Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Elétrica ENG04037 Sistemas de Controle Digitais

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1 Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Elétrica ENG437 Sistemas de Controle Digitais Introdução Controladores PID Prof. Walter Fetter Lages 2 de maio de 2 Por definição, a expressão do controlador PID contínuo é u(t) e(t) + K i t e(τ)dτ + K d d dt e(t) onde K p, K i e K d são os ganhos proporcional, integral e derivativo, respectivamente. Para que os parâmetros do controlador PID possam ser mais facilmente associados aos polos e eros da função de transferência, é mais conveniente que os ganhos sejam parametriados da seguinte forma: ( u(t) e(t) + t T i e(τ)dτ + T d d dt e(t) onde T i e T d são os tempos integral e derivativo, respectivamente, tais que K i = K p T i e K d T d. 2 Controlador PID Digital Na sua versão digital, o controlador PID tem uma estrutura como mostrado na Fig.. Ou seja, tem-se C() + C i () + C d () )

2 K p E() C i () + + U() + C d () Figura : Estrutura do controlador PID digital. Dependendo da aproximação utiliada para a integral e a derivada, C i () e C d () podem assumir várias formas diferentes. Forward differences: T C i () = K i = K T p T i ( ) = K p τ i ( ) com τ i = T i T C d () = K d T T d T τ d ( ) com τ d = T d T C() + K p τ i ( ) + K pτ d ( ) τ i ( ) + + τ i τ d ( ) 2 τ i ( ) τ i ( ) + + τ i τ d ( ) τ i ( ) τ i τ d 2 + (τ i 2τ i τ d ) + + τ i τ d τ i τ i ( ) ( ) 2 + τ d 2 + τ i τ d + τ d τ d ( ) 2 + τ d 2 + τ iτ d τ i + τ i τ d C() τ d () 2

3 A função de transferência possui dois eros reais ou complexos e um polo em =. Como a função de transferência possui mais eros finitos do que polos finitos a sua implementação é problemática. Assim, é preferível utiliar as outras aproximações que não apresentam esse problema. Backward differences: T C i () = K i = K T p T i ( ) = K p τ i ( ) C d () = K d T T d T τ d C() + K p τ i ( ) + K pτ d τ i ( ) τ i τ d ( ) 2 τ i ( ) τ i ( 2 ) τ i τ d ( ) τ i ( ) (τ i + + τ i τ d ) 2 (τ i + 2τ i τ d ) + τ i τ d τ i ( ) τ i + + τ i τ d 2 τi+2τiτd τ = K i ++τ i τ d + p τ i ( ) τ iτ d τ i ++τ i τ d C() ( + τ i + τ d ) 2 +2τd + τ i +τ d + τ d + τ i +τ d ( ) A função de transferência possui dois eros reais ou complexos, um polo em = e um polo em =. Aproximação bilinear: T + C i () = K i 2 = K T + p 2T i = K + p 2τ i 2 C d () = K d T + = K 2 pt d T + τ d 2 + 3

4 + C() + K p 2τ i + K pτ d 2 + 2τ i ( + )( ) + ( + ) 2 + 4τ i τ d ( ) 2 2τ i ( + )( ) 2τ i ( 2 ) + ( ) + 4τ i τ d ( ) 2τ i ( + )( ) (2τ i + + 4τ i τ d ) 2 + (2 8τ i τ d ) + + 4τ i τ d 2τ i 2τ i ( + )( ) 2τ i + + 4τ i τ d τiτd 2τ = K i ++4τ i τ d + +4τ iτ d 2τ i 2τ i ++4τ i τ d p 2τ i ( + )( ) ( C() + ) τ d 2τ i τ i 4τ d τ 2τ d i ( + )( ) 2τ i +2τ d + 2τ i +2τ d A função de transferência possui dois eros reais ou complexos, um polo em = e um polo em =. Assim, o controlador PID apresenta dois polos e dois eros. As posições dos polos são determinadas pela aproximação utiliada, para backward differences tem-se polos em = e = e para aproximação bilinear tem-se polos em = e =. As posições dos dois eros são determinadas pelos parâmetros do controlador. 3 Controlador PD Digital Para um controlador PD tem-se C() + C d () Dependendo da aproximação utiliada para a derivada, C d () pode assumir várias formas diferentes. Forward differences: C() + K p τ d ( ) ( + τ d ( )) (τ d + τ d ) ( C() τ d + τ ) d τ d 4

