Uma Proposta de um Controlador Adaptativo por Posicionamento de Pólos e Estrutura Variável. Francisco das Chagas da Silva Júnior

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1 Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Uma Proposta de um Controlador Adaptativo por Posicionamento de Pólos e Estrutura Variável Francisco das Chagas da Silva Júnior Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araújo Natal/RN - Brasil Julho de 2005

2 Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Uma Proposta de um Controlador Adaptativo por Posicionamento de Pólos e Estrutura Variável Francisco das Chagas da Silva Júnior Dissertação submetida ao Programa de Pós- Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos para a obtenção do grau de Mestre em Ciências. Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araújo Natal/RN - Brasil Julho de 2005

3 Ao meu pai - Francisco Chagas À minha mãe - Iêda Maria Ao meu irmão - Rodrigo Márcio Ao meu pai - Francisco Chagas À minha mãe - Iêda Maria Ao meu irmão - Rodrigo Márcio Ao meu pai - Francisco Chagas À minha mãe - Iêda Maria Ao meu irmão - Rodrigo Márcio Ao meu pai - Francisco Chagas À minha mãe - Iêda Maria Ao meu irmão - Rodrigo Márcio Ao meu pai - Francisco Chagas À minha mãe - Iêda Maria Ao meu irmão - Rodrigo Márcio Ao meu pai - Francisco Chagas À minha mãe - Iêda Maria Ao meu irmão - Rodrigo Márcio i

4 Agradecimentos A Deus pelo dom da vida e pela conquista de mais esta vitória. Ao Professor Aldayr Dantas de Araújo, pelo incentivo e pela sua brilhante orientação acadêmica. A todos os meus familiares, que puderam me dar força e tranqüilidade para chegar até aqui. Aos amigos Josenalde, Plínio, Maximiliano, Liviane, Marcos, André, Iuri e Rosciano que me ajudaram sempre que precisei nas tarefas do laboratório, necessárias para a construção deste trabalho. A todos os professores do DCA e do DEE que me transmitiram seus conhecimentos e experiências profissionais durante este período. A todos os funcionários da UFRN, que direta ou indiretamente, colaboraram para a realização deste trabalho. Finalmente, a todos que, de alguma forma, contribuíram com este trabalho, mas que aqui não foram citados. ii

5 Conteúdo Lista de Figuras Lista de Tabelas Resumo Abstract Glossário de Termos vi vii viii ix x 1 Introdução Controle Adaptativo Definição Controle Adaptativo Direto e Indireto Escalonamento de Ganhos Controle Adaptativo por Modelo de Referência Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos Sistemas com Estrutura Variável Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos e Estrutura Variável Estrutura do Trabalho Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos Introdução PPC: Parâmetros da Planta Conhecidos Descrição do Problema Método Polinomial iii

6 3 Sistemas com Estrutura Variável Introdução Descrição Geral Controle Equivalente Solução de Filippov Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos e Estrutura Variável Introdução Descrição do Método Prova de Estabilidade Cálculo dos Parâmetros do Controlador Aplicação do Controlador Planta de Primeira Ordem Instável Simulações Motor de Indução Trifásico Modelagem Parâmetros do Motor de Indução Simulações Sistema de Acionamento Implementação Prática Conclusões e Perspectivas 42 A Modelos Entrada/Saída 43 A.1 Funções de Transferência A.2 Polinômios Coprimos B Conceitos Sobre Estabilidade 46 B.1 Definição de Estabilidade B.2 Método Direto de Lyapunov B.2.1 Funções Definidas Positivas e Negativas B.2.2 Translação da Origem do Sistema de Coordenadas B.2.3 Teoremas Sobre Estabilidade (Segundo Lyapunov) iv

7 B.3 Princípio do Modelo Interno Referências Bibliográficas 50 v

8 Lista de Figuras 1.1 Esquema de um controlador adaptativo Diagrama de blocos para controle adaptativo indireto Diagrama de blocos para controle adaptativo direto Escalonamento de ganhos Controle por Modelo de Referência MRAC Indireto MRAC Direto Diagrama de blocos do PPC Uma realização alternativa do PPC Superfície de deslizamento em um sistema de estrutura variável Filtro passa-baixa para obtenção de u eq Campo vetorial no modo deslizante (solução de Filippov) Diagrama de blocos do VS-APPC para planta de primeira ordem APPC Indireto utilizando o método do gradiente VS-APPC Indireto para sistema de primeira ordem Comportamento dos parâmetros da planta utilizando leis chaveadas Diagrama vetorial do motor de indução (ω s é a velocidade síncrona.) VS-APPC para o controle de velocidade de um motor de indução trifásico Alteração dos parâmetros da planta Perturbações no sistema e alterações no sinal de referência do sistema Sistema de acionamento Implementação prática do VS-APPC vi

9 Lista de Tabelas 5.1 Parâmetros elétricos do motor Característica tensão x velocidade do tacogerador vii

10 Resumo Existem dois métodos principais para a construção de controladores adaptativos. Um deles é o controle adaptativo por modelo de referência (MRAC) e o outro é o controle adaptativo por posicionamento de pólos (APPC). No MRAC, um modelo de referência é escolhido para gerar a trajetória desejada que o sinal de saída da planta deve seguir, e ele pode requerer o cancelamento de zeros da planta. Devido a sua flexibilidade em escolher a metodologia de projeto do controlador (realimentação de estado, projeto de compensador, linear quadrático, etc.) e a lei adaptativa (mínimos quadrados, método do gradiente, etc.), o APPC é o tipo mais geral de controle adaptativo. Tradicionalmente, vem sendo desenvolvido em uma abordagem indireta e, como uma vantagem, pode ser aplicado a plantas de fase não-mínima, já que não envolve cancelamentos de zeros e pólos. A integração aos sistemas com estrutura variável permite agregar rapidez no transitório e robustez às variações paramétricas e perturbações. O objetivo deste trabalho é desenvolver um controlador adaptativo por posicionamento de pólos e estrutura variável (VS-APPC). Portanto, são propostas leis chaveadas em substituição às leis adaptativas integrais tradicionais. Adicionalmente, são apresentadas simulações para uma planta de primeira ordem instável, assim como simulações e resultados práticos da aplicação da técnica proposta a um motor de indução trifásico. viii

