Algoritmos Numéricos 2 a edição

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1 Algoritmos Numéricos a edição Capítulo 5: Integraç~ao numérica

2 c 9 FFCf Capítulo 5: Integração numérica 5.1 Fórmulas de Newton-Cotes 5. Quadratura de Gauss-Legendre 5.3 Comparação dos métodos de integração simples 5.4 Integração numérica iterativa 5.5 Integração dupla pelas fórmulas de Newton-Cotes 5.6 Integração dupla via fórmulas de Gauss-Legendre 5.7 Comparação dos métodos para integração dupla 5.8 Exemplos de aplicação: distribuição de probabilidade e integral imprópria 5.9 Exercícios

3 c 9 FFCf 3 Integração numérica Seja uma função f(x) integrável no intervalo [a, b] b a f(x) dx = F (b) F (a), onde F (x) = f(x). Uso de métodos numéricos para avaliar a integral de f(x): forma analítica de F (x) de difícil obtenção ou conhecidos somente valores discretos de f(x). Aproximar a função f(x) por um polinômio interpolador. Determinar analiticamente a integral desse polinômio no intervalo [a, b]. Integração numérica: fórmulas de Newton-Cotes e quadratura de Gauss-Legendre. Integrais simples e duplas.

4 c 9 FFCf 4 Fórmulas de Newton-Cotes Função f(x) aproximada por polinômio interpolador. Por exemplo, um polinômio de Gregory-Newton n i i 1 y f(x) P n (x) = y + (u x j), onde u x = x x. (1) i! h i=1 j=

5 c 9 FFCf 5 Para (1) com n = 1 b a Regra do trapézio f(x) dx b=x1 a=x P 1 (x) dx. Mudança de variável de x u x e simplificando a notação de u x u u = x x h x = hu + x dx = hdu, x = a = x u = x x h u = e x = b = x 1 u = x 1 x h = h h u = 1.

6 c 9 FFCf 6 Regra do trapézio cont. Usando a notação y i = f(x i ) I 1 = b=x1 a=x P 1 (x) dx = 1 (y + u y )h du. Integrando, analiticamente, este polinômio de grau 1 em relação a u [ ] I 1 = h y u + u 1 ( y = h y + y ) 1 y = h (y + y 1 y ), I 1 = h (y + y 1 ). ()

7 c 9 FFCf 7 Exemplo 1 Calcular x Exemplo da regra do trapézio dx pela regra do trapézio. Polinômio de grau 1 passa pelos pontos com abscissas a = x = 1 e b = x 1 = 7, h = 7 1 = 6, I 1 = 6 ( ) I 7 1 = 3,486.

8 c 9 FFCf 8 Integração numérica pela regra do trapézio Aproximação de f(x) = 1/x por polinômio interpolador P 1 (x) de grau 1. Fórmula de Newton Cotes com polinômio de grau 1 1 f(x)=1/x y=p 1 (x),8,6 y,4, x

9 c 9 FFCf 9 Regra do 1/3 de Simpson Aproximando f(x) por um polinômio interpolador P (x) de grau Mudança de variável b a f(x) dx b=x a=x x = a = x u = x x h x = b = x u = x x h Equação de integração ( I = b=x a=x P (x) dx = P (x) dx. u = e = h h u =. ) y + u y + u u y h du.

10 c 9 FFCf 1 Regra do 1/3 de Simpson cont. Integrando, analiticamente, este polinômio de grau em relação a u [ ( ) ] I = h y u + u y u u y 4, [ I = h y + (y 1 y ) + 1 ] 3 (y y 1 + y ), I = h 3 (y + 4y 1 + y ). (3)

11 c 9 FFCf 11 Exemplo Calcular x Exemplo da regra do 1/3 de Simpson dx, usando a regra do 1/3 de Simpson (3). Para construir um polinômio de grau são necessários 3 pontos. Polinômio de grau passa pelos pontos com abscissas a = x = 1, x 1 = 4 e b = x = 7, h = 7 1 = 3, I = 3 ( ) I 7 =,149.

