APLICAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS ATRAVÉS AMBIENTE GRÁFICO NO ENSINO DE ENGENHARIA

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1 APLICAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS ATRAVÉS AMBIENTE GRÁFICO NO ENSINO DE ENGENHARIA DEYVIDY MATEUS CORREIA RAMOS (FIC) Wagner Baihense de Araujo (FIC) Angelo Rocha de Oliveira (FIC) Na resolução de problemas de engenharia, diversos métodos numéricos podem ser utilizados. No que tange à aprendizagem do Cálculo Numérico, considera-se pertinente a idéia de se desenvolver um software que atenda às necessidades dos alunos dde Engenharia de Produção, com a intenção de tornar mais amigável a introdução e a apresentação das soluções através destes métodos. Com os recursos do software, não só os alunos de Engenharia poderão acompanhar e ratificar seus conhecimentos no decorrer da aprendizagem, mas também alunos de outras áreas correlatas poderão se beneficiar deste recurso, uma vez que o nível de abstração proporcionado pelo aprendizado com bases mais sólidas, leva o estudante a interpretar problemas e contextualizá-los até uma instância na qual ele é capaz de utilizar o software, acompanhar a evolução do processo de solução e refletir acerca dos resultados obtidos. Palavras-chaves: Cálculo numérico, Engenharia, Métodos numéricos

2 1 - Introdução Muitos problemas de matemática numérica são modelados em função de um sistema de equações lineares. Isso vale em geral para o tratamento numérico de equações lineares que ocorrem, entre outras, como equações diferenciais parciais ou ordinárias e equações integrais que surgem em diversos problemas da Física e Engenharia, como observado em (CARVALHO, 1987). No que tange à solução de sistemas lineares, método é dito direto quando a solução exata x r é obtida realizando-se um número finito de operações aritméticas, em precisão infinita. Um método é dito iterativo quando a solução x r é obtida como limite de uma seqüência de aproximações sucessivas x r 1, x r 2 e assim sucessivamente. Entre os métodos diretos, destacamse os métodos de eliminação que evitam o cálculo direto da matriz inversa de A e, além disso, não apresentam problemas com tempo de execução (ROQUE, 1995). Foram estudados os métodos diretos: Gauss, Jordan e Pivotação Completa. Já entre os métodos iterativos: Jacobi, Gauss-Seidel, Newton (CLÁUDIO, 1991), assim como métodos de interpolação e extrapolação, amplamente utilizados em várias áreas do conhecimento humano, como Biologia (CARVALHO, 1987). Para cálculo de raízes de equações podem-se utilizar métodos como bissecção, cordas e Newton-Raphson, cada um com suas características peculiares, aplicações e limitações (CHAPRA, 1989) e para integração numérica, métodos como o Método a Regra dos Trapézios são utilizados inclusive em rotinas internas de programas amplamente utilizados na Engenharia, como é o caso do Matlab (BARROSO, 2002). É pertinente observar que cada um desses métodos possui limitações e o mais importante: a partir da evolução das iterações / resultados obtidos, cabe ao aluno de engenharia analisar as saídas de dados a fim de verificar se os mesmos fazem sentido, se há coerência (RUGGIERO, 1993). O presente artigo tem o objetivo de desenvolver um software para a disciplina de Cálculo Numérico, mas que também pode ser usado em outras disciplinas e áreas da Engenharia, constituindo-se como um material didático relevante para a absorção de conhecimentos no que tange a métodos numéricos, bem como a visualização de trajetórias de convergência e interpretação de resultados. 2 O uso de métodos numéricos A matemática é, de alguma maneira, usada na maioria das aplicações da ciência e da tecnologia. Tem sempre havido uma relação muito próxima entre a matemática de um lado e a ciência e tecnologia do outro. Algumas de suas áreas surgiram e foram desenvolvidas na tentativa, ás vezes até frustrada, de solucionar problemas reais, ou seja, aqueles relacionados com alguma situação prática (CLÁUDIO, 1991). Com freqüência estes problemas reais não podem ser convenientemente solucionados através de fórmulas exatas. Assim se for possível aceitar uma solução aproximada os métodos numéricos serão as ferramentas adequadas para sua solução. Uma grande fonte de métodos numéricos são as soluções e demonstrações matemáticas que geram métodos construtivos ou algorítmicos. Os algoritmos gerados são utilizados para se obter as soluções numéricas. 2

