1 Sistemas de Controle e Princípio do Máximo

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1 Sistemas de Controle & Controle Ótimo & Princípio do Máximo Lúcio Fassarella (215) 1 Sistemas de Controle e Princípio do Máximo Essencialmente, sistemas de controle são sistemas dinâmicos cuja evolução pode ser modi cada visando algum objetivo, e.g., conduzir o sistema de um dado estado inicial para um dado estado nal, preservar, maximizar ou minimizar alguma quantidade do sistema. Genericamente, o Princípio do Máximo de Pontryagin (doravante, Princípio do Máximo) 1 constitui uma condição necessária para a estratégia de controle que maximiza ou minimiza um dado funcional (de certo tipo), admitindo possíveis restrições impostas sobre as variáveis de estado ou de controle. Para o caso de sistemas de controle com tempo contínuo cuja dinâmica satisfaz certas hipóteses de regularidade, o Princípio do Máximo consiste de um conjunto de equações diferenciais com condições de contorno que generaliza as equações de Euler-Lagrange do Cálculo Variacional. Aqui, de nimos matematicamente os conceitos de sistema de controle e de problema de controle ótimo com tempo contínuo, bem como apresentamos uma formulação do Princípio do Máximo que nos permite resolver a alguns problemas de controle ótimo. Pelo bem da simplicidade e da brevidade, omitimos detalhes técnicos e demonstrações, para os quais indicamos [1] e [4]. De nição 1.1 (Sistema de Controle) Um sistema de controle (com tempo contínuo) é um sistema dinâmico da forma onde 2 d z(t) = f(t; z (t) ; w (t)) q.t.p.; dt f R R n R m! R n é uma aplicação contínua por partes chamada de função dinâmica (ou característica); z R! R n é uma aplicação diferenciável por partes chamada de variável de estado; w R! R m é uma aplicação contínua por partes chamada de variável (ou estratégia) de controle. 1 O trabalho original de Pontryagin e seu grupo é [5]. Para uma breve história da descoberta do Princípio do Máximo por Pontryagin vide [3]. 2 q.t.p signi ca em quase todo ponto. Em muitos problemas de controle ótimo, a estratégia de controle ótima possui pontos de descontinuidade mesmo quando a função dinâmica é contínua. Portanto, é razoável admitir na de nição de sistema de controle que a variável de controle seja contínua por partes e que a equação dinâmica seja satisfeita (apenas) em quase todo ponto. 1

2 De nição 1.2 (Problema de Controle Ótimo) Considere um sistema de controle com função dinâmica f (t; z; w), aplicações contínuas por partes L 1 = L 1 (t; z) 2 R e L = L (t; z; w) 2 R, um ponto z 2 R n e um subconjunto S R n tal que S = R n, S = fz 1 g ou S é uma variedade regular em R n com dimensão n q (1 q n 1) 3 S = fz 2 R n ; (z) = ; = 1; ; qg De nimos o índice de performance sobre as variáveis de controle contínuas por partes w [; T ]! R n J [w(t)] = L 1 (T; z w (T )) + Z T L(t; z w (t); w(t))dt; onde z w (t) é um estado do sistema que cumpre as condições de contorno 4 >< > d dt z w(t) = f(t; z w (t); w(t)); z () 2 z ; z (T ) 2 S O problema de controle ótimo de nido por (f; J; ; z ; S) numa família de variáveis de controle admissíveis 5 consiste em descobrir uma estratégia de controle ~w(t) 2 que maximiza ou minimiza o índice de performance. Para uso adiante, de nimos o Hamiltoniano do problema de controle ótimo por H(t; z; ; w) = L(t; z; w) + f(t; z; w); onde 2 R n é chamado variável de adjunta e denota o produto interno em R n. Observação 1.1 Num problema de controle ótimo, o instante nal T > pode ser um parâmetro predeterminado ou uma variável livre a ser obtida pela resolução do problema. 3 No caso em que S é uma variedade regular de R n, a hipótese de regularidade subentende que 1 ; ; q são aplicações diferenciáveis de R n em R que cumprem algumas condições, para as quais indicamos [2]. 4 Aqui, admitimos que cada estratégia de controle w (t) determina uma única solução para o sistema dinâmico que cumpre as condições de contorno. Quando isso não ocorre, podemos incorporar variáveis no argumento de J de modo a estabelecer uma correspondência unívoca. 5 Geralmente, é o conjunto das funções diferenciáveis por partes w R! R m que cumpre algumas condições preestabelecidas no problema. 2