11 Abstract There are two main approaches for using in adaptive controllers. One is the socalled model reference adaptive control (MRAC), and the other is the so-called adaptive pole placement control (APPC). In MRAC, a reference model is chosen to generate the desired trajectory that the plant output has to follow, and it can require cancellation of the plant zeros. Due to its flexibility in choosing the controller design methodology (state feedback, compensator design, linear quadratic, etc.) and the adaptive law (least squares, gradient, etc.), the APPC is the most general type of adaptive control. Traditionally, it has been developed in an indirect approach and, as an advantage, it may be applied to non-minimum phase plants, because do not involve plant zero-pole cancellations. The integration to variable structure systems allows to aggregate fast transient and robustness to parametric uncertainties and disturbances, as well. In this work, a variable structure adaptive pole placement control (VS-APPC) is proposed. Therefore, new switching laws are proposed, instead of using the traditional integral adaptive laws. Additionally, simulation results for an unstable first order system and simulation and practical results for a three-phase induction motor are shown. ix

12 Glossário de Termos APPC - Adaptive Pole Placement Control (Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos) LTI - Linear Time Invariant (Linear e Invariante no Tempo) MRAC - Model Reference Adaptive Control (Controle Adaptativo por Modelo de Referência) MRC - Model Reference Control (Controle por Modelo de Referência) PPC - Pole Placement Control (Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos) SISO - Single Input Single Output (Monovariável) VSC - Variable Structure Control (Controle por Estrutura Variável) VS-APPC - Variable Structure Adaptive Pole Placement Control (Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos e Estrutura Variável) VS-MRAC - Variable Structure Model Reference Adaptive Control (Controle Adaptativo por Modelo de Referência e Estrutura Variável) x

13 Capítulo 1 Introdução 1.1 Controle Adaptativo A maioria das técnicas para projeto de sistemas de controle são baseadas em um bom entendimento da planta em estudo e seu meio. Entretanto, em muitos casos, a planta a ser controlada é muito complexa e os processos físicos básicos nela presentes não são completamente entendidos, possuindo muitas vezes parâmetros incertos constantes ou variando lentamente. Por exemplo, robôs manipuladores podem carregar objetos grandes com parâmetros inerciais desconhecidos. Sistemas de potência podem ser submetidos a grandes variações nas condições de carga. Portanto, as técnicas de projeto de controle precisam ser adicionadas de uma técnica de estimação de parâmetros, visando obter progressivamente um melhor entendimento da planta a ser controlada. É assim intuitivo agregar estimação de parâmetros e controle. Freqüentemente, os dois passos são feitos separadamente. Se a estimação de parâmetros é recursiva, isto é, o modelo da planta é periodicamente atualizado com base em estimativas anteriores e novos dados, estimação e controle podem ser executados concorrentemente [1]. O controle de modelos de plantas desconhecidas ou parcialmente conhecidas é objeto de estudo da área de sistemas de controle adaptativo Definição A idéia básica em controle adaptativo é estimar os parâmetros desconhecidos da planta (ou equivalentemente, os correspondentes parâmetros do controlador) em tempo real 1

14 Capítulo 1. Introdução 2 ajuste de parâmetros referência parâmetros do controlador controlador sinal de controle processo saída Figura 1.1: Esquema de um controlador adaptativo. baseado nos sinais medidos do sistema, e usar os parâmetros estimados no cálculo da lei de controle [2], tendo como objetivo alterar o comportamento do sistema de modo a ajustá-lo a circunstâncias novas ou modificadas. Um sistema de controle adaptativo pode ser considerado como um sistema de controle com estimação de parâmetros em tempo real. Controle adaptativo consiste, portanto, em aplicar alguma técnica de estimação para obter os parâmetros do modelo do processo e de seu meio a partir de medições de entradas e saídas e usar este modelo para projetar um controlador [3]. Os parâmetros do controlador são ajustados durante a operação da planta conforme a quantidade de dados disponíveis. As técnicas de projeto para sistemas adaptativos são estudadas e analisadas em teoria para plantas desconhecidas, mas fixas (isto é, invariantes no tempo). Na prática, elas são aplicadas para plantas desconhecidas e lentamente variantes no tempo. A estrutura do controlador consiste de uma malha de realimentação e de um controlador com ganhos ajustáveis, conforme mostra a Figura 1.1. A forma como são alterados os ganhos do controlador em resposta a mudanças na planta e perturbações distingue um esquema de controle do outro Controle Adaptativo Direto e Indireto Um controlador adaptativo é formado através da combinação de um estimador de parâmetros em tempo real, que provê a estimativa dos parâmetros desconhecidos a cada instante, com uma lei de controle. A forma como o estimador de parâmetros, também conhecido como lei adaptativa, é combinado com a lei de controle, leva a dois diferentes

15 Capítulo 1. Introdução 3 r Controlador C(θ c ) u Planta P (θ ) y θ c Estimador de θ θ(t) Cálculos θ c (t) = F (θ(t)) r Figura 1.2: Diagrama de blocos para controle adaptativo indireto. métodos. No primeiro método, conhecido como controle adaptativo direto, o modelo da planta é parametrizado em função dos parâmetros do controlador, os quais são estimados diretamente, sem cálculos intermediários envolvendo estimativas de parâmetros da planta. No segundo método, conhecido como controle adaptativo indireto, os parâmetros da planta são estimados a cada instante e utilizados para o cálculo dos parâmetros do controlador. No controle adaptativo indireto, o modelo da planta P (θ ) é parametrizado em relação a um vetor de parâmetros desconhecidos θ. Um estimador em tempo real gera uma estimativa θ(t) de θ a cada instante t, processando a entrada u e a saída y. A estimativa dos parâmetros θ(t) especifica um modelo estimado caracterizado por ˆP (θ(t)), que é usado para calcular os parâmetros do controlador ou vetor de ganhos θ c (t) a cada instante t. Este modelo, para o projeto do controlador, é tratado como o verdadeiro modelo da planta no instante t. Este princípio é conhecido como princípio de equivalência à certeza. As formas da lei de controle C(θ c ) e da equação algébrica θ c = F (θ) são escolhidas como as mesmas que seriam usadas para atender os requisitos de desempenho para o modelo P (θ ) se θ fosse conhecido. É claro, neste método, que C(θ c (t)) é projetada a cada instante t de modo a satisfazer os requisitos de desempenho do modelo estimado ˆP (θ(t)), que pode ser diferente do modelo da planta desconhecida P (θ ). Assim, o principal problema no controle adaptativo indireto é escolher a classe de leis de controle C(θ c ) e a classe de estimadores de parâmetros que geram θ(t), bem como a equação algébrica θ c = F (θ(t)),

