Séries Temporais e Modelos Dinâmicos. Econometria. Marcelo C. Medeiros. Aula 3

Transcrição

1 em Econometria Departamento de Economia Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Aula 3

2 Condições para de Segunda Ordem Considere por enquanto um VAR de primeira ordem, VAR(1): z t = C 0 +C 1 z t 1 +v t. Portanto, z 1 = C 0 +C 1 z 0 +v 1 z 2 = C 0 (I+C 1 )+C 2 1z 0 +C 1 v 1 +v 2 ( z 3 = C 0 I+C1 +C 2 1) +C 3 1 z 0 +C 2 1v 1 +C 1 v 2 +v 3. t 1 z t = C 0 C i 1 +Ct 1 z t C i 1 v t i. i=0 i=0

3 Condições para de Segunda Ordem Suponha que a matriz C 1 tenha m autovalores distintos. Portanto, C 1 = TΛT 1, onde λ λ 2 0 Λ = λ m é a matriz de autovalores e T é a matriz de autovetores. É trivial mostrar que C i 1 = TΛ i T 1.

4 Condições para de Segunda Ordem Caso λ j < 1, j = 1,...,m: C t 1 0, quandot e C i 1 (I C 1) 1 C 0, quandot. C 0 t 1 i=0 Portanto, E(z t ) (I C 1 ) 1 C 0, quandot. A média de z t é assintoticamente constante!

5 Condições para de Segunda Ordem Da mesma forma, podemos mostrar que quando λ j < 1, j = 1,...,m, a variância assintótica de z t é dada por: lim vec(σ z,t) = vec(σ z ) = (I C 1 C 1 ) 1 vec(σ v ), t onde Σ v = E(v t v t). Além disso, COV(z t,z t h ) Γ h C h 1Σ z, quandot.

6 Condições para de Segunda Ordem Resultado Importante - VAR(1) Quando os autovalores da matriz C 1 forem todos menores do que 1 em módulo, o processo VAR(1) será assintoticamente estacionário de segunda ordem. O processo VAR só será estacionário assintoticamente ( steady-state ). O que acontece quando os autovalores de C 1 não são distintos? Quais são as condições de estacionaridade do processo VAR(p)?

7 Condições para de Segunda Ordem Considere por enquanto um VAR de ordem p, VAR(p): z t = C 0 +C 1 z t 1 + +C p z t p +v t. O processo VAR(p) pode ser escrito da seguinte forma: z t C 0 C 1 C 2 C p 1 C p z t 1 v t z t 1 0 I z t 2 0 z t 2 = I 0 0 z t z t p } {{ I 0 z t p } 0 F

8 Condições para de Segunda Ordem Resultado Importante - VAR(p) Quando os autovalores da matriz F forem todos menores do que 1 em módulo, o processo VAR(p) será assintoticamente estacionário de segunda ordem.

9 Um VAR(1) assintoticamente estacionário de segunda ordem pode ser representado, em steady-state (equiĺıbrio), da seguinte forma: z t = (I C 1 ) 1 C 0 + z t = (I C 1 ) 1 C 0 + C i 1B 1 u t i i=0 ( TΛ i T 1) } {{ } i=0 0, i B 1 } {{ } Φ i u t i. Portanto, para um processo VAR(1) assintoticamente estacionário, a FRI tenderá exponencialmente para zero! O mesmo vale para um VAR(p) estacionário.

10 O formato específico da FRI irá depender dos autovalores da matriz F. No caso do VAR(1), F = C 1. Autovalores complexos implicam em uma FRI senoidal com amplitude exponencialmente amortecida Comportamento cíclico! Quando os autovalores forem reais, a FRI não irá apresentar dinâmica cíclica.

11 Modelos Estruturais e Função de Resposta ao Impulso Importante Em geral, modelos estruturais na forma Bz t = A 0 +A(L)z t +u t são interpretados em termos das suas FRIs e não dos parâmetros do modelo, uma vez que estes raramente representam os parâmetros de um modelo comportamental.