12 c 9 FFCf 1 Integração numérica pela regra do 1/3 de Simpson Aproximação de f(x) = 1/x por polinômio interpolador P (x) de grau. Fórmula de Newton Cotes com polinômio de grau 1 f(x)=1/x y=p (x),8,6 y,4, x

13 c 9 FFCf 13 Regra dos 3/8 de Simpson Aproximando f(x) por um polinômio interpolador P 3 (x) de grau 3 Mudança de variável b a f(x) dx b=x3 a=x x = a = x u = x x h x = b = x 3 u = x 3 x h Equação de integração I 3 = 3 ( I 3 = b=x3 a=x y + u y + u u P 3 (x) dx, P 3 (x) dx. u = e = 3h h u = 3. ) y + u3 3u + u 3 y 6 h du.

14 c 9 FFCf 14 Regra dos 3/8 de Simpson cont. Integrando, analiticamente, este polinômio de grau 3 em relação a u [ ( ) ( ) ] I 3 = h y u + u y u u u 4 y u3 6 + u 3 3 y 6, [ I 3 = h 3y + 9 (y 1 y ) (y y 1 + y ) + 3 ] 8 (y 3 3y + 3y 1 y ), I 3 = 3h 8 (y + 3y 1 + 3y + y 3 ). (4)

15 c 9 FFCf 15 Exemplo 3 Calcular x Exemplo da regra dos 3/8 de Simpson dx pela regra dos 3/8 de Simpson (4). São necessários 4 pontos para construir um polinômio de grau 3. Abscissas a = x = 1, x 1 = 3, x = 5 e b = x 3 = 7, h = 7 1 =, 3 I 3 = 3 8 ( ) I 3 =,571.

16 c 9 FFCf 16 Integração numérica pela regra dos 3/8 de Simpson Aproximação de f(x) = 1/x por polinômio interpolador P 3 (x) de grau 3. Fórmula de Newton Cotes com polinômio de grau 3 1 f(x)=1/x y=p 3 (x),8,6 y,4, x

17 c 9 FFCf 17 Comparação das fórmulas de Newton-Cotes Considerando x dx = log e(x) 7 1 = log e(7) 1,9459. Resultado da integração melhora à medida que o grau do polinômio interpolador aumenta n I n I n log e (7) 1 3,486 1,487,149,197 3,571,111.

18 c 9 FFCf 18 Fórmula geral de Newton-Cotes Comparando (), (3) e (4) c i : coeficientes de Cotes. I n = nh d n n i= c i y i, (5) n d n c c 1 c c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c Dificilmente é usado polinômio de grau superior a 3. Resultado melhorado pela subdivisão do intervalo de integração e aplicação de uma fórmula de Newton-Cotes em cada subintervalo.

19 Regra do trapézio composta Integração baseada em polinômio interpolador de grau 1 I 1 = h (y + y 1 ). Subdividindo o intervalo [a, b] em m subintervalos iguais e aplicando a equação a cada pontos b=xm a=x f(x) dx I 1, com I 1 = h (y + y 1 ) + h (y 1 + y ) + h (y + y 3 ) + + h (y m 1 + y m ), I 1 = h (y + y 1 + y + + y m 1 + y m ), I 1 = h m c i y i. (6) i= Qualquer valor de número de subintervalos m. c 9 FFCf 19

20 c 9 FFCf Representação geométrica da integração numérica pela regra do trapézio composta f(x) = e x sen(1x) + 8 com 6 polinômios interpoladores P 1 (x) de grau 1. Fórmula composta de Newton Cotes com polinômios de grau f(x)=e x sen(1x)+8 y=p 1 (x) 1 1 y 8 6 4,4,6,8 1 1, 1,4 1,6 1,8 x

21 c 9 FFCf 1 Exemplo 4 Calcular m = 4 subintervalos. 3 1 Exemplo da regra do trapézio composta x 3 log e (x) dx pela regra do trapézio composta (6) com h = b a m = 3 1 h =,5. 4 Dispositivo prático com quatro colunas: i =, 1,..., m, x i = a, a + h, a + h,..., b, y i = f(x i ) e c i sendo os coeficientes de Cotes i x i y i c i 1,, 1 1 1,5 1,3684, 5,545 3,5 14, , 9,665 1 I 1 =,5 (, + (1, , ,317) + 9,665) I 1 = 18,39.,

