INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS RESPOSTA DE ELEMENTOS PRIMÁRIOS

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1 INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS RESPOSTA DE ELEMENTOS PRIMÁRIOS Introdução As características dinâmicas de um instrumento de medição podem ser determinadas estudando-se o sistema físico, e escrevendo-se a equação que relaciona o valor indicado da variável com o valor real. Visto que, para a maior parte das medições industriais há a necessidade de uma transferência de energia, que sempre leva certo tempo, a equação é, via de regra, uma equação diferenciai. Chamaremos de medidor de 1ª ordem aquele em que a equação diferencial é de 1ª ordem; medidor de 2ª ordem será aquele para o qual a equação é de 2ª ordem, etc. A análise pode ser feita de maneira rápida, se à equação diferencial se aplicar a teoria das transformadas de Laplace. Obtém uma relação entre a variável indicada e a variável real, no plano "s". Essa relação e a função de transferência do medidor. Medidores de 1ª Ordem Suponhamos um medidor de temperatura, imerso no instante t = 0 em um liquido. Suponhamos ainda que esse bulbo esta ligado a um instrumento, que indica sem atraso a temperatura do bulbo. Seja: = temperatura indicada, C = temperatura real, C m = massa do bulbo, kg c = calor específico do bulbo, kcal.kg ¹. C ¹ H = coeficiente de transferência de calor, kcal. m². C ¹. s ¹ A = área do bulbo, m² Q = calor transferido ao bulbo na unidade de tempo, kcai. s ¹ O calor transferido ao bulbo na unidade de tempo vale: Por outro lado, esse calor ocasiona uma variação da temperatura do bulbo, e portanto da temperatura indicada: Igualando as expressões (1) e (2), vem: Ou 1

2 Façamos Daremos a T o nome de coeficiente de atraso, ou constante de tempo do medidor. O valor de T depende essencialmente do tamanho do elemento de medição (quanto maior o elemento, maior a relação m/a, e portanto maior o valor de T), e do valor de H. Alguns valores típicos são: Elemento Constante de tempo (s) Pirômetro de radiação 0,5 Termopar sem proteção, em líquido em movimento 4 Termômetro de bulbo, em líquido em movimento 6 Termômetro de bulbo, em ar em movimento 25 Termopar sem proteção, em ar em movimento 30 Termômetro de bulbo ou termopar, com poço de proteção, em liquido em movimento 100 A equação (4) pode ser escrita, então, como segue: Vamos fazer = 0 para t = 0. Na pratica, evidentemente,isso não e verdade. Se considerarmos, entretanto, uma escala de temperatura com o "zero" na temperatura inicial do bulbo, a hipótese = 0 passa ser verdadeira. Em outras palavras, o raciocínio que se segue vale se considerarmos e como sendo a diferença entre a temperatura (indicada ou real), e a temperatura indicada no instante t = 0. Admitidas essas considerações, a transformada de Laplace se escreve: donde Essa é a "função de transferência" do elemento medidor, ou seja, a relação entre a saída (temperatura indicada) e a entrada (temperatura real). Vamos analisar a "resposta" do elemento medidor a vários tipos de "excitação". Resposta à excitação "degrau" A analise por transformada de Laplace supõe que para t 0, = 0. Consideremos então a excitação = 0 para t 0; = A para t > 0. Obtém uma função desse tipo, imergindo o bulbo medidor de temperatura, que constitui um medidor de â ordem (por obedecer a uma equação diferencial de 1ª ordem), num banho que e mantido a uma temperatura A ( C) acima da temperatura em que se encontrava o bulbo. Para = A, a transformada de Laplace vale De (8), vem A anti-transformada pode ser obtida de uma tabela de transformada da Laplace: 2

3 Note-se que essa expressão é semelhante a quase descreve a tensão de um capacitor que é carregado através de um resistor. A figura 1 mostra um gráfico de /A em função t/t. Quando Após uma constante de tempo, a indicação atinge 63,2% do degrau. Alguns outros valores são dados a seguir: Resposta a excitação rampa Tempo % T 63,2 2,3 T 90 3 T 95 4,6 T 99 Suponhamos agora que a temperatura do liquido varie linearmente com o tempo, a partir do instante t = 0. A equação que descreve a temperatura real será: A transformada de Laplace vale: Segue-se que: Desenvolvendo em frações parciais, vem: 3

4 Donde: Dividindo por KT, vem Essa equação acha-se representada na fig. 2, (pagina 3). Note-se que, apos transcorridas cerca de 3 constantes de tempo, o atraso da indicação é praticamente igual a 1 constante de tempo. O erro dinâmico é igual a KT. Seja, p.ex., um termômetro com constante de tempo igual a 0,5 minutos, imerso em um banho cuja temperatura aumente 10 C por minuto. A indicação estará atrasada de 0,5 minutos, sendo, portanto, 5 C menor que o valor real. Resposta a excitação senoidal Supondo agira que a temperatura varie senoidal mente, ou seja, que Pode-se, seguindo um raciocínio análogo ao dos casos anteriores, provas que, desprezados os termos transitórios, Em que Φ = arctgωt = ângulo de atraso e o índice e.e, indica estado estacionário. A amplitude da indicação e menor que a amplitude do valor real, sendo a relação entre as duas igual a ( )². Para que atenuação seja, por exemplo, limitada a 10% é necessário que essa expressão seja maior que 0,9. Sendo ω = com T₁ = período das oscilações de temperatura do banho, vem: ₁ Em outras palavras, a relação entre a constante de tempo do da oscilação deve ser inferior a 0,0774. medidor e o período 4

5 A equação (20) mostra também que existe um atraso na indicação, igual a Φ = arctgωt. Esse atraso, expresso em unidades de tempo, seria dado por.. arctgωt. Suponhamos por exemplo, um termômetro com constante de tempo igual a 0,5 minutos, que mede a temperatura de um banho que oscila com um período de 10 minutos. O atraso vale. arctg. 0,5 = 0,485 minutos. A fig. 3 mostra a resposta típica de um medidor de 1ª ordem, quando a variável sofre uma oscilação senoidal. Medidores de 2ª ordem São sistemas do tipo Sendo: ζ = razão de amortecimento T = tempo característico Obedecem eles a equações diferenciais de 2ª ordem. É o caso, por exemplo, de manômetros de coluna liquida. A solução da equação depende do valor de ξ. Quando ζ > 1, temos o caso super-amortecido Quando ζ = 1, temos o amortecimento critico Quando ζ < 1, temos o caso oscilatório Note-se que, no 1 caso, a função de transparência ( ) pode ser escrita na forma: ( ) Exemplos de medidores de 2ª ordem a) Termômetros com tubo de proteção (super-amortecido) b) Galvanômetros (amortecido - crítico) c) manômetros em U (oscilatório) 5

6 A resposta de medidores desse tipo a uma excitação degrau A pode ser vista na fig. 4 (pagina 6). A excitação rampa produz uma resposta semelhante á dos medidores de 1ª ordem. No caso de excitação senoidal, haverá normalmente também uma redução da amplitude e um atraso. 6