Processos Aleatórios

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1 Processos Aleatórios Edmar José do Nascimento (Princípios de Comunicações) edmar.nascimento Universidade Federal do Vale do São Francisco

2 Roteiro 1 Introdução 2 Densidade Espectral de Potência 3 Processos Aleatórios Passa-Faixa

3 Processos Aleatórios Os processos aleatórios também são denominados de processos estocásticos e representam uma extensão do conceito de variável aleatória para sistemas dinâmicos (que dependem do tempo) O seguinte exemplo ilustra esse conceito: A temperatura ao meio dia pode ser representada por uma variável aleatória Para obter a fdp dessa variável aleatória é necessário repetir a medida da temperatura diversas vezes no mesmo horário A temperatura em outro horário provavelmente terá uma fdp diferente da temperatura ao meio dia

4 Processos Aleatórios A conclusão obtida a partir do exemplo precedente é que a temperatura é uma variável aleatória dependente do tempo, ou seja, um processo aleatório Outros exemplos de processos aleatórios são: A tensão na saída de um resistor A pontuação na bolsa de valores Um processo aleatório x(t) é caracterizado por uma família (ensemble) de funções amostras

5 Processos Aleatório Representando a Temperatura

6 Processos Aleatório Representando a Saída de um Gerador

7 Processos Aleatórios Cada função amostra é representada por x(t,ξ i ), em que ξ i representa o dia em que a temperatura foi medida para o exemplo da temperatura x i = x(t i ) é uma variável aleatória representando as amplitudes do processo aleatório no instante t i x i é completamente caracterizada pela sua fdp denotada por p xi (x i ) x(t i,ξ i ) representa apenas um valor obtido para o processo aleatório no tempo t i para a realização ξ i

8 Processos Aleatórios Um processo aleatório pode ser completamente especificado através de uma expressão analítica x(t) =A cos (ω c t +Θ), sendo Θ uma variável aleatória uniforme na faixa (0, 2π) é completamente caracterizado por essa expressão Entretanto, na maioria das vezes, as famílias de funções amostras só são obtidas experimentalmente O processo aleatório pode ser especificado por uma coleção de variáveis aleatórias dependentes do tempo

9 Processos Aleatórios Se considerarmos n instantes de tempo, obtém-se n variáveis aleatórias (x 1, x 2,, x n ) Essas n variáveis aleatórias são completamente caracterizadas pela sua fdp conjunta p x1 x 2 x n (x 1, x 2,, x n ) para todo n A integração da fdp conjunta fornece as fdps de ordem mais baixa A tarefa de obtenção da fdp conjunta é extremamente complicada e as vezes, impossível Felizmente, para os processos aleatórios relevantes, é suficiente conhecer a sua média e a sua autocorrelação

10 Estatísticas de um Processo A média ou valor esperado de um processo aleatório x(t) é uma função do tempo dada por x(t) = E[x(t)] = xp x (x; t)dx A função de autocorrelação é dada pela correlação entre duas variáveis aleatórias nos instantes t 1 e t 2 : x(t 1 ) e x(t 2 ) R x (t 1, t 2 ) = x(t 1 )x(t 2 )=x 1 x 2 = x 1 x 2 p x1 x 2 (x 1, x 2 ; t 1, t 2 )dx 1 dx 2 A autocorrelação é uma média na família de funções amostras

11 Função de Autocorrelação

12 Classificação dos Processos Aleatórios Os processos aleatórios podem ser classificados como estacionários ou não estacionários Em um processo estacionário no sentido estrito, as características estatísticas não mudam com o tempo p x (x; t) é independente de t R x (t 1, t 2 ) depende apenas da diferença τ = t 2 t 1 e não de t 1 e t 2 especificamente p x (x; t) = p x (x) R x (t 1, t 2 ) = R x (t 2 t 1 )= R x (τ) =x(t)x(t + τ)

13 Classificação dos Processos Aleatórios É difícil verificar se um processo aleatório é estritamente estacionário na prática Por essa razão, se utiliza a definição de processo aleatório estacionário no sentido amplo Um processo é estacionário no sentido amplo se: x(t) = constante R x (t 1, t 2 ) = R x (τ) τ = t 1 t 2

14 Processos Estacionários Exemplo 11.1 Mostre que o processo aleatório x(t) =A cos (ω c t +Θ)sendo Θ uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (0, 2π) é um processo estacionário no sentido amplo.

