PNL pode ser atingida em ponto da fronteira do convexo de soluções? 3.3. A solução óptima de um modelo de PNL pode ser atingida em ponto interior do convexo de soluções? 3.4. Em PNL o espaço de solução pode não ser convexo? 3.5. Partindo das respostas ás 4 questões anteriores, aponte as principais diferenças entre soluções de PL e PNL Considere o modelo de PNL: Max f(x 1, x,.... x n ) s.a. g 1 (x 1, x,.... x n ) (, =, ) b 1 g (x 1, x,.... x n ) (, =, ) b g m (x 1, x,.... x n ) (, =, ) b m Admitindo que o espaço de soluções é convexo em que circunstâncias pode afirmar-se que um máximo local da função-obectivo é solução óptima do modelo de PNL? 3.7. Apresente a matriz Hessiana da função f = (x x 1 x + x 4 ) 3.8. Considere a função não linear f(x 1, x,.... x n ) com segundas derivadas parciais contínuas no conunto S. Indique as condições a que deve obedecer a matriz Hessiana da função para poder concluir que esta é côncava Considere a função não linear f(x 1, x,.... x n ) com segundas derivadas parciais contínuas no conunto S. Indique as condições a que deve obedecer a matriz Hessiana da função para poder concluir que esta é convexa Uma empresa produz dois modelos M 1 e M da mesma máquina. As funções de procura são as seguintes: modelo M 1 : 15 - p 1 - p modelo M : - p 1-3p em que p 1 e p são os preços de venda de cada um dos modelos. Calcular os preços de venda que maximizam a receita Verificar se a função f= x 1 + x + x 3 - x 1 x - x x 3 - x 1 x 3 é convexa Considere a função quadrática f(x 1,x ) = x 1 x + 3x - x 1 - x a. Calcular o gradiente da função no ponto X 1 = (,3) T. b. Sendo f= 8 no ponto anterior, calcular o valor aproximado da função no ponto X = (.1,3.) T com uma série de Taylor. geocities.com/ms_io 3-1

6 Exercícios de PNL (5ª edição) Considerar a função quadrática anterior. Calcular o vector V resultante da diferença dos gradientes da função nos pontos X 1 e X do problema anterior recorrendo exclusivamente à matriz hessiana da função Considere a função f (x 1,x ) = 15x 1 + 3x - 4x 1 x - x 1-4x a. Apresentar a função na forma quadrática. 3- geocities.com/ms_io

7 Exercícios de PNL (5ª edição) 4. Condições de Karush-Kuhn-Tucker (condições KKT) 4.1. Deduza as condições KKT a partir da função de Lagrange: Max f(x 1,x ) = x 1 + 3x - x 1 - x s.a. x 1 + x Deduza as condições KKT a partir da função de Lagrange: Max f(x 1,x ) = x 1 + 3x - x 1 - x s.a. x 1 + x = Deduza as condições KKT a partir da função de Lagrange e calcule a solução óptima. Min f(x 1,x ) x 1 + x 1 + x - 4x + 5 s.a. x 1 - x - 1 x 1,x 4.4. Considere o seguinte problema de programação não linear : Max f(x 1,x ) = l n (x 1 +1) + x s.a. x 1 + x = 1 x 1, x a. Estabeleça as condições KKT b. Calcule a solução óptima Considere o seguinte problema de programação não linear : Max f(x 1,x ) x 1 + 3x - x 1 - x s.a. x 1 + x 4 x 1,x a. Demonstre que o problema é de programação convexa. b. Calcule a solução óptima pelo Método do Simplex modificado por Wolfe. c. Verifique geometricamente a solução calculada (a figura apresenta a proecção horizontal das curvas de nível da função). geocities.com/ms_io 4-1

8 Exercícios de PNL (5ª edição) 4.6. Considere o seguinte problema de programação não linear : Max f(x 1,x ) = 15x 1 + 3x + 4x 1 x - x 1-4x s.a. x 1 + x 3 x 1,x a. Demonstre que o problema é de programação convexa. b. Calcule a solução óptima pelo Método do Simplex modificado por Wolfe. c. Verifique geometricamente a solução calculada (a figura apresenta a proecção horizontal das curvas de nível da função) Considere o seguinte problema de programação não linear : Max f(x 1,x ) = l n (x 1 +1) - x s.a. x 1 + x 3 x 1, x a. Demonstre que o problema é de programação convexa. b. Estabeleça as condições KKT. c. Demonstre que o ponto de coordenadas (3,) é o ponto onde f(x 1,x ) atinge o máximo Considere o seguinte problema de programação convexa : Min f(x 1,x x 3 ) = x 1 + x 3 + x 3 s.a. x 1 + x + x 3 4 x (=1 a 3) a. Recorrendo ás condições KKT verifique se x 1 =1, x =1, x 3 =1 pode ser a solução óptima. 4- geocities.com/ms_io

9 Exercícios de PNL (5ª edição) 4.9. Descrever a solução óptima de Max f(x) para a x b recorrendo ás condições KKT sabendo que f (x) existe para qualquer valor no intervalo [ a,b ] Considere o seguinte problema de programação não linear : Min f(x 1,x ) = (x 1-1) + (x -) - 3(x 1 +x ) s.a. 4x 1 + x x 1 + 4x x 1, x a. Sabendo que o ponto óptimo X* não pertence à fronteira do convexo de soluções, calcule a solução óptima com base nas condições KKT. b. Verifique geometricamente a solução calculada (a figura apresenta a proecção horizontal das curvas de nível da função) Considere o seguinte problema de programação convexa : Min f(x 1,x ) = x 1 + x 1 + x 1 x + 4x s.a. x 1 + x 1 x 1 + x 1 x 1,x a. Calcule a solução óptima pelo Método do Simplex modificado por Wolfe. geocities.com/ms_io 4-3

10 Exercícios de PNL (5ª edição) 4.1. Considere o seguinte problema de programação não linear : Min f(x 1,x ) = x 1 + x s.a. x 1 + x = 1 x 1,x a. Demonstre que o ponto de coordenadas (1/3, /3) é o ponto onde f(x 1,x ) atinge o mínimo. b. Calcule a solução óptima pelo Método do Simplex modificado por Wolfe. c. Verifique geometricamente a solução calculada (a figura apresenta a proecção horizontal das curvas de nível da função) Considere o seguinte problema de PNL : Max f(x 1,x ) = 3x 1 + x s.a. x 1 + x 5 x 1 - x 1 a. Calcule a solução óptima recorrendo exclusivamente ás condições KKT Considere o seguinte problema de PNL : Max f(x) = x 1 s.a. x - (1 - x 1 ) 3 x 1,x a. Verifique que as condições KKT falham no ponto óptimo e explique porquê. 4-4 geocities.com/ms_io

11 Exercícios de PNL (5ª edição) Descreva o Método de Lemke (utilizado na Programação Quadrática.) Calcule a solução óptima do exercício 4.5 utilizando o Método de Lemke Calcule a solução óptima do exercício 4.6 utilizando o Método de Lemke Calcule a solução óptima do exercício 4.11 utilizando o Método de Lemke. geocities.com/ms_io 4-5

