Modelos de Filas de Espera

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1 Departamento de Informática Modelos de Filas de Espera Métodos Quantitativos LEI 2006/2007 Susana Nascimento Advertência Autor João Moura Pires Este material pode ser livremente usado para uso pessoal ou académico e sem qualquer autorização prévia do autor desde que acompanhado desta declaração do autor. Para uso comercial (por exemplo em cursos pagos) o uso deste material requer a expressa autorização do autor. 2 MQ-06/07 1

2 Sumário Estrutura básica de Modelos de Filas de Espera Distribuição Exponencial Processo de nascimento e morte Modelos de filas de espera baseados no processo de nascimento e morte Modelos com distribuições não exponenciais Modelos com prioridades nas filas 3 Sumário (A1-FE) Estrutura básica de Modelos de Filas de Espera Distribuição Exponencial Processo de nascimento e morte Modelos de filas de espera baseados no processo de nascimento e morte Modelos com distribuições não exponenciais Modelos com prioridades nas filas 4 MQ-06/07 2

3 Processo básico de Fila de Espera Sistema de Fila de Espera Fonte de Entrada Fila Mecanismo de Serviço servidos 1. Uma fonte de entrada gera ao longo do tempo clientes que solicitam um serviço. Os clientes entram no Sistema de Fila de Espera ejuntam-se a uma Fila de Espera Em certos instantes é escolhido um membro da fila, para ser servido, de acordo com alguma regra conhecida por Disciplina da Fila de Espera. O Cliente seleccionado é servido por um mecanismo de serviço Quando um serviço é concluído para um cliente, este sai do sistema de Fila de Espera. 5 Processo básico de Fila de Espera Sistema de Fila de Espera Fonte de Entrada Fila Mecanismo de Serviço servidos Dimensão da população que pode ser servida Padrão estatístico como os clientes são gerados ao longo do tempo para serem servidos 6 MQ-06/07 3

4 Processo básico de Fila de Espera Sistema de Fila de Espera Fonte de Entrada Fila Mecanismo de Serviço servidos Capacidade da Fila (número de clientes que pode conter) Disciplina da Fila de espera 7 Processo básico de Fila de Espera Sistema de Fila de Espera Fonte de Entrada Fila Mecanismo de Serviço servidos Número de canais paralelos de serviço - número de servidores Tempo de serviço - Distribuição de probabilidades - 8 MQ-06/07 4

5 Fonte de entrada - População alvo - Dimensão: número total de clientes que podem requerer serviços do sistema Infinito: a fonte é ilimitada. Cálculos são mais simples É assumido quando a dimensão é finita mas grande Finito: a fonte é limitada. Modelo analítico mais complicado pois o número de clientes dentro do sistema (na fila ou a ser servidos) afecta o número de clientes fora do sistema. Este modelo deve ser adoptado sempre que o ritmo a que os clientes são gerados pela fonte depende significativamente do número de clientes que estão dentro do sistema. 9 Fonte de entrada - População alvo - Padrão estatístico segundo o qual os clientes se apresentam para serem servidos: Distribuição de Poisson - O número de clientes gerados (que aparecem para ser servidos) até um certo tempo t segue uma distribuição de Poisson. Assume que a chegada de clientes ao sistema é independente do número de clientes presentes -> população infinita. Tempo entre chegadas de clientes ao sistema - Distribuição exponencial 10 MQ-06/07 5

6 Fila de Espera Dimensão da fila de Espera Infinita A suposição de fila de capacidade infinita é a forma mais geral, mesmo quando a capacidade for finita mas suficientemente grande. Finita Quando o limite é finito e pequeno de tal modo que a capacidade da fila possa ser atingida com frequência, então assume-se que a capacidade é um número finito Modelo mais complexo Disciplina da Fila de Espera Primeiro a chegar, primeiro a ser servido Aleatório Prioridades 11 Mecanismo de Serviço Organização Uma ou mais infraestruturas de serviço Se for mais de uma, cada cliente deve ser servido sequencialmente por todas elas Cada infraestrutura de serviço é composta por um ou mais servidores em paralelo 12 MQ-06/07 6

7 Mecanismo de Serviço Tempo de Serviço Para cada servidor é necessário especificar a distribuição de probabilidades dos tempos de serviço (eventualmente um por cada tipo de cliente) Em geral todos os servidores têm a mesma distribuição de probabilidades Distribuições de probabilidades comuns Distribuição Exponencial Distribuição degenerada (constante) Distribuição de Erlang 13 Sistema de Fila de Espera Elementar Uma única fila de Espera Uma única infraestrutura de serviço Um ou mais servidores Sistema de Fila de Espera Mecanismo de Serviço Fila C C C C C C C C S 1 S 2 servidos C S 3 14 MQ-06/07 7