5 A função de transferência possui apenas um ero real dentro do círculo unitário em = τ d τ d. Como a função de transferência possui mais eros finitos do que polos finitos a sua implementação é problemática. Assim, é preferível utiliar as outras aproximações que não apresentam esse problema. Backward differences: C() + K p τ d + τ d ( ) ( + τ d ) τ d C() ( + τ d ) τ d +τ d (2) A função de transferência possui um ero real dentro do círculo unitário em = τ d +τ d e um polo em =. Aproximação bilinear: C() + K p τ d 2 + ( + ) + 2τ d ( ) + ( + 2τ d ) + 2τ d + C() ( + 2τ d ) + 2τ d +2τ d + A função de transferência possui um ero real dentro do círculo unitário em = 2τ d +2τ d e um polo em =. Assim, o controlador PD apresenta um polo e um ero. A posição do polo é determinadas pela aproximação utiliada, para backward differences tem-se polo em = e para aproximação bilinear tem-se polo em =. A posição do ero é determinada pelos parâmetros do controlador. 4 Controlador PI Digital Para um controlador PI tem-se 5

6 C() + C i () Dependendo da aproximação utiliada para a integral C i () pode assumir várias formas diferentes. Forward differences: C() + K p τ i ( ) τ i ( ) + τ i ( ) τ i τ i + τ i ( ) τ i τ C() = K i p A função de transferência possui um ero real dentro do círculo unitário em = τ i τ i e um polo em =. Ao contrário dos controladores PID e PD, essa função de transferência não apresenta problemas de implementação. Backward differences: C() + K p τ i ( ) τ i ( ) + τ i ( ) (τ i + ) τ i τ i ( ) τ i + τi C() τ i τ i + A função de transferência possui um eros real dentro do círculo unitário em = τ i τ i e um polo em =. + Aproximação bilinear: T + C i () = K i 2 = K T + p 2T i = K + p 2τ i 6

7 C() + K p 2τ i + 2τ i ( ) + ( + ) 2τ i ( ) (2τ i + ) + 2τ i 2τ i ( ) C() 2τ i + 2τ i + 2τi 2τ i + A função de transferência possui um ero real dentro do círculo unitário em = 2τ i 2τ i e um polo em =. + Assim, o controlador PI apresenta um polo e um ero. A posição do polo é a mesma para todas as aproximações, =. A posição do ero é determinada pelos parâmetros do controlador. Ou seja, para um controlador PI, a flexibilidade de projeto é a mesma seja qual for a aproximação utiliado. No entanto, os valores dos parâmetros variam dependendo da aproximação escolhida. 5 Projeto de Controlador PID O projeto de um controlador PID digital é um caso particular de projeto de controladores no domínio, onde a posição dos polos é determinada pela aproximação utiliada e apenas os eros e o ganho DC do controlador podem ser livremente determinados para atingir-se as especificações do projeto. Para controladores PI ou PD, a situação é análoga, tendo-se porém apenas um ero para ser determinado em função das especificações. Exemplo Seja o sistema descrito por G() = (, 8) 2 (3) Projetar um controlador para obter o menor tempo de acomodação possível. A Figura 2 mostra o lugar das raíes para o sistema sem compensador. Como o objetivo é ter o menor tempo de acomodação possível, deve-se ter os polos de malha fechada com o menor raio possível. Como o lugar das raíes é uma circunferência de raio,8, qualquer ganho menor do que 3,2 posiciona os polos sobre a circunferência e portanto tem o mesmo tempo de acomodação. Para reduir-se o tempo de acomodação é necessário introduir um compensador 7

8 Eixo Imaginário Eixo Real Figura 2: Lugar da raíes para o sistema (3) sem compensador. que faça com que o lugar das raíes seja tal que possibilite localiar todos os polos mais próximo da origem do plano, de preferência localia-los na origem do plano. Utiliando-se um controlador PI não há como reduir a circunferência, pois esse controlador possui um polo em = e independentemente da posição do ero, não há como reduir o raio da circunferência, como mostra a Fig. 3. Um compensador PD obtido com a aproximação bilinear também não permite obter-se o desempenho desejado, pois não é possível sequer garantir que todos os polos em malha fechada fiquem dentro do círculo unitário, como mostra a Fig. 4. Utiliando-se um compensador PD obtido com a aproximação backward differences resulta no lugar das raíes mostrado na Fig. 5. Note que ocorre um cancelamento do ero da planta com o polo do controlador e através do ade- 8