22 c 9 FFCf Exemplo 5 Calcular m = 5 subintervalos. Exemplo da regra do trapézio composta e cos(x) x + 4 dx pela regra do trapézio composta (6) com h = b a m = h =,4 5 i x i y i c i,, ,4,1817,8,15, 3 1,, ,6,3837 5,,536 1 I 1 =,4 (, (,1817+,15+,751+,3837) +,536) I 1 =,5644.

23 c 9 FFCf 3 Regra do 1/3 de Simpson composta Integração baseada em polinômio interpolador de grau I = h 3 (y + 4y 1 + y ). Subdividindo o intervalo [a, b] em m (múltiplo de ) subintervalos iguais e aplicando a equação a cada 3 pontos b=xm a=x f(x) dx I, com I = h 3 (y + 4y 1 + y ) + h 3 (y + 4y 3 + y 4 ) + + h 3 (y m + 4y m 1 + y m ), I = h 3 (y + 4y 1 + y + 4y 3 + y y m + 4y m 1 + y m ), I = h 3 m c i y i. (7) Número de subintervalos m múltiplo de, grau do polinômio interpolador. i=

24 c 9 FFCf 4 Representação geométrica da integração numérica pela regra do 1/3 de Simpson composta f(x) = e x sen(1x) + 8 com 3 polinômios interpoladores P (x) de grau. Fórmula composta de Newton Cotes com polinômios de grau f(x)=e x sen(1x)+8 y=p (x) 1 1 y 8 6 4,4,6,8 1 1, 1,4 1,6 1,8 x

25 c 9 FFCf 5 Exemplo da regra do 1/3 de Simpson composta 1 1 Exemplo 6 Verificar que π = 4 dx usando a regra do 1/3 de Simpson 1 + x composta (7) com passo de integração h =,5. m = b a h = 1,5 m = 4 (múltiplo de ). i x i y i c i, 1, 1 1,5,941 4,5,8 3,75, ,,5 1 I =,5 3 (1, + 4(,941 +,64) + (,8) +,5) I =,7854 e 4 I = 3,1416 π..

26 Exemplo da regra do 1/3 de Simpson composta 3 xe x Exemplo 7 Calcular dx usando a regra do 1/3 de Simpson (1 + x) composta (7) com m = 6 (múltiplo de ) subintervalos. h = b a m = 3 h =,5. 6 i x i y i c i,, 1 1,5, ,, ,5 1, , 4,3679 5,5 1, , 4, I =,5 3 (,+4(,3398+1,883+1,365)+(,81+4,3679)+4,6997) I = 14,1991. c 9 FFCf 6

27 c 9 FFCf 7 Regra dos 3/8 de Simpson composta Integração baseada em polinômio interpolador de grau 3 I 3 = 3h 8 (y + 3y 1 + 3y + y 3 ). Subdividindo o intervalo [a, b] em m (múltiplo de 3) subintervalos iguais e aplicando a equação a cada 4 pontos b=xm a=x f(x) dx I 3 = 3h 8 (y + 3y 1 + 3y + y 3 ) + 3h 8 (y 3 + 3y 4 + 3y 5 + y 6 ) + + 3h 8 (y m 3 + 3y m + 3y m 1 + y m ), I 3 = 3h 8 (y +3y 1 +3y +y 3 +3y 4 +3y 5 +y y m 3 +3y m +3y m 1 +y m ), I 3 = 3h 8 m c i y i. (8) Número de subintervalos m múltiplo de 3, grau do polinômio interpolador. i=

28 c 9 FFCf 8 Representação geométrica da integração numérica pela regra dos 3/8 de Simpson composta f(x) = e x sen(1x) + 8 com polinômios interpoladores P 3 (x) de grau 3. Fórmula composta de Newton Cotes com polinômios de grau f(x)=e x sen(1x)+8 y=p 3 (x) 1 1 y 8 6 4,4,6,8 1 1, 1,4 1,6 1,8 x

