UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁ- RIAS DE SEGUNDA ORDEM APLICADAS A ANÁLISE DE CIRCUITOS

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1 UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁ- RIAS DE SEGUNDA ORDEM APLICADAS A ANÁLISE DE CIRCUITOS Ciro Campos Chaves * Francisco Bruno Souza Oliveira ** Carlos Alberto Oliveira Araújo *** artigo de revisão RESUMO As Equações Diferenciais Ordinárias modelam os mais variados fenômenos da natureza, em diversas áreas das ciências e engenharias, como eletromagnetismo, dinâmica dos fluidos, dentre outras. Devido à complexidade de se encontrar uma solução analítica para a maioria dos problemas práticos que não permitem simplificações, ou seja, aqueles em que se tem um grande número de variáveis e geometrias complexas, soluções numéricas são comumente utilizadas para se chegar a um resultado satisfatório, que se aproxime da solução analítica ou dos resultados experimentais do problema em questão. Este artigo irá apresentar um exemplo aplicativo didático de Equações Diferenciais de Segunda Ordem na Engenharia Elétrica, mais precisamente na teoria dos circuitos elétricos, onde um problema clássico de solução analítica conhecida será resolvido numericamente, utilizando-se de quatro técnicas numéricas clássicas, a fim de se comparar os resultados obtidos numericamente com o resultado analítico, observando-se assim qual dos métodos melhor atende à solução do problema em questão. Palavras-chave: Métodos numéricos; Equações diferenciais ordinárias; Circuitos elétricos. * Bacharel em Engenharia Elétrica/Eletrônica, pela Faculdade Independente do Nordeste. Especialista em Instalações Elétricas Industriais pela Universidade Cândido Mendes. Mestre em Modelagem Computacional em Ciência e Tecnologia pela Universidade Estadual de Santa Cruz. Atualmente é professor assistente na Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia. ** Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional em Ciência e Tecnologia (PPGMC) da Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC), lotado no Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas - área de Computação. Doutor e Mestre em Modelagem Computacional pelo Instituto Politécnico da Universidade do Estado do Rio de Janeiro (IPRJ/UERJ), Bacharel e Licenciado em Matemática pela Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ). Atualmente, coordenador da regional (Bahia - Alagoas - Sergipe) da Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional, colaborador em grupo de pesquisa da Universidade do Estado do Rio de Janeiro, avaliador ad hoc do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira, colaborador da Universidade Federal do Rio de Janeiro. *** Possui graduação em Engenharia Elétrica - Área 1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia (2014) e mestrado em Modelagem Computacional em Ciência e Tecnologia pela Universidade Estadual de Santa Cruz. Atualmente é engenheiro eletricista da Universidade Federal do Sul da Bahia. Doi: / C&D-Revista Eletrônica da FAINOR, Vitória da Conquista, v.12, n.1, p.18-31, jan./abr

2 Utilização de métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem aplicadas a análise de circuitos 1 INTRODUÇÃO Os fenômenos naturais que são compreensíveis para o homem e pela ciência são geralmente modelados por meio de equações matemáticas. Por meio de observação, experimentação e formulação de hipóteses, equações são extraídas e leis físicas são determinadas a partir delas. É inegável que grande parte dos fenômenos conhecidos pelo homem envolvem um conceito em comum: o conceito de taxa de variação de uma grandeza em relação a outra. Como exemplo disso temos: a taxa de do deslocamento de um móvel em função do tempo, a segunda lei de Newton que define que a força aplicada em um corpo é igual ao produto da massa do mesmo pela taxa de variação temporal da velocidade, ou ainda aceleração, fenômenos eletromagnéticos, mecânica dos fluídos, dentre diversos outros fenômenos são descritos por equações que envolvem taxas de variação. Dessa forma, equações que envolvem taxas de variação de grandezas, ou derivadas, são chamadas de equações diferenciais. Essas equações podem ser tipo ordinárias (EDO), pois podem envolver funções de uma única variável e a suas derivadas; ou parciais (EDP), podendo envolver funções de várias variáveis e as suas taxas de variação em respeito a estas variáveis (FRANCO, 2006). Como exemplo temos a já citada segunda lei de Newton, que nos dá o módulo da força aplicada em um corpo como sendo: d² s( t) F m. dt ² (1) onde s (t ), a função da posição, é dependente do tempo e m uma constante. Logo, a equação acima é uma EDO de segunda ordem, por apresentar a segunda derivada de uma função de apenas uma variável. Já para o caso de uma EDP, por exemplo, temos equação de Laplace: ² V ² V ² V 0 (2) x² y² z² onde V (x, y, z ) é uma função do espaço. Portanto, a equação acima representa o divergente do campo vetorial V (x, y, z ). A maior parte dessas equações são inviáveis de serem resolvidas a partir de técnicas analíticas. Isso se deve à complexidade dos problemas e à grande quantidade de variáveis envolvidas, bem como a inviabilidade de se introduzir determinadas simplificações. Devido a isso, técnicas numéri- C&D-Revista Eletrônica da FAINOR, Vitória da Conquista, v.12, n.1, p.18-31, jan./abr

