Controle Robusto Tema: Análise e Controle via LMIs

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1 39548 Controle Robusto Tema: Análise e Controle via LMIs Seguimento de referência e restrições em sinais Prof. Eduardo Stockler Tognetti Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas Eletrônicos e de Automação (PGEA) Universidade de Brasília 2 o Semestre 214 E. S. Tognetti Rastreamento 1/13

2 Seguimento de referência Problema de rastreamento Seja a planta ẋ(t) = Ax(t)+B 2u(t)+B 1w(t) z(t) = C 2x(t)+D 12u(t)+D 22w(t) y(t) = C 1x(t)+D 22u(t)+D 21w(t) (1) Objetivo: A variável controlada z(t) deve seguir a referência r(t) Casos particulares: r(t) constante: z(t) r, t z(t) = x(t) x r(t) Medição da variável controlada: z(t) = y(t) y r(t) ou z(t) = Cy(t) O problema de rastreamento envolve o seguimento de trajetórias (servo-mecanismo), funções no tempo (rastreamento) e saída de sistemas dinâmicos (seguimento de modelo) E. S. Tognetti Rastreamento 2/13

3 Seguimento de referência Referência constante: realimentação de estados Seja o problema de z(t) seguir uma referência r constante (entrada degrau) ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) z(t) = C zx(t)+d zu(t) x R nx, z R nz, u R nu Em regime estacionário x(t) x eq e u(t) u eq quando t [ ][ ] [ ] { = Ax eq +Bu eq A B xeq xeq = Fr =, r = C zx eq +D zu eq C z D z u eq r u eq = Nr } {{ }} {{ } }{{} Ψ ξ eq ρ Casos: n u = n z ξ eq = Ψ 1 ρ Ψ 1 a menos que G uz(s) tenha zero na origem Sobre atuado: n u > n z ξ eq = Ψ (ΨΨ ) 1 ρ Sub-atuado: n u < n z solução só existe para valores específicos de r (ρ R{Ψ}) E. S. Tognetti Rastreamento 3/13

4 Seguimento de referência Referência constante: realimentação de estados Definindo tem-se z = z r, ũ = u u eq, x = x x eq x = A x +Bũ +(Ax eq +Bu eq), z = C z x +D zũ +(C zx eq +D zu eq r) } {{ } } {{ } Lei de controle ũ = K x { x = (A+BK) x = A mf x u = K(x x eq)+u eq No equiĺıbrio: = K(x Fr)+Nr = Kx +(N KF)r = Kx +K 2r x eq = A 1 mf BK 2r z = ( C mfa 1 mf B +D z)k 2r ou z = (C z +D zk) x = C mf x {ẋ = Amfx +BK 2r z = C mfx +D zk 2r K 2 = ( C mfa 1 mf B +D z) 1 = G mf() 1 E. S. Tognetti Rastreamento 4/13

5 Seguimento de referência Referência constante: realimentação de saída Seja o problema de z(t) seguir uma referência r constante (entrada degrau) ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) z(t) = C zx(t)+d zu(t) y(t) = Cx Estimador LQG: Sistema em malha fechada, x ˆx x eq, Lei de controle: ˆx = (A LC)ˆx +Bu +Ly u = K(ˆx x eq)+u eq = Kˆx +K 2r = (A LC BK)ˆx +BKx eq +Bu eq +Ly x = (A LC BK) x L(y Cx eq ) }{{} u = K x + u eq }{{} CFr Nr Sistema aumentado, e x ˆx, [ẋ ] [ ][ A BK BK x = ė A LC e z = [ C z D zk D zk ][ x e ] + [ ] BK2 r ] +D zk 2r E. S. Tognetti Rastreamento 5/13

6 Controle com ação integral Lei de controle u = Kx +K 2r não é robusta à incertezas de modelo ou distúrbios de entrada persistentes erro de regime estacionário Considere o problema de z(t) ser medido (z(t) = y(t) ou z(t) = Ey(t)) e seguir uma referência r constante (entrada degrau) Sistema: Estado adicional ẋ I = r z e lei de controle {ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t)+B1w(t) u= (Kx +K z(t) = C 2x I) = [ [ ] ] x K K 2 zx(t) } {{ } x I K Sistema aumentado: [ẋ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] A x B B1 w = + u +, z = [ C ẋ I C z x I I r z ] [ ] x } {{ } x I }{{} } {{ }}{{} }{{} } {{ }}{{} }{{} C ξ à ξ B B 1 r ξ Projetando a lei de controle u = Kξ tal que à mf = à B K seja estável, em regime estacionário tem-se ξ = à 1 mf B 1 r ẋ I = r z = z = r, t Obs.: caso x não seja medido usar observador para estimar o estado: x ˆx Obs.: LQI: minj = (ξ Qξ +u Ru +2ξ Su)dt,R >,Q SR 1 S E. S. Tognetti Rastreamento 6/13

7 Controle com ação integral Seja o modelo: {ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t)+Bw(t) y(t) = Cx(t) deseja-se { y(t) r(t) (constante) rejeitar w(t) (constante) É possível escolher a lei de controle u= K x K 2x I = [ ] [ ] x K K 2 +KFr x I [ ] F = [ A I B C r C r : y r = C rx = r em que x = x x r, x r = Fr, ẋ I = r z (r(t) constante) Sistema aumentado em malha fechada ] 1 [ ] I [ẋ ] [ ] [ ] A B [ ] [ ] [ ][ ] x B1 BKF w = K K2 + ẋ I C z } {{ } x I I r }{{} } {{ } }{{} }{{} } {{ }}{{} K ξ à B ξ B 1 r Projetando K tal que à mf = à B K seja estável, em regime estacionário tem-se ξ = à 1 B mf 1 r ẋ =, ẋ I = r z =, z = r, t E. S. Tognetti Rastreamento 7/13