29 c 9 FFCf 9 Exemplo 8 Calcular 4 1 Exemplo da regra dos 3/8 de Simpson log e (x 3 + ) e x + 1 dx pela regra dos 3/8 de Simpson composta (8) com m = 6 (múltiplo de 3) subintervalos. h = b a m = 4 1 h =,5. 6 i x i y i c i 1, 1, ,5 1,7433 3,,3884 3, 3,5, , 3, ,5 3, , 4,691 1 I 3 = 3,5 (1,744+3(1,7433+,3884+3,459+3,886)+,9578+4,691) 8 I 3 = 8,5633.

30 c 9 FFCf 3,7 Exemplo da regra dos 3/8 de Simpson x + sen(x) Exemplo 9 Calcular dx, usando a regra dos 3/8 de Simpson 1 + cos(x) composta (8) com passo de integração h =,3. m = b a h =,7,3 m = 9 (múltiplo de 3), i x i y i c i,, 1 1,3,346 3,6, ,9 1, , 1, ,5, ,8 3,5894 7,1 5, ,4 11, ,7 3,614 1 I 3 = 3,3 (, + 3(,346 +, ,565 +, , ,7113)+ 8 (1, ,5894) + 3,614) I 3 = 1,3147.,

31 c 9 FFCf 31 Erro de integração dos métodos de Newton-Cotes Erro de truncamento do polinômio de Gregory-Newton de grau n n T n (x) = (x x i ) f n+1 (θ) (n + 1)!, x < θ < x n. i= Regra do trapézio baseada em polinômio de grau n = 1 T 1 (x) = (x x )(x x 1 ) f (θ 1 ), x! < θ 1 < x 1. Erro de integração E 1,1 cometido ao utilizar a regra do trapézio E 1,1 = x1 (x x )(x x 1 ) f (θ 1 ) x Mudança de variável de x para u = u x = x x h E 1,1 = 1 (hu)(h(u 1)) f (θ 1 ) h du= h3 f (θ 1 ) dx. ( u 3 3 u ) 1 = h3 f (θ 1 ). 1

32 c 9 FFCf 3 Erro de integração dos métodos de Newton-Cotes cont. Erro de integração global considerando os m subintervalos m E 1 = E 1,i = h3 1 (f (θ 1 ) + f (θ ) + + f (θ m )), i=1 θ i determinado em cada um dos m subintervalos. Se f (x) for contínua no intervalo [a, b], então existe algum valor de x = θ [a, b] para o qual o somatório acima é igual a mf (θ). Passo de integração: h = (b a)/m. Erro global de integração da regra do trapézio E 1 = h3 mf (θ) 1 (b a)3 = m 3 mf (θ), a < θ < b, 1 (b a)3 E 1 = 1m f (θ), a < θ < b. (9)

33 c 9 FFCf 33 Regra do 1/3 de Simpson Regra dos 3/8 de Simpson Erro de integração das regras de Simpson (b a)5 E = 18m 4 f iv (θ), a < θ < b. (1) (b a)5 E 3 = 8m 4 f iv (θ), a < θ < b. (11) Valor de θ é o ponto no intervalo [a, b], no qual a derivada de f(x) apresenta o maior valor em módulo. Equações fornecem a cota máxima do erro de integração.

34 c 9 FFCf 34 Exemplo da erro de integração Exemplo 1 Calcular 3 1 ( ) 4x 3 + 3x + x + 1 Simpson (7) com m = subintervalos. dx utilizando a regra do 1/3 de h = b a m = 3 1 h = 1, i x i y i c i I = 1 3 ( ) I = 11..