3 Ciro Campos Chaves, Francisco Bruno Souza Oliveira, Carlos Alberto Oliveira Araújo cas são amplamente utilizadas para se chegar a uma solução que se aproxime ao máximo da solução analítica ou mesmo de dados experimentais adquiridos. Portanto, o presente trabalho tem como objetivo fazer um estudo comparativo de uma aplicação específica de equações diferenciais ordinárias na engenharia elétrica, mais precisamente em circuitos lineares de segunda ordem, contendo elementos armazenadores de energia. Para tanto será utilizado um caso que se conheça a solução analítica, aplicando alguns dos principais métodos numéricos encontrados na literatura para a resolução de EDOs (CUMINATO, 2015). Então, as soluções numéricas serão comparadas com a solução analítica conhecida, a fim de se fazer um comparativo de qual método numérico seria a melhor escolha para este tipo de problema em específico. 1.1 Métodos numéricos para a solução de EDOs Como já descrito anteriormente, uma EDO é uma equação que envolve taxas de variação ou derivadas de uma função de uma única variável. A ordem de uma EDO é a ordem da maior derivada que aparece na equação. Por exemplo, a equação (1) é uma EDO de segunda ordem, pois apresenta a derivada segunda da função s(t). De uma forma mais genérica, podemos representar uma EDO de primeira ordem como sendo: y ' =f ( x, y ). (3) Nessa notação [1], f é uma função real de duas variáveis, sendo y é uma função y(x), ou seja, uma função da variável dependente. Ou ainda, para EDOs de ordem mais elevada: y n =f ( x, y, y ', y ' ',, y n ), (4) onde todas as derivadas de n-ésima ordem existem, ou seja, a função é diferenciável num intervalo para todo x. A solução dessa equação nos dá uma família de funções y, que satisfazem as condições dadas pela EDO, bem como as suas condições de existência. Por exemplo, a equação diferencial y ' = y possui como solução analítica y( x) C. e x ou seja, para qualquer C real a função y ( x ) é solução da EDO apresentada. Para poder se obter o que chamamos de solução particular de uma EDO, precisamos obter a con- y( x ) y dição inicial, ou seja,. 0 0 Dessa forma, o problema que envolve uma C&D-Revista Eletrônica da FAINOR, Vitória da Conquista, v.12, n.1, p.18-31, jan./abr