12 Exercícios de PNL (5ª edição) 5. Métodos de Frank-Wolfe e SUMT 5.1. Descreva e fundamente o método de Frank-Wolfe (direcções viáveis). 5.. Considere o seguinte problema de programação convexa : Min f(x 1,x ) = x 1-6x 1 + x 3-3x s.a. x 1 + x 1 x 1,x a. Determine a solução óptima pelo método de Frank-Wolfe Considere o seguinte problema de programação não linear: Max f(x 1,x ) = 15x 1 + 3x + 4x 1 x - x 1-4x s.a. x 1 + x 3 x 1,x a. Considere x 1 =5 e x =5 como ponto tentativa inicial. Efectue 3 iterações do método de Frank-Wolfe Considere o seguinte problema de programação não linear : Max f(x 1,x ) = 3x 1 - x x - x s.a. 3x 1 + x 7 x 1 - x 1 x 1,x a. Calcule a solução óptima recorrendo ao método de Frank-Wolfe, utilizando o programa distribuído (BL.EXE) Descreva e fundamente o método SUMT (Sequential Unrestricted Minimization Technique) Considere o seguinte problema de programação não linear : Max f(x 1,x ) = 3x 1 - x x - x s.a. 3x 1 + x 7 x 1 - x 1 x 1,x a. Calcule a solução óptima recorrendo ao método SUMT, utilizando o programa distribuído (BL.EXE). geocities.com/ms_io 5-1

13 Exercícios de PNL (5ª edição) 6. Modelos de Programação Não Linear 6.1. Uma empresa pretende iniciar a produção e venda de dois novos computadores A e B com preços de venda p1 e p respectivamente. A relação entre o número de computadores a produzir do tipo A e os preços de venda é a seguinte: x 1 = 4-1 p 1 + p Notar que se o preço de venda p 1 sobe 1 unidade o total da produção reduz-se em 1 computadores; se no computador do tipo B aumenta o preço de venda em 1 unidade, tal conduz à produção de mais um computador do tipo A. A relação entre o número de computadores a produzir do tipo B e os preços de venda é a seguinte: x = - 9p +.8 p 1 Das disponibilidades escassas indicam-se as necessidades para cada um dos tipos de aparelho: Mão de obra (horas) Chips Tipo A 3 Tipo B 3 1 Disponibilidade 5 45 a. Calcular o Plano Óptimo de Produção ( e respectivos preços de venda) recorrendo ás condições KKT. b. Indicar o contributo interno de 1 hora adicional de mão de obra. c. Se a empresa decidir não produzir e vender o stock de chips qual o preço a praticar? Justifique. 6.. Uma empresa pretende iniciar a produção e venda de três novos tipos de secretária A, B e C com preços de venda respectivamente de p 1,p e p 3 para o que pode disponibilizar, mensalmente, 15 horas/máquina e 8 horas de mão de obra. As relações entre nível da produção e preços de venda são as seguintes: nível da produção de A = 18 - p 1 nível da produção de B = 9 + 1/3 p 1 - p nível da produção de C = 13 - p 3 Os consumos por unidade produzida são os seguintes: Tipo Horas/máquina Mão de obra (horas) A.3.4 B.4 1 C.6.7 Os preços unitários de produção são, respectivamente, 5, 1 e 9 u.m. a. Apresentar o modelo de PNL para calcular o Plano Óptimo de Produção Uma empresa tem disponíveis T horas de trabalho e C unidades monetárias sendo seu obectivo produzir T /3.C 1/3 máquinas. O custo a suportar por hora de trabalho é de u.m. sendo de 1 u.m. por cada unidade de capital aplicado. Disponibilizando 3 u.m. para a produção quantas máquinas podem ser produzidas? geocities.com/ms_io 6-1

14 Exercícios de PNL (5ª edição) 6.4. Considere-se que no problema anterior se pretende produzir apenas 6 máquinas. Calcular o capital mínimo a disponibilizar para a produção Uma empresa produz a mesma máquina em Portugal e Espanha. Se aplicar x 1 unidades monetárias na promoção em Portugal a previsão de vendas é de 6x 1/ 1. Se aplicar x unidades monetárias na promoção em Espanha a previsão de vendas é de 4x 1/. O lucro unitário é de 5 u.m. nos dois países. a. Dispondo de 1 u.m. para promoção como pode a empresa maximizar o lucro? b. Qual é o aumento de lucro associado ao aumento de 1 u.m. para promoção? 6.6. Uma empresa tem clientes para o mesmo produto "A". Se produzir x 1 unidades para o cliente X, o preço de venda é de 7-4x 1 u.m. ; se produzir x unidades para o cliente Y, o preço de venda é de 15-15x u.m.. Para produzir P unidades tem um custo de P (P>). Quantas unidades produzir para cada um dos clientes? 6- geocities.com/ms_io

15 INSTITUTO SUPERIOR DE GESTÃO INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR (Soluções dos exercícios) ( Texto revisto para o ano lectivo 1- ) António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. / ISG

16 Controlo da Tentativa Inicial Método da Bissecção OK. df/dx em A é Positiva 1 OK FUNÇÃO OK. df/dx em B é Negativa -468 Coeficientes Tolerância OK Var. Coef.,1 x 6 - x 5 Pontos Tentativa SOLUÇÃO x 4-3 A B x 3,, f(x) = 7, EXTREMO ÓPTIMO x 1,8815 Const. ABCISSA, x,84375 Esq(Dir) Dir(Esq) Médio ÁREA DE CÁLCULO Ponto "a" Ponto "b" M OK? Valor f( M ) K (df/dx)m Lado de,, 1, Não 7, 1-1, b, 1,,5 Não 5,7815 1,13 a,5 1,,75 Não 7, ,9 a,75 1,,875 Não 7, ,19 b,75,875,815 Não 7, ,31 a,815,875,84375 Não 7, ,34 b,815,84375,8815 Não 7, ,51 a,8815,84375, Sim 7, Book Bissec.xls. Sheet Sol. 1.1 Analise o gráfico da função: geocities.com/ms_io 1-1

17 1.. Controlo da Tentativa Inicial Método da Bissecção OK. df/dx em A é Positiva, OK FUNÇÃO OK. df/dx em B é Negativa -4,14 Coeficientes Tolerância OK Var. Coef., x 6 x 5 Pontos Tentativa SOLUÇÃO x 4 -,5 A B x 3 1,,4 f(x) =, x - EXTREMO ÓPTIMO x,975 Const. ABCISSA, ,15 Esq(Dir) Dir(Esq) Médio ÁREA DE CÁLCULO Ponto "a" Ponto "b" M OK? Valor f( M ) K (df/dx)m Lado de,,4 1, Não, ,1 b, 1,,6 Não,6636,46 a,6 1,,9 Não, ,1 a,9 1, 1,5 Não, ,5 b,9 1,5,975 Não, ,3 a,975 1,5 1,15 Não, ,1 b,975 1,15,99375 Sim, Book Bissec.xls Sheet Sol. 1. Analise o gráfico da função: 1- geocities.com/ms_io