16 Capítulo 1. Introdução 4 r Controlador C(θ c ) u Planta P (θ ) P c (θ c) y θ c Estimação em tempo real de θ c r Figura 1.3: Diagrama de blocos para controle adaptativo direto. de forma que C(θ c (t)) atenda os requisitos de desempenho para o modelo P (θ ) com θ desconhecido. A Figura 1.2 mostra o diagrama de blocos para o controle adaptativo indireto. No controle adaptativo direto, o modelo da planta P (θ ) é parametrizado em função de um vetor de parâmetros desconhecido θc do controlador, com o qual C(θc) atende os requisitos de desempenho, para obter o modelo P c (θc) com exatamente as mesmas características entrada/saída de P (θ ). O estimador de parâmetros em tempo real é projetado baseado em P c (θc) ao invés de P (θ ) para prover estimativas diretas θ c (t) de θc em cada instante t através do processamento da entrada u e da saída y da planta. A estimativa θ c (t) é então usada para atualizar o vetor de parâmetros do controlador θ c sem cálculos intermediários. A escolha da classe de leis de controle C(θ c ) e os estimadores de parâmetros que geram θ c (t), de forma que C(θ c (t)) atenda os requisitos de desempenho para o modelo P (θ ) são os principais problemas no controle adaptativo direto. As propriedades do modelo P (θ ) são fundamentais na obtenção do modelo parametrizado P c (θc) que é conveniente para a estimação em tempo real. Como conseqüência, o controle adaptativo direto é restrito a certas classes de modelos de planta. Uma classe de modelos possível consiste em todas as plantas monovariáveis, lineares e invariantes no tempo (LTI) que são de fase mínima, isto é, seus zeros estão localizados no semi-plano esquerdo. A Figura 1.3 mostra o diagrama de blocos para o controle adaptativo direto.

17 Capítulo 1. Introdução 5 r θ i Controlador C(θ) u Escalonador de ganhos Planta Medições Auxiliares y Figura 1.4: Escalonamento de ganhos Escalonamento de Ganhos Em alguns sistemas existem variáveis auxiliares que descrevem bem as características da dinâmica do processo. Se estas variáveis podem ser medidas, elas podem ser usadas para mudar os parâmetros do controlador. Cada conjunto destas variáveis consiste num ponto de operação do processo. Vamos considerar um processo onde para cada ponto de operação i, i = 1, 2,..., N, consistindo das variáveis citadas anteriormente, os parâmetros são conhecidos. Para um dado ponto de operação i, um controlador por realimentação com ganhos constantes, dito θ i, pode ser projetado para encontrar os requisitos de desempenho para o modelo linear correspondente. Isto leva a um controlador, dito C(θ), com um conjunto de ganhos θ 1, θ 2,..., θ n cobrindo os N pontos de operação. Uma vez que um ponto de operação i é detectado, os ganhos do controlador podem ser mudados para o valor apropriado de θ i, obtido de um conjunto pré-calculado de ganhos. Esta abordagem é chamada escalonamento de ganhos e é ilustrada na Figura 1.4. A vantagem do escalonamento de ganhos é que os ganhos do controlador podem ser mudados tão rapidamente quanto às medidas auxiliares respondem para as mudanças de parâmetros. Mudanças rápidas e freqüentes dos ganhos do controlador, entretanto, podem conduzir à instabilidade. Por isso, existe um limite de acordo com a freqüência e rapidez com que os ganhos do controlador podem ser mudados. Existem controvérsias se o escalonamento de ganhos deve ser considerado como um sistema adaptativo ou não, já que os ganhos do controlador são mudados em malha aberta.

18 Capítulo 1. Introdução 6 Modelo de Referência M(s) y m r Controlador C(θc) u Planta G(s) e 0 + y Figura 1.5: Controle por Modelo de Referência. Apesar de suas limitações, o escalonamento de ganhos é um método popular para lidar com variações de parâmetros em diversas aplicações, como por exemplo, na aviação Controle Adaptativo por Modelo de Referência O controle adaptativo por modelo de referência (MRAC) [4] é derivado do problema de acompanhamento de modelo ou problema de controle por modelo de referência (MRC) e é uma das principais abordagens para controle adaptativo. No MRC, um bom entendimento da planta e dos requisitos de desempenho, possibilita ao projetista adotar um modelo, conhecido como modelo de referência. Este modelo descreve as características de entrada/saída desejadas para a planta em malha fechada. O objetivo do MRC é encontrar a lei de controle por realimentação que altera a estrutura e a dinâmica da planta de tal forma que as propriedades de entrada/saída sejam exatamente iguais às do modelo de referência. A desvantagem é que o processo de adaptação ao modelo, em geral, é lento e oscilatório. A estrutura para o esquema MRC para uma planta linear e invariante no tempo é mostrada na Figura 1.5. A função de transferência M(s) do modelo de referência é projetada de forma que para um dado sinal de referência r(t) a saída y m (t) represente a saída desejada y(t) que a planta deve seguir. O controlador por realimentação C(θc) é projetado de forma que todos os sinais sejam uniformemente limitados e a função de transferência da planta de r para y seja igual a M(s). Esta condição garante que para qualquer sinal de referência r(t), o erro de saída e 0 = y y m, que representa o desvio da saída da planta em relação à trajetória desejada y m, tenda para zero com o tempo. A condição de matching para a função de transferência da planta é obtida através do cancelamento dos zeros de G(s), substituindo-