8 Controle com ação integral Sinal de referência polinomial Considere o problema de y(t) r(t), t, em que r(t) = α +α 1t + +α d 1t d 1 Definindo e = y r e os seguintes estados adicionais q 1 = e, q 2 = q 1,, q d = d d 1 tem-se o sistema aumentado ξ = Ãξ + Bu + B 1r ξ = [ ] A x q 1, q d B = [ B ] C, B 1 = [ 1 ] Ã = 1, Lei de controle u = Kξ erro estacionário nulo pois ξ (d+1) = (Ã+ BK)ξ (d+1) ξ (d) q (d) = y r, t Também é possível usar o estado estimado para realimentação & tratar caso incerto em que A A(α) E. S. Tognetti Rastreamento 8/13

9 Seguimento de modelo de referência com rejeição de distúrbio Considere o sistema abaixo e um dado modelo de referência {ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t)+Bww(t) y(t) = Cx(t)+Du(t) {ẋr(t) = A rx r(t) y r(t) = C rx r(t)+r(t) Problema: projeto de lei de controle u = K 1x +K 2x r tal que y(t) y r(t) ou e(t) = y(t) y r(t) menor possível segundo algum critério (ex.: e < γ w, w = [w r ], w L 2[, )) Sistema aumentado em que [ x ξ = x r ], w = [ ] w, Ã = r ξ = Ãξ + B w e = Cξ [ A+BK1 BK 2 A r C = [ C +DK 1 C r +DK 2 ], ], B = [ ] Bw, I E. S. Tognetti Rastreamento 9/13

10 Seguimento de modelo de referência com de rejeição de distúrbio Considere o sistema abaixo e um dado modelo de referência {ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) ẋ r(t) = A rx r(t)+r(t) y(t) = Cx(t) Problema: projeto de lei de controle u = K(ˆx x r) tal que x(t) x r(t) ou e(t) = x(t) x r(t) menor possível segundo algum critério Sistema aumentado ξ = Ãξ + Br em que e o A LC ξ = e, Ã = BK A+BK A A r x r A r Observador Critério e Qedt γ 2 r rdt ˆx = Aˆx +Bu +L(y Cˆx),, B = [ I I ] e o = x ˆx ξ Qξdt γ 2 r rdt, Q = diag(,q,) garantido por V +ξ Qξ γ 2 r r <, V = ξ Pξ, P = diag(p 1,P 2,P 2) LMIs E. S. Tognetti Rastreamento 1/13

11 Restrição no sinal de controle Deseja-se impor a restrição u(t) < µ Seja a lei de controle de realimentação de estados u = Kx, em que K = ZW 1 tais que Z e W garantem V(x) <, V(x) = x W 1 x Considere um conjunto de condições iniciais tais que (elipsóide invariante) x() Γ {x : x W 1 x 1} Então max u = max t t ZW 1 x max x Γ ZW 1 x ZW 1/2 max λ max(w 1/2 Z ZW 1/2 ) µ x Γ W 1/2 x (2) A condição acima é garantido pelas LMIs [ ] [ ] 1 x() W Z, x() W Z µ 2 (3) I [ ] AW +WA +BZ +Z B W < (sist. contínuo) ; > (sist. discreto) AW +BZ W E. S. Tognetti Rastreamento 11/13

12 Restrição no sinal de controle Extensões Se x() < ϕ a condição esquerda de (3) é substituída por W ϕ 2 I Restrição x j() ϕ j politopo descrito por seus vértices P = Co{ϑ 1,...,ϑ p} P Γ ϑ jw 1 ϑ j 1, j = 1,...,p, que é equivalente a (substituir a condição esquerda de (3)) [ ] 1 ϑ j, j = 1,...,p W ϑ j Para a restrição u(t) max max i u i(t) < µ a condição direita de (3) é substituída por [ ] X Z Z, X W ii µ 2 Para a restrição u i(t) < µ i em (2) Z Z i pois u i = Z iw 1 e a condição direita de (3) é substituída por [ ] W Z i Z i µ 2 i = 1,...,n, Z i é a i ésima linha de Z ii E. S. Tognetti Rastreamento 12/13

13 Restrição no sinal de saída De forma análoga, deseja-se impor a restrição y(t) < ε, y = Cx Considere um conjunto de condições iniciais tais que (elipsóide invariante) Então max t y = max t x() Γ = {x : x W 1 x 1} Cx max x Γ Cx = max λmax(x C Cx) ε (4) x Γ A condição acima é garantido pelas LMIs [ ] [ ] 1 x() W WC, x() W CW ε 2 (5) I Restrição sobre canal individual y i(t) < ε i é obtida com [ ] W WC i C iw ε 2, i = 1,...,n, C i é a i ésima linha de C (6) ii A dependência da condição inicial x() pode ser eliminada da condição esquerda de (5) como mostrado anteriormente E. S. Tognetti Rastreamento 13/13