18 1.3. Considerando como ponto tentativa inicial X = (1,1) e a tolerância de.1, da aplicação do Método do Gradiente resulta o seguinte: Quadro 1 - Determinação das coordenadas de X k+1 em ordem ao parâmetro t Ponto Tentativa X Gradiente em X Abcissa de X k+1 Ordenada de X k+1 Iter. x 1 x x 1 x a bt c dt Book Gradient.xls Sheet 1.3 Na iteração 9 as derivadas parciais de f(x 1,x ) têm valor absoluto inferior à tolerância.1 (termina processo iterativo). Solução : x 1 = ; x = ; f (x 1, x ) = Nota: A solução exacta é x 1 = 1/3 ; x = 4/3 ; f(x 1,x ) = 14/3. Para cada uma das iterações foi organizada a função f (x 1,x ) com x 1 e x parametrizados e calculado o seu máximo. Os resultados obtidos são apresentados no quadro seguinte: Quadro - Determinação do valor óptimo t * onde f (x 1,x ) atinge o máximo Iter. t t Constante t* (óptimo) Valor de f(x 1, x ) Book Gradient.xls Sheet 1.3 geocities.com/ms_io 1-3

19 Nas figuras seguintes apresentam-se o gráfico da função e a proecção horizontal das curvas de nível da função. f(x 1, x ) x x 1 x Máximo x geocities.com/ms_io

20 1.4. Considerando como ponto tentativa inicial X = (.1,.1) e a tolerância de.1, da aplicação do Método do Gradiente resulta o seguinte: Quadro 1 - Determinação das coordenadas de X k+1 em ordem ao parâmetro t Ponto Tentativa X Gradiente em X Abcissa de X k+1 Ordenada de X k+1 Iter. x 1 x x 1 x a bt c dt Book Gradient.xls Sheet 1.4 Na iteração 1 as derivadas parciais de f(x 1,x ) têm valor absoluto inferior à tolerância.1 (termina processo iterativo) Solução : x 1 =.9977 ; x = ; f (x 1,x ) = Nota : A solução exacta é x 1 = 1 ; x = 1 ; f(x 1,x ) = 1. Para cada uma das iterações foi organizada a função f (x 1,x ) com x 1 e x parametrizados e calculado o seu máximo. Os resultados obtidos são apresentados no quadro seguinte. Quadro - Determinação do valor óptimo t * onde f (x 1, x ) atinge o máximo Iter. t t Constante t* (óptimo) Valor de f(x 1, x ) Book Gradient.xls Sheet 1.4 geocities.com/ms_io 1-5

21 Nas figuras seguintes apresentam-se o gráfico da função e a proecção horizontal das curvas de nível da função. f(x 1,x ) x x 1 Máximo 1-6 geocities.com/ms_io

22 1.5. Considerando como ponto tentativa inicial X = (.1,.1) e a tolerância de.1, da aplicação do Método do Gradiente resulta o seguinte: Quadro 1 - Determinação das coordenadas de X k+1 em ordem ao parâmetro t Ponto Tentativa X Gradiente em X Abcissa de X k+1 Ordenada de X k+1 It x 1 x x 1 x a bt c dt 1,1,1 8, -1,,1 8,,1-1, 1, ,1133,3469,7656 1,61563,3469 -,1133, ,7891 -,1969,8,1858 1,7891,8 -,1969, , ,166,1957, ,73636,1957 -,166, , ,1464,17835, ,76458, ,1464, ,7936 -,1975,15979,997 1,7936, ,1975, , ,11533,144,885 1,81346,144 -,11533, , ,175,1697,7853 1,83376,1697 -,175, ,8516 -,9171,11335,77 1,8516, ,9171,77 1 1, ,8199,1135,664 1,86734,1135 -,8199, , ,7343,976,569 1,88119,976 -,7343, ,8934 -,6587,814,53 1,8934,814 -,6587, ,9439 -,599,734,4514 1,9439,734 -,599, ,9149 -,539,6563,456 1,9149,6563 -,539, ,981 -,4771,5897,3644 1,981,5897 -,4771, ,9353 -,494,537,38 1,9353,537 -,494, , ,3864,4777,95 1,93747,4777 -,3864, ,9437 -,3478,499,657 1,9437,499 -,3478, , ,313,3869,391 1,94935,3869 -,313,391 1, ,8,3488,156 1,95434,3488 -,8, , ,544,3145,1944 1,95883,3145 -,544,1944 1,9689 -,94,835,175 1,9689,835 -,94, , ,68,556,158 1,96654,556 -,68, , ,1864,34,144 1,96984,34 -,1864, ,9776 -,1683,81,186 1,9776,81 -,1683, ,9754 -,15,1879,1161 1,9754,1879 -,15, , ,1373,1697,149 1,97779,1697 -,1373, , ,14,153,947 1,97994,153 -,14, , ,1119,1384,855 1,98189,1384 -,1119, , ,111,149,77 1,98365,149 -,111, ,9853 -,913,118,697 1,9853,118 -,913, , ,84,119,63 1,98666,119 -,84, , ,744,9,569 1,98796,9 -,744,569 Book Gradient.xls Sheet 1.5 Na iteração 33 as derivadas parciais de f(x 1,x ) têm valor absoluto inferior à tolerância.1 (termina processo iterativo) Solução : x 1 = ; x = ; f (x 1,x ) = 19, Nota : A solução exacta é x 1 = ; x = - ; f(x 1,x ) = Para cada uma das iterações foi organizada a função f (x 1,x ) com x 1 e x parametrizados e calculado o seu máximo pelo método da Bissecção. geocities.com/ms_io 1-7

23 Nas figuras seguintes apresentam-se o gráfico da função e a proecção horizontal das curvas de nível da função. f(x 1, x ) x x 1 Máximo 1-8 geocities.com/ms_io

24 1.6. Considerando como ponto tentativa inicial X = (,) e a tolerância de.1, da aplicação do Método do Gradiente, na função simétrica, resulta o seguinte: Quadro 1 - Determinação das coordenadas de X k+1 em ordem ao parâmetro t Ponto Tentativa X Gradiente em X Abcissa de X k+1 Ordenada de X k+1 Iter. x 1 x x 1 x a bt c dt Book Gradient.xls Sheet 1.6 Na iteração 3 as derivadas parciais de -f(x 1,x ) têm valor absoluto inferior à tolerância.1 (termina processo iterativo) Solução : x 1 = ; x = ; f (x 1,x ) = Nota :Para cada uma das iterações foi organizada a função -f (x 1,x ) com x 1 e x parametrizados e calculado o seu máximo. Os resultados obtidos são apresentados no quadro seguinte: Quadro - Determinação do valor óptimo t * onde f(x 1,x ) atinge o máximo Iter. t 4 t 3 t t Constante t* (óptimo) Valor de f(x 1, x ) Book Gradient.xls Sheet 1.6 geocities.com/ms_io 1-9

25 Nas figuras seguintes apresentam-se o gráfico da função e a proecção horizontal das curvas de nível da função. f(x 1,x ) x x geocities.com/ms_io

26 1.7. O método da bissecção determina a abcissa do extremo de uma função monovariável no intervalo [a,b]. Fluxograma do método: Fixar tolerância ε Escolher pontos-tentativa "a" e "b" tal que: f (a).f (b) < (por exº f (a) > e f (b) < ) m = a + b f (m) =? Sim Não f (m) >? Sim a = m Não b = m Não a - b ε? Sim Abcissa óptima = m Fim A figura seguinte visualiza os pontos a, b e m da primeira iteração: 1ª Hipótese Reduzir intervalo com a = m ª Hipótese Reduzir intervalo com b = m f(x) f(x) a m b a m b geocities.com/ms_io 1-11

