IMPLEMENTAÇÕES DE CONTROLADORES ROBUSTOS, COM RESTRIÇÕES DE TAXA DE DECAIMENTO E OTIMIZADOS EM SISTEMAS SUJEITOS A FALHAS

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1 IMPLEMENTAÇÕES DE CONTROLADORES ROBUSTOS, COM RESTRIÇÕES DE TAXA DE DECAIMENTO E OTIMIZADOS EM SISTEMAS SUJEITOS A FALHAS Luiz Francisco S Buzachero 1, Edvaldo Assunção 1, Marcelo C M Teixeira 1,FlávioAFaria 1, Emerson R P da Silva 1 1 Faculdade de Engenharia, UNESP - Univ Estadual Paulista, Campus de Ilha Solteira, Departamento de Engenharia Elétrica, Laboratório de Pesquisa em Controle, Avenida José Carlos Rossi, n o 137, Ilha Solteira, SP, Brasil luizbuzachero@yahoocombr, edvaldo@deefeisunespbr, marcelo@deefeisunespbr, flaviof15@yahoocombr, eravazzi@bolcombr Abstract: This work discusses a practical implementation of design techniques of robust controllers based on the use of LMIs for linear systems with states feedback Also present formulations to enter restrictions of decay rate in the design of the control law of the controlled system and techniques to optimize robust controllers norm The plant may be subject to structural failure Keywords: Linear matrix inequalities (LMIs), Optimization of controllers norm, Robust controllers design 1 INTRODUÇÃO Uma questão fundamental na teoria de controle é a construção de funções de Lyapunov, tanto para a análise de estabilidade de sistemas, quanto para o projeto de controladores Estas funções possibilitaram o surgimento do conceito de estabilidade quadrática, um dos resultados mais importantes da década de 8, que consisti na existência de uma função de Lyapunov, independente dos parâmetros incertos, que assegure a estabilidade robusta do sistema para o domínio de incertezas considerado [1 A formulação LMI (do inglês, Linear Matrix Inequalities), que surgiu recentemente [2 a partir de resultados de análise de estabilidade quadrática, é uma importante ferramenta para resolução de um grande número de problemas práticos de controle como projetos de sistemas lineares, nãolineares, incertos ou com atraso [2 9 As principais características desta formulação são que diferentes tipos de especificações e restrições de projeto podem ser descritas por LMIs e o problema formulado em LMIs, se apresentar solução, pode ser facilmente resolvido através de pacotes computacionais especializados [1 As pesquisas e publicações envolvendo a teoria de Lyapunov cresceram muito nas últimas décadas, abrindo um leque muito grande para diversas abordagens como análise de estabilidade robusta de sistemas lineares [11, controle robusto H 2 [12 e controle robusto H [13, 14, projeto de controladores robustos de sistemas sujeitos a falhas estruturais com realimentação das derivadas dos estados [15 e projeto de controladores robustos de sistemas sujeitos a falhas estruturais com realimentação dos estados [16 O projeto de controladores robustos pode ser também aplicado para sistemas não-lineares [17 Além das diversas técnicas de projeto de controladores existentes na literatura [18, 19, o projeto de controladores robustos (ou projeto de controladores por estabilidade quadrática) usando LMIs destaca-se por resolver problemas que até então não possuíam solução conhecida, utilizando pacotes computacionais especializados [1 Destacam-se dois pontos críticos no projeto de controladores robustos que são explorados neste trabalho: A magnitude dos controladores projetados que, muitas vezes alta, prejudica a implementação prática dos mesmos, sendo assim necessária uma minimização dos ganhos do controlador para viabilizar a aplicação prática dos mesmos (otimização da norma do controlador K) O fato de que o tempo de duração do transitório do sistema realimentado pode ser maior que o requisitado nas especificações do projeto, havendo a necessidade de restrições nas LMIs que limitem a taxa de decaimento, formulada com a inserção do parâmetro γ Este trabalho utiliza métodos de análise de estabilidade e projeto de controladores robustos para sistemas lineares MIMO, com realimentação dos estados e utilizando LMIs, já abordados em diversos trabalhos da literatura corrente [2, 16, 2 Utilizou-se o software Matlab [1 para resolução das LMIs (LMI Control Tollbox) e em seguida implementou-se o controlador projetado no helicóptero 3-DOF da Quanser [21, sendo esta a primeira vez que se realiza um teste de aplicabilidade prática do método verificando-se a eficiência da técnica de projeto ótimo de controladores robustos para sistemas com realimentação dos estados Serra Negra, SP - ISSN

2 2 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES CON- TÍNUOS NO TEMPO Considere um sistema linear dinâmico autônomo, ou seja, sem realimentação dos estados Lyapunov mostrou que o sistema x(t) =Ax(t) (1) com x(t) R n e A R n n uma matriz conhecida, é assintoticamente estável (isto é, todas as trajetórias convergem para zero) se e somente se existe uma matriz P = P R nxn tal que as LMIs A P + PA < (2) P> (3) sejam satisfeitas [2 Note que a desigualdade de Lyapunov (2) poderia, sem perda de generalidade ser trocada por A P + PA ρi para qualquer ρ> e I a matriz identidade de ordem n Esta propriedade é chamada de homogeneidade 3 ESTABILIDADE QUADRÁTICA DE SISTEMAS LI- NEARES CONTÍNUOS NO TEMPO Considere em (2) que A não seja precisamente conhecida, mas pertence a um politopo de incertezas A Nesse caso, a matriz A dentro do domínio de incertezas pode ser escrita como combinação convexa dos vértices A j, j =1,, N, do politopo [2, ou seja, A(α) Acom A = {A(α) R n n : A(α) = N α j A j, N α j =1, α j, j =1N} Uma condição suficiente para a estabilidade do politopo A é dada pela existência de uma matriz de Lyapunov P = P R n n tal que as LMIs A(α) P + PA(α) < (4) P> (5) sejam verificadas para todo A(α) A[2 Esta condição de estabilidade é conhecida como estabilidade quadrática e pode ser facilmente verificada na prática graças à convexidade da desigualdade de Lyapunov que faz com que as condições (4) e (5) sejam equivalentes à verificação da existência de P = P R n n tal que A jp + PA j < (6) P> (7) com j =1,, N Pode-se observar que (4) pode ser obtida de (6) multiplicando a última por α j e somando em j, dej =1até j = N Pelo fato de ser apenas uma condição suficiente para a estabilidade do politopo A, são gerados resultados conservadores, apesar disto a estabilidade quadrática vem sendo muito utilizada para síntese de controladores robustos [11 4 REALIMENTAÇÃO DOS ESTADOS PARA SISTE- MAS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO Considere um sistema linear controlável e invariante no tempo descrito na forma de espaço de estados: x(t) =Ax(t)+Bu(t), x() = x (8) sendo A R n n a matriz de estados, B R n m amatriz de entrada do sistema, x(t) R n o vetor de estados e u(t) R m o vetor de entrada Supondo que todos os estados estão disponíveis para realimentação, teremos que a lei de controle para a realimentação dos mesmos é dada por: u(t) = Kx(t) (9) sendo K R m n uma matriz de elementos constantes Muitas vezes a norma do controlador K pode ser elevada, levando amplificadores à saturação e assim dificultando a implementação em sistemas analógicos Desta forma é necessária uma redução do módulo dos elementos