4 Utilização de métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem aplicadas a análise de circuitos EDO juntamente com condições iniciais é denominado problema de valor inicial, doravante p.v.i. 1.2 Método de Euler Também conhecido como método da reta tangente, é um dos métodos mais antigos que se conhece utilizado para se contruir aproximações a um p.v.i. para EDOs de primeira ordem do tipo: y ' =f ( x, y ),y( x 0 )= y 0. (5) Na equação acima, x 0 e y 0 são as condições iniciais e h o tamanho do passo. Uma das técnicas mais simples para aproximar a solução para esse p.v.i é usando retas tangentes (NAGLE et al, 2012). Com o uso de alguns artifícios matemáticos chega-se a um procedimento simples conhecido como Método de Euler, o qual utiliza-se das seguinte fórmulas recursivas. x n+1 =x n +h, y n+ 1 = y n +hf (x n, y n ),n=1,2,3 (6) 1.3 Método de Euler Melhorado Como pode-se perceber o Método de Euler pode apresentar um elevado grau de erro relativo. Então, visando minimizar o erro apresentado por esse método, desenvolveu-se o método conhecido como Método de Euler Melhorado, de forma que y n+ 1 = y n + h 2 (k 1+k 2), onde k 1 =f (x n, y n ), (7) k 2 =f (x n +h, y n +hk 1 ). 1.4 Método de Euler Modificado Também conhecido como método de Runge-Kutta de 2 estágios e ordem 2, esse método também foi desenvolvido como uma forma de minimizar o erro do Método de Euler, desta forma y n+ 1 = y n +hk 2, onde k 1 =f (x n, y n ), (8) k 2 =f ( x n h, y n hk 1). C&D-Revista Eletrônica da FAINOR, Vitória da Conquista, v.12, n.1, p.18-31, jan./abr

5 Ciro Campos Chaves, Francisco Bruno Souza Oliveira, Carlos Alberto Oliveira Araújo 1.5 Método de Runge-Kutta de 4ª ordem Podendo ser definidos a partir de um sistema de 11 equações e 13 incónitas, os métodos de Runge-Kutta de 4 estágios e ordem 4 são determinados a partir do sistema mostrado em Cuminato (s/a), vejamos um desses métodos y n+ 1 y n = h 6 [ k 1 +2(k 2 +k 3 )+k 4], onde k 1 =f (x n, y n ), k 2 =f ( x n h, y + 1 n 2 1) hk, (9) k 3 =f ( x n h, y + 1 n 2 2) hk, k 4 =f (x n +h, y n +hk 3 ). 2 MATERIAIS E MÉTODOS 2.1 Equações dominantes Na engenharia elétrica as EDOs são amplamente aplicadas na análise de circuitos elétricos lineares. Os circuitos elétricos são definidos por Johnson et al. (2011) e Sadiku et al.(2013) como sendo a ligação entre elementos elétricos, tais como geradores, condutores, resistores, capacitores, indutores, diodos e outros componentes eletrônicos. Dentre os elementos passivos de circuitos elétricos, Johnson et al. (2011) cita o resistor, o capacitor e o indutor. Tais elementos relacionam campos elétricos, campos magnéticos, tensão elétrica e corrente elétrica em equações algébricas ou íntegro-diferenciais. O resistor relaciona a sua resistência elétrica com a tensão e a corrente de uma forma linear e algébrica, de acordo com a primeira lei de ohm (SADIKU et al., 2013) como sendo: v ( ). ( ) R t R i t (10) Sendo, neste caso, v(t) e i(t) sinais de tensão e corrente, respectivamente, dependentes do tempo. Já os outros dois elementos passivos, o resistor e o capacitor, são elementos que armazenam energia em seus campos elétricos e magnéticos, e as relações de tensão-corrente para os mesmos são descritos por equações integrodiferenciais, respectivamente para o capacitor e para o indutor: t 1 vc ( t) i( t). dt vc ( t0) C t0 di( t) vl ( t) L. dt (11) (12) Ou seja, a tensão no capacitor depende de toda a carga elétrica no C&D-Revista Eletrônica da FAINOR, Vitória da Conquista, v.12, n.1, p.18-31, jan./abr