8 Hipóteses de independência Os tempos entre chegadas são independentes e identicamente distribuidos Os tempos de serviço são independentes e identicamente distribuidos? /? / s Distribuição de tempos Entre chegadas Número de servidores Distribuição de tempos serviços 15 Modelos?/?/s Notação usada para as distribuições M: distribuição Exponencial (Marcoviana) D: distribuição Degenerada (tempos constantes) E k : distribuição de Erlang com parâmetro k G: distribuição Geral ou arbitrária Exemplos M/M/s M/G/1 16 MQ-06/07 8

9 Terminologia e Notação (1) Estado do Sistema: número de clientes dentro do sistema de fila de espera (na fila ou a ser servido pelos servidores) Comprimento da fila: número de clientes na fila à espera de serviço = Estado do Sistema - número de clientes a serem servidos N(t): número de clientes no sistema no instante t (t 0) P n (t): probabilidade de estarem exactamente n clientes no sistema no instante t, conhecido o número de clientes no instante t = 0. s: número de servidores (canais paralelos) no sistema. 17 Terminologia e Notação (2) λ n : ritmo médio de chegadas de novos clientes quando estão n clientes no sistema (número esperado de chegadas por unidade de tempo) Se λ n é constante para todos os valores de n, ou seja quando o ritmo de chegada não depende do número de clientes no sistema, denota-se por λ. 1/λ éo tempo esperado entre chegadas de novos clientes. 18 MQ-06/07 9

10 Terminologia e Notação (3) µ n : ritmo médio de serviço global do sistema (número médio de clientes que terminam o seu serviço por unidade de tempo). Observação: µ n é um valor combinado do ritmo de serviço de todos os servidores ocupados. µ : Quando o ritmo médio de serviço, por servidor ocupado, é constante para todos os valores de n. µ n = sµ quando n s, isto é, quando todos os servidores estão ocupados 1/µ éo tempo esperado de serviço 19 Terminologia e Notação (4) ρ = λ/(sµ) é o factor (taxa) de utilização da infraestrutura de serviço, isto é, a fracção de tempo esperado em que os servidores estão ocupados: µ é o número médio de clientes que terminam o seu serviço por unidade de tempo por servidor sempre ocupado s o número de servidores sµ é o número médio de clientes que terminam o seu serviço por unidade de tempo supondo que todos os servidores estão ocupados, ou seja, é a capacidade de serviço do sistema por unidade de tempo. λ é o número esperado de novos clientes por unidade de tempo 20 MQ-06/07 10

11 Terminologia e Notação: Regime Estacionário Sistema em Regime Estacionário A distribuição de probabilidade do sistema mantem-se a mesma ao longo do tempo. Grandezas definidas para o sistema em regime estacionário P n - probabilidade de estarem exactamente n clientes no sistema L - número esperado de clientes no sistema L q - comprimento esperado da fila de espera (excluindo os clientes que estão a ser servidos) W - Tempo passado no sistema (incluindo o tempo de serviço) para cada cliente; W = E(W) W q - Tempo de espera no sistema (excluindo o tempo de serviço) de cada cliente; W q = E(W q ) 21 Relações entre L, W, L q e W q Assumindo que λ n, ritmo médio de chegadas ao sistema, é constante e igual a λ para todo n, verifica-se num regime estacionário: e L = λ W L q = λ W q (Fórmula de Little) Se λ n não toma o mesmo valor para todos os valores de n, então, é possível substituir λ por λ valor médio dos λ n ao longo do tempo. 22 MQ-06/07 11

12 Relações entre L, W, L q e W q Assumindo que o tempo médio de serviço é um valor constante 1/µ para n 1, então: W = W q + 1/µ (Tempo passado no sistema= Tempo passado à espera + tempo de serviço) 23 Resumo da terminologia Sistema de Fila de Espera n, N(t) Mecanismo de Serviço Fila C C C C C C C C S 1 S 2 servidos C S 3 s λ n λ µ n µ # por unidade de tempo 1/λ n 1/λ 1/µ n 1/µ tempo Tempos entre chegadas Tempos de serviço Factor de utilização ρ = λ/(sµ) sµ - capacidade 24 MQ-06/07 12