15 Processos Estacionários Exemplo Solução Para calcular x(t) pela definição é necessário determinar p x (x, t), o que não é tão simples. Uma maneira mais simples é fazer: x(t) = A cos (ω c t +Θ)=Acos (ω c t +Θ) Como cos (ω c t +Θ)é uma função da variável aleatória Θ, então: cos (ω c t +Θ) = 2π 0 = 1 2π cos (ω c t + θ)p Θ (θ)dθ 2π 0 cos (ω c t + θ)dθ = 0

16 Processos Estacionários Exemplo Solução Então: x(t) = 0 Para concluir a demonstração, é necessário mostrar que R x (t 1, t 2 ) depende apenas de t 2 t 1 R x (t 1, t 2 ) = A 2 cos (ω c t 1 +Θ)cos (ω c t 2 + θ) = A2 2 {cos [ω c(t 2 t 1 )] + cos [ω c (t 2 + t 1 )+2Θ]} = A2 2 cos [ω c(t 2 t 1 )] = A2 2 cos ω cτ

17 Classificação dos Processos Aleatórios Uma outra classificação importante para processos aleatórios é a dos processos ergódicos Um processo é ergódico se as médias temporais (para uma função amostra em particular) são iguais às médias estatísticas (tomadas sobre uma família de funções amostras) Para processos ergódicos, as seguintes relações são verificadas: x(t) = x(t) 1 = lim T T T /2 T /2 x(t)dt R x (τ) = R x (τ) = x(t)x(t 1 + τ) = lim T T T /2 T /2 x(t)x(t + τ)dt

18 Classificação dos Processos Aleatórios

19 Densidade Espectral de Potência de um Processo Aleatório Sinais aleatórios são sinais de potência t (, ) A DEP de um processo aleatório pode ser definida como a média da DEP de uma família de funções amostras Para um sinal determinístico x(t), a DEP é dada por: X S x (ω) = lim T (ω) 2 T T Sendo que, ( t ) x T (t) = x(t)u X T (ω) T

20 Densidade Espectral de Potência de um Processo Aleatório Para um sinal aleatório x(t), a DEP é dada por: S x (ω) = lim T = lim T [ XT (ω) 2 ] 1 T T [ 1 [ T /2 = lim T T T /2 ] x T (t)e jωt 2 dt ] x(t)e jωt 2 dt 1 [( T /2 ) ( T /2 )] = lim x(t 1 )e T T jωt 1 dt1 x(t 2 )e jωt 2 dt2 T /2 T /2

21 Densidade Espectral de Potência de um Processo Aleatório S x(ω) = lim T = lim T = lim T 1 = lim T T 1 = lim T T 1 = lim T T 1 [( T /2 )( T /2 )] x(t 1 )e T jωt 1dt 1 x(t 2 )e jωt 2dt 2 T /2 T /2 1 [( x(t 1 )rect( t 1 T T )ejωt 1dt )( 1 1 [ T x(t 2 )rect( t 2 T )e jωt 2dt 2 )] rect( t 1 T )rect( t 2 T )x(t 1)x(t 2 )e jω(t 2 t 1) dt 1 dt 2 ] rect( t 1 T )rect( t 2 T )x(t 1)x(t 2 )e jω(t 2 t 1 ) dt 1 dt 2 rect( t 1 T )rect( t 2 T )Rx(t 1, t 2 )e jω(t 2 t 1 ) dt 1 dt 2 rect( t 1 T )rect( t 2 T )Rx(t 2 t 1 )e jω(t 2 t 1 ) dt 1 dt 2