6 Utilização de métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem aplicadas a análise de circuitos tempo lembrando que Sadiku et al (2013) enfatiza que a corrente elétrica é a taxa de variação temporal instantânea de cargas elétricas, e no indutor depende da taxa de variação temporal de corrente elétrica. As constantes de proporcionalidade C e L são denominadas capacitência e indutância, respectivamente. As equações (10), (11) e (12) precisam ser combinadas junto a alguma lei física para que possam juntas ter algum sentido. As Leis de Kirchoff são as leis que irão relacionar estas equações íntegro-diferenciais. Sendo um nó um ponto de encontro entre dois ou mais elementos de circuitos elétricos, a Lei de Kirchoff das correntes - LKC diz que o somatório das correntes que entramm em um nó é nula. De forma análoga, e considerando que uma malha é um caminho fechado num circuito elétrico, a Lei de Kirchoff das tensões - LKT diz que o somatório das tensões de malha é nula. Para o caso a ser estudado neste artigo, consideremos um circuito elétrico RLC série, com um resistor de resistência R em série com um indutor de indutância L e um capacitor com capacitância C. O circuito é excitado por Vg ( t) uma fontede tensão variável no tempo,. A corrente série do circuito é representada por i( t ),conforme mostra figura a seguir: Figura 1: Circuito elétrico RLC série Utilizando-se da Lei e Kirchoff das tensões, e admitindo que as tensões nos elementos são dadas por (10), (11) C&D-Revista Eletrônica da FAINOR, Vitória da Conquista, v.12, n.1, p.18-31, jan./abr

7 Ciro Campos Chaves, Francisco Bruno Souza Oliveira, Carlos Alberto Oliveira Araújo e (12), podemos escrever para o circuito acima: v ( t) v ( t) v ( t) v ( t) r l c g (13) Substituindo as expressões anteriores em (13) e considerando que o circuito é excitado por uma fonte de tensão contínua ou seja, vg(t) é constante: di( t) 1 R. i( t) L.. i( t). dt vc( t0) V dt C t t0 g (14) Considerando que t0 0 e que neste instante a tensão inicial no capacitor é nula, diferenciando (13) em relação a t para termos a equação somente em termos de derivadas: di²( t) di( t) 1 L. R.. i( t) 0 dt² dt C (15) Tem-se, agora, uma EDO de segunda ordem. Como já mencionado anteriormente, a ordem de uma EDO é definida pela ordem da mais alta derivada presente na equação, e no caso da aplicação em circuitos elétricos, a ordem é definida na prática como a quantidade de elementos armazenadores de energia que estão presentes no circuito em questão, que no caso acima descrito são dois elementos, um capacitor e um indutor. 2.2 Solução analítica A solução analítica para equaçoes diferenciais ordinárias nem sempre é trivial, principalmente quando as equações envolvidas são equações diferenciais de ordem maior que dois. Para encontrar a solução analítica deste caso em questão, o conceito de impedância encontrada por exemplo em Johnson et al. (2011) e Sadiku et al. (2013) é utilizada, bem como a transformada de Laplace (SPIEGEL, 1965). Considerando as condições iniciais nulas, o chamado circuito transformado, no domínio da frequência complexa é o demonstrado na seguinte figura, onde R, 1/sC e s.l representam as impedâncias no domínio da frequência complexa do resistor, capacitor e indutor apresentados anteriormente. C&D-Revista Eletrônica da FAINOR, Vitória da Conquista, v.12, n.1, p.18-31, jan./abr

8 Utilização de métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem aplicadas a análise de circuitos Figura 2: Circuito elétrico RLC série no domínio da frequência complexa s. Dadas as impedâncias no domínio da frequênia complexa e aplicando a Lei de Kirchoff das tensões LKT: I( s) R. I( s) I( s). sl V (16) g sc tante. Fazendo as manipulações algébricas necessárias, após substituição dos valores atribuídos para as constantes: s I( s) (18) s² 2s 1 Ou ainda: Fazendo as alterações algébricas necessárias na expressão (16) e isolando-se a variável de interesse, que é a função I(s): s I ( s) L. V (17) R s². s 1 g L Para a resolução analítica pelo método da transformada de Laplace, as equações diferenciais são substituídas por equações algébricas [5] e após as manipulações necessárias, aplica-se a transformada inversa de Laplace [5] e chega-se ao resultado. Para fins de simplificação dos cálculos, consideremos o caso onde R = s I( s) ( s 1)² (19) Que pode ser escrito em frações parciais [5], dando-nos a seguinte expressão: 1 1 I( s) ( s 1) ( s 1)² (20) Aplicando a transformada inversa de Laplace, chega-se à resposta analítica da corrente elétrica do circuito RLC série dado, para t 0. 2, L = 1 H, C = 1 F e Vg = 1 V, lembrando que no caso estudado Vg é cons- t i( t) e te t (21) C&D-Revista Eletrônica da FAINOR, Vitória da Conquista, v.12, n.1, p.18-31, jan./abr