13 Resumo da terminologia - Regime estacionário Número esperado de clientes no sistema Sistema de Fila de Espera L n, N(t) Mecanismo de Serviço λ Fila C S 1 µ C C C C C C C S 2 servidos 1/λ L 1/µ q Número esperado de clientes na fila C S 3 s W W = E(W) W q 1/µ W q = E(W q ) L = λ W L q = λ W q W = W q + 1/µ 25 Distribuição Exponencial Caracterização de um sistema de Filas de Espera Distribuição de probabilidades dos tempos entre chegadas Distribuição de probabilidades do número de clientes novos Distribuição de probabilidades dos tempos de serviço Requisitos para um modelo teórico Suficientemente realista Previsões razoáveis Suficientemente simples Matematicamente tratável Distribuição Exponencial 26 MQ-06/07 13

14 Distribuição Exponencial com parâmetro α T uma variável aleatória (v.a.) que respresenta o tempos entre chegadas ou os tempos de serviço f T (t) = αe αt para t 0 0 para t < 0 Função densidade P[T t] =1 e αt P[T > t] = e αt para t 0 Probabilidades acumuladas E(T ) = 1 α var(t ) = 1 α 2 Esperança Matemática Variância 27 Distribuição Exponencial com parâmetro α = 4 f T (t) = αe αt para t 0 0 para t < 0 Função densidade f (t ) (para α = 4) t E(T) = 1/α = 1/4 28 MQ-06/07 14

15 Distribuição Exponencial com parâmetro α f (t ) α = α = t 29 P1: f T (t) é uma função estritamente decrescente em t P[0 T t] > P[t T t + t] para t > 0 e t > 0 P[0 T 1/α] = f (t ) (para α = 4) P[1/α T 2/α] = P[2/α T 3/α] = t 30 MQ-06/07 15

16 P1: f T (t) é uma função estritamente decrescente em t É mais provável que os valores de T sejam pequenos do que grandes, isto é, valores inferiores a menos de metade de E(T), ou seja inferiores a 1/(2α). P[0 T 1/α] = : Inferior a E(T) P[0 T 0.5/α] = : Inferior a metade de E(T) P[0.5/α T 1.5/α] = : Inferior a metade de E(T) E(T) E(T) 1.5E(T) P1: f T (t) é uma função estritamente decrescente em t A distribuição exponencial é adequada para tempos de serviço quando este é em geral muito curto e ocasionalmente muito longo. Bancos de hospitais, Bancos, lojas, etc A distribuição exponencial é adequada para tempos entre chegadas, em situações em que potencias clientes desistem (e voltam mais tarde) quando outro cliente já está na fila. Vão aparecendo mais ou menos regularmente (curtos intervalos) com intervalos ocasionalmente longos sem aparecer nenhum cliente. 32 MQ-06/07 16

17 P2: Falta de memória P[T > t + t T > t] = P[T > t] para t > 0 e t > 0 P[T > t + t T > t] = = P[T > t,t > t + t] P[T > t] P[T > t + t] P[T > t] = e α(t+ t) e α t = e αt = P[T > t] 33 P2: Falta de memória A distribuição de probabilidades do restante tempo até ao próximo evento (chegada de um novo cliente) é a mesma independentemente de há quanto tempo ocorreu o último evento (chegada do último cliente) Tempo entre chegadas O tempo até a próxima chegada é independente de quando aconteceu a última chegada Tempo de serviço Situações com diferentes tempos de serviço.. 34 MQ-06/07 17

18 P3:O mínimo de várias exponenciais independentes é uma distribuição exponencial Sejam T 1, T 2,, T n variáveis aleatórias independentes com distribuições exponenciais de parâmetros α 1, α 2,, α n. Seja U uma v.a U = min{t 1, T 2,, T n } Se T i representa o instante em que ocorre um destes eventos, então U representa o instante em que o primeiro dos n eventos ocorre. P[U > t] = P[T 1 > t,t 2 > t,...,t n > t] = P[T 1 > t]p[t 2 > t]...p[t n > t] α t α t α nt = e 1 e 2 Le n i α t = e i= 1 n α i i=1 α U = 35 P3:O mínimo de várias exponenciais independentes é uma distribuição exponencial Tempo entre chegadas Considerar que existem n tipos de clientes diferentes com diferentes distribuições exponenciais com α 1, α 2,, α n P2 (falta memória) O tempo que falta, a partir de um dado instante, até à chegada de um cliente de tipo i tem também uma exponencial de parâmetro α i (mesma distribuição). P3 (mínimo é exponencial) O tempo que falta, a partir de um dado instante, até à chegada de um cliente de qualquer tipo tem também uma exponencial de parâmetro: n α i i=1 α U = 36 MQ-06/07 18