27 1.8. Aspectos essenciais que fundamentam o método: 1. O valor do gradiente da função num ponto X k, indica a direcção e sentido de crescimento da função naquele ponto.. O vector-gradiente, no ponto X k, é perpendicular à curva de nível da função a que pertence X k e indica a direcção e sentido de maior aumento da função o que não deve ser confundido com caminho mais curto para atingir o extremo desta (ver figura) Max 1.5 X 1 X No ponto X k, conhecendo a direcção e sentido de maior aumento da função, é necessário calcular o tamanho do deslocamento (passo) para atingir o ponto X k+1 de coordenadas: X k+1 = X k + p f Xk onde a função tem o seu maior valor naquela direcção e sentido(ver figura). Com as coordenadas de X k+1 expressas em função de p : coloca-se f(x) em ordem a p (dispõe-se de uma função monovariável h(p) para maximizar); pelo método da bissecção calcula-se o valor óptimo de p ; calculam-se as coordenadas de X k+1 por substituição de p. 4. Em X k+1 calcula-se o valor do gradiente da função ( que se sabe ser nulo no óptimo) e compara-se com a tolerância fixada. Se satisfaz é interrompido o cálculo (regra de paragem) repetindo-se o procedimento descrito no caso contrário. 1-1 geocities.com/ms_io

28 Fluxograma do Método do Gradiente: Escolher ponto-tentativa X k Calcular f em X k X k+1 = X k + p f Xk Construir h(p) = f(x k+1 ) Max h(p) por bissecção (obter valor óptimo de "p") Calcular X k+1 Calcular f em X k+1 f Xk+1 Tolerância? Sim Fim Não X k = X k+1 geocities.com/ms_io 1-13

29 . Solução dos Exercícios de PNL.1 Teorema dos multiplicadores de Lagrange Dado o problema de PNL: Max f (X) s.a. f i (X) = (i = 1,..., m) se : X * é um máximo local, e n > m ( há mais variáveis do que restrições), e f i têm primeiras derivadas parciais contínuas em ordem a x, e os gradientes f i (X * ) são vectores linearmente independentes, então há um vector λ = [ λ 1, λ,...,λ m ] T tal que : m * * f ( X ) λ f ( X ) = i= 1 i i em que: - λ 1, λ,..., λ m são denominados multiplicadores de Lagrange; - a condição da independência linear de f i (X * ) é denominada restrição de qualificação. O teorema sugere o seguinte método para resolver problemas de PNL só com restrições de igualdade: Verificar se n > m e se todas as f i têm derivadas parciais contínuas Considerar a Função de Lagrange : L( X, λ) = f ( X ) λ f ( X ) m i= 1 i i Calcular todas as soluções (X *, λ * ) para o sistema de equações algébricas não lineares: m L( X, λ) = f ( X ) λ f ( X ) = ( n equações) i= 1 i i L( X, λ) λ i = f ( X ) = ( i = 1,..., m) ( m equações) i Estas equações representam as condições de Lagrange sendo os pontos (X,λ) os pontos de Lagrange. Analisar cada uma das soluções (X *, λ * ) para verificar se é maximizante.. A resposta é negativa pois que o teorema não garante que as soluções das condições de Lagrange são pontos óptimos (onde a função-obectivo atinge o máximo) ou mesmo que seam pontos de estacionaridade; o que o teorema garante é que qualquer ponto onde não se verifiquem as condições de Lagrange não é garantidamente ponto-óptimo. Resumindo, as condições de Lagrange são condição necessária para uma solução ser considerada óptima mas não são condição suficiente excepto no caso de solução única em que pode concluir-se imediatamente que a mesma é óptima. geocities.com/ms_io -1

30 .3 1. n= e m=1 portanto tem-se n > m O gradiente da restrição é: f 1 = 4 pelo que f i / x é contínua.. Construir a função Lagrangeana: L (x 1,x,λ) = f(x 1,x ) - λ ( 4x 1 + x - 6 ) = x 1 x + x 1 - λ ( 4x 1 + x - 6 ) (Notar que sendo ( 4x 1 + x - 6 )= maximizar L é maximizar a função-obectivo) 3. Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem, igualar a zero e resolver o sistema de equações: L / x 1 = x + - 4λ = x 1 = 8 L / x = x 1 - λ = x = 14 L / λ = -4x 1 - x + 6 = λ = 4 A solução que satisfaz as condições de Lagrange é única pelo que é óptima (Max f = 18): X = 8 e λ= 4 14 A figura seguinte apresenta a proecção horizontal das curvas de nível da função. x Ponto Óptimo 1 5 f = x 1 - geocities.com/ms_io

31 .4 Sendo a variável não negativa as situações possíveis são: 1ª Situação ª Situação f(x) Max f(x) Max ou x x df/dx = df/dx = x > x = 3ª Situação f(x) Max Max df/dx < x = x A não negatividade das variáveis independentes, determina as seguintes condições de 1ª ordem para um ponto maximizante (extremo condicionado): df/dx x (df/dx) = Naturalmente para f( x 1,x,...,x n ) com x 1,x,...,x n tem-se: f / x ( =1 a n ) x ( f / x ) = geocities.com/ms_io -3

32 .5 Considere-se o modelo na forma: Max f(x) s.a. g(x) + s = b s A função Lagrangeana é: L = f(x) - λ [(g(x) + s - b)] Atendendo a que s é variável não negativa, as condições de 1ª ordem para extremo de L (x,λ) são: L / x = L / s s ( L / s) = L / λ = (notar que L / λ = -g(x) - s + b = Notar que: ( L / s) = -λ o que implica: λ (multiplicador de Lagrange deve ser não negativo) s (-λ ) =. Como -s = g(x) - b resulta: λ[ g(x) - b)] = (note que λ é complementar da variável de folga da restrição pelo que é a variável Dual associada...).6 Verificação da concavidade da função: f = f / x 1 = 5-4x 1 + 3x f / x 3x 1-4x H f = f / x 1 f / x 1 x = -4 3 f / x x 1 f / x 3-4 Na matriz Hessiana os menores principais H k com k=1, são: H 1 = -4 e -4 (diagonal principal) ; H = (-4)(-4) - (3)(3) = 7 Como os determinantes têm o sinal de (-1) k (são respectivamente negativo e positivo) a matriz é Definida Negativa podendo concluir-se que a função é côncava. A função Lagrangeana é: L = 5x 1 - x 1 + 3x 1 x - x - λ ( x 1 + x + s - ) As condições a satisfazer pelo extremo (ver problema.5) são: L / x 1 = 5-4x 1 + 3x - λ = (1) L / x = 3x 1-4x - λ = () L / s -λ (3) s ( L / s) = - sλ = (4) L / λ = -x 1 -x -s + = (5) Estas condições podem tomar a forma mais simples: -4 geocities.com/ms_io