dos controladores para facilitar sua implementação Substituindo (9) em (8) teremos o seguinte sistema realimentado: x(t) =(A BK)x(t), x() = x (1) Pode-se assim aplicar a desigualdade de Lyapunov para se obter a estabilidade do sistema realimentado 5 ESTABILIDADE DE SISTEMAS LINEARES CON- TÍNUOS NO TEMPO COM REALIMENTAÇÃO DOS ESTADOS Considere o sistema linear realimentado (1) Aplicado, agora, para este sistema as LMIs dadas em (2), tem-se: (A BK) P + P (A BK) < (11) P> (12) Como a desigualdade (11) tornou-se uma BMI (do inglês Bilinear Matrix Inequalities) é necessário realizar manipulações para adequá-las novamente à condição de LMIs Multiplicando as desigualdades (11) e (12) à esquerda e à direita por P 1, fazendo X = P 1 e G = KX encontra-se: AX BG + XA G B < (13) X> (14) As desigualdades encontradas em (13) e (14) são LMIs, e sendo factíveis, pode-se projetar uma matriz de realimentação de estados que estabiliza o sistema, por: K = GX 1 (15) As LMIs (13) e (14) podem facilmente ser resolvidas por pacotes computacionais de otimização convexa como o LMI control toolbox [1, pacote do software MATLAB Serra Negra, SP - ISSN

3 6 RESTRIÇÃO DA TAXA DE DECAIMENTO PARA SISTEMAS COM REALIMENTAÇÃO DOS ESTA- DOS Levando-se em conta o sistema controlado (1), a taxa de decaimento (ou maior expoente de Lyapunov) é definida como a maior constante positiva γ, tal que lim t eγt x(t) = (16) e se mantenha para todas as trajetórias x(t), t> Podemos utilizar a função quadrática de Lyapunov V (x(t)) = x(t) Px(t) (17) para estabelecer um limite inferior sobre a taxa de decaimento de (1), com V (x(t)) 2γV (x(t)) (18) para todas as trajetórias [2 De (17) e (1), temos que V (x(t)) = ẋ (t) Px(t)+x(t) P ẋ (t) = x(t) (A BK) Px(t)+x(t) P (A BK)x(t) (19) Incorporando-se a restrição da taxa de decaimento (18) na equação (19) e realizando as simplificações apropriadas, teremos: (A BK) P + P (A BK) < 2γP (2) P> (21) Realizando-se as mesmas operações algébricas e mudanças de variáveis que foram feitas em (13) e (14) teremos as seguintes LMIs: AX BG + XA G B +2γX < (22) X> (23) Da mesma forma como em (13) e (14), se as LMIs (22) e (23) são factíveis, um controlador que estabiliza o sistema realimentado pode ser dado por (15) 7 ESTABILIDADE ROBUSTA PARA SISTEMAS COM REALIMENTAÇÃO DOS ESTADOS Considere o sistema linear invariante no tempo e incerto: x(t) =A(α)x(t)+B(α)u(t) (24) Esse sistema pode ser descrito como combinação convexa dos vértices do politopo: x(t) = α j A j x(t)+ com α j, j =1,, r e α j B j u(t) (25) α j =1 (26) sendo r o número de vértices do politopo [2 Levando-se em conta a ideia desenvolvida para o sistema autônomo incerto (4), tem-se o seguinte teorema [2: Teorema 71 Uma condição suficiente para que seja garantida a estabilidade do sistema incerto (25) é a existência de matrizes X = X R n n e G R m n, tais que A j X B j G + XA j G B j +2γX < (27) X> (28) com j =1,, r Quando as LMIs (27) e (28) são factíveis, uma matriz de realimentação de estados que estabiliza o sistema pode ser dada por K = GX 1 (29) Demonstração [2 De (26) e (27), segue que α j[a jx B jg+xa j G B j +2γX =( r α r ja j)x ( α r jb j)g+x( α ja j) G ( r α j B j)+2γx =A(α)X B(α)G+XA(α) G B(α) +2γX< (3) Assim, pode-se realimentar o sistema incerto apresentado em (24), sendo (27) e (28) condições suficientes para a estabilidade assintótica do politopo, agora para um sistema com realimentação dos estados sujeito a taxa de decaimento 8 OTIMIZAÇÃO DA NORMA DA MATRIZ K DE RE- ALIMENTAÇÃO DOS ESTADOS Em diversas situações a norma da matriz de realimentação dos estados é