3 As aplicações em cálculo numérico são largamente utilizadas em diversos processos da engenharia. Sua utilização vai desde aplicações para determinação de raízes de equações, passando por interpolação de valores tabelados, equações diferenciais parciais ou ordinárias até integração numérica entre outros. Desta forma, torna-se cada vez mais comum a necessidade de programar-se tais aplicações para a resolução de problemas do cotidiano do profissional da área de engenharia. A resolução de sistemas de equações lineares é útil para a solução de diversos problemas. - Circuitos elétricos resistivos podem ser modelados na forma de sistemas de equações lineares, onde as variáveis são as correntes que circulam em cada malha, os coeficientes são as resistências em cada elemento resistivo e os termos independentes são as tensões geradas em cada malha; - Técnicas de interpolação polinomial se valem de resolução de sistemas para a determinação dos coeficientes do polinômio que aproxima os pontos tabulados, oriundos de um experimento científico qualquer; - Análises da complexidade computacional de algoritmos recorrentes podem ser determinadas com a utilização de sistemas lineares. A função do Cálculo Numérico na Engenharia é Buscar solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos modelo matemático (CLÁUDIO, 1991). Podem ser considerados pertinentes os seguintes passos para a resolução de um problema: parte-se de um problema do mundo real, específico de uma determinada área do conhecimento humano. Tal problema deve ser modelado computacionalmente, com refinamentos capazes de fazer com que as expressões matemáticas traduzam da forma mais fiel possível os fenômenos sob estudo. A partir desse ponto, onde esse problema passa a ser um problema de resolução de equações/ sistemas de equações, aplicam-se métodos para a resolução desses sistemas. No momento em que as respostas são externadas o problema volta a ser específico de uma determinada área, na medida em que a análise dos resultados deve ser feita por pessoas que conheçam a natureza do problema e das variáveis sob estudo. 3 O ambiente gráfico Segundo VAZ JUNIOR (2005), uma interface gráfica deve centralizar as diversas funções e tarefas que o programa realiza. Ou seja, a interface funciona como o centro de diversos programas auxiliares. A denominação programas auxiliares é apenas uma forma de mostrar o aplicativo do ponto de vista da interface gráfica. Isso porque, do ponto de vista da realização de tarefas por parte do aplicativo, são exatamente esses programas auxiliares que fazem a parte crítica do trabalho. Rotinas de cálculo, processamento matemático e todas as funções realmente inteligentes do software são desenvolvidas nesses programas. A interface é um mecanismo de interação homem-computador na qual o usuário é capaz de obter um resultado prático sendo apenas uma forma de ilustrar a opção fornecida pelo programa, facilitando a utilização do aplicativo por parte do usuário. Optou-se pelo uso do Matlab (MATrix LABoratory) para o desenvolvimento desse ambiente gráfico, devido ao fato de se uma linguagem estruturada e extremamente intuitiva, na medida em que os comandos são muito próximos da forma como expressões algébricas são escritas, tornando mais simples o seu uso (MATSUMOTO, 2002). O recurso do Matlab utilizado foi a Plataforma Guide, estabelecendo desta forma uma maneira diferenciada nas entradas e saídas 3