19 Capítulo 1. Introdução 7 r Controlador C(θ c ) Modelo de Referência M(s) u Planta P (θ ) y m e0 + y Estimador de θ r θ c θ(t) Cálculos θ c (t) = F (θ(t)) Figura 1.6: MRAC Indireto. os pelos zeros de M(s) e tornando os pólos do sistema em malha fechada iguais aos do modelo de referência, através do controlador C(θc). O cancelamento dos zeros da planta impõe a restrição da planta ser de fase mínima, isto é, ter zeros no semiplano esquerdo. Se qualquer zero da planta estiver no semi-plano direito, seu cancelamento pode facilmente levar a sinais ilimitados, já que com zeros no semi-plano direito, visto que o cancelamento não é perfeito, o sistema pode se tornar instável [4]. Quando θ é desconhecido o esquema MRC da Figura 1.5 não pode ser implementado, pois θc não pode ser calculado, sendo assim desconhecido. Uma solução é substituir θc desconhecido na lei de controle por sua estimativa θ c (t) obtida usando o método direto ou indireto. O esquema de controle resultante é conhecido como MRAC e pode ser classificado coo MRAC indireto na Figura 1.6 e MRAC direto na Figura Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos O controle adaptativo por posicionamento de pólos (APPC) é derivado do controle por posicionamento de pólos (PPC) e problemas de regulação usados no caso de plantas lineares invariantes no tempo (LTI) com parâmetros desconhecidos. No PPC, os requisitos de desempenho são transladados para as locações desejadas

20 Capítulo 1. Introdução 8 r Controlador C(θ c ) Modelo de Referência M(s) u Planta P (θ ) P c (θ c) y m e 0 + y θ c Estimação em tempo real de θ c r Figura 1.7: MRAC Direto. dos pólos de malha fechada. Uma lei de controle por realimentação é então desenvolvida alocando os pólos de malha fechada nas posições desejadas. A estrutura do controlador C(θc) e o vetor de parâmetros θc são escolhidos de forma que os pólos da função de transferência da planta em malha fechada de r para y sejam iguais aos desejados. O vetor θc é geralmente calculado em função de θ, onde θ é um vetor com os coeficientes da função de transferência G(s). Se θ é conhecido, então θc é calculado e usado na lei de controle. Quando θ é desconhecido, θc é também desconhecido e o PPC não pode ser implementado. Nesse caso, assim como no caso do MRC, nós podemos usar o princípio de equivalência à certeza para substituir o vetor desconhecido θc por sua estimativa θ c (t), ou seja, em linhas gerais, os parâmetros do controlador são calculados das estimativas dos parâmetros da planta como se elas fossem os verdadeiros parâmetros. O esquema resultante é referido como APPC. Se θ c (t) é atualizado diretamente usando um estimador de parâmetros em tempo real, o esquema é referido como um APPC direto. Se θ c (t) é calculado em função de θ(t), que é uma estimativa para θ gerada por um estimador em tempo real, o esquema é referido como APPC indireto. As estruturas do APPC indireto e direto são as mesmas que as mostradas nas Figuras 1.2 e 1.3, respectivamente, para o caso geral.

21 Capítulo 1. Introdução Sistemas com Estrutura Variável A teoria de sistemas com estrutura variável tem sido bastante utilizada no tratamento de problemas de sistemas de controle, principalmente na forma conhecida como controle por modos deslizantes [5-11]. Neste método, as funções de chaveamento das variáveis de controle devem ser projetadas de modo a restringir a dinâmica do sistema a uma superfície chamada superfície deslizante. Os sistemas com estrutura variável têm como principais características a rapidez do transitório e robustez a variações paramétricas e perturbações, dentro de uma faixa de tolerância estipulada no projeto. Em contrapartida, possuem alguns aspectos a considerar, como alto valor do sinal de controle inicial e chaveamento do sinal de controle em alta freqüência, fenômeno chamado chattering. Esta teoria teve origem no estudo dos controladores à relé e baseia-se no chaveamento das variáveis de controle dentro de um conjunto de funções das variáveis de estado da planta de acordo com uma dada regra, o que impõe para este método o conhecimento de todas as variáveis de estado do sistema. 1.3 Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos e Estrutura Variável Conforme foi visto nas Seções e 1.1.5, as duas principais abordagens do controle adaptativo (MRAC e APPC) utilizam algoritmos de adaptação que, em geral, baseiam-se em uma lei do tipo integral [12]. O sistema resultante apresenta problemas bem conhecidos de estabilidade sob condições não ideais como, por exemplo, na presença de distúrbios externos [13,24], e um comportamento transitório inaceitável [14-15]. No caso do APPC, dentro do qual se insere este trabalho, diversos trabalhos têm sido publicados tratando de possíveis soluções para o problema de robustez no que diz respeito a perturbações limitadas [16-17]; dinâmica não-modelada [18-20]; e variações paramétricas [17]. Com o objetivo de agregar as características do APPC e do VSC, ou seja, aplicabilidade a plantas de fase não mínima, transitório rápido e robustez, este trabalho propõe um

22 Capítulo 1. Introdução 10 controlador, chamado VS-APPC (Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos e Estrutura Variável) [21-23], que substitui as leis integrais do APPC por leis chaveadas. 1.4 Estrutura do Trabalho Este trabalho está organizado da seguinte forma: o capítulo 2 apresenta o desenvolvimento matemático do APPC utilizando a abordagem polinomial; o capítulo 3 apresenta uma breve descrição do controle por estrutura variável (VSC), com um exemplo de projeto para uma planta de segunda ordem; o capítulo 4 apresenta a descrição e o desenvolvimento matemático, assim como a prova de estabilidade, do VS-APPC para plantas de primeira ordem; o capítulo 5 apresenta os resultados de simulações para duas plantas de primeira ordem e os resultados práticos da implementação do VS-APPC aplicado a um motor de indução; e o capítulo 6 apresenta as conclusões e perspectivas para futuras pesquisas.

23 Capítulo 2 Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos 2.1 Introdução A suposição de que a planta é de fase mínima, ou seja, tem zeros no semiplano esquerdo, é bastante restritiva em muitas aplicações. Por exemplo, a aproximação de atrasos de tempo em processos químicos e outros processos industriais leva a modelos de planta com zeros no semiplano direito. Uma classe de esquemas de controle muito popular no caso de parâmetros conhecidos é aquela que muda o posicionamento dos pólos da planta e não envolve cancelamentos de zeros e pólos. Estes esquemas (PPC) são aplicáveis a plantas LTI de fase mínima e não mínima. A combinação de uma lei de controle por posicionamento de pólos com um estimador de parâmetros ou uma lei adaptativa leva a um APPC e pode ser usado para controlar uma grande variedade de plantas LTI com parâmetros desconhecidos. O APPC pode ser dividido em duas classes: APPC indireto, onde a lei de controle gera as estimativas dos coeficientes da planta em tempo real, que são usadas então para calcular os parâmetros da lei de controle através da solução de alguma equação algébrica; e o APPC direto, onde os parâmetros da lei de controle são gerados diretamente por uma lei adaptativa sem cálculos intermediários que envolvem estimativas dos parâmetros da planta. O APPC direto é restrito a plantas monovariáveis (SISO) e a uma classe especial 11