alta, dificultando sua implementação prática Assim, o teorema abaixo foi proposto com o intuito de limitar a norma do controlador K [15, 22, 23 Teorema 81 Dada uma constante μ >, obtém-se um limitante para a norma da matriz K R m n de realimentação dos estados, com K = GX 1, X = X > R n n e G R m n encontrando o valor mínimo de β, β>, tal que KK < β μ 2 I m Pode-se obter valor ótimo de β através da solução do seguinte problema de otimização: min [ β βim G sa > G I n (31) X>μ I n (32) (LMIs (13)e(14) ou (22)e(23) ou (27)e(28)) (33) onde I m e I n denotam a matrizes identidade de ordem m e n respectivamente Demonstração [22 Do complemento de Schur de (31) temos: βi m GI n G > desta forma GG <βi m (34) Pré e pós-multiplicando a desigualdade (32) por X, note que Xμ I n X< XX X μ X<XX (35) Serra Negra, SP - ISSN

4 Agora, pré e pós-multiplicando ambos os lados da desigualdade (32) por K e K respectivamente, tem-se: Kμ I n K <KXK (36) Realizando o mesmo procedimento em (35), obtém-se: Kμ XK < KXXK KXK < KXXK (37) μ De(36) e (37) e fazendo G = KX, segue que μ KK < GG (38) μ Finalmente, unindo (34) e (38), tem-se KK < β μ 2 I m (39) Figura1 Helicóptero3-DOFdaQuanser 9 HELICÓPTERO 3-DOF Considere o modelo esquemático mostrado na Figura (2) do helicóptero 3-DOF da Quanser mostrado na Figura (1) Dois motores DC estão montados nas extremidades de uma haste retangular e acionam duas hélices propulsoras Uma voltagem positiva aplicada no motor frontal causa uma inclinação positiva enquanto uma voltagem negativa no motor traseiro causa uma inclinação negativa (ângulo pitch (ρ)) Uma voltagem positiva em qualquer dos motores causa uma elevação de todo corpo (ângulo elevation (ɛ) do braço) Se o corpo inclina, o vetor impulsão resulta no deslocamento do corpo (ângulo travel (λ) do braço) O objetivo deste experimento é elaborar um sistema de controle que consiga regular os ângulos de elevação e de deslocamento do helicóptero 3-DOF [21 O modelo em espaço de estados que descreve o helicópteroé[21: ε ε ρ ρ λ ε λ ε [ = A + B Vf V b (4) ρ λ ξ γ ρ λ ξ γ As variáveis ξ e γ representam as integrais dos ângulos ε de elevação e λ de deslocamento, respectivamente As matrizes A e B são apresentadas da seguinte forma: A = m f la mw lw g 2m f la 2 +2m f l 2 h +mf lw B = lak f lak f mw l 2 w +2m f l2 a mw l 2 w +2m f l2 a 1 k f 2 m f l 1 k f h 2 m f l h e Motor traseiro Eixo travel m wg l h λ Contra-peso F b m b xg ɛ Eixo pitch l h Eixo elevation Sup de sustentação m h xg l w ρ F f m f xg Figura 2 Modelo esquemático do Helicóptero 3-DOF l a Motor dianteiro Para adicionar robustez ao sistema do helicóptero, implementou-se uma queda de 3% da potência do motor traseiro através da inserção de uma chave temporizada conectada a um amplificador com ganho de,7 diretamente na tensão de atuação sobre o motor, sendo assim constituído o politopo de dois vértices com uma incerteza na matriz de entrada do sistema do helicóptero atuando sobre a tensão dianteira entre, 7V b e V b Os politopos são descritos abaixo Vértice 1 (1% de V b ): A 1 = , Vértice 2 (7% de V b ): A 2 = , e B 1 = e B 2 =,858,858,581,581,858,61,581,467 Serra Negra, SP - ISSN