9 Ciro Campos Chaves, Francisco Bruno Souza Oliveira, Carlos Alberto Oliveira Araújo Graficamente: Figura 3: Resposta analítica do problema proposto. 2.3 Solução numérica Para propor a solução numérica deste problema, foi utilizada a mesma notação usada em Cuminato (2015) para EDO s. Na citada referência, o problema de se resolver uma EDO de ordem superior, ou seja, de ordem maior ou igual a dois, se resume em resolver um sistema de EDO s de primeira ordem; partindo, então, das já apresentadas técnicas numéricas. Para preservar, então, a mesma notação, fazemos i(t)=y e rearranjando em termos da segnda derivada, a equação (10) nos dá: 1 R y '' y y ' LC L (22) Como o problema de resolução de EDO s consiste-se em resolução de problemas de valor inicial p.v.i, dizemos que i(0)=y(0)=0 que corresponde a uma corrente inicial nula. Para encontrar a condição inicial y (0), aplica-se novamente a LKT para t=0, utilizando a mesma notação apresentada: L. y '(0) R. y(0) v (0) V c g (23) Como a tensão inicial no capacitor e a corrente inicial no circuito são nulas, ou C&D-Revista Eletrônica da FAINOR, Vitória da Conquista, v.12, n.1, p.18-31, jan./abr

10 Utilização de métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem aplicadas a análise de circuitos seja, y(0) = vc(0)=0, a expressão (23) se reduz a: (24) Fazendo y = z e substituindo em (22), juntamente com a equação (24), chegase ao seguinte sistema de EDOs linerares de primeira ordem: y ' z 1 R z ' y z LC L y(0) 0 Vg y '(0) L (25) Fazendo-se as mesmas substituições numéricas para R, L, C e Vg feitas durante a solução analítica, tem-se, finalmente: y ' z z ' ( y 2 z) y(0) 0 y '(0) 1 (26) V g y ''(0) L problema proposto, foram utilizados quatro métodos numéricos clássicos citados em Cuminato (2015) e Nagle et al. (2012) para a resolução de EDO s: Os métodos de Euler, Euler modificado, Euler melhorado e o método de Runge- Kutta de 4ª ordem. Os métodos foram implementados em linguagem de programação C++, desenvolvidas utilizando o ambiente de programação Dev C+ + e compilador GCC versão 64 bits. A máquina utilizada para a execução do programa foi uma máquina com sistema operacional Windows 8.1 com 4 GB de memória RAM e processador Intel Core i3. Para a geração da malha unidimensional, foi utilizado um h=0.1, e os resultados dos métodos foram comparados com a resposta analítica encontrada. Os resultados podem ser vistos e comparados na tabela e gráfico à seguir: 3 RESULTADOS E DISCUSSÕES Para se resolver numericamente o C&D-Revista Eletrônica da FAINOR, Vitória da Conquista, v.12, n.1, p.18-31, jan./abr

11 Ciro Campos Chaves, Francisco Bruno Souza Oliveira, Carlos Alberto Oliveira Araújo Tabela 1: Método de Euler. x n y n e zn Tabela 2: Métodos de Euler modificado e melhorado. x n y n zn Tabela 3: Método de Runge-Kutta de 4ª ordem. x n y n zn Graficamente, os resultados podem ser vistos como segue. C&D-Revista Eletrônica da FAINOR, Vitória da Conquista, v.12, n.1, p.18-31, jan./abr