24 Capítulo 2. Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos 12 de plantas onde os parâmetros desejados do controle por alocação de pólos podem ser expressos na forma de um modelo paramétrico linear ou bilinear [25]. O APPC indireto, por outro lado, é fácil de projetar e é aplicável a uma grande variedade de plantas LTI que não precisam ser de fase mínima ou estável. Devido a sua flexibilidade em escolher a metodologia do projeto do controlador (realimentação de estado, projeto de compensador, linear quadrático, etc.) e lei adaptativa (mínimos quadrados, método do gradiente, etc.), o APPC indireto é o tipo mais geral de controle adaptativo. O controle APPC também é conhecido como self-tuning (auto-ajustável). Esta técnica de controle também pode ser aplicada a alguns sistemas não lineares sem qualquer diferença conceitual [2]. Neste trabalho, é abordado o APPC indireto. O método escolhido para projetar a lei de controle é o método polinomial, que será discutido na Seção PPC: Parâmetros da Planta Conhecidos Um esquema de controle adaptativo indireto consiste de três partes: a lei adaptativa que provê estimativas em tempo real para os parâmetros da planta; o mapeamento entre os parâmetros da planta e do controlador que é usado para calcular os parâmetros do controlador a partir das estimativas em tempo real dos parâmetros da planta; e a lei de controle. Diversas leis de controle podem ser desenvolvidas para alcançar o objetivo do PPC, como, por exemplo, o método por variáveis de estado, que usa um observador de estados e realimentação por variáveis de estado, e o controle linear quadrático, que usa uma técnica de otimização para projetar o sinal de controle que garante limitação e regulação do sinal de saída da planta ou erro de rastreamento nulo por minimizar uma certa função de custo que reflete o desempenho do sistema em malha fechada [25]. Neste trabalho é abordado o método polinomial. O propósito desta seção é fazer o desenvolvimento do método polinomial para alcançar o objetivo do PPC, quando os parâmetros são conhecidos com exatidão. A forma desta lei de controle assim como o mapeamento entre os parâmetros do controlador e da planta são usados para formar o APPC indireto para plantas com parâmetros desconhecidos.

25 Capítulo 2. Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos Descrição do Problema Consideremos uma planta SISO e LTI y = G(s)u, G(s) = Z(s) R(s) (2.1) onde G(s) é estritamente própria (seu grau relativo, ou excesso de pólos, é pelo menos 1) e R(s) é um polinômio mônico (o coeficiente da potência mais alta em s é 1). O objetivo de controle é escolher um sinal de entrada u de forma que os pólos de malha fechada sejam os pólos do polinômio mônico Hurwitz (todas as raízes com parte real negativa) A (s). O polinômio A (s) é referido como o polinômio característico de malha fechada desejado, e é escolhido baseado nos requisitos de desempenho de malha fechada. Para alcançar o objetivo de controle, serão feitas as seguintes suposições sobre a planta: S1. R(s) é um polinômio cujo grau n é conhecido. S2. Z(s) e R(s) são coprimos e grau(z) < n. As suposições S1 e S2 permitem que Z e R sejam não-hurwitz em contraste ao caso do MRC onde Z deve ser Hurwitz. Em geral, pela atribuição dos pólos de malha fechada aos pólos de A (s), nós podemos garantir a estabilidade e convergência da saída da planta y para zero sem a utilização de uma entrada externa. Nós podemos estender o objetivo do PPC ao incluir o rastreamento, onde y é requerido seguir uma certa classe de sinais de referência r, usando o princípio do modelo interno como segue: o sinal de referência uniformemente limitado é assumido satisfazer: Q m (s)r = 0 (2.2) onde Q m (s) é o modelo interno de r, ou seja, é um polinômio mônico conhecido de grau q com raízes não repetidas no eixo jω, exceto na origem, e que satisfaz S3. Q m (s) e Z(s) são coprimos. Por exemplo, se y é requerido seguir o sinal de referência r = 2+sen(2t), então Q m (s) = s(s 2 + 4) e, portanto, de acordo com (S3), Z(s) não deveria ter s ou s como um fator Método Polinomial Vamos considerar a lei de controle Q m (s)l(s)u = P (s)y + M(s)r (2.3)

26 Capítulo 2. Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos 14 onde P (s), L(s) e M(s) são polinômios (com L(s) mônico) de grau q + n 1, n 1 e q + n 1, respectivamente, a serem calculados e Q m (s) satisfaz (2.2) e a suposição S3. Aplicando (2.3) à planta (2.1), nós obtemos a planta em malha fechada cuja equação característica y = Z(s)M(s) Q m L(s)R(s) + P (s)z(s) r (2.4) Q m L(s)R(s) + P (s)z(s) = 0 (2.5) tem ordem 2n + q 1. O objetivo agora é escolher P e L, tal que Q m L(s)R(s) + P (s)z(s) = A (s) (2.6) seja satisfeita por um polinômio Hurwitz mônico A (s) de grau 2n + q 1. Devido às suposições S2 e S3 garantirem que Q m, R, Z são coprimos, existe solução para que L e P satisfaçam (2.6) e esta solução é única. A solução para os coeficientes de L(s), P (s) da equação (2.6) pode ser obtida pela resolução da equação algébrica S l β l = αl (2.7) onde S l é a matriz de Sylvester de Q m R e Z de dimensão 2(n + q) 2(n + q) l i, p i e α i são os coeficientes de β l = [lq T, p T ] T, αl = [0,..., 0, 1, α } {{ } T ] T q l q = [0,..., 0, 1, l } {{ } T ] T R n+q q l = [l n 2, l n 3,..., l 1, l 0 ] T R n 1 p = [p n+q 1, p n+q 2,..., p 1, p 0 ] T R n+q α = [α 2n+q 2, α 2n+q 3,..., α 1, α 0] T R 2n+q 1 L(s) = s n 1 + l n 2 s n l 1 s + l 0 = s n 1 + l T α n 2 (s) P (s) = p n+q 1 s n+q 1 + p n+q 2 s n+q p 1 s + p 0 = p T α n+q 1 (s) A (s) = s 2n+q 1 + α 2n+q 2s 2n+q α 1s + α 0 = s 2n+q 1 + α T α 2n+q 2 (s)