35 c 9 FFCf 35 Exemplo do erro de integração cont. Erro de integração por (1) f(x) = 4x 3 +3x +x+1, f (x) = 1x +6x+1, f (x) = 4x+6, f (x) = 4, f iv (b a)5 (x) = E = 18m 4 f iv (3 1)5 (θ) = 18 4 E =. Resultado exato ( ) 3 ( ) 4x 3 + 3x + x + 1 dx = x 4 + x 3 + x 3 + x = 115,5 3,5 =

36 c 9 FFCf 36 Exemplo 11 Calcular a integral Exemplo de comparação dos erros de integração π (e x + sen(x) + ) dx usando as três primeiras fórmulas de Newton-Cotes com m = 6 subintervalos. h = b a m = π 6 h = π 6, i x i y i c i (t) c i (1S) c i (S) 3, π/6 4, π/3 5, π/ 7, π/3 1, π/6 16, π 5,

37 c 9 FFCf 37 Exemplo de comparação dos erros de integração cont. Regra do trapézio I 1 = π 6 (3,+(4,1881+5,7157+7,815+1, ,8)+5,147), I 1 = 3,8816. ( ) Regra do 1/3 de Simpson I = π 6 3 (3,+4(4,1881+7,815+16,8)+(5,7157+1,9866)+5,147), I = 3,4337. ( ) Regra dos 3/8 de Simpson I 3 = 3π 6 8 (3,+3(4,1881+5,7157+1, ,8)+ 7,815+5,147), I 3 = 3,4455.

38 c 9 FFCf 38 Exemplo de comparação dos erros de integração cont. Determinação de θ f(x) = e x + sen(x) +, f (x) = e x + cos(x), f (x) = e x sen(x) θ = π, f (x) = e x cos(x) e f iv (x) = e x + sen(x) θ = π, θ: abscissa do ponto onde a derivada apresenta o maior valor em módulo. Erro de integração da regra do trapézio (b a)3 E 1 = 1m f (θ) = Erro de integração da regra do 1/3 de Simpson (π )3 1 6 (eπ sen(π)) E 1 = 1,669. (b a)5 E = 18m 4 f iv (π )5 (θ) = (eπ + sen(π)) E =,34. Erro de integração da regra dos 3/8 de Simpson (b a)5 E 3 = 8m 4 f iv (π )5 (θ) = (eπ + sen(π)) E 3 =,683.

39 c 9 FFCf 39 Exemplo de comparação dos erros de integração cont. π (e x + sen(x) + ) dx = (e x cos(x) + x) π 3,439. Erro de integração máximo e real n I n E n 3,439 I n 1 3,8816 1,669,4577 3,4337,34,98 3 3,4455,683,16 Regra do 1/3 de Simpson produziu os menores erro máximo e erro real. Sinal negativo de E n indica que a integração numérica foi por excesso: I n > I exata..

40 c 9 FFCf 4 Exemplo de escolha da regra ( ) π x 4 Exemplo 1 Calcular 4 + x + sen(x) dx com E < 1 usando uma das três primeiras fórmulas de Newton-Cotes. Valor de θ para regra do trapézio f(x) = x4 4 +x + sen(x), f (x) = x 3 +x+cos(x), f (x) = 3x + sen(x) Valor de θ para regras de Simpson θ = π. f (x) = 6x cos(x) e f iv (x) = 6+ sen(x) θ = π.

41 c 9 FFCf 41 Exemplo de escolha da regra cont. Valor de m para regra do trapézio (b a) 3 ( )1 1m f (θ) (π ) 3 < 1 m 1 > + sen(π)) 9, (3π m 1 = 91. Valor de m para regra do 1/3 de Simpson (b a) 5 18m 4 ( f iv (θ) (π ) 5 < 1 m > m = 6. Valor de m para regra dos 3/8 de Simpson (b a) 5 8m 4 3 ( f iv (θ) (π ) 5 < 1 m 3 > 18 1 (6 + sen(π/)) 8 1 (6 + sen(π/)) m 3 = 9. Fórmula escolhida: regra do 1/3 de Simpson. )1 4 5,87 )1 4 7,19

42 c 9 FFCf 4 Exemplo de escolha da regra cont. Passo de integração: h = b a m = π 6 h = π 6, i x i y i c i, 1 1 π/6,799 4 π/3,633 3 π/ 4, π/3 1,68 5 5π/6 19, π 34,19 1 Regra do 1/3 de Simpson I = π 6 3 (,+4(,799+4, ,979)+(,633+1,68)+34,19) I = 7,6451. Verificação da exatidão π ( ) ( ) x 4 x x + sen(x) dx = + x3 π 3 cos(x) 7,6364, 7,6364 7,6451 =,87 < 1..