12 Utilização de métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem aplicadas a análise de circuitos Figura 4: Comparação entre respostas numéricas e resposta analítica do problema proposto Como mostram os resultados, o método de Euler apresenta uma aproximação apenas razoável da solução analítica, apresentando uma maior discrepância no intervalo 0.5 x 1. Os métodos de Euler modificado e melhorado apresentaram exatamente a mesma resposta, respostas estas que foram um pouco melhores que o método de Euler tradicional, enquanto que o método de Runge-Kutta de 4ª ordem apresentou a melhor resposta, dando uma ótima aproximação da solução analítica para o problema do circuito RLC série em questão, dados os valores atribuídos para as constantes e os valores dados da largura da malha, no intervalo dado 0 x 1. Isso evidencia que, realmente, como comumente mostra a literatura, o método de Runge-Kutta de 4ª ordem é o mais preciso dentre esses métodos numéricos clássicos para resolução de EDOs, e para esse tipo de problema em específico essa hipótese foi confirmada. Os desvios relativos percentuais entre os valores calculados e os valores analíticos são apresentados graficamente abaixo. C&D-Revista Eletrônica da FAINOR, Vitória da Conquista, v.12, n.1, p.18-31, jan./abr

13 Ciro Campos Chaves, Francisco Bruno Souza Oliveira, Carlos Alberto Oliveira Araújo Figura 5: Desvios relativos percentuais entre os resultados numéricos e a solução analítica. 4 CONCLUSÕES Com o desenvolvimento do trabalho foi possível mostrar como o uso de método numéricos pode ser aplicado como facilitador do processo ensinoaprendizagem de EDOs. Para tanto, o preceptor pode aplicar conceitos que vão desde a acurácia de cada método em comparação com valores experimentais, até a implementação de um método específico para o uso em sistemas embarcados, dando enfoque, neste caso, para o custo computacional e/ou tempo de resposta. Portanto, é possível perceber que com o uso dos métodos numéricos é possível desenvolver atividades tanto práticas quanto teóricas no campo da análise de circuitos lineares. C&D-Revista Eletrônica da FAINOR, Vitória da Conquista, v.12, n.1, p.18-31, jan./abr

14 Utilização de métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias de segunda ordem aplicadas a análise de circuitos UTILIZATION OF NUMERICAL METHODS FOR EQUAÇÕES ORDINARY DIFERENCIAIS OF SECOND ORDEM APPLIED TO ANALYSIS OF CIRCUITS ABSTRACT: Ordinary Differential Equations model the most varied phenomena of nature, in several areas of science and engineering, such as electromagnetism, fluid dynamics, among others. Due to the complexity of finding an analytical solution for most practical problems that do not allow for simplifications, that is, those with a large number of complex variables and geometries, numerical solutions are commonly used to arrive at a satisfactory result, approaching the analytical solution or the experimental results of the problem in question. This article will present an example didactic application of Second Order Differential Equations in Electrical Engineering, more specifically in electric circuit theory, where a classical problem of known analytical solution will be solved numerically, using four classical numerical techniques, in order to if one compares the results obtained numerically with the analytical result, thus observing which of the methods best serves the solution of the problem in question. Keywords: Numerical methods; Ordinary differential equations; Electric circuits. Artigo recebido em 30/07/2018 e aceito para publicação em 01/10/2018 REFERÊNCIAS ALEXANDER, C.; SADIKU, M.N.O. Fundamentos de circuitos elétricos, 5 ed CUMINATO, J. A. Métodos Numéricos. Disponível em: <ftp://ftp.icmc.usp.br/pub/misc/jacumina/livro_cuminato.pdf>. Acesso em: 5 de jan de HULL, T.E.; ENRIGHT, W.H.; FELLEN, B.M.; SEDGWICK, A.E. Comparing Numerical Methods of Ordinary Differential Equations. SIAM Journal on Numerical Analysis, v.9, n. 4, p , NAGLE, R.K.; SAFF, E.B.; SNIDER, A.D. Equações Diferenciais. 8 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, SPIEGEL, M.R. Laplace Transforms. McGraw-Hill DAVID, E.J.; JOHN, L.H.; JOHNNY R.J. Fundamentos de Análises de Circuitos Elétricos, 4ª Edição, Ed. LTC FRANCO, N.B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, C&D-Revista Eletrônica da FAINOR, Vitória da Conquista, v.12, n.1, p.18-31, jan./abr