27 Capítulo 2. Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos 15 r + e P (s) u G(s) y Q m (s)l(s) Figura 2.1: Diagrama de blocos do PPC. onde α i (s) [s i, s i 1,..., 1] T. O fato de Q m, R e Z serem coprimos garante que S l é não-singular e, portanto, os coeficientes de L(s) e P (s) podem ser computados da equação Usando (2.6), a planta em malha fechada é descrita por β l = S 1 l α l (2.8) y = ZM A r (2.9) Similarmente, da equação da planta em (2.1), da lei de controle em (2.3) e (2.6), obtemos Devido r ser um sinal uniformemente limitado e ZM A u = RM A r (2.10) e RM A serem próprias com pólos estáveis, y e u são uniformemente limitados para algum polinômio M(s) de grau n+q 1. Por isso, o objetivo do posicionamento de pólos é alcançado pela lei de controle (2.3) sem ter que adicionar restrições em M(s) e Q m (s). Quando r = 0, (2.9) e (2.10) implicam que y e u convergem para zero com taxa de convergência exponencial. Quando r 0 o erro de rastreamento e = r y é dado por e = A ZM r = LR A A Q mr Z (M P )r (2.11) A Para erro de rastreamento nulo, (2.11) sugere a escolha de M(s) = P (s) para anular o segundo termo em (2.11). O primeiro termo em (2.11) é anulado usando Q m r = 0. Por isso, o posicionamento de pólos e o objetivo de rastreamento são conseguidos pela lei de controle Q m Lu = P (r y) (2.12) que é implementada como mostrado na Figura 2.1 usando n + q 1 integradores para a realização do controlador C(s) = P (s). Devido L(s) não ser necessariamente Hurwitz, Q m (s)l(s)

28 Capítulo 2. Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos 16 r + P (s) + u G(s) y Λ(s) + Λ(s) Q m (s)l(s) Λ(s) Figura 2.2: Uma realização alternativa do PPC. a realização de (2.12) com n + q 1 integradores pode ter uma função de transferência, nomeada C(s), com pólos no semi-plano direito. Uma realização alternativa de (2.12) é obtida reescrevendo (2.12) como u = Λ LQ m u P (y r) (2.13) Λ Λ onde Λ é algum polinômio Hurwitz de grau n + q 1. A lei de controle (2.13) é implementada como mostrada na Figura 2.2 usando 2(n + q 1) integradores para realizar as funções de transferência estáveis próprias Λ LQm Λ e P Λ.

29 Capítulo 3 Sistemas com Estrutura Variável 3.1 Introdução Conforme foi dito no Capítulo 1, o VSC tem sua fundamentação no controle por relés, sendo as funções de chaveamento das variáveis de controle projetadas de modo a restringir a dinâmica do sistema a uma superfície chamada superfície deslizante, e tem como principais características a rapidez do transitório e robustez a variações paramétricas e perturbações (dentro de uma faixa de tolerância estipulada no projeto). Esta estratégia de controle tem sido usada com sucesso em manipuladores robóticos, veículos submarinos, motores elétricos de alta performance e sistemas de potência [2]. O VSC com modos deslizantes é largamente utilizado em pesquisa na área de controle por ser insensível a variações paramétricas e perturbações externas [8]. O projeto do controle por modos deslizantes geralmente envolve dois passos principais: primeiro, é feita a seleção de uma superfície deslizante que induza a uma dinâmica de ordem reduzida estável designada pelo projetista, e, posteriormente, a síntese de uma lei de controle para forçar as trajetórias do sistema em malha fechada irem e permanecerem na superfície deslizante. A maioria das técnicas de projeto para controle por modos deslizantes supõe que todos os estados do sistema são acessíveis para a lei de controle. Na prática, nem todos os estados estão fisicamente disponíveis para realimentação. Neste caso, um controlador por modos deslizantes com realimentação de estados não pode ser implementado, a menos que um observador seja usado para estimar os estados não-mensuráveis [26], ou os métodos 17

30 Capítulo 3. Sistemas com Estrutura Variável 18 f + (x) x(0) s(x) > 0 f (x) ṡ(x) < 0 x 2 s(x) < 0 ṡ(x) > 0 x 1 s(x) = cx 1 + x 2 = 0 Figura 3.1: Superfície de deslizamento em um sistema de estrutura variável. de projeto devem ser modificados de tal forma que somente um subconjunto dos estados seja requerido para implementar a lei de controle. Este capítulo tem por objetivo apresentar o desenvolvimento matemático do VSC, para um sistema de segunda ordem, que é fundamental para o desenvolvimento de um controlador adaptativo com leis chaveadas. 3.2 Descrição Geral Consideremos o seguinte sistema de segunda ordem x 1 = x 2 x 2 = a 1 x 1 + a 2 x 2 + u (3.1) com a 1 e a 2 conhecidos com incertezas. Define-se uma superfície de chaveamento s como s = { x R 2 s(x) = cx 1 + x 2 = 0, c > 0 } (3.2) na qual deseja-se que permaneçam as variáveis de estado x 1 e x 2 (dinâmica do sistema), ou seja, sobre a qual o sistema deve deslizar. Deve ser satisfeita a condição sṡ < 0 para se ter o comportamento ilustrado na Figura 3.1.

31 Capítulo 3. Sistemas com Estrutura Variável 19 Utiliza-se um sinal de controle da forma u + (x), se s(x) > 0 u(x) = u (x), se s(x) < 0 (3.3) Sendo f(x) uma função definida como x 2 f(x) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + u (3.4) o sistema passa a ser f + (x), se s(x) > 0 ẋ = f (x), se s(x) < 0 (3.5) Se a condição sṡ < 0 é satisfeita em uma vizinhança de s(x) = 0, os campos vetoriais f + (x) e f (x) apontam para s nesta vizinhança. Portanto, se uma trajetória alcança s, é forçada a deslizar (escorregar ou apresentar um modo deslizante - sliding mode) sobre esta superfície, ou seja, é definido um modo deslizante em s. com onde Consideremos o sinal de controle u = θ 1 x 1 + θ 2 x 2 (3.6) θ 1 = θ 1 sgn(sx 1 ), θ1 > a 1 θ 2 = θ 2 sgn(sx 2 ), θ2 > c + a 2 1, se x > 0 sgn(x) = 1, se x < 0 (3.7) (3.8) Os valores dos parâmetros θ determinam a rapidez com que a trajetória atinge a superfície de deslizamento. Pela condição de deslizamento temos Substituindo (3.6) em (3.9), encontramos sṡ = s (cx 1 + x 2 ) = s(cx 2 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + u) (3.9) sṡ = s [a 1 x 1 + (a 2 + c) x 2 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2 ] (3.10) Usando (3.7) em (3.10), obtemos sṡ = s [ a 1 x 1 + (a 2 + c) x 2 θ 1 sgn (sx 1 ) x 1 θ 2 sgn (sx 2 ) x 2 ] sṡ = a 1 sx 1 θ 1 sx 1 + (a 2 + c) sx 2 θ 2 sx 2 (3.11)