22 Densidade Espectral de Potência de um Processo Aleatório Fazendo-se a mudança de variáveis: t = t 1, τ = t 2 t 1 Então: dtdτ = det (J) dt 1 dt 2 [ ] 1 0 J = = det (J) =1 = dtdτ = dt dt 2 Substituindo-se, tem-se: S x(ω) = 1 lim T T = 1 lim T T rect( t T )rect( t + τ T )Rx(τ)e jωτ dtdτ R x(τ)e jωτ( rect( t T )rect( t + τ T )dt ) dτ

23 Densidade Espectral de Potência de um Processo Aleatório A integral entre parênteses é a convolução entre dois retângulos de largura T, sendo assim, tem-se: 1 ( τ ) S x (ω) = lim R x (τ)e jωτ (T τ )rect dτ T T 2T = lim = T T T R x (τ)e jωτ (1 τ T )dτ R x (τ)e jωτ dτ O resultado anterior corresponde ao teorema de Wiener-Kintchine, que estabelece que se x(t) éum processo estacionário no sentido amplo, então: S x (ω) = F[R x (τ)]

24 Densidade Espectral de Potência de um Processo Aleatório Algumas propriedades importantes podem ser verificadas Para processos reais, a autocorrelação é uma função par: R x (τ) = R x ( τ) A autocorrelação em τ = 0 é dada por: R x (0) = x(t)x(t) =x 2 (t) =x 2 A potência de x(t) é dada por: [ 1 ] P x = x 2 = R x (0) = S x (ω)e jωτ dω τ=0 2π = 1 S x (ω)dω 2π

25 Ruído Branco Passa-Baixas Exemplo 11.2 Determinar R x (τ) e a potência P x para um processo aleatório x(t), sendo x(t) um processo de ruído branco passa-baixas com DEP S x (ω) =N /2

26 Ruído Branco Passa-Baixas Exemplo Solução S x (ω) = N ( ω ) 2 rect 4πB R x (τ) = F 1 {S x (ω)} = N 2πB sinc(2πbτ) =N Bsinc(2πBτ) 2 π P x = R x (0) =N B ou P x = 1 2πB N 2π 2 dω = N B 2πB

27 Processo Aleatório Senoidal Exemplo 11.3 Determinar a DEP e o valor médio quadrático de x(t) =A cos (ω c t +Θ), sendo Θ uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (0, 2π). Exemplo Solução R x (τ) = A2 2 cos ω cτ S x (ω) = πa2 2 [δ(ω + ω c)+δ(ω ω c )] P x = x 2 = R x (0) = A2 2

28 Processo Aleatório Senoidal Exemplo 11.3 Determinar a DEP e o valor médio quadrático de x(t) =A cos (ω c t +Θ), sendo Θ uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (0, 2π). Exemplo Solução R x (τ) = A2 2 cos ω cτ S x (ω) = πa2 2 [δ(ω + ω c)+δ(ω ω c )] P x = x 2 = R x (0) = A2 2

29 Modulação AM Exemplo 11.4 Determinar a função de autocorrelação e a DEP do processo aleatório modulado em AM-DSB-SC ϕ(t) =m(t) cos (ω c t +Θ), sendo m(t) um processo aleatório estacionário no sentido amplo e Θ uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (0, 2π) independente de m(t).