43 c 9 FFCf 43 Algoritmo: integração numérica pelo método de Newton-Cotes Algoritmo Newton-Cotes { Objetivo: Integrar uma função pelo método de Newton-Cotes } parâmetros de entrada a, b, n, m { limite inferior, limite superior, grau do polinômio, número de subintervalos } parâmetros de saída Integral, CondErro { valor da integral e condição de erro, sendo } { CondErro = se não houve erro de consistência dos parâmetros dados, } { CondErro = 1 se (n < 1 ou n > 8), } { CondErro = se resto(m, n) e } { CondErro = 3 se ambas as condições ocorrerem } d(1) ; d() 6; d(3) 8; d(4) 9; d(5) 88; d(6) 84 d(7) 178; d(8) 835 c(1) 1; c() 1; c(3) 4; c(4) 1; c(5) 3; c(6) 7; c(7) 3 c(8) 1; c(9) 19; c(1) 75; c(11) 5; c(1) 41; c(13) 16 c(14) 7; c(15) 7; c(16) 751; c(17) 3577; c(18) 133 c(19) 989; c() 989; c(1) 5888; c() 98; c(3) 1496 c(4) 454 CondErro ; Integral { consistência dos parâmetros } se n < 1 ou n > 8 então CondErro CondErro + 1, fimse se resto(m, n) então CondErro CondErro +, fimse se CondErro então abandone, fimse { cálculo da integral } p trunca(,5 (n (n + ) + resto(n, ))); h (b a)/m para i até m faça x a + i h y f(x) { avaliar a função integrando em x } j p + trunca(,5 n abs(resto(i, n),5 n)) k 1 + trunca((n resto(i, n))/n) trunca((m resto(i, m))/m) Integral Integral + y c(j) k escreva i, x, y, c(j) k fim para Integral n h/d(n) Integral fim algoritmo

44 c 9 FFCf 44 Complexidade da integração pelo método de Newton-Cotes Operações Complexidade adições 9m + 1 multiplicações 5m + 9 divisões m + 4 Polinômios dados em termos do número de subintervalos m. Complexidade independe do grau n do polinômio interpolador utilizado.

45 c 9 FFCf 45 Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 13 Calcular π e n = 3, utilizando m = 6 subintervalos. Para n = % Os parametros de entrada a = b = n = m = 6 % fornecem os resultados Integracao por Newton-Cotes com polinomio de grau i x(i) y(i) c(i) Integral =.86 CondErro = sen(x) dx pelo algoritmo com polinômios de grau n =

46 c 9 FFCf 46 Exemplo de uso do algoritmo cont. Para n = 3 % Os parametros de entrada a = b = n = 3 m = 6 % fornecem os resultados Integracao por Newton-Cotes com polinomio de grau 3 i x(i) y(i) c(i) Integral =.1 CondErro =

47 c 9 FFCf 47 Exemplo de comparação das fórmulas de Newton-Cotes Exemplo 14 Verificar o erro real cometido no cálculo de 5 as sete primeiras fórmulas de Newton-Cotes, com m = 4 n I exata I n 1 1, , , , , , , x sen(3x)dx, usando À medida que o grau n do polinômio interpolador aumenta, o erro diminui. Fórmula utilizando grau par é melhor do que a de grau ímpar seguinte.

48 c 9 FFCf 48 Quadratura de Gauss-Legendre Escolher pontos igualmente espaçados nas fórmulas de Newton-Cotes simplifica os cálculos. Sem imposição de espaçamento constante as fórmulas fornecem uma maior exatidão. Usando o mesmo número de pontos que Newton-Cotes.