9 Eixo Imaginário Eixo Real Figura 3: Lugar da raíes para o sistema (3) com compensador PI. quado posicionamento do ero do controlador é possível faer com que o lugar das raíes passe pela origem do plano. Isso ocorre quando o ero do controlador é posicionado em =, 4. Com essa disposição de polos e eros e malha aberta, o ganho em malha fechada para posicionar os polos de malha fechada na origem do plano é K = distância dos polos distância dos eros = Assim, o controlador é dado por =.6 Assim, de (2) tem-se C() =, 6, 4 9 (4)

10 Eixo Imaginário Eixo Real Figura 4: Lugar da raíes para o sistema (3) com compensador PD obtido com aproximação bilinear. de onde C() ( + τ d ) τ d +τ d =, 6, 4 K p ( + τ d ) =, 6 τ d + τ d =, 4 Portanto τ d =, 6667 e K p =, 96, que leva a K d τ d T =, 64T. A Fig. 6 mostra a resposta do sistema ao degrau unitário.

11 Eixo Imaginário Eixo Real Figura 5: Lugar da raíes para o sistema (3) com compensador PD obtido com aproximação backward differences. Outra possibilidade seria utiliar um controlador PID. No entanto, se for utiliada a aproximação bilinear, obtém-se uma situação semelhante à resultante com o controlador PID, como mostra o diagrama do lugar das raíes mostrado na Fig. 7. Obviamente os eros em =, 4 e =, 4 podem ser livremente localiados, mas qualquer localiação não fará com que o lugar das raíes seja tal que permita que todos os polos de malha fechada sejam localiados na origem. Porém, utiliando-se um compensador PID obtido com a aproximação backward differences resulta no lugar das raíes mostrado na Fig. 8. Note que ocorre um cancelamento do ero da planta com o polo na origem do controlador. Os dois eros do controlador podem ser livremente localiados. Uma escolha conveniente é utiliar um dos eros para cancelar um dos polos da planta em =, 8 e loca-

12 2.5 Saída, Controle Tempo (sec) Figura 6: Resposta ao degrau do sistema (3) com o compensador (4). liar o outro ero de forma que o diagrama do lugar das raíes passe pela origem do plano. Isso ocorre quando o ero é posicionado em =, Com essa disposição de polos e eros e malha aberta, o ganho em malha fechada para posicionar os polos de malha fechada na origem do plano é distância dos polos K = =.8 distância dos eros.4444 =.82 Assim, o controlador é dado por Assim, de (2) tem-se (, 8)(, 4444) C() =, 82 ( ) (5) 2

13 Eixo Imaginário Eixo Real Figura 7: Lugar da raíes para o sistema (3) com compensador PID obtido com aproximação bilinear. ( C() + ) 2 +2τd + τ + d +τ τ d + +τ + τ i τ d i d τ i ( ) de onde =, 82 (, 8)(, 4444) ( ) =, 82 2, , 3555 ( ) 3

14 Eixo Imaginário Eixo Real Figura 8: Lugar da raíes para o sistema (3) com compensador PID obtido com aproximação backward differences. ou K p ( + τ i + τ d ) =, τ d + τ i + τ d =, 2444 τ d + τ i + τ d =,

15 K p ( + τ i + τ d ) =, 82 τ i + 2τ i τ d τ i + + τ i τ d =, 2444 τ i τ d τ i + + τ i τ d =, 3555 que é equivalente a K p ( + τ i + τ d ) =, 82 τ i τ d, 3235τ i =, 6469 τ i τ d, 556τ i =, 556 Portanto τ i = 4.88, τ d =, 6665 e K p =, 962, que leva a K i = Kp τ i T =, 2T e K d τ d T =, 64T. A Fig. 9 mostra a resposta do sistema ao degrau unitário. 6 Controlador PID Ótimo Utiliando a aproximação backward differences, a sua expressão do controlador PID na forma discreta é: u(k) e(k) + K i T k i= e(i) + K d T (e(k) e(k )) (6) E considerando (6) atrasado de um período de amostragem tem-se: e k u(k ) e(k ) + K i T e(i) + K d T i= (e(k ) e(k 2)) u(k) u(k ) (e(k) e(k ))+K i Te(k)+K d T ou 5 (e(k) 2e(k ) + e(k 2))