30 Modulação AM Exemplo Solução R ϕ (τ) = ϕ(t)ϕ(t + τ) = m(t) cos (ω c t +Θ)m(t + τ) cos (ω c (t + τ)+θ) = m(t)m(t + τ) cos (ω c t +Θ)cos (ω c t + ω c τ +Θ) = m(t)m(t + τ).cos (ω c t +Θ)cos (ω c t + ω c τ +Θ) = 1 2 R m(τ) cos ω c τ S ϕ (ω) = 1 4 [S m(ω + ω c )+S m (ω ω c )] ϕ 2 (t) = R ϕ (0) = 1 2 R m(0) = 1 2 m2 (t)

31 Trem de Pulso Aleatório Exemplo 11.6 Dados digitais são transmitidos usando-se um pulso base p(t), assim como mostrado a seguir. Pulsos sucessivos estão separados por T b segundos e o k-ésimo pulso é a k p(t), em que a k é uma variável aleatória. A distância α do primeiro pulso (k=0) à origem é uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo (0, T b ). Obtenha a função de autocorrelação e a DEP do trem de pulso y(t) dado por: y(t) = k= a k p(t kt b α)

32 Trem de Pulso Aleatório Exemplo 11.6

33 Trem de Pulso Aleatório Exemplo Solução R y (τ) = y(t)y(t + τ) = a k p(t kt b α) a m p(t + τ mt b α) = = k= k= m= k= m= m= a k a m p(t kt b α)p(t + τ mt b α) a k a m p(t kt b α)p(t + τ mt b α)

34 Trem de Pulso Aleatório Exemplo Solução Fazendo m = k + n R y(τ) = a k a k+n p(t kt b α)p(t + τ [k + n]t b α) k= n= Tb R n n= k= 0 1 Tb R n T b n= k= 0 t ktb R n = = = 1 T b n= k= n= p(t kt b α)p(t + τ [k + n]t b α)p(α)dα p(t kt b α)p(t + τ [k + n]t b α)dα t (k+1)t b p(β)p(β + τ nt b )dβ = 1 R n p(β)p(β + τ nt b )dβ T b

35 Trem de Pulso Aleatório Exemplo Solução Sendo, R y (τ) = 1 R n ψ p (τ nt b ) T b n= R n = a k a k+n ψ p (τ) = p(t)p(t + τ)dt Pode-se mostrar que se p(t) P(ω), então ψ p (τ) P(ω) 2

36 Trem de Pulso Aleatório Exemplo Solução S y (ω) = F{R y (τ)} = 1 R n P(ω) 2 e jnωt b T b n= = P(ω) 2 T b n= R n e jnωt b Esta expressão é similar à obtida anteriormente no capítulo 7, exceto pela nova maneira de se calcular os coeficientes R n

37 Trem de Pulso Aleatório Exemplo 11.7 Obtenha a DEP S y (ω) para um sinal aleatório binário polar em queo1étransmitidopelopulsop(t) mostrado abaixo eo0é transmitido por p(t). Osbits0e1sãoigualmente prováveis e a taxa de transmissão é R b = 1/T b. Considere que cada bit transmitido é independente dos demais.

38 Trem de Pulso Aleatório Exemplo Solução Para obter a DEP é necessário calcular os coeficientes R n e substituir na expressão anterior a k = k a k P(a k )=(1)P(a k = 1)+( 1)P(a k = 1) = = 0 R 0 = a 2 k = k a 2 kp(a k )=(1) 2 P(a k = 1)+( 1) 2 P(a k = 1) =1 R n = a k a k+n = a k.a k+n = 0 n 1 S y(ω) = P(ω) 2 = T b T b 4 sinc2( ωt ) b 4

39 Processos Aleatórios Múltiplos Seja x(t) e y(t) dois processos aleatórios, então a função de correlação cruzada é definida como: R xy (t 1, t 2 ) = x(t 1 )y(t 2 ) x(t) e y(t) são conjuntamente estacionários se cada um deles é estacionário no sentido amplo e se: R xy (t 1, t 2 ) = R xy (t 2 t 1 )=R xy (τ) x(t) e y(t) são descorrelacionados se: R xy (τ) = x(t)y(t + τ) =x.y