33 5-4x 1 + 3x - λ = (1) 3x 1-4x - λ = () λ ( x 1 + x - ) = (3) λ ; s (4) (Notar a condição de não negatividade do multiplicador λ ) Se λ = tem-se de (1) e () x 1 = /7 e x = 15/7 que não satisfaz x 1 + x + s = com s pelo que se conclui que λ. Para λ então em (3) tem-se x 1 + x = ou sea x 1 = - x Substituindo em (1) e () tem-se: x + 3x - λ = e 6-3x - 4x - λ = que permite calcular x = 9/14 e λ = 3/. Em (1) ou () tem-se x 1 = 19/14. O ponto ( 19/14, 9/14 ) é o ponto óptimo onde Max f(x 1,x ) = 137/8. Nas figuras seguintes apresentam-se o gráfico da função e a proecção horizontal das curvas de nível da função. 5 f(x 1,x ) x x A matriz Hessiana é: geocities.com/ms_io -5

34 H f = f / x 1 f / x 1 x = 6 f / x x 1 f / x Como os determinantes menores principais (1ª e ª ordem) são positivos a matriz é Definida Positiva podendo concluir-se que a função é convexa. A função Lagrangeana é: L = 3x 1 + x + x 1 x + 6x 1 + x - λ ( x 1 - x - 4 ) As condições a satisfazer pelo extremo são: L / x 1 = 6x 1 + x λ = (1) L / x = x + x λ = () L / λ = -x 1 + x + 4 = (3) A solução do sistema de equações é x 1 = 7/11 ; x = -3/11 ; λ = 4/11. Porque a função é convexa só se pode concluir que foi atingido um ponto de estacionaridade. -6 geocities.com/ms_io

35 Nas figuras seguintes apresentam-se o gráfico da função e a proecção horizontal das curvas de nível da função. 8 6 f(x 1,x ) 4 - x x geocities.com/ms_io -7

36 .8 A função-obectivo é linear (côncava e convexa) A função Lagrangeana é: L = x 1 - x - λ ( x 1 + x - 1 ) As condições a satisfazer pelo extremo são: L / x 1 = 1 - λx 1 = (1) L / x = -1 - λx = () L / λ = -x 1 - x + 1 = (3) Do sistema calcula-se λ = ± 1 pelo que há soluções: 1. x1 = ; x = ; λ = ; f = x1 = ; x = ; λ = ; f = Da sua análise verifica-se que o valor óptimo da função é atingido no primeiro destes pontos: x1 = ; x = ; Min f = A figura seguinte esclarece a situação: Ponto óptimo x 1 (-f) 1 x 1-8 geocities.com/ms_io

37 As soluções de um modelo de PL podem ser agrupadas do seguinte modo: não admissível ou admissível com valor óptimo finito atingido no ponto óptimo ou admissível com valor óptimo ilimitado Na Programação Não Linear são possíveis as 3 situações e uma 4ª hipótese: admissível com valor limitado para a função-obectivo mas não há ponto óptimo Vea-se por exemplo Min f = 1/x com x que tem pontos admissíveis sendo zero o maior limite inferior do valor da função-obectivo. Contudo este limite nunca é atingido em ponto admissível pelo que não há ponto óptimo. geocities.com/ms_io 3-1

38 3. É possível como o exemplo seguinte demonstra: Minimizar f(x 1,x ) = (x 1-4) + (x - 4) s.a. x 1 + 3x 6-3x 1 - x - 1 x 1, x A solução óptima é x 1 =8/13, x =36/13 e Min f= 64/13. As figuras mostram que, no convexo de soluções, o Ponto óptimo NÃO É EXTREMO (o que não se passa em Programação Linear). f(x 1,x ) x x Min Livre Min Condicionado 3- geocities.com/ms_io

39 3.3 É possível como o exemplo seguinte demonstra: Minimizar f(x 1,x ) = (x 1-4) + (x - 4) s.a. x 1 + x 5 -x 1-5 -x -1 x 1,x A solução óptima é x 1 = 4, x = 4 e Min f=. As figuras mostram que, no convexo de soluções, o Ponto óptimo É INTERIOR ( o que não se passa em Programação Linear). f(x 1,x ) x x Min Condicionado geocities.com/ms_io 3-3

40 3.4 É possível como o exemplo seguinte demonstra: Max f (x 1,x ) = x 1 + x s.a. -x 1 + 4x 1 - x x 1 + 3x 1 x 1, x Nota: O espaço de solução não é convexo ( conuntos : áreas I e II ). Na área I, é no ponto P que a função tem maior valor. Vea-se que tal é apenas máximo local pois na área II a função tem maior valor em qualquer ponto. 4 P -x 1 + 4x 1 - x = 3 I x 1 + 3x = 1 1 f II CONCLUSÕES SOBRE DIFERENÇAS ENTRE PNL E PL : Em PNL, qualquer ponto do espaço de solução pode ser óptimo. A procura do ponto óptimo não pode ficar limitada aos extremos como na PL. O número de restrições técnicas saturadas, no óptimo, pode ser nulo. (ver problema 3.3 onde nenhuma restrição é satisfeita como igualdade). O deslocamento contínuo numa dada direcção pode não conduzir a valores crescentes (ou decrescentes) da função-obectivo ao contrário do que se verifica na PL. O espaço de solução pode não constituir um conunto convexo (ver problema 3.4). Um óptimo local pode não ser um óptimo global ( ver problema 3.4). 3.6 Só no caso de f(x) ser côncava ou sea, no conunto de soluções S para qualquer par de pontos X e X do conunto S verifica-se: f(cx + (1-c)X cf(x ) + (1-c)f(X ) (1) para valores de c tal que c geocities.com/ms_io

41 A figura seguinte visualiza a situação para uma função monovariável: f(x) f(cx + (1-c)x )) C f(x ) cf(x )+ (1-c) f(x )) f(x ) A B D x cx + (1-c)x x x Nota: Coordenadas de B obtidas por combinação linear convexa dos extremo do segmento AD. Vea-se que a função é côncava porque se verifica a condição (1) o que geometricamente corresponde a que o segmento que une qualquer par de pontos da curva da função está sempre abaixo desta. 3.7 A matriz Hessiana de f(x 1, x,..., x n ) é uma matriz de ordem n em que cada elemento (i,) é igual a: x i x f Para a função proposta tem-se H = 6x 1 1x 3.8 A função é CÔNCAVA em S se e só se para qualquer ponto X S, os menores principais não nulos da matriz Hessiana têm o sinal de (-1) k sendo k a ordem do menor. 3.9 A função é CONVEXA em S se e só se para qualquer ponto X S, os menores principais da matriz Hessiana são positivos. 3.1 Considerando d 1 e d as funções da procura, o obectivo é Maximizar a função-obectivo f = p 1 d 1 + p d ou sea f= p 1 (15 - p 1 - p ) + p ( - p 1-3p ) = 15 p 1 - p 1 - p 1p + p - 3p. A matriz Hessiana é: sendo os seus menores principais: H 1 = -4 e -6 (ambos negativos) H = 4-4 = (positivo) pelo que a matriz é definida negativa, podendo concluir-se que a função-obectivo é Côncava. Anulando o gradiente da função tem-se: f = 15-4p 1 - p = p 1 = p = 5 u.m. com Max f= p p com d 1 = 75 e d = 1 (unidades) geocities.com/ms_io 3-5