49 c 9 FFCf 49 Newton-Cotes X Gauss-Legendre Integração de f(x) baseada em polinômio interpolador de grau 1. Método de Newton Cotes com polinômio de grau 1 Método de Gauss Legendre com polinômio de grau B D,8,8 C A,6,6 y y,4,4,, a b a b,6,8 1 1, 1,4 1,6 1,8, x pontos A e B extremos,6,8 1 1, 1,4 1,6 1,8, x pontos C e D para aproximar as áreas

50 c 9 FFCf 5 Fórmula para dois pontos Mudança de variável de x para t, definida no intervalo [ 1, 1] Derivando e definindo Integral b a f(x) dx = 1 1 x = x(t) = b a t + a + b dx = b a dt,. (1) F (t) = b a f(x(t)). (13) b a F (t)b a dt b a f(x) dx = 1 1 F (t) dt.

51 c 9 FFCf 51 Pontos C[t 1, F (t 1 )] e D[t, F (t )]. Fórmula para dois pontos: escolha das abscissas Abscissas do método de Gauss Legendre com polinômio de grau 1,7,6 D[t,F(t)] C[t1,F(t1)],5,4 y,3,,1 t1 t 1,8,6,4,,,4,6,8 1 t

52 c 9 FFCf 5 Integral 1 1 Em vista de (13) e com x i = x(t i ) Fórmula para dois pontos Expressão análoga à regra do trapézio F (t) dt I = A 1 F (t 1 ) + A F (t ). (14) I = b a (A 1f(x 1 ) + A f(x )). (15) b a f(x) dx h f(a) + h f(b).

53 c 9 FFCf 53 Construção da fórmula de dois pontos Encontrar valores de t 1, t, A 1 e A que tornem a exatidão a maior possível. Método construído de modo a ser exato para polinômios de grau até 3. Ter-se-á quatro incógnitas (t 1, t, A 1 e A ) e quatro equações F (t) = t k, k =, 1,, 3. Impondo I = A 1 F (t 1 ) + A F (t ) ser igual à integral analítica de F (t):

54 c 9 FFCf 54 para k = para k = 1 para k = para k = 3 Construção da fórmula de dois pontos F (t) = 1 F (t) = t F (t) = t 1 1 F (t) = t cont. 1 dt = 1 ( 1) = = A A 1, t dt = t t dt = t t 3 dt = t = 1 1 = = A 1t 1 + A t, = 1 ( 3 1 ) = 3 = A 1t 1 + A t e = = = A 1t A t 3.

55 c 9 FFCf 55 Sistema de equações não lineares Sistema de equações não lineares de ordem 4 A 1 + A =, A 1 t 1 + A t =, A 1 t 1 + A t = 3 e A 1 t A t 3 =. Solução t 1 = 1 3,5774, t = 1 3,5774, A 1 = 1 e A = 1.

56 c 9 FFCf 56 Exemplo Exemplo 15 Calcular 5 Por (1): x i = b a t i + a + b Dispositivo prático 1 (x 3 + 3x + 6x + 1)dx, usando (15). = 5 1 t i i t i x i f(x i ) A i 1 1 1, , , 1 3 4,1547 1, x i = t i + 3. I = b a (A 1f(x 1 )+A f(x ))= 5 1 (1 34, ,1458) I =51,. Resultado exato ( ) 5 (x 3 + 3x x x + 1)dx = + x3 + 3x + x = 517,5 5,5 =

57 c 9 FFCf 57 Exemplo 16 Calcular π Por (1): x i = b a t i + a + b Exemplo (e x + sen(x) + ) dx, usando (15). = π t i + + π i t i x i f(x i ) A i 1 1,6639 4, , ,53 1 x i = π (t i + 1). I = b a (A 1f(x 1 ) + A f(x ))= π (1 4, , 53) I =9,9841. Valor exato aproximadamente 3,439. Erro cometido com pontos: 3,439 9,9841 =,4398. Regra do trapézio com 7 pontos: ( 3,439 3,8816 =,4577). (exemplo)

58 c 9 FFCf 58 Exemplo de áreas entre a função e o polinômio no método de Gauss-Legendre Exemplo 17 Calcular a soma das áreas S 1, S e S 3 entre o polinômio de grau 1 construído a partir dos zeros do polinômio de Legendre de grau n = e a função f(x) = x 3 6x + 11x 5 obtidas no intervalo [1, 4]. Compensação de áreas em Gauss Legendre 7 f(x)=x 3 6x +11x 5 p(x)=,5x+, y S S 1 S x 1 x 1 1,5,5 3 3,5 4 x

