UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA. Disciplina de Controle II Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva

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1 UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Disciplina de Controle II Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva

2 Controlador Proporcional Controlador PI A Relação entre a saída e o sinal de erro e(t) é dada pelo ganho Kp Onde Kp é denominado Sensibilidade proporcional ou ganho Onde: Kp é o ganho Proporcional Tié o Tempo Integral. (1/Ti- taxa de restabelecimento)

3 Controlador PD Controlador PID Onde: Kp é o ganho Proporcional Tdé o Tempo Derivativo. Onde: Kp é o ganho Proporcional Tié o Tempo Integral. (1/Ti- taxa de restabelecimento) Tdé o Tempo Derivativo.

4 Controladores PID Mais da metade dos controladores industriais em uso atualmente empregam esquemas de Controle PID. A popularidade dos controladores PID pode ser atribuída parcialmente ao seu desempenho robusto sobre uma grande faixa de condições operacionais e a sua simplicidade operacional. Para se implementar um Controlador PID, três parâmetros devem ser determinados: oganho Proporcional K p oganho Integral K i oganho Derivativo K d O processo de selecionar os Parâmetros do Controlador que garantam uma dada especificação de desempenho é conhecido como Sintonia do Controlador.

5 Seja o sistema: Controladores PID

6 Características das Ações Proporcional, Integral e Derivativa O controle proporcional atua na resposta transitória do sistema de forma a diminuir o tempo de subida (t r ), diminuindo adicionalmente o erro de regime permanente. O controlador integral elimina por completo o erro de regime permanente, mas pode piorar a resposta transitória do sistema. A ação derivativa tem o efeito de aumentar a estabilidade do sistema, reduzindo o sobre-sinal e o tempo de estabilidade, com isso melhorando a resposta transitória. Note que o efeito final na variável saída do sistema, que é ocasionado pela conjunção destas ações de controle, pode não seguir exatamente as especificações observadas na Tabela. Por esta razão, esta tabela deverá ser empregada somente como um guia rápido de referência, ficando os ajustes finais do controlador ao encargo do projetista.

7 Sintonização de Controladores PID Não O Modelo do Processo é Disponível? Sim Método de Ziegler-Nichols Tentativa e Erro? Não O Modelo do Processo é Linear e Invariante no t? Sim Otimização Numérica Bode Root-Locus Espaço de Estados

8 Índices de Desempenho Um índice de desempenho pode ser calculado e usado para se medir o desempenho de um sistema. Essa medida quantitativa do desempenho de um sistema é necessária para a operação e otimização de sistemas de controle, segundo especificações pré- determinadas em projeto. Um sistema para ser considerado o melhor deve ser tal que minimize o índice de desempenho, que será um valor positivo ou nulo. Existem alguns índices de desempenho a saber: a. ISE Integral do Quadrado do Erro b. IAE Integral do Valor Absoluto c. ITAE Integral do Tempo multiplicado pelo Erro Absoluto d. ITSE Integral do Erro Multiplicado pelo Quadrado do Erro

9 Índices de Desempenho Um índice de desempenho é uma medida quantitativa do desempenho de um sistema e é escolhido de modo que seja colocada ênfase nas especificações consideradas importantes do sistema

10

11 Estas curvas mostram a seletividade do Índice de Desempenho ITAE em comparação com o ISE e ITSE. O valor mínimo da relação de amortecimento com base no índice ITAE é de 0,7, que para um sistema de segunda ordem resulta em uma resposta rápida ao degrau com um Máximo de sobre sinal de 4,6%.

12 Os coeficientes que minimizarão o critério de desempenho ITAE para uma entrada em degrau foram determinados para a função de transferência de malha fechada genérica da seguinte forma: Esta função possui erro estacionário nulo para uma entrada em degrau. Os coeficientes ótimos para o critério ITAE são dados na seguinte tabela:

13 Método da Otimização Para usar este método parte do pressuposto que os modelos matemáticos da planta são conhecidos e portanto podemos analiticamente encontrar a função de transferência do sistema. Esse método usa o índice de desempenho ITAE e os coeficientes ótimos resultantes dele para uma entrada ao degrau ou em rampa (Ver Dorfpag.205). Os Parâmetros escolhidos são tais que minimizam o índice de desempenho ITAE. O procedimento de Projeto consiste nos 3 passos a seguir: 1. Selecionar ω n do sistema em malha fechada especificando o tempo de acomodação Determinar os 3 coeficientes usando a equação ótima apropriada e o valor de ω n encontrado. 3. Usar um filtro que faça com que a função de transferência de malha fechada não tenha zeros.

14 Exemplo Considere um controlador de temperatura com um sistema de controle da seguinte forma: Onde 1 G( s ) = ( s + 1) 2 Se Gc(s)=1, o erro estacionário é 50% e o tempo de acomodação (2%) é de 4 segundos. Para uma entrada em degrau. Deseja-se obter um desempenho ITAE ótimo para um degrau unitário e um tempo de acomodação menor que 0,5 s, usando um controlador PID.