3 Teorema 1.1 (Princípio do Máximo) Considere o problema de controle ótimo da De nição 1.2 com T > sendo variável livre, f e L de classe C 2, L 1 e de classe C 1. Suponha que w (t) seja uma estratégia de controle que minimiza o índice de performance J. Então existem constantes, a 1 ; ; a q 2 R e aplicações diferenciáveis por partes z; [; T ]! R n tais que as seguintes condições são satisfeitas i) Dinâmica da variável de estado com condições de contorno d >< z (t) = f (t; z (t) ; w (t)) ; dt z () = z > ; z (T ) 2 S (1.1) ii) Dinâmica da variável adjunta com condições de contorno 6 < d dt (t) = @z (t;z(t);w(t)) (t;z(t);w(t)) ; (T ) = P q @z z(t ) (T;z(T L 1 (1.2) iii) Condição de transversalidade H(T; z (T ) ; (T ) ; w (T L 1 (1.3) (T;z(T )) iv) Condição de máximo H (t; z (t) ; w (t) ; (t)) H (t; z (t) ; ; (t)) ; 2 (1.4) v) Condição de não-acoplamento + () 6= (1.5) Observação 1.2 Caso L 1, destacamos i) A condição nal sobre o Hamiltoniano H na Eq.(1.3) reduz-se à zero H(T; z (T ) ; (T ) ; w (T )) = ii) Quando o estado nal é predeterminado (i.e., S = fz 1 g), então o coestado nal é livre (i.e., a condição nal da Eq.(1.2) desaparece) (T ) 2 R; quando o estado nal é livre (i.e., S = R n ), então o coestado nal é predeterminado (i.e., a condição nal da Eq.(1.2) se reduz a um ponto) (T ) = 6 Para uma matriz M, a notação [M] indica sua @z 1 @z j i=1;;n @z j i;j=1;;n 3

4 Observação 1.3 O Princípio do Máximo pode ser usado para se obter o controle ótimo quando a condição de máximo Eq.(1.4) nos permite escrever a função de controle em termos das variáveis de estado e coestado, digamos w = W (z; ). Observação 1.4 Dado um problema de controle ótimo, dizemos que uma estratégia de controle w (t) é singular quando i) o Hamiltoniano do problema tem a forma H(t; z; ; w) = (t; z; ; ) w (t) + (t; z; ; ); ii) existem, a 1 ; ; a q 2 R e aplicações diferenciáveis por partes z; [; T ]! R n que satisfazem as condições Eq.(1.1) e Eq.(1.2) correspondentes ao controle w (t); iii) alguma das componentes do coe ciente se anula ao longo da solução em algum aberto de [; T ]. Caso o problema de controle ótimo possua controles singulares, a aplicação do Princípio do Máximo para determinar o controle ótimo requer alguns desenvolvimentos adicionais para os quais recomendamos [4, pp.2-21]. Observação 1.5 Para problemas de minimização do tempo de controle, consideramos T variável livre e adotamos L 1 e L 1. Referências [1] BAUMEISTER, J., LEITÃO, A. Introdução a Teoria do Controle e Programação Dinâmica. Rio de Janeiro IMPA, 2. [2] CARMO, M.P., Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. Rio de Janeiro SBM, 212. [3] GAMKRELIDZE, R.V. Discovery of the Maximum Principle in Optimal Control. In BOOB-BAVNBEK, B., HOYRUP, J. (eds.) Mathematics and War. Berlin Birhäuser Basel, 23 Chapter, pp [4] LOCATELLI, A. Optimal Control An Introduction. Berlin Birhäuser Verlag, 21. [5] PONTRYAGIN, L.S, BOLTAYANSKII, V.G, GAMKRELIDZE, R.V, MISHCHENKO, E.F. The mathematical theory of optimal processes. New Yor Interscience Publishers,