19 P3:O mínimo de várias exponenciais independentes é uma distribuição exponencial Tempo de serviço Assuma-se que existem n (i.e. s) servidores em paralelo com a mesma distribuição exponencial (com parâmetro µ) dos tempo de serviço Se T i é o tempo de serviço que ainda falta, a partir de um dado instante, para o servidor i, então a distribuição de probabilidades do tempo até que um próximo servidor termine o serviço éuma exponencial com parâmetro nµ. Ou seja o sistema multi-servidor pode ser visto como um sistema mono- servidor cuja distribuição do tempo de serviço é nµ. 37 P4: Relação com a distribuição de Poisson Seja X(t) o número de ocorrências de um evento no intervalo de tempo entre 0 e t (t 0) uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade P[X(t) = n] = (αt)n e αt para n = 0,1,... n! X(t) tem uma distribuição de Poisson com parâmetro αt. A correspondente esperança matemática é: E(X(t)) = αt Então, o número esperado de eventos por unidade de tempo é α. (α é designado de ritmo médio de ocorrência de eventos) 38 MQ-06/07 19

20 P4: Relação com a distribuição de Poisson Com n = 0 temos: P[X(t) = 0]= e αt que é a probabilidade de que o primeiro evento ocorra depois do tempo t. Trata-se de uma distribuição exponencial de probabilidade sobre t. Quando os eventos são contados numa base contínua, o processo contínuo {X(t); t 0} é designado de Processo de Poisson 39 P4: Relação com a distribuição de Poisson Tempos entre chegadas Tempos de serviço Exponencial Número de chegadas Número de serviços completados Poisson 40 MQ-06/07 20

21 P4: Relação com a distribuição de Poisson 0.4 Prob[X(t) = n] t=1 t=2 t= n 41 P4: Relação com a distribuição de Poisson Se os tempos de serviço seguem uma distribuição exponencial de parâmetro µ então define-se X(t) como o número de serviços concluídos por um servidor continuamente ocupado durante um tempo t, com α = µ. Para modelos multi-servidores o número de serviços concluídos por n servidores continuamente ocupados durante um tempo t, com α = nµ 42 MQ-06/07 21

22 P4: Relação com a distribuição de Poisson Se os tempos entre chegadas de novos clientes seguem uma distribuição exponencial de parâmetro λ então definimos X(t) como sendo o número de chegadas durante um tempo t, com α = λ (que é o ritmo médio de chegadas). 43 P5: t 0, P[T t + t T > t] α t para pequeno t T é o tempo desde o último evento (chegada ou conclusão de um serviço) Estamos a supor que já passou o tempo t sem que o próximo evento tenha ocorrido (P[T t + t T > t] ) A propriedade 2 (falta memória), (P[T > t + t T > t] = P[T > t] para t > 0 e t > 0), já indica que a probabilidade de o próximo evento ocorrer num próximo intervalo t (de tamanho fixo) é constante independentemente de t (o tempo que já passou), qualquer que seja a dimensão de t. P5 indica que se t for pequeno, então: A probabilidade pode ser aproximada por α t A probabilidade é proporcional a t considerando diferentes valores pequenos 44 MQ-06/07 22

23 P5: t 0, P[T t + t T > t] α t para pequeno t P[T t + t T > t] = P[T t] e x =1+ x + x n n! n=2 =1 e α t =1 1+α t ( α t) n n! n=2 P[T t + t T > t] α t para pequenos valores de t. 45 P6: Insensível à Agregação e Desagregação Supondo que existem n tipos de clientes e que a chegada de cada um deles é um processo de Poisson com parâmetro λ i. Assumindo que são processos independentes então a chegada de todos os clientes (independentemente do seu tipo) é também um processo de Poisson com parâmetro λ = λ 1 + λ λ n Inversamente, se a probabilidade de chegar um cliente do tipo i for p i,então λ i = p i λ 46 MQ-06/07 23

24 Distribuição de Erlang com parâmetro k - distribuição gamma - Função densidade Média f (t) = (µk)k (k 1)! t k 1 e kµt para t 0 µ e k são parâmetros positivos. k é inteiro E(T ) = 1 µ Desvio Padrão StDev(T ) = 1 k 1 µ parâmetro k define o grau de variabilidade dos tempos de serviço relativamente á média. 47 Distribuição de Erlang com parâmetro k - distribuição gamma - f(t) µ k = k = 3 k = 2 k = 1 1/µ t k = 1 : Exponencial k = : Degenerada (tempo constante) 48 MQ-06/07 24

25 Distribuição de Erlang com parâmetro k - distribuição gamma - Sejam T 1, T 2,, T k k variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas com distribuição exponencial com esperança de 1/(kµ) Então a variável aleatória T = T 1 + T T k tem uma distribuição de Erlang com parâmetros µ e k. Quando o serviço é composto por uma sequência de serviços, cada um deles com uma distribuição exponencial, o tempo total de serviço tem uma distribuição de Erlang. 49 MQ-06/07 25