5 Tabela 1 Parâmetros do helicóptero Constante da força de propulsão da hélice k f,1188 Massa do corpo do helicóptero (kg) m h 1,15 Massa do contra-peso (kg) m w 1,87 Massa do conjunto da hélice dianteira (kg) m f m h /2 Massa do conjunto da hélice traseira (kg) m b m h /2 Distância: eixo de pitch - cada motor (m) l h 7x,254 Distância: eixo de elev - helicóptero (m) l a 26x,254 Distancia: eixo de elev - contra-peso (m) l w 18,5x,254 Constante gravitacional (m/s 2 ) g 9,81 1 IMPLEMENTAÇÃO PRÁTICA DO CONTROLA- DOR ROBUSTO K A trajetória do helicóptero foi dividida em três estágios O primeiro estágio é de decolagem, em que o helicóptero sobe 27, 5 o alcançando o ângulo de elevação ε = o No segundo estágio o helicóptero viaja 12 o mantendo a mesma elevação, ou seja, o helicóptero alcança λ = 12 o tendo como referência o ponto de decolagem No terceiro estágio o helicóptero realiza a aterrissagem retomando o ângulo de elevação inicial ε = 27, 5 o Durante o estágio de aterrissagem do helicóptero, mais precisamente no instante 22s, é inserida a perda de 3% da potência do motor traseiro O controlador robusto deverá manter a estabilidade do helicóptero na ocorrência desta falha Na sequência temos o controlador robusto projetado através da resolução das LMIs (13 e 14) para a implementação ilustrada na Figura (3) e sua norma: K = [ 15,2462 9,259 5, ,378 12, ,2239 9,22 12,8233 3,5917 7,4512 5,8231 1,6135 3, ,2442 4,6173 2,8372 Estados[graus falha ɛ[t ρ[t λ[t Figura3 ImplementaçãopráticadocontroladorrobustoK projetado através das LMIs de estabilidade quadrática Estados[graus t[s falha ɛ[t ρ[t λ[t Figura4 ImplementaçãopráticadocontroladorrobustoK projetado através das LMIs de estabilidade quadrática sujeitas a taxa de decaimento γ =, 6 t[s K =29, 77 Utilizando as LMIs (22 e 23), podemos restringir a taxa de decaimento com γ =, 6 e, desta forma, reduzir o tempo de duração do transitório da resposta do sistema Na sequência temos o controlador projetado para a implementação ilustrada na Figura (4) e sua norma: K = [ 89, ,976 21,531 44,1755 7,315 58,449 18,665 34,4363 7, , ,1349 7,8644 9,661 13,989 4, ,6354 Estados[graus ɛ[t ρ[t λ[t K = 19, 38 Para otimizar o módulo do controlador resolvemos as LMIs (31 e 32), com μ =, 9, em conjunto com as LMIs (22 e 23) Na sequência temos o controlador robusto projetado para a implementação ilustrada na Figura (5) e sua norma: K = [ 15, , , , ,553 19,659 34, ,682 4, ,168 71,2893 4,4527 4, , , ,6698 K = 161, 96 2 falha Figura5 ImplementaçãopráticadocontroladorrobustoK projetado através das LMIs de estabilidade quadrática sujeitas a taxa de decaimento γ =, 9 e otimização da norma do controlador O gráfico das Figuras (3, 4 e 5), referem-se aos dados reais dos ângulos medidos com os controladores projetados atuando sobre a planta durante a trajetória descrita com uma t[s Serra Negra, SP - ISSN

6 falha no instante 22s A Figuras (4 e 5) mostram a eficiência dos métodos enunciado, uma vez que o tempo de duração do transitório da resposta do sistema diminuiu drasticamente em relação à situação exibida na Figura (3) É possível verificar que alguns dos valores do controlador otimizado são maiores dos que os obtidos apenas com a taxa de decaimento No entanto, a norma do controlador otimizado é 161, 96, enquanto que a norma do controlador apenas com a taxa de decaimento é 19, 38, mesmooγ para o projeto do controlador apenas com a taxa de decaimento ter sido menor (γ =, 6) do que o γ para o projeto do controlador com otimização (γ =, 9), mostrando que o processo de otimização possibilitou a resolução do problema de controle com uma matriz de realimentação de estados de menor norma 11 CONCLUSÕES Apresentaram-se neste técnicas de projeto de controladores robustos para sistemas lineares com realimentação dos estados baseadas no uso de LMIs Também propuseram-se formulações para inserir restrições na taxa de decaimento do sistema controlado e para otimização da norma da matriz de realimentação de estados Quando as LMIs desses métodos apresentam pelo menos uma