40 Processos Aleatórios Múltiplos x(t) e y(t) são não-coerentes ou ortogonais se: R xy (τ) = 0 Processos ortogonais são processos descorrelacionados com x = 0e/ouy = 0 x(t) e y(t) são independentes se as variáveis aleatórias x(t 1 ) e y(t 2 ) são independentes Processos independentes são descorrelacionados

41 Processos Aleatórios Múltiplos A DEP cruzada S xy (ω) édefinida como XT S xy (ω) = lim (ω)y T (ω) T T Usando-se argumentos similares aos empregados anteriormente, mostra-se que: R xy (τ) S xy (ω) R xy (τ) = R yx ( τ) (Processos Reais) S xy (ω) = S yx ( ω) (Processos Reais)

42 Processos Aleatórios Múltiplos Se x(t) é um processo estacionário no sentido amplo e y(t) é a saída de um sistema linear cuja entrada é x(t), então: Logo, y(t) = R y(τ) = x(t)y(t + τ) = = = = h(α)x(t α)dα h(α)x(t α)dα h(β)x(t + τ β)dβ h(α)h(β)x(t α)x(t + τ β)dαdβ h(α)h(β)x(t α)x(t + τ β)dαdβ h(α)h(β)r x(τ + α β)dαdβ

43 Processos Aleatórios Múltiplos Então R y (τ) = h(τ) h( τ) R x (τ) Logo, a DEP de y(t) é dada por: S y (ω) = H(ω) 2 S x (ω) De modo análogo, as seguintes relações também podem ser obtidas: S xy (ω) = S x (ω)h(ω) S yx (ω) = S x (ω)h (ω)

44 Soma de Processos Aleatórios Se dois processos aleatórios x(t) e y(t) são adicionados, resultando em z(t) =x(t)+y(t), então: R z (τ) = z(t)z(t + τ) =R x (τ)+r y (τ)+r xy (τ)+r yx(τ) Se x(t) e y(t) são descorrelacionados, então: R z (τ) = R x (τ)+r y (τ)+2x.y Se x(t) e y(t) são ortogonais, então: R z (τ) = R x (τ)+r y (τ) S z (ω) = S x (ω)+s y (ω) z 2 = x 2 + y 2

45 Ruído Térmico Exemplo 11.9 O movimento aleatório dos elétrons em um resistor R origina uma tensão entre os seus terminais. Esta tensão n(t) é conhecida como ruído térmico. A sua DEP S n (ω) é praticamente plana sobre uma extensa banda (até 1000 GHz na temperatura ambiente) e é dada por: S n (ω) = 2kTR (k = 1, ) Um resistor R na temperatura T pode ser representado por um resistor sem ruído R em série com uma fonte de ruído branco com DEP S n (ω). Calcule o valor RMS da tensão ao longo do circuito RC mostrado a seguir.

46 Ruído Térmico Exemplo 11.9

47 Ruído Térmico Exemplo Solução A função de transferência relacionando a saída v o com a entrada S n (ω) é dada por: H(ω) = jωrc Sendo S o (ω), a DEP da saída v o, então: 1 S o (ω) = 1 + jωrc 2 2kTR = vo 2 = 1 2π kt v o (RMS) = C 2kTR 1 + ω 2 R 2 C 2 2kTR 1 + ω 2 R 2 C 2 dω = kt C

48 Processos Aleatórios Passa-Faixa Em um processo passa-faixa, a DEP está confinada em uma certa banda passante Um sinal passa-faixa determinístico g PF (t) pode ser representado em suas componentes de fase e quadratura, ou seja: g PF (t) = g c (t) cos ω c t + g s (t) sin ω c t = E(t) cos [ω c t + ψ(t)] Nessa expressão, g c (t) e g s (t) são sinais passa-baixas