4 de dados. O utilitário Guide permite criar objetos de controle com o usuário em janelas gráficas. Essas janelas gráficas são armazenadas e mostradas como painéis de entrada de dados (MATSUMOTO, 2004). A Figura 1 mostra a tela inicial do ambiente gráfico, com todas as funções disponíveis para utilização: métodos diretos/iterativos, cálculo de raízes, interpolação/extrapolação, ajustes de curvas, integração numérica, aplicações em áreas da engenharia, links para aplicativos do sistema operacional Windows, como o bloco de notas e a calculadora, informações sobre o o ambiente gráfico e o item ajuda, onde são descritos todos os métodos utilizados, bem como são desenvolvidos exemplos numéricos para auxílio do aprendizado. Figura 1 Tela inicial do ambiente gráfico Na figura 2 abaixo mostra a tela para resolução de problemas através do método da bissecção. Ainda nesta figura pode ser observado o gráfico para acompanhamento. No canto inferior direito pode-se formatar o gráfico de uma função ou de várias funções ao mesmo tempo. Figura 2 Entrada de dados para o método da bissecção A Figura 3 mostra a entrada de dados para o método das cordas, usado para o cáculo de raízes de equações. Todas as informações necessárias para que o método possa ser executado são solicitadas na entrada de dados, levando o usuário a entender todos os aspectos que envolvem a solução por esse método. 4

5 Figura 3 Entrada de dados para o método das cordas Na Figura 4 observa-se a evolução do método de Gauss, utilizado para solução de sistemas lineares, com a exibição na tela de cada resultado parcial, possibilitando ao aluno conferir exercícios de forma minuciosa. Figura 4 Inserção de dados para o método de Gauss É importante salientar que, para cada problema resolvido, é gerado um relatório em HTML com toda a evolução dos métodos. O usuário pode também definir as escalas, os limites da função, a quantidade de casas decimais e até mesmo a cor dos gráficos. No que concerne a gráficos, a Figura 5 mostra o comportamento de um processo iterativo, onde é possível visualizar o comportamento da curva erro versus iteração, através da qual um problema convergiu (a solução pertinente foi encontrada) ou divergiu (não foi encontrada solução pertinente). 5

6 Figura 5 Processo iterativo: comportamento gráfico Uma outra forma do aluno interagir com o ambiente gráfico é o sistema de ajuda (Figura 6). Esse sistema trata os itens do programa de maneira mais simples, com uma linguagem facilmente compreendida pelo aluno. É nesse sistema que o aluno pode aprender a desenvolver os métodos manualmente e, em seguida, conferir os resultados utilizando as ferramentas do ambiente gráfico. Figura 6 Sistema de ajuda ao usuário Diante das dificuldades encontradas para a manipulação do ambiente gráfico, o usuário tem uma opção de janela para suporte, onde comentários, dicas e sugestões podem ser postadas. Basta o usuário estar conectado à internet que ele pode enviar uma mensagem para a central de suporte do programa através do endereço de falesoft@gmail.com, como pode ser observado na Figura 7, onde o usuário deve inserir nome, e sua mensagem. 6

7 4 Conclusões Figura 7 Sistema de suporte via web ao usuário O presente trabalho mostrou uma plataforma gráfica para aplicação na disciplina de Cálculo Numérico. Os métodos numéricos podem ser observados e interpretados no que tange à condição inicial, acompanhamento gráfico do processo iterativo e análise dos resultados. O ambiente gráfico surge como uma ferramenta de auxílio ao aprendizado de disciplinas básicas da engenharia, bem como possibilita ao aluno adquirir com mais facilidade a capacidade de abstração e análise de resultados, agregando um conceito extremamente relevante para a vida profissional de um engenheiro, na medida em que melhora a visão crítica do aluno sobre resultados obtidos. Referências BARROSO, L. C. Programação em MATLAB para Engenheiros. São Paulo: Thomson, CARVALHO, M. L. & MAIA, M. L. Cálculo Numérico (com aplicações). São Paulo: Editora Harbra ltda, 2ª ed., CHAPRA, S.C. e CANALE, R.P. Numerical Methods, Singapore, CLÁUDIO, MARINS. Cálculo Numérico Computacional. São Paulo: Atlas, MATSUMOTO, E. Y. MATLAB 6.5. Fundamentos de Programação. São Paulo: Érica, MATSUMOTO, E. Y. MATLAB 7. Fundamentos. São Paulo: Érica, 1ª ed, ROQUE, W. Introdução ao Cálculo Numérico. São Paulo: Atlas, RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico: Aspectos Teórico e Computacionais. São Paulo: Makron, VAZ JUNIOR, C. A. Desenvolvimento de Interface Gráfica em Ambiente MATLAB. 1ª ed. Rio de Janeiro: edição do autor,