42 A matriz Hessiana é: Os menores principais são : H 1 =,, 4 (positivos) H = 8-1 = 7 > H = 8-1 = 7 > H = 4-1 = 3 > H 3 = 6 > Dado que todos os menores principais de H são positivos a matriz é definida positiva pelo que a função é Convexa. 3.1 a. Sendo X 1 = (,3) o valor do gradiente neste ponto é: f = x - x 1 = x x 1 b. A função é quadrática pelo que a série de Taylor terá 3 termos: T 1 T f ( X ) = f ( X1 ) + X f X + X H X X = +[.. ] [.. ] [ ]. 1. = = V = f X f X = H X X =. 1 =. ( 1 1 ).. T 3.14 f = CX + 1 X H X x x 1 x 4 8 x 1 = [ 15 3] [ x1 x ] em que : C = matriz dos coeficientes das variáveis x ii, na função-obectivo H = matriz hessiana de f(x) X = vector coluna das variáveis de decisão 3-6 geocities.com/ms_io

43 4. Solução dos Exercícios de PNL 4.1 L (x 1,x, λ) = x 1 + 3x - x 1 - x - λ ( x 1 + x + s - 4) s.a. s O termo -λ ( x 1 + x + s - 4) é nulo pelo que maximizar a função L é maximizar a função proposta. As condições de 1ª ordem para extremo da função Lagrangeana são: L / x 1 = - x 1 -λ = L / x = 3 - x - λ = L / s -λ s( L / s) = s (-λ) = L / λ = -x 1 - x - s + 4 = As condições KKT são: 1ª condição: - x 1 -λ = 3 - x - λ = ª condição: Dado que -s = x 1 + x - 4 e que -sλ =, deduz-se a condição seguinte: λ(x 1 + x - 4) = 3ª condição: A restrição técnica do modelo x 1 + x - 4 4ª condição: λ 4. Nesta situação, dado que a restrição é do tipo = não é utilizada qualquer variável de folga pelo que a variável λ é livre. As condições KKT são: 1ª condição: - x 1 -λ = 3 - x - λ = ª condição: A restrição técnica do modelo x 1 + x - 4 = geocities.com/ms_io 4-1

44 4.3 Considerando s 1 e s variáveis de folga (não negativas) das primeira e segunda restrições técnicas, a função de Lagrange é: L (x 1,x,s 1,s,λ 1,λ ) = f(x 1,x ) - λ 1 ( x s 1 ) - λ ( x -1 + s ) Nesta situação é necessário atender à condição de não negatividade das variáveis x 1, x, s 1, s e ao ambiente de Minimização. Adoptando abordagem semelhante à exposta no problema.4, conclui-se que as condições de 1ª ordem para extremo são: L / x e x ( L / x ) = L / s i e s i ( L / s i ) = L / λ i = Da condição L / s i deduz-se λ i ( de facto λ i é a variável Dual associada à restrição i ; como as duas restrições são do tipo em ambiente de Minimização, as variáveis duais associadas são não positivas). Da condição s i ( L / s i ) = deduz-se λ i ( g i (x 1,x ) - b i ) =. As condições KKT são: (1) x λ 1 (1) () x 1 (x λ 1 ) = (3) x λ (1) (4) x (x λ ) = (5) x 1 - (6) λ 1 (x 1 - ) = (7) x - 1 (8) λ (x - 1) = (9) x 1, x (1) λ 1, λ Das condições de ortogonalidade tem-se: se λ i então g i (X) = e se g i (X) então λ i = Explorando uma das condições até estabelecer incompatibilidade (contradição) com as restantes condições será possível concluir se é nulo o multiplicador λ i ou g i (X) ou ambos. Deste modo como se vai concluindo quais as restrições activas e inactivas, as desigualdades KKT que se verificam como igualdades e os multiplicadores que são nulos a complexidade do problema reduz-se progressivamente. 4- geocities.com/ms_io

45 Tomando a condição (6) tem-se: x 1 - = x 1 - x 1 = λ 1 = λ 1 λ 1 = x 1 = x 1 Satisfaz (1),(),(5),(6),(9),(1) Em (): λ 1 = 6 Não admissível Em (): x 1 = -1 Contradição Em (): x 1 = -1 Não admissível 1ª Conclusão : x 1 = ; λ 1 = satisfaz as condições KKT. Tomando a condição (7) tem-se: x - 1 = x - 1 x = 1 λ = Em (4): λ = - λ λ = x = Satisfaz (3),(4),(7),(8),(9),(1) Em (4): x = Contradição Em (3) : -4. Falso x Em (4) x = Em (7) : 1. Falso ª Conclusão : x = 1 ; λ = - satisfaz as condições KKT. A solução x 1 = ; x = 1; λ 1 = ; λ = - satisfaz todas as condições KKT o que é suficiente para afirmar tratar-se da solução óptima. Acresce ainda que sendo Convexa a função proposta para optimizar em espaço Convexo (restrições são lineares) é condição necessária que a solução satisfaça integralmente as condição KKT. O ponto óptimo é pois x 1 = ; x = 1 sendo Min f =. Nota: Poder-se-ia ter optado por Maximizar a função simétrica -x 1 - x 1 - x + 4x - 5 com o que se obteria o ponto-solução : x 1 = ; x = 1 ; λ 1 = ; λ =. O multiplicador λ é agora não negativo porque a restrição associada é típica no ambiente de maximização. geocities.com/ms_io 4-3

46 As figuras seguintes apresentam o gráfico da função proposta, e a proecção horizontal das curvas de nível. f = Ponto óptimo 4.4 a. Substituindo a restrição de igualdade pelas desigualdades x 1 + x 1 e -x 1 - x -1 as condições KKT são : f x m λ g i i= 1 x i (1) () [1 / (x 1 + 1) ] - λ 1 (x 1 ) - λ (-x 1 ) 1 - λ 1 (x ) - λ (-x ) x g i f m gi ( λ i ) = x i= 1 x (3) (4) b (5) λ i g i b i i (6) ( ) = (7) (8) x 1 {[1 / (x 1 + 1) ] - λ 1 (x 1 ) - λ (-x 1 ) } = x [1 - λ 1 (x ) - λ (-x ) ] = x 1 + x x 1 - x + 1 λ 1 (x 1 + x - 1) = λ (-x 1 - x + 1) = λ i (9) λ 1, λ x (1) x 1, x 4-4 geocities.com/ms_io

47 b. De (1) deduz-se que λ 1 e x 1. De (3) deduz-se que λ 1 e x. Solução dos Exercícios de PNL Os multiplicadores λ 1 e λ são complementares pelo que λ =. De facto considerando a restrição na forma de igualdade seria utilizado apenas um multiplicador λ sem restrição de sinal que poderia ser considerado λ = λ 1 - λ com λ 1, λ. Ora nesta situação, verifica-se no óptimo, se existe, λ 1 λ =. Tem-se assim o sistema de equações: [1 / (x 1 + 1) ] - λ 1 x 1 = 1 - λ 1 x = x 1 + x - 1 = com solução x 1 = ; x = ; λ = ; Max f = As figuras seguintes apresentam o gráfico da função proposta, e a proecção horizontal das curvas de nível. Ponto óptimo 4.5 a. No problema proposto, o espaço S de soluções admissíveis é um conunto convexo pelo que se a função for côncava qualquer máximo local é solução óptima do problema. A Hessiana de f(x 1,x ) é a matriz quadrada de ordem : H= f / x 1 f / x 1 x = - f / x x 1 f / x - geocities.com/ms_io 4-5