49 Processos Aleatórios Passa-Faixa Analogamente, um processo aleatório passa-faixa x(t) também pode ser representado na forma: x(t) = x c (t) cos ω c t + x s (t) sin ω c t Nessa expressão, x c (t) e x s (t) são processos aleatórios passa-baixas com DEP dada por: { } Sx(ω + ω c)+s x(ω ω c), ω 2πB S xs (ω) = S xc (ω) = 0, ω > 2πB

50 Processos Aleatórios Passa-Faixa Pode-se observar que as áreas das DEPs S x (ω), S xc (ω) e S xs (ω) são iguais, assim: x 2 c (t) = x 2 s (t) =x 2 (t)

51 Processos Aleatórios Passa-Faixa Pode-se mostrar que: x c (t)x s (t) = R xcx s (0) =0 Se S x (ω) é simétrica em torno de ω c e ω c então: R xcxs (τ) = 0 A representação em fase e quadratura não é única, pois diferentes freqüências centrais geram representações diferentes

52 Ruído Branco Passa-Faixa Exemplo A DEP do ruído branco passa-faixa n(t) é mostrada na figura abaixo. Represente este processo em termos das suas componentes de fase e quadratura. Obtenha as expressões de S nc (ω) e S ns (ω) everifique que nc(t) 2 =ns(t) 2 =n 2 (t)

53 Ruído Branco Passa-Faixa Exemplo Solução n(t) = n c (t) cos ω c t + n s (t) sin ω c t Em que: S ns (ω) = S nc (ω) = { N, ω 2πB 0, ω > 2πB n 2 c(t) = n 2 s(t) =n 2 (t) =2N B }

54 Ruído Branco Passa-Faixa Exemplo A DEP do ruído branco passa-faixa n(t) de um canal SSB (usando a Banda Lateral Inferior) é mostrada na figura abaixo. Represente este processo em termos das suas componentes de fase e quadratura com freqüência central ω c.

55 Ruído Branco Passa-Faixa Exemplo Solução n(t) = n c (t) cos ω c t + n s (t) sin ω c t Em que: S ns (ω) = S nc (ω) = { N 2, ω 2πB 0, ω > 2πB n 2 c(t) = n 2 s(t) =n 2 (t) =N B }

56 Processos Aleatório Passa-Faixa Gaussiano Branco Os processos gaussianos são de extrema importância nas telecomunicações Em um processo gaussiano, as variáveis aleatórias x(t i )=x i são gaussianas Um processo aleatório passa-faixa gaussiano branco pode ser expressado como n(t) = n c (t) cos ω c t + n s (t) sin ω c t { } N, ω 2πB S ns (ω) = S nc (ω) = 0, ω > 2πB n 2 c(t) = n 2 s(t) =n 2 (t) =2N B

57 Processos Aleatório Passa-Faixa Gaussiano Branco Um processo aleatório passa-faixa gaussiano branco também pode ser expressado na forma polar como n(t) = E(t) cos (ω c t +Θ) E(t) = nc(t)+n 2 s(t) 2 Θ(t) = arctan n s(t) n c (t) As variáveis aleatórias n c (t) e n s (t) são variáveis gaussianas descorrelacionadas, com média nula e variância σ 2 = 2N B p nc (α) = p ns (α) = 1 σ 2π e α 2 2σ 2

58 Processos Aleatório Passa-Faixa Gaussiano Branco Na forma polar, a variável aleatória E(t) tem uma fdp de Rayleigh e Θ é uniformemente distribuída no intervalo (0, 2π) p E (E) = E E2 e 2σ σ2 2, σ 2 = 2N B

59 Processos Aleatório Passa-Faixa Gaussiano Branco Outro caso de interesse é o processo aleatório resultante da soma de uma senóide com o ruído passa-faixa gaussiano branco y(t) = A cos (ω c t + ϕ)+n(t) Como n(t) pode ser representado em fase e quadratura, tem-se: y(t) = [A + n c (t)] cos (ω c t + ϕ)+n s (t) sin (ω c t + ϕ) = E(t) cos (ω c t +Θ(t)+ϕ) E(t) = [A + n c (t)] 2 + ns(t), 2 n s (t) Θ(t) = arctan A + n c (t)