5 2 Exemplos 2.1 Minimização do Tempo de Transporte Problema Considere uma partícula de massa m que pode se movimentar numa única direção e denote sua posição pela coordenada x. Suponha que o movimento da partícula possa ser controlado pela aplicação de uma força u de acordo com a equação (onde t representa o tempo) m d2 x dt 2 = u Suponha que a intensidade da força de controle u é limitada por >, juj Dados estados de posição e velocidade inicial (x ; v ) e nal (x 1 ; v 1 ), determine i) Uma estratégia de controle u = u (t) que leve partícula do estado inicial ao estado nal. ii) A estratégia de controle u = u (t) que leve a partícula do estado inicial ao estado nal no tempo mínimo. Resolução i. Redução de ordem da equação dinâmica. De nimos v = dx dt Assim, a dinâmica do sistema é dada por _x = v _v = u ; o que corresponde à função característica f (x; v; u) = v u ii. Como o problema visa minimizar o tempo, temos L 1, L 1 e Hamiltoniano iii. A condição de minimo é dada por H (x; v; ; 1 ; 2 ; u; t) = + 1 v + 2 u + 1 v + 2 u + 1 v + 2 ; jj ; t 2 [; T ] Portanto 2 (t) > ) u (t) ; 2 (t) < ) u (t) = (2.1) 5

6 iv. A condição de transversalidade é dada por + 1 (T ) v (T ) + 2 (T ) u (T ) = (2.2) v. A condição de não-acoplamento é dada por + j 1 (t)j + j 2 (t)j 6= t 2 [; T ] (2.3) vi. A dinâmica do estado é dada por _x (t) = v; x () = x ; x (T ) = x 1 _v (t) = u; v () = v ; v (T ) = v 1 ; (2.4) vii. A dinâmica do coestado é dada por _1 (t) = _ 2 (t) = 1 ; portanto, o coestado é dado por 1 (constante); 2 = t + ; ; 2 R viii. Vamos analisar a dinâmica do estado (x; v) nos casos =, <, >. (a) Caso =. Então 1 = e 2 = (constante). i. Subcaso =. Então H = ; nesse caso, a condição de transversalidade Eq.(2.2) implica = e a condição de não-acoplamento Eq.(2.3) implica 6=. Absurdo! ii. Subcaso >. Então 2 > e a condição de mínimo Eq.(2.1) implica u. Substituindo esse controle na dinâmica do estado, temos v (t) = t + v ; x (t) = 2 t2 + v t + x ; As condições nais sobre v (t) e x (t) implicam T = v v 1 = v p v (x 1 x ) ; donde seguem as condições necessárias v > v 1 ; v 2 v (x 1 x ) = A segunda condição é excepcional, no sentido de não ser satisfeita por parâmetros típicos; portanto, vamos desconsiderar esse caso! iii. Subcaso <. Então 2 < e temos uma situação excepcional análoga ao caso anterior (ii); portanto, também vamos desconsiderar esse caso! 6

7 (b) Caso >. De na = > i. Subcaso. Então 2 (t) > t 2 (; T ] e temos uma situação excepcional análoga a casos anteriores; portanto, também vamos desconsiderar esse caso. ii. Subcaso <. Então ; t 2 (t) > ; < t T e u (t) = + ; t ; < t T Pela dinâmica do estado Eq.(2.4) com a hipótese de que v (t) e x (t) são contínuos, segue t + v ; t v (t) = t v ; < t T e x (t) = 2 t2 + v t + x ; t 2 t2 + (2 + v ) t + x 2 ; < t T As condições nais v (T ) = v 1 e x (T ) = x 1 implicam v T = 2 1 v T 2 + (2 + v 2 ) T 2 (x 1 x ) = Resolvendo esse sistema de equações algébricas, obtemos 7 e = v p v (x 1 x ) 2 T = v 1 p v (x 1 x ) Condições para consistência desse caso v1 2 2 (x x 1 ) e 2v 1 q v < v (x 1 x ) v x1 x 2 + v2 1 v = 7