48 A função f(x 1,x ) é côncava no espaço de solução S se e só se para qualquer par (x 1,x ) S, em H todos os menores principais diferentes de zero têm sinal de (-1) k sendo k a ordem do menor. Nota: O menor principal de ordem i de uma matriz quadrada de ordem n é o determinante de qualquer matriz de ordem i obtida quando se eliminam n-i linhas e as correspondentes n-i colunas da matriz. Na matriz H têm-se os menores principais: de ordem 1 : - e - (têm o sinal de -1 1 ) de ordem : (-)(-) - ()() = 4 ( tem o sinal de -1 ) pelo que H é uma matriz definida negativa, pelo que f(x 1,x ) é côncava. O problema é portanto de programação convexa : função côncava e espaço de soluções convexo. b. O método do Simplex modificado por Wolfe pode ser utilizado em programação convexa quadrática (caso do problema proposto) sendo necessário recorrer às condições KKT: (1) - x 1 - λ () x 1 ( - x 1 - λ ) = (3) 3 - x - λ (4) x (3 - x - λ ) = (5) x 1 + x - 4 (6) λ (x 1 + x - 4) = (7) x 1, x, λ Colocando as condições (1), (3) e (5) na forma de igualdade tem-se: x 1 + λ - e 1 = x + λ - e = 3 x 1 + x + s 1 = 4 Atendendo a que: -e 1 = - x 1 - λ, deduz-se da condição () que o produto x 1 e 1 =. -e = 3 - x - λ, deduz-se da condição (4) que o produto x e =. -s 1 = x 1 + x - 4, deduz-se da condição (6) que o produto λ s 1 = pode estabelecer-se a restrição de complementaridade x 1 e 1 + x e +λs 1 =. As condições KKT são equivalentes a : x 1 + λ - e 1 = x + λ - e = 3 x 1 + x + s 1 = 4 x 1 e 1 + x e + λ s 1 = (restrição de complementaridade) x 1, x, λ, e 1, e, s 1 Analisando a restrição de complementaridade verifica-se que não é linear e impõe: as variáveis e i, x i não podem ser simultaneamente positivas; 4-6 geocities.com/ms_io

49 a variável auxiliar (folga ou excedentária) da restrição i e λ i não podem ser simultaneamente positivas. O método Simplex modificado por Wolfe recorre ao 1º passo do Método dos Passos considerando a seguinte regra para calcular soluções que satisfaçam a restrição de complementaridade : não formar base em que as variáveis complementares e i, x i seam simultaneamente variáveis básicas positivas (na maior parte dos casos se uma é VB a outra não pode entrar para a base); não formar base em que a variável auxiliar (folga ou excesso) da restrição i e λ i (que são complementares) seam simultaneamente variáveis básicas positivas (na maior parte dos casos se uma é VB a outra não pode entrar para a base); No exemplo proposto, é necessário utilizar variáveis Artificiais nas duas primeiras restrições e Minimizar a sua soma executando o 1º passo do Método dos Passos: x 1 + λ - e 1 + A 1 = x + λ - e + A = 3 x 1 + x + s 1 = 4 Min f a = A 1 + A A 1, A Aplicando o método Simplex modificado por Wolfe tem-se: VB x 1 x λ e 1 e s 1 A 1 A VSM Obs. A λ não pode entrar para a A base (complementaridade com s s 1 ). Entra x 1 ou x. -f a f a x / 1/ 1 λ não pode entrar para a A base (complementaridade com s s 1 ). Entra x. -f a x 1-1 1/ 1/ -1/ 1 Entra λ. x / 1/ 1 A f a λ 1-1/4-1/4-1/4 1/4 1/4 1/4 Sol. óptima. x 1 1/4-1/4 1/4-1/4 1/4 5/4 x 1 1-1/4 1/4 1/4 1/4-1/4 3/4 -f a 1 1 Solução Óptima: x 1 = 3/4 ; x = 5/4 ; Max f(x 1, x ) = 5/8 geocities.com/ms_io 4-7

50 Nota: λ é a variável dual associada à restrição razão porque λs 1 = (complementaridade das folgas).neste caso a restrição está saturada. As figuras seguintes apresentam o gráfico da função proposta, e a proecção horizontal das curvas de nível. f(x 1,x ) x x 1 f=5/8 4.6 a. A Hessiana de f(x 1,x ) é a matriz quadrada de ordem : H= f / x 1 f / x 1 x = -4 4 f / x x 1 f / x 4-8 H 1 = -4 e -8 < Matriz H é Definida Negativa H = 16 > A função é Côncava O problema é de programação convexa porque: a função-obectivo é Côncava e diferenciável a função da restrição técnica é convexa e diferenciável ( restrição linear função côncava e convexa) 4-8 geocities.com/ms_io

51 b. Condições KKT: Solução dos Exercícios de PNL f x m λ g i i= 1 x i (1) () x - 4x 1 -λ(1) 3 + 4x 1-8x - λ() x g i f m gi ( λ i ) = x i= 1 x (3) x 1 [15 + 4x - 4x 1 -λ(1)] = (4) x [3 + 4x 1-8x - λ()] = b (5) x 1 + x -3 λ i i i i ( g b ) = (6) λ( x 1 + x -3) = λ i (7) λ x (8) x 1, x Para usar o método Simplex, estabelece-se o sistema de equações: 4x 1-4x + λ - e 1 + A 1 = 15-4x 1 + 8x + λ - e + A = 3 x 1 + x + s 1 = 3 x 1 e 1 + x e + λs 1 = (restrição de complementaridade) Min f a = A 1 + A x 1, x, e 1, e, s 1, λ, A 1, A Aplicando o método Simplex modificado por Wolfe tem-se: VB x 1 x λ e 1 e s 1 A 1 A VSM Obs. A Entra x (pode porque e é VNB) A s f a 1 1 -f a x -1/ 1 1/4-1/8 1/8 15/4 Entra x 1 (pode porque e 1 é VNB) A / 1 1/ 3 Notar que λ não é seleccionável pois s 1-1/ 1/4 1-1/4 45/ s 1 é VB e não sai da base por troca -f a / 1/ -3 com λ. x 1 1-1/4 1/8 1/ -1/8 45/4 Entra λ (pode porque s 1 é VNB) x 1 1/8-1/16 1/4 1/16 75/8 A 1 5/ -1-3/ /4 15/ -f a -5/ 1 3/4 1 1/4-15/ λ 1 -/5-3/1 -/5 /5 3/1 3 x 1 1-1/1 1/ /5 1/1-1/ 1 x 1 1/ -1/4 3/1-1/ 1/4 9 -f a 1 1 Solução óptima. Solução Óptima: x 1 = 1 ; x = 9 ; Max f(x 1, x ) = 7 geocities.com/ms_io 4-9