15 Método de Ziegler-Nichols Ziegler e Nicholssugeriram regras para a sintonia de controladores PID baseadas na resposta experimental ao degrau. Essas regras são muito úteis quando os modelos matemáticos são desconhecidos. Os resultados de Kp, Ki e Kd, são bem próximos do ideal, mas caso apresentem valores de sobre sinal elevados, o operador deve realizar uma sintonia fina até que um resultado aceitável seja alcançado. A partir dos estudos de Ziegler e Nichols, surgiram outras várias regras de sintonias para controladores PID que podem ser conseguidas com fabricantes desse tipo de controlador. Existem 2 metodos de regras de sintonia de Ziegler-Nichols

16 Método da Curva de Reação Esse método se aplica se a curva da resposta da planta a uma entrada em degrau tiver o aspecto de uma letra S. Isso ocorrerá se a planta não possuir integradores nem pólos complexos dominantes. Atraso de Transporte

17 Ziegler e Nicholssugeriram escolher valores de Kp, Ki e Kdde acordo com a fórmula que aparece na tabela abaixo. Note que o controlador sintonizado por este método fornece: O PID tem um pólo na origem e zeros duplos em -1/L

18 Método do Limiar de Oscilação Neste método faremos inicialmente as constantes K i =, e K d = 0, trabalhando apenas com a ação de controle proporcional. Experimentalmente vamos aumentar o valor de K p até que a resposta do sistema apresente uma oscilação sustentada pela primeira vez. A esse valor de K p daremos a notação de K cr (ganho crítico). O período da senóide encontrada será o nosso P cr (período crítico).

19 Ziegler e Nicholssugeriram escolher valores de Kp, Ki e Kdde acordo com a fórmula que aparece na tabela abaixo. Note que o controlador sintonizado por este método fornece: O PID tem um pólo na origem e zeros duplos em -4/P cr

20 Ziegler-Nichols Método da Curva de Reação: Método do Limiar de Oscilação: h(t) PID em Manual h(t) P c K t t L T Oscilação com K p = K c K P K I K D K P K I K D P T/L 0 0 PI 0.9 T/L 0.3/L 0 PID 1.2 T/L 0.5/L 0.5L P 0.5 K c 0 0 PI 0.45K c 1.2/P c 0 PID 0.6K c 2/P c 0.125P c

21 Exemplo Considere o sistema de controle mostrado na figura, no qual um PID é utilizado para controlar o sistema O PID tem a seguinte função de Transferência Obtenha a curva de resposta ao degrau unitário e verifique se o sistema projetado exibe aproximadamente 25% de máximo sobre-sinal. Se o Mpfor maior que 40%, faça uma sintonia fina e reduza para Mp= 25%.

22 Solução Como a planta tem um integrador, vamos utilizar o segundo método de Ziglere Nichols, o método do limiar de oscilação. Portanto fazendo K i =, e K d = 0, obtemos a seguinte função de trsnferênciade malha fechada. A equação característica dessa função de transferência é: Pela análise de Routhpodemos saber o valor de K cr.

23 Portanto a equação característica para K cr é: Fazendo s=jw temos: Donde tiramos que: Portanto: Pela regra de ziegler-nichols, encontramos portanto os valores de Kp, Ki e Kd:

24 Substituindo na função de transferência de um controlador PID temos: Verificamos que o controlador PID tem um pólo na origem e um zero duplo em s = -1,4235

25 Para encontrarmos a resposta ao degrau unitário, fechamos a malha e jogamos a função de transferência de malha fechada no MATLAB. Máximo de sobre sinal em torno de 62%

26 Fazendo ajustes finos podemos chegar a resposta desejada. Máximo de sobre sinal Menor que 25%

27 Exemplo de Projeto de sintonia PID Controladores PID

28 Considere o sistema mostrado na figura abaixo: Onde 1 G( s ) = s +1 1 Usando o método da otimização para uma entrada em degrau, determinar a estrutura Gc(s) necessária para obtermos uma resposta sub-amortecida com ξ= 0,7 e tempo de estabelecimento de 0,2857 seg para um critério de 2%. No MATLAB, plotea resposta ao degrau unitário e minimize o máximo de sobre sinal utilizando um filtro prévio.

29 Considere o sistema mostrado na figura abaixo: Onde 1 G( s ) = s + 4 Para Gc(s) = 2, Calcule o erro no regime estacionário para uma perturbação em degrau. Verifique este erro usando o MATLAB. Agora faça Gc(s) um controlador PI de modo que o tempo de estabelecimento (critério de 2%) seja menor que 1 segundo para uma resposta ao degrau segundo critério ITAE. Plotea resposta do sistema já com o controlador PI para a entrada ao degrau. Melhore a resposta utilizando um filtro prévio Gp(s). Verifique matematicamente e no MATLAB que o erro estacionário vai a zero quando incluímos o controlador PI.

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