16 2.5 Saída, Controle Tempo (sec) Figura 9: Resposta ao degrau do sistema (3) com o compensador (5). u(k) = u(k )+K p (e(k) e(k ))+K i Te(k)+K d T (e(k) 2e(k ) + e(k 2)) que é uma forma mais conveniente de ser utiliada por evitar problemas de overflow devido ao somatório. Adicionalmente, na presença de saturação, basta corrigir o valor de u(k ) para o valor saturado para evitar o problema de windup. O problema de controle PID ótimo consiste em obter-se os valores de K p, K i e K d de forma que o desempenho do sistema seja o melhor possível. Ou seja, um controlador ótimo é um controlador que fa com que o desempenho do sistema seja, no mínimo, tão bom quanto o possível de ser obtido com qualquer outro controlador 2. Outro aspecto do problema é o que significa melhor desempenho. Obviamente, o que é desempenho melhor depende de como se mede o desempenho. Em Obviamente, existem técnicas mais sofisticadas de anti-windup, mas estão fora do escopo do problema tratado aqui. 2 Em sistemas de controle, otimiar significa obter comprovadamente o melhor possível e não apenas melhorar o desempenho. 6

17 controle ótimo é usual definir um índice de desempenho, usualmente denominado de custo, cujo valor é um escalar. Os custos mais utiliados são: Integral of Squared Error (ISE): o desempenho do sistema é avaliado pela expressão (7). A característica deste índice de desempenho é que ele dá grande peso para erros grandes e pequeno peso para erros pequenos. Um sistema que minimia este critério tende a apresentar uma rápida diminuição em um erro inicial grande. Portanto, a resposta é rápida e oscilatória. Assim, o sistema tem baixa estabilidade relativa. J(K p,k i,k d ) = n e 2 (k) (7) k= Integral of Absolute Error (IAE): o desempenho do sistema é avaliado pela expressão (8). Um sistema ótimo baseado neste critério é um sistema que tem um amortecimento raoável e uma característica de resposta transitória satisfatória. J(K p,k i,k d ) = n e(k) (8) k= Integral of Time Squared Error (ITSE): o desempenho do sistema é avaliada pela expressão (9). Uma característica é que, na resposta ao degrau unitário, um erro inicial grande é ponderado com peso baixo, enquanto que erros que ocorrem mais tarde na resposta transitória são bastante penaliados. J(K p,k i,k d ) = n ke 2 (k) (9) k= Critério ITAE: o desempenho do sistema é avaliado pela expressão (). Assim como no critério apresentado anteriormente, um erro inicial grande em uma resposta a degrau unitário é ponderado com peso pequeno e erros que ocorrem mais tarde na resposta transitória são bastante penaliados. A característica de um sistema que minimia este critério é que o overshoot é pequeno e oscilações são bem amortecidas J(K p,k i,k d ) = n k e(k) () k= 7

18 Assim, na abordagem de controle ótimo, os ganhos do controlador PID podem ser obtidos através de K p,k i,k d = arg min K p,k i,k d J(K p,k i,k d ) Embora em alguns casos seja possível realiar a minimiação de forma algébrica, em geral a obtenção da solução requer o uso do modelo do sistema no espaço de estados. Por outro lado, tendo-se apenas o modelo entrada-saída do sistema é possível computar o custo J(K p,k i,k d ) conhecendo-se os valores dos ganhos. Dessa forma é possível utiliar procedimentos numéricos para realiar a minimiação. Uma vantagem da otimiação numérica é que o método de sintonia do controlador aplica-se também a plantas não lineares. 6. Método de Hooke-Jeeves O método de Hooke-Jeeves é um método simples para realiar uma minimiação numérica multidimensional. O método consiste basicamente em determinar uma direção de decremento do custo e faer uma minimiação unidimensional nessa direção. Dados o vetor de ganhos K, de dimensão n, o passo do algoritmo de otimiação h, a precisão de parada ǫ e um valor inicial para os ganhos K(), o algoritmo é. Achar a direção de busca Para i = até n faça K (k) K (k).. Se J K i (k) + h J K i (k) faça H i = h.. K n (k) K n (k) Senão K (k) K (k).. Se J K i (k) h J K i (k) faça H i = h.. K n (k) K n (k) Senão faça H i = 8