solução factível, é possível projetar um controlador que garanta a estabilidade assintótica do sistema controlado Comprovou-se a eficiência dos métodos apresentados utilizando-os no projeto e implementação de controladores robustos para o helicóptero 3-DOF da Quanser sujeito a falhas, mostrando resultados práticos satisfatórios AGRADECIMENTOS Agradecimentos à CAPES 1,aoCNPq 2 e a FAPESP 3 pelo apoio financeiro a este trabalho Referências [1 B R Barmish Necessary and sufficient conditions for quadratic stabilizability of an uncertain system Journal of Optimization Theory and Application, 46(4):399 48, 1985 [2 S Boyd, L El Ghaoui, E Feron, and V Balakrishnan Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory Studies in Applied Mathematics, 15 SIAM Studies in Applied Mathematics, 2nd edition, 1994 [3 E Assunção and P L D Peres A global optimization approach for the gb-norm model reduction problem Phoenix, 1999 [4 M B Hell J L Ribeiro Neto M C M Teixeira R M Palhares, L M Durães and E Assunção Robust H norm filtering for a class of stat-delayed nonlinear in an lmi setting Int J Comp Res, (12):115 1 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior 2 Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico 3 Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo 122, 23 [5 E Assunção M C M Teixeira and R G Avellar On relaxed lmi-based designs for fuzzy regulators and fuzzy observers IEEE Trans Fuzzy Sys, 11(5): , 23 [6 E Assunção M C M Teixeira and RM Palhares Discussion on g output feedback control design for uncertain fuzzy systems with multiple time scales: An lmi approach Eur J Cont, (11): , 25 [7 M R Covacic M C M Teixeira and E Assunção Design of spr systems with dynamic compensators and output variable structure control pages , 26 [8 C Q Andrea E Assunção and M C M Teixeira H 2 and H -optimal control for the tracking problem with zero variation IET Control Theory of Applications, 1(3): , 27 [9 M C M Teixeira E Assunção, H F Marchesi and P L D Peres Global optimization for the H -norm model reduction problem Int J Sys Sci, 38(2): , 27 [1 P Gahinet, A Nemirovski, A J Laub, and M Chilali The Math Works Inc, Natick, 1995 [11 V J S Leite, V F Montagner, P J Oliveira, R C L F Oliveira, and P L D Peres Estabilida de robusta de sistemas lineares através de desigualdades matriciais lineares Revista Controle & Automação, 15(1):24 4, 24 [12 P Apkarian, H D Tuan, and J Bernussou Continuoustime analysis, eigenstructure assignment, and H 2 synthesis with enhanced linear matrix inequalities (lmi) characterizations IEEE Transactions on Automatic Control, 46(12): , 21 [13 M Chilali and P Gahinet H design with pole placement constraints: an LMI approach IEEE Transactions on Automatic Control, 41(3): , 1996 [14 E Assunção, H F Marchesi, M C M Teixeira, and P L D Peres Global optimization for the H -norm model reduction problem International Journal of Systems Science, 38(2): , 27d [15 F A Faria, E Assunção, and M C M Teixeira Realimentação da derivada dos estados em sistemas multivariáveis lineares usando LMIs Controle & Automação, 2(1):83 93, 29a [16 R M Pascoal, E Assunção, and M C M Teixeira Restrição da taxa de decaimento e otimização no projeto de controladores robustos para sistemas sujeitos a falhas In Proceedings, Bauru, 29a BRAZILIAN CONFERENCE ON DYNAMICS, CONTROL AND APPLICATIONS, [sn 7p [17 Emerson R P Silva Controle robusto de sistemas nãolineares sujeitos a falhas estruturais Master s thesis, Faculdade de Engenharia, Unversidade Estadual Pau- Serra Negra, SP - ISSN

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