12 Definição O Multiplicador de Longo-Prazo Casos Particulares Um caso particular importante do modelo estrutural descrito anteriormente é o modelo auto-regressivo com defasagens distribuídas (ARDL): y t = a 0,y b yx x t + y t = α 0 + p i=1 p β i x t i + i=0 ( ai,y y t i +a i,yx x ) t i +uy,t p α i y t i +u y,t. i=1 Como devemos interpretar os coeficientes de um modelo ARDL?

13 Definição O Multiplicador de Longo-Prazo Casos Particulares Equiĺıbrio de longo-prazo (sob estacionariedade): y t = y t 1 = = y t p = E(y t ) = y x t = x t 1 = = x t p = E(x t ) = x u y,t = u y,t 1 = = u y,t p = 0. Portanto, o modelo ARDL torna-se em equiĺıbrio: y = α 0 α p (1) + β p(1) α p (1) x y = α+β x. β é conhecido como Multiplicador de Longo-Prazo. Podemos mostrar que β representa o efeito no longo-prazo em y de um choque unitário em x no instante t.

14 Modelo com Correção de Erros Definição O Multiplicador de Longo-Prazo Casos Particulares Decomposição de Beveridge-Nelson (BN) Todo polinômio a p (L) = a 0 +a 1 L+a 2 L 2 + a p L p pode ser representado da sequinte forma: a p (L) = a p (1)+ap 1(L)(1 L), onde ap 1(L) = a0 +a 1 L+a 2 L 2 + ap 1L p 1 e p aj = a k, j = 0,1,...,p 1. k=j+1

15 Modelo com Correção de Erros Definição O Multiplicador de Longo-Prazo Casos Particulares A partir da decomposição BN podemos mostrar que: a p (L) = a p (1)L+a p 1 (L)(1 L), a p 1(L) = a p 1(L)+a p (1).

16 Modelo com Correção de Erros Definição O Multiplicador de Longo-Prazo Casos Particulares O modelo ARDL pode ser escrito da seguinte forma: α p (L)y t = α 0 +β p(l)x t +u y,t, onde: α p (L) = 1 α 1 L+ +α p L p, β p (L) = β 0 +β 1 L+ +β p L p.

17 Modelo com Correção de Erros Definição O Multiplicador de Longo-Prazo Casos Particulares Pela decomposição de BN: α p 1(L) y t = α 0 +β p 1(L) x t α(y t 1 β x t 1 )+u y,t, Modelo com Correção de Erros (ECM) onde: α = α p (1), e β = β p (1)/α Multiplicador de Longo-Prazo.

18 Modelo com Correção de Erros Definição O Multiplicador de Longo-Prazo Casos Particulares Qual é a interpretação para o ECM? α p 1(L) y t = α 0 +β p 1(L) x t α(y t 1 β x t 1 )+u y,t, y t }{{} Movimentos de curto-prazo p 1 = α 0 + i=1 α i y t 1 +β p 1(L) x t α (y t 1 β x t 1 ) } {{ } Desvio em relação ao equiĺıbrio de longo-prazo +u y,t.

19 Modelos com Fatores Comuns Definição O Multiplicador de Longo-Prazo Casos Particulares Sem perda de generalidade, vamos considerar que x t R. Suponha também que o modelo ARDL possa ser escrito da seguinte forma: α p (L)y t = α 0 +β p (L)x t +u y,t, α 1,p 1 (L)θ 1 (L)y t = α 0 +β 1,p 1 (L)θ 1 (L)x t +u y,t. θ 1 (L) é um fator comum aos polinômios α p (L) e β p (L) e representa a existência de uma raiz comum. Logo, α 1,p 1 (L)y t = α 0 θ 1 (L) +β 1,p 1(L)x t + u y,t θ 1 (L), α 1,p 1 (L)y t = α 0 +β 1,p 1 (L)x t +e t. Note que θ 1 (L)e t = u y,t e t é um processo AR(1)!