IA344 - Dinâmica Caótica em Sistemas de Engenharia

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1 IA344 - Dinâmica Caótica em Sistemas de Engenharia (FEEC/Unicamp - Primeiro Semestre de 2005) 1 Transformações (Mapas) de Poincaré Um sistema dinâmico é usualmente definido como um fluxo contínuo, que fica completamente definido no tempo pelos valores assumidos pelas suas N variáveis de estado x 1 (t), x 2 (t),..., x N (t), onde x i (t) representa quantidades físicas de interesse, e sua evolução temporal é especificada por um sistema autônomo, possivelmente acoplado, de N equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Uma vez que seu estado inicial esteja especificado, todos seus futuros estados ficam unicamente definidos para todo o tempo t. Um método conveniente para extrair informações, visualizar, e analisar tais trajetórias é construir mapeamentos equivalentes no tempo discreto pela amostragem estroboscópica periódica de pontos pertencentes a elas. Neste sentido, uma Seção de Poincaré 1 é comumente definida como uma seqüência de pontos (órbitas) gerada pelas penetrações de uma trajetória contínua percorrida pelos estados de um sistema dinâmico em evolução no R n, em um Manifold de dimensão n - 1. trajetória X 0 M-fold dimensão n Jules Henri Poincare ( ) 1

2 1.1 Mapeamento de Poincaré de Sistemas Não-Autônomos Seja um sistema não autônomo periódico com período mínimo T, satisfazendo f(x,t) = f(x,t + T) x R n Definindo o vetor z R n S 1 z = na forma [ x θ = 2π T t (mod 2π) ] Consegue-se uma nova descrição na forma autônoma para este sistema dada por: ż = f(z) z R n S 1 Definindo um M-fold de dimensão n : R n S 1, na forma := { z R n S 1 em θ = θ 0 } Pode-se garantir que a trajetória φ t (z 0 ) intercepta a cada T segundos. Portanto, no domínio tem-se o mapeamento P N : P N (x 0 ) := φ t0 +T (x 0,θ 0 ) definido por θ 0 X 0 P N (x 0 ) φ t (x 0, θ 0 ) 2

3 Como φ t é um difeomorfismo P N (x 0 ) é inversível e diferenciável. A seqüência (ou órbita) { P k N (x 0) } k=0 é simplesmente a trajetória amostrada com período de amostragem T contida no plano θ = θ Mapeamento de Poincaré de Sistemas Autônomos Seja γ um ciclo limite de uma trajetória do fluxo φ t (x) R n obtido de um sistema autônomo ẋ = f(x). Seja R n 1 um M-fold de R n transversal ao fluxo φ t tal que f(x) T η(α) 0 α η(x): versor normal a no ponto x... Obs: Se f η O hiperplano será tangente a φ t, e não há instersecção.... Seja p γ p = γ é único, (Se p não for único desloca-se até que seja) e u uma vizinhança de p, então o primeiro retorno ao mapeamento de Poincaré P: u é definido de um ponto q por P(q) = φ τ (q) onde τ = τ(q) T 3

4 ... Obs: Se T é o período do ciclo γ, τ(q) não necessariamente é igual a T, entretanto lim q p τ(q) = T(p) = T = cte... Definição 1. Dimensão dos Manifolds da Transformação de Poincaré Seja D P(p) a transformação linearizada de Poincaré. Sejam η s o número de autovalores estáveis de DP(p), e η u o número de autovalores instáveis, então: η s + η u = n 1 dim W u p (p) = η u dim W s p(p) = η s Como q φ t P(q) φ t dim P = { dim W u (γ) + dim W s (γ) } Observações: Sobre de Sistemas Autônomos 1) P(x) em sistemas autônomos é definida local, ou seja, definida numa vizinhança de x Se x (k) x (k + 1) / 2) Num espaço de estado R n, P(x) não necessariamente é o primeiro ponto tal que x = φ t (x), como é no caso de sistemas não-autônomos por definição. 3) P(x) é um difeomorfismo (prova: livro Chua pg. 315) 4

5 Restrições: 1) É necessário conhecer a região de γ no espaço de estado para se definir (que é local). 2) É necessário conhecer a solução de ẋ = f(x) φ t 1.3 Forma Alternativa para a Escolha de Mais Viável na Prática Define-se R n 1 que divide R n em duas regiões: Região : Região : := { x R n h T (x xè) > 0 } := { x R n h T (x xè) < 0 } h R n : Versor Normal a Com a escolha adequada de, φ t (x 0 ) cruzará repetidamente de para e de para. Resultam disso três Mapeamentos de Poincaré: - - : No sentido positivo. : No sentido negativo. - : Em ambos os sentidos. 1.4 Conjuntos Limites dos Mapeamentos de Poincaré Válido somente para sistemas estruturalmente estáveis em R n. a) Mapeamento P dos Pontos de Equilíbrio: - conjunto limite. 5

6 Obs: x pode eventualmente pertencer a, mas se for perturbado, ou deslocado, então x / Estruturalmente instável. b) Mapeamento de uma Solução Periódica: Seja P(x) um mapeamento P :. Se P(x ) = x, então x é dito um Ponto Fixo do mapeamento P. O conjunto { x 1,x 2,...,x p } é uma órbita O p, p-periódica do mapeamento P se: i = 1,..., p 1 e x i+1 = P(x i) x i = P(x p) b1) Sistemas Periódicos Não-autônomos: pode ser definido baseado na excitação externa. - Período 1: Seja ẋ = f(x,t) = f(x,t + T). Se o ciclo limite tem período 1, o conjunto limite do mapeamento de Poincaré é o ponto fixo x. - Período p: Se o ciclo limite tem período p, o mapeamento de Poincaré é uma órbita fechada de uma harmônica da excitação com pontos { } x 1,x 2,...,x p b2) Sistemas Periódicos Autônomos: Semelhante ao caso não-autônomo, mas deve-se ter cautela na análise. Os ciclos limites podem ser dependentes da localização de. E a priori somente pode-se verificar sua existência, porém a ordem é não necessariamente definida. C) Mapeamentos de Poincaré de Soluções Quasi-Periódicas: Quando existem ciclos limites oriundos de oscilações harmônicas com relações de frequências irracionais entre si, o mapeamento de Poincaré quando t mostrará curvas fechadas e com comprimento finito. 6

7 C) Mapeamentos de Poincaré de Soluções Caóticas: O comportamento assintótico de uma solução caótica caracteriza-se por: - Solução de comportamento limitado que: a) Não é um ponto de equilíbrio b) Não é um ciclo periódico de qualquer período c) Não é um comportamento quasi-periódico - O objeto geométrico para o qual convergem as trajetórias caóticas é um conjunto denominado atrator estranho. - A dimensão de um atrator estranho é fracionária, relacionada aos conjuntos de Cantor. 7

8 y x Figura 1: Diagrama de Fase Duffing - Período y x Figura 2: Mapa de Poincaré Duffing - Caos. 8

9 y e x Figura 3: Espectro de Freqüências Duffing - Caos. 9