32 Capítulo 3. Sistemas com Estrutura Variável 20 u 1 τs+1 u av Figura 3.2: Filtro passa-baixa para obtenção de u eq. Então, a condição de deslizamento sṡ < 0 é obtida com θ 1 > a 1 e θ 2 > c+a 2. Portanto, s torna-se uma superfície deslizante (Figura 3.1). Se a 1 e a 2 são variantes no tempo e/ou conhecidos com incertezas, a condição de deslizamento pode ser satisfeita desde que os parâmetros do vetor θ sejam devidamente dimensionados, ou seja, θ 1 > sup t>0 a 1 (t) θ 2 > sup t>0 c + a 2 (t) (3.12) Este sistema de controle apresenta dificuldades de implementação devido à necessidade de medição de todas as variáveis de estado da planta e ao surgimento de sinais de alta frequência (chattering), devido à excessiva atividade de controle decorrente de imperfeições nos mecanismos de chaveamento reais. 3.3 Controle Equivalente O Controle Equivalente [6] é definido como o controle contínuo que, quando a trajetória está sobre a superfície deslizante, deveria ser aplicado para manter a trajetória sobre esta superfície. No deslizamento, temos para o caso ideal ṡ 0. Então cẋ 1 + ẋ 2 = 0 cx 2 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + u = 0 u eq = a 1 x 1 (a 2 + c)x 2 Na prática, a obtenção de u eq é feita através da filtragem de u (u av ) por um filtro passa-baixa com freqüência de corte suficientemente elevada. Se a freqüência de corte do filtro ( 1) é suficientemente elevada, então u τ av u eq.

33 Capítulo 3. Sistemas com Estrutura Variável 21 x 2 f f + f x 1 s(x) = 0 Figura 3.3: Campo vetorial no modo deslizante (solução de Filippov) 3.4 Solução de Filippov As equações diferenciais que surgem em sistemas com estrutura variável apresentam lado direito descontínuo (devido à descontinuidade introduzida pelo controle) e, assim, não é possível garantir a existência e unicidade de uma solução para o sistema. Filippov [28] propôs uma definição que é particularmente adequada para o tipo de equações diferenciais que surgem em sistemas com estrutura variável. Basicamente, as soluções no sentido de Filippov são absolutamente contínuas como funções do tempo e, também, contínuas em relação às condições iniciais. Isto torna possível a extensão do método direto de Lyapunov na análise de estabilidade de sistemas com estrutura variável. Se ocorre deslizamento em uma dada superfície s, um campo vetorial f em cada ponto desta superfície pode ser determinado a partir dos campos vetoriais f + e f direcionados conforme a Figura 3.3. Desta maneira é obtido um fecho convexo mínimo que é a base do método de Filipov. Uma vez que, o deslizamento ideal ocorre na superfície de deslizamento, o campo vetorial permanece em um plano tangencial à superfície. Assim, a equação para o deslizamento ideal, definida de acordo com Filippov, é dada por f = αf + + (1 α)f, 0 α 1 (3.13) onde α é um parâmetro que depende das direções e magnitudes dos campos vetoriais f +,

34 Capítulo 3. Sistemas com Estrutura Variável 22 f e do gradiente da função s(x). A definição acima permite garantir a existência e unicidade da solução em equações diferenciais com lado direito descontínuo e é muito útil em problemas de engenharia. Suponha que f(x, t) seja função de um relé não ideal, por exemplo, com um pequeno atraso de chaveamento. A solução de Filippov corresponde ao limite da solução de ẋ = f(x, t) com o atraso do relé tendendo a zero [6].

35 Capítulo 4 Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos e Estrutura Variável 4.1 Introdução Em trabalhos anteriores, foi desenvolvida uma técnica de controle que absorveu as qualidades do VSC, utilizando, ao invés de medições de todas as variáveis de estado do sistema, apenas medições de entrada e saída da planta, a qual foi denominada Controle Adaptativo por Modelo de Referência e Estrutura Variável (VS-MRAC) [11,29-30], tendo em vista que as leis de adaptação integrais do MRAC [31] foram substituídas por leis chaveadas. Este algoritmo se baseava na abordagem direta do MRAC, sendo assim limitada a plantas de fase mínima. Com o intuito de simplificar o projeto do controlador, foi proposto um novo controlador, chamado VS-MRAC indireto [32-34], o qual utilizava informações dos próprios parâmetros nominais da planta para o cálculo da amplitude dos relés, uma vez que tais parâmetros representam grandezas físicas, tais como resistências, capacitâncias, momentos de inércia, etc. Neste trabalho, é proposto um controlador que agrega as características do APPC e do VSC, isto é, aplicabilidade a plantas de fase não-mínima, transitório rápido e robustez, que é denominado VS-APPC [21-23], onde, assim como no VS-MRAC, as leis adaptativas integrais foram substituídas por leis chaveadas. 23