52 Nota: λ é a variável dual associada à restrição razão porque λs 1 = (complementaridade das folgas).neste caso a restrição está saturada. As figuras seguintes apresentam o gráfico da função proposta, e a proecção horizontal das curvas de nível. f(x 1,x ) x x 1 Ponto Óptimo a. A Hessiana de f(x 1,x ) é a matriz quadrada de ordem : H= f / x 1 f / x 1 x = -1/(x 1 +1) f / x x 1 f / x - H 1 < Matriz H é Definida Negativa H > Função Côncava 4-1 geocities.com/ms_io

53 O problema é de programação convexa porque: a função-obectivo é Côncava e diferenciável Solução dos Exercícios de PNL a função da restrição técnica é convexa e diferenciável ( restrição linear função côncava e convexa) b. Condições KKT: f x m λ g i i= 1 x i (1) () 1/(x 1 +1) -λ(1) -x - λ() x g i f m gi ( λ i ) = x i= 1 x (3) x 1 [1/(x 1 +1) -λ(1)] = (4) x [-x - λ() ] = b (5) x 1 + x -3 λ i g i b i i ( ) = (6) λ(x 1 + x -3) = λ i (7) λ x (8) x 1, x Verificação das condições KKT no ponto (3, ); (1) 1/(x 1 +1) -λ(1) 1/4 - λ λ 1/4 O.k. condição (7) () -x - λ() -λ λ O.k. condição (7) (3) x 1 [1/(x 1 +1) -λ(1)] = 3[(1/4) - λ] = λ = 1/4 O.k. condições (1),(),(3),(7) (4) x [-x - λ() ] = = O.k. (5) x 1 + x O.k. (6) λ(x 1 + x -3) = 1/4(3-3) = = O.k. (7) λ Verificada (8) x 1, x Verificada O problema é de programação convexa e as condições KKT verificam-se no ponto (3,) o que é condição necessária e suficiente para afirmar que (3, ) é o ponto óptimo. geocities.com/ms_io 4-11

54 4.8 Considerando o modelo na forma: Max [-f(x)] = -x 1 - x 3 - x 3 s.a. -x 1 - x - x 3-4 x 1, x, x 3 as condições KKT são: f x m λ g i i= 1 x i (1) () (3) -+λx 1-3x +4λx -x 3 +λx 3 x f m gi ( λ i ) = x i= 1 x (4) (5) (6) x 1 (-+λx 1 ) = x (-3x +4λx ) = x 3 (-x 3 +λx 3 ) = g i b (7) -x 1 - x - x 3 +4 λ i g i b i i ( ) = (8) λ(-x 1 - x - x 3 +4)= λ i (9) λ x (1) x 1, x Verificação das condições KKT no ponto (1, 1, 1); (1) -+λx 1 -+λ λ 1 () -3x +4λx -3+4λ λ 4/3 (3) -x 3 +λx 3 -+λ λ 1 (4) x 1 (-+λx 1 ) = -+λ = λ = 1 Contradição nos valores de λ (5) x (-3x +4λx ) = -3+4λ = λ = 3/4 (6) x 3 (-x 3 +λx 3 ) = -+λ = λ = 1 (7) -x 1 - x - x 3 +4 (8) λ(-x 1 - x - x 3 +4) = (9) λ (1) x 1, x As condições KKT não se verificam no ponto (1, 1, 1) pelo que o ponto proposto não é o ponto-óptimo (notar que o problema é de programação convexa). 4-1 geocities.com/ms_io

55 4.9 No intervalo [ a, b ] tem-se, no óptimo, f ( a ), ou f (x) = ou f (b) como se pode verificar nas figuras seguintes: a a x b b O modelo proposto é: Max f(x) s.a. -x -a ou sea: Max f(x) x b s.a. -x + s 1 + a = x + s - b = s 1, s A função Lagrangeana é: L = f(x) - λ 1 ( -x + s 1 + a ) - λ ( x + s - b ) Não havendo condição de não negatividade para a variável x têm-se as condições de 1ª ordem para extremo: L (x) = ou sea f (x) + λ 1 - λ = L (s 1 ) = -λ 1 e s 1 [ L (s 1 ) ] = - λ 1 s 1 = (1) (porque s 1 é variável não negativa) L (s ) = -λ e s [ L (s ) ] = - λ s = () (porque s é variável não negativa) Sendo -s 1 = -x + a, substituindo em (1) fica : λ 1 ( -x + a ) = Sendo -s = x - b, substituindo em () fica : λ ( x - b ) = As condições obtidas são : (1) f (x) + λ 1 - λ = () λ 1 ( -x + a ) = (3) λ ( x - b ) = (4) λ 1 (5) λ Resta agora verificar se estas condições conduzem ás soluções possíveis anteriormente obtidas geometricamente : geocities.com/ms_io 4-13

56 λ 1 λ Condição Solução 1º caso f (x) = º caso > -x + a = x = a f (x) + λ 1 = f (a) = -λ 1 3º caso > x - b = x = b f (x) - λ = f (b) = λ 4º caso > > -x + a = x = a x - b = x = b Impossível porque a b Dado que as restrições são lineares se a função f(x) for Côncava então a solução óptima ocorre no ponto a ou b ou em ponto interior do intervalo. 4.1 O problema equivalente é: Max [-f(x 1,x )] = - (x 1-1) - (x -) + 3(x 1 +x ) s.a. 4x 1 + x x 1 + 4x x 1, x As condições KKT são: f x m λ g i i= 1 x i (1) () - x λ 1 - λ -x λ 1-4λ x f m gi ( λ i ) = x i= 1 x (3) (4) x 1 ( - x λ 1 - λ ) = x (-x λ 1-4λ ) = g i b (5) λ i g i b i i ( ) = (7) 4x 1 + x - (6) x 1 + 4x - λ 1 (4x 1 + x -) = (8) λ (x 1 + 4x -) = λ i (9) λ 1, λ x (1) x 1, x Se o ponto óptimo não pertence à fronteira do convexo de soluções então tem-se: em (7) 4x 1 + x < pelo que λ 1 é obrigatoriamente nulo porque é complementar da variável de folga. em (8) deduz-se que λ = pela mesma razão geocities.com/ms_io

57 Com λ 1 = λ = as condições KKT ficam reduzidas a: (1) - x () -x + 7 (3) x 1 ( - x ) = (4) x (-x + 7) = (5) 4x 1 + x - (6) x 1 + 4x - (1) x 1, x De (3) deduz-se x 1 = ou (5-x 1 ) =. Para x 1 = a condição (1) é violada pelo que (5-x 1 ) = ou sea x 1 =5/. De (4) deduz-se x = ou (-x +7) =. Para x = a condição () é violada pelo que (-x +7) = ou sea x =7/. Com x 1 = 5/ e x = 7/ todas as condições KKT são satisfeitas. A função maximizada é -f=5x 1 - x 1 - x + 7x - 5 que é côncava. As restrições técnicas são lineares pelo que o problema é de Programação Convexa situação em que as condições KKT são condição necessária e suficiente para x 1 = 5/ e x = 7/ ser garantidamente o ponto óptimo onde a função atinge o seu mínimo condicionado (Min f = -13.5). b Ponto Óptimo geocities.com/ms_io 4-15