8 2.2 Maximização da Receita Investindo na Produção Considere uma empresa que consome parte da produção investindo no aumento da própria produção. Modelando a produção em tempo contínuo, denote x (t) produção no instante t ; u (t) fração da produção reinvestida no instante t Suponha que a receita da fábrica num período T > seja proporcional a produção líquida no período J (u; T ) = Z T (1 u (t)) x (t) dt ( > ) Suponha também que a variação da taxa de produção seja proporcional a parte reinvestida _x (t) = u (t) x (t) ( > ) Fixado o período T >, determine o reinvestimento da produção que maximiza a receita, i.e., determine a u [; T ]! [; 1] tal que Resolução i. Denote a produção inicial por J (u ; T ) J (u; T ) ; u [; T ]! [; 1] x = x () > Como > e u (t), segue que _x (t) t 2 [; T ] no qual x (t) seja derivável; portanto x (t) > t 2 [; T ] ii. Maximizar J [] é equivalente a minimizar ~J [u] = J [u] ; u (t) 2 [; 1] iii. Para ~ J [] temos L = (1 u) x, L 1 e Hamiltoniano iv. A condição de mínimo é dada por H (x; v; ; 1 ; 2 ; u; t) = (1 u) x + ux (1 u) x + ux (1 ) x + x ; 2 [; 1] ; t 2 [; T ] Como x (t) > t 2 [; T ], isso implica ( + ) u ( + ) ; 2 [; 1] ; t 2 [; T ] ; donde u (t) = ; + (t) > 1 ; + (t) < ; t 2 [; T ] (2.5)

9 v. A condição de transversalidade é dada por vi. A condição de não-acoplamento é dada por (1 u (T )) x (T ) + (T ) u (T ) x (T ) = (2.6) + j (t)j 6= t 2 [; T ] (2.7) vii. A dinâmica do estado é dada por _x (t) = u (t) x (t) x () = x (2.) viii. A dinâmica do coestado é dada por _ (t) = (T ) = ( + ) u (2.9) ix. Como (T ) =, a condição de não-acoplamento implica 6=. Vamos analisar a condições do Princípio do Máximo partindo da equação do coestado Eq.(2.9). Considerando a condição de mínimo Eq.(2.5), introduzimos (t) = + (t) (t) = (t) Então _ = ( ) (T ) = onde () = Vamos analisar os casos () e () <. ; < 1 ; > ; (a) Caso (). Nesse caso, ( ()) y () = e _ () > ; portanto, é crescente e ( ) = numa vizinhança de t = ; por conexidade, é crescente e ( ) = em todo [; T ]; portanto _ =, donde (t) = t + () t 2 [; T ] Considerando a condição nal (T ) =, segue a condição de consistência desse caso T = 1 () 9

10 Nesse caso >, u e o correspondente estado do sistema (solução da Eq.(2.)) é dado por x (t) = x ; t 2 [; T ] A condição característica desse caso e a correspondente receita são dados por, respectivamente T 1 ; J 1 = x T (2.1) (b) Caso () <. Nesse caso, ( ) = 1 e numa vizinhança de t = na qual < vale _ = ; donde (t) = ( () ) e t + Seja > o ponto no qual essa função se anula = 1 1 ln () A condição nal (T ) = > implica que < T que signi ca uma restrição sobre (). Considerando o caso anterior, segue ( () ) e (t) = t + ; t ; (t t ) ; < t T Novamente, a condição nal (T ) = determina o valor de (e de ()) Nesse caso = T 1 < ; t 1 ; t (t) > ; < t T ; u (t) = ; < t T e o correspondente estado do sistema (solução da Eq.(2.)) é dado por x e x (t) = t ; t x e ; < t T A condição característica desse caso e a correspondente receita são dados por, respectivamente T > 1 ; J 2 = 1 x e T 1 (2.11) 1

11 x. Em síntese, a solução do problema é dada por < u max ; T 1 x max ; J max = x T ; e T > 1 >< > 1 ; t u max (t) = ; < t T ; x e x max (t) = t ; t x e ; < t T ; 1 J max = x et 1 onde = T 1 11

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