19 2. Busca unidimensional (Algoritmo de Davies-Swan-Campey) K(k + ) = K(k) + λ H Onde λ = arg minj (K(k) + λh) λ 3. Critério de parada Se J (K(k + )) J (K(k)) ǫ ou k > número máximo de iterações K = K(k + ) e fim Senão k = k + e vá para O método de Davies-Swam-Campey, dada um valor inicial λ (), passo inicial δ(k), a tolerância ǫ, e K [, ] 3 é:. λ (k) = λ (k) δ(k) λ (k) = λ (k) + δ(k) J (k) = J (λ (k)) J (k) = J (λ (k)) 2. Se J (k) > J (k) faça p = e vá para 3 senão calcule J (k) = J (λ (k)) Se J (k) < J (k) faça p = e vá para 3 senão vá para 6 3. Para n =, 2, calcule J n (k) = f (λ n (k) + 2 n pδ(k)) até J n (k) > J n (k) 4. Calcule J m (k) = J (λ n (k) + 2 n 2 pδ(k)) 5. Se J m (k) J n (k), calcule Senão calcule λ (k + ) = λ n (k) + 2n 2pδ(k) (J n 2 (k) J m (k)) 2 (J n 2 (k) 2J n (k) + J m (k)) λ (k + ) = λ m (k) + 2n 2pδ(k) (J n (k) J n (k)) 2 (J n (k) 2J m (k) + J n (k)) Se 2 n 2 δ(k) ǫ vá para 7 senão faça δ(k + ) = Kδ(k) e vá para 3 Um valor típico é K =.. 9

20 6. Calcule λ (k + ) = λ (k) + δ(k) (J (k) J (k)) 2 (J (k) 2J (k) + J (k)) Se δ(k) ǫ vá para 7 senão faça δ(k + ) = Kδ(k) e vá para 7. λ = λ (k + ) Utiliando os algoritmos acima para o sistema descrito por 4.25 G(s) = s s s e utiliando o critério ISE, resulta nos ganhos K p =, 754, K i =, 35, K d = 4,, com um J(2) = 5, 389, e a figura mostra o sinal de saída, o sinal de controle, o sinal erro e a evolução do custo. 8 6 u(t) y(t) e(t) J(t) Figura : Resposta do PID ótimo segundo o critério ISE. Pode-se perceber que a amplitude do sinal de controle pode tornar-se bastante elevada, eventualmente tornando a implementação do controlador impossível na prática. Uma alternativa para contornar esse problema é incluir no custo uma ponderação para a energia de controle, substituindo os critérios por 2

21 ISE : IAE : J(K p,k i,k d ) = J(K p,k i,k d ) = n ( e 2 (k) + ρu 2 (k) ) () k= n ( e(k) + ρu 2 (k) ) (2) Repetindo a otimiação para a mesma planta, porém utiliando critério ISE com ρ =., resulta nos ganhos K p =, 759, K i =, 9, K d = 2, 346, com um J(2) = 38, 64, e a figura mostra o sinal de saída, o sinal de controle, o sinal erro e a evolução do custo/. k= u(t) y(t) e(t) J(t) Figura : Resposta do PID ótimo segundo o critério ISE com ρ =.. Note-se que não é intuitivo o ajuste do parâmetro ρ e que não existe uma correspondência direta do valor desse parâmetro com especificações típicas da resposta desejada para o sistema, como tempo de acomodação e overshoot. Uma abordagem alternativa, para se recuperar intuição na especificação dos parâmetros é utiliar um critério semelhante ao ISE, mas utiliando (para efeitos de cálculo do critério) o erro em relação à um modelo de referência e não em relação a referência em sí. Ou seja, calculado o custo por 2

22 J(K p,k i,k d ) = n e 2 m(k) onde e m (k) = y(k) y m (k), sendo y m (k) a saída de um modelo de referência escolhido para ter o desempenho desejado para o sistema. Nesse caso, utiliou-se o modelo k= Y ( s) U(s) = s 2 + s + A otimiação para a mesma planta, porém utiliando o modelo de referência resulta nos ganhos K p =, 755, K i =, 2, K d =, 294, com um J(2) =, 437, e a figura 2 mostra o sinal de saída, o sinal de controle, o sinal erro e a evolução do custo..6.4 u(t) y(t) ym(t) e(t) J(t) Figura 2: Resposta do PID ótimo em relação ao modelo de referência. 22

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