36 Capítulo 4. Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos e Estrutura Variável 24 Neste capítulo, o objetivo é descrever matematicamente o VS-APPC, onde o chaveamento é realizado nas leis de adaptação dos parâmetros da planta. As incertezas nos parâmetros da planta podem ser conhecidas mais facilmente, pois representam incertezas de parâmetros físicos. Neste trabalho, será abordado o caso de uma planta de primeira ordem. 4.2 Descrição do Método Consideremos a seguinte planta y = b u ẏ = ay + bu (4.1) s + a onde a e b são constantes e conhecidas com incertezas. Temos como objetivo estimar a e b e gerar um sinal de controle u para que y tenda assintoticamente ao sinal de referência r e para que os pólos de malha fechada da planta (4.1) sejam alocados nas raízes de A (s) = s 2 + α 1s + α 0 = 0. Seja a m > 0. Então, podemos escrever (4.1) como Um modelo para a planta pode ser escrito como onde â e ˆb são estimativas para a e b, respectivamente [25]. Definimos o erro de estimação e 0 como ẏ = a m y + (a m a)y + bu (4.2) ŷ = a m ŷ + (a m â)y + ˆbu (4.3) e 0 = y ŷ (4.4) e, portanto, com e 0 = a m e 0 + ãy bu (4.5) ã = â a b = ˆb b (4.6) Como a e b são constantes, por hipótese, temos: ã = â b = ˆb (4.7)

37 Capítulo 4. Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos e Estrutura Variável 25 Nos algoritmos convencionais (com leis integrais de estimação) utilizamos â = γ 1 e 0 y, γ 1 > 0 ˆb = γ 2 e 0 u, γ 2 > 0 (4.8) onde γ 1 e γ 2 são os ganhos adaptativos. então, Seja a seguinte candidata a função de Lyapunov ( V (e 0, ã, b) = 1 e ã2 + b ) 2 > 0 (4.9) 2 γ 1 γ 2 Substituindo (4.8) em (4.10) ficamos com V (e 0, ã, b) = e 0 e 0 + ã ã + b b (4.10) γ 1 γ 2 V (e 0, ã, b) = a m e (4.11) que garante [e 0, ã, b] T = [0, 0, 0] T como um ponto de equilíbrio estável. As leis de adaptação são do tipo puramente integral (necessidade de memória por parte do mecanismo de adaptação) e podem levar o sistema a apresentar um comportamento instável na presença de distúrbios externos ou dinâmica não modelada da planta [24]. No VS-APPC utiliza-se a mesma estrutura de controle do APPC, porém com um sinal de controle chaveado da mesma forma que o controlador VSC. Portanto, a proposta deste trabalho é substituir as leis integrais de estimação (leis adaptativas) pelas seguintes leis chaveadas para o cálculo de â e ˆb: â = āsgn(e 0 y), ā > a (4.12) ˆb = bsgn(e0 u), b > b As amplitudes dos relés (ā e b) devem dominar os valores máximos dos parâmetros da planta, para que se possa garantir a estabilidade assintótica, conforme mostra a seção seguinte. 4.3 Prova de Estabilidade Seja a seguinte candidata a função de Lyapunov V (e 0 ) = 1 2 e2 0 > 0 (4.13)

38 Capítulo 4. Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos e Estrutura Variável 26 então, V (e 0 ) = e 0 e 0 = a m e ãe 0 y be 0 u = a m e (â a)e 0 y (ˆb b)e 0 u = a m e [ āsgn(e 0 y) a]e 0 y [ bsgn(e 0 u) b]e 0 u = a m e 2 0 (ā e 0 y + ae 0 y) ( b e 0 u be 0 u) (4.14) Desde que ā > a e b > b, ficamos com V (e 0 ) a m e 2 0 < 0 (4.15) o que garante e 0 = 0 um ponto de equilíbrio globalmente assintoticamente estável. Como lim e 0 = 0, nós temos t e 0 c > 0, t t f > 0 (4.16) Então, e 0 atinge a superfície deslizante e 0 = 0 em um tempo finito t f. Este procedimento é similar a [29]. Com esta técnica de controle, não podemos garantir a convergência das estimativas para os valores corretos dos parâmetros da planta, já que não se trata de adaptação paramétrica e sim de uma lei de controle chaveada. As simulações que são mostradas no capítulo seguinte mostram uma notável insensibilidade a variações paramétricas e perturbações. 4.4 Cálculo dos Parâmetros do Controlador Conforme mostrado na Seção 2.2.2, a lei de controle Q m (s)l(s)u = P (s)(r y) (4.17) pode ser usada para conseguir o objetivo de controle. Neste trabalho, o controlador será projetado para uma referência constante. Como o polinômio Q m (s) é calculado de acordo com a referência a ser seguida, para cada tipo de sinal de referência, temos expressões diferentes para os parâmetros do controlador. Entretanto, estes parâmetros são calculados da mesma forma, utilizando a equação Diofantina ou a matriz de Sylvester.

39 Capítulo 4. Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos e Estrutura Variável 27 Para uma planta de primeira ordem, temos: L(s) = 1 e P (s) = p 1 s+p 0 e os coeficientes p 1 e p 0 satisfazem a equação Diofantina s(s + a) + (p 1 s + p 0 )b = s 2 + α 1s + α 0 (4.18) A equação (4.18) pode ser escrita na forma da equação algébrica (2.7), ou seja, a matriz de Sylvester de s(s + a) e b é dada por a = 0 a b 0 p b cuja solução é p 1 = α 1 a b p 0 e p 0 = α 0 b 0 1 α 1 α 0 (4.19) (4.20) Como supomos que os parâmetros da planta são conhecidos com incertezas, o princípio da equivalência à certeza sugere o uso da mesma lei de controle, mas com o polinômio P (s) = p 1 s + p 0 calculado usando as estimativas dos parâmetros, e, portanto, temos ˆp 1 = α 1 â ˆb e ˆp 0 = α 0 ˆb (4.21) onde ˆp 1 e ˆp 0 são as estimativas dos parâmetros do controlador que precisam ser geradas em tempo real. No APPC indireto convencional são utilizadas leis adaptativas que são guiadas pelo erro e 0. Para isso, podem ser utilizados o método do gradiente, o método dos mínimos quadrados, etc. A estimação dos parâmetros pelo método do gradiente é dada por (4.8). Para o VS-APPC serão substituídas as leis adaptativas por leis chaveadas conforme (4.12). Uma vez que os parâmetros do controlador podem ser funções de mais de um parâmetro da planta simultaneamente, o sinal pode ficar indefinido, pois existem dois ou mais sinais chaveados em freqüências elevadas. Além disso, o parâmetro ˆb aparece no denominador das expressões, o que pode causar divisões por zero. Com isso, faz-se necessária a introdução de um valor nominal do parâmetro ˆb, para manter o valor com sinal definido. Reescrevendo as leis chaveadas com a modificação na expressão de ˆb, temos â = āsgn(e 0 y), ā > a ˆb = bsgn(e0 u) + b nom, b > b b nom (4.22)