60 Processos Aleatório Passa-Faixa Gaussiano Branco A partir da representação fasorial mostrada a seguir, pode-se verificar que: n 2 c + n 2 s = E 2 2AE cos Θ(t)+A 2 Substituindo na fdp de Rayleigh para E(t), tem-se: p EΘ (E,θ) = E (E 2 2AE cos Θ(t)+A 2 ) 2πσ 2 e 2σ 2

61 Processos Aleatório Passa-Faixa Gaussiano Branco As fdps marginais são obtidas integrando-se p EΘ (E,θ) com relação a E eaθ, resultando em: p E (E) = E (E 2 +A 2 ) ( AE ) e 2σ σ2 2 I 0 (fdp de Rice) σ 2 1 σ (E A) 2 2π e 2σ 2 (A σ) p Θ (θ) = 1 A 2 2π e 2σ 2 { 1 + A A 2 cos 2 ( θ A cos θ )]} 2π cos θe 2σ [1 σ 2 Q σ I 0 representa a função de Bessel modificada de ordem zero, que é em geral encontrada em tabelas

62 Filtragem Ótima Para melhorar a SNR quando o ruído está misturado com o sinal, pode-se atenuar ou suprimir as freqüências em que o ruído é forte Esse processo também causa distorção no sinal A distorção induzida pode ser encarada como uma nova componente de ruído adicionada Em geral, os efeitos da supressão do ruído compensam o efeito da distorção induzida

63 Filtragem Ótima Denotando por H op (ω) a função de transferência do filtro ótimo, a potência do sinal de distorção m ɛ (t) é dada por: N D = 1 2π S m (ω) H op (ω) 1 2 dω De modo similar, a potência do ruído do canal na saída do filtro é dada por: N ch = 1 2π S n (ω) H op (ω) 2 dω Aqui, S m (ω) é a DEP do sinal na entrada do filtro e S n (ω) é a DEP do ruído na entrada do filtro

64 Filtragem Ótima Como o sinal e o ruído são ortogonais, pode-se admitir que o ruído total é dado por: N o = N ch + N D = 1 [ Hop (ω) S m(ω) 2 S r (ω)+ S m(ω)s n (ω) ] dω 2π S r (ω) S r (ω) Em que S r (ω) =S m (ω)+s n (ω) O filtro ótimo que minimiza N o é dado por: H op (ω) = S m(ω) S r (ω) = S m (ω) S m (ω)+s n (ω)

65 Filtragem Ótima O filtro ótimo assim obtido é conhecido como filtro de Wiener-Hopf Quando S m (ω) S n (ω), H op (ω) 1 Quando S m (ω) S n (ω), H op (ω) tem forte atenuação Para o filtro ótimo, a potência total do ruído é dada por: N o = 1 2π S m (ω)s n (ω) S m (ω)+s n (ω) dω Se a SNR na entrada do filtro é alta (acima de 20dB), H op (ω) é praticamente ideal e N 0 é dado por: N o 1 S n (ω)dω 2π

66 Filtragem Ótima Exemplo Um processo aleatório m(t) é misturado com um ruído branco n(t) no canal. Dado que S m (ω) = 2α α 2 + ω 2, S n(ω) = N 2 obtenha o filtro de Wiener-Hopf a fim de maximizar a SNR. Obtenha também a potência do ruído na saída N o.

67 Filtragem Ótima Exemplo Solução H op (ω) = = 4α 4α + N (α 2 + ω 2 ) 4α N (β 2 + ω 2 ), β2 = 4α N + α2 Logo, h op (t) = 2α N B e β t N o = 1 2π 2α N (β 2 + ω 2 ) dω = α β = α α 2 +(4α/N )

68 Filtragem Ótima Exemplo Solução

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