59 c 9 FFCf 59 Exemplo de cálculo das áreas Abscissas x 1 e x a partir dos zeros do polinômio de Legendre de grau : t 1 = 1 e t = Por (1) x 1 = 4 1 t x = 4 1 t = 5 3 = ,63397, 3,3663. Polinômio de grau 1 que passa pelos pontos (x 1, f(x 1 )) e (x, f(x )) p(x) = f(x 1 ) + f(x ) f(x 1 ) x x 1 (x x 1 ), p(x) =,5x +,5.

60 c 9 FFCf 6 Exemplo de cálculo das áreas cont. Sendo g(x) = f(x) p(x) = x 3 6x + 1,5x 5,5: S 1 = S = S 3 = Soma das três áreas é igual a. x1 1 x x 1 4 g(x)dx,87, g(x)dx 1,994, x g(x)dx 1,1. Compensação exata das áreas entre o polinômio de grau 1 obtido a partir dos zeros do polinômio de Legendre de grau n = e a função polinomial de grau 3.

61 c 9 FFCf 61 Fórmula geral Determinar os valores dos pesos A i e das abscissas t i, i = 1,,..., n b a f(x)dx = 1 1 F (t)dt I n, I n = A 1 F (t 1 ) + A F (t ) + + A n F (t n ). (16) Fórmula exata para polinômios de grau menor ou igual a n 1. Faz-se sabendo que F (t) = t k, k =, 1,..., n 1, 1 1 t k dt =, se k for ímpar, k+1, se k for par.

62 c 9 FFCf 6 Sistema de equações não lineares Impondo que (16) seja exata para a integração de F (t) n 1 A i F (t i ) = F (t)dt. i=1 1 Sistema de equações não lineares de ordem n A 1 + A + A A n =, A 1 t 1 + A t + A 3 t A n t n =, A 1 t 1 + A t + A 3t A nt n = 3, A 1 t n A t n 1 + A 3 t n A n t n 1 n =, Solução fornece os n pesos A i e as n abscissas t i.

63 c 9 FFCf 63 Fórmula geral da quadratura de Gauss-Legendre Em vista de (13) e com x i = x(t i ), (16) é equivalente a I n = b a n A i f(x i ). (17) i=1

64 c 9 FFCf 64 Fórmula geral via polinômios de Legendre Polinômios de Legendre definidos pela fórmula de recorrência L n (x) = (n 1)xL n 1(x) (n 1)L n (x), (18) n com L (x) = 1 e L 1 (x) = x. Por exemplo, L (x) = 3x 1, L 3 (x) = 5x3 3x, L 4 (x) = 35x4 3x L 5 (x) = 63x5 7x x. 8 e

65 c 9 FFCf 65 Propriedades básicas Propriedades dos polinômios de Legendre L n (1) = 1 e L n ( 1) = ( 1) n, n =, 1,,... e 1 1 sendo Q k (x) um polinômio qualquer de grau k < n. L n (x)q k (x) dx =, n > k, (19) Integral chamada de produto escalar das funções L n (x) e Q k (x). Duas funções são ditas ortogonais se seu produto escalar for nulo. Os polinômios L n (x) e Q k (x) são ortogonais. 1 =, se n k, L n (x)l k (x) dx 1 >, se n = k.

66 Polinômios de Legendre de grau até 5 Equações algébricas L n (x) = possuem n raízes reais distintas pertencentes ao intervalo ( 1, 1) e simétricas em relação à origem. Polinômios de Legendre 1,8 L (x) L 1 (x),6,4, L 3 (x) L 4 (x) L 5 (x) L n (x),,4,6 L (x),8 1 1,8,6,4,,,4,6,8 1 x c 9 FFCf 66

67 c 9 FFCf 67 Fórmula geral via polinômios de Legendre Sejam os polinômios F k (t) = t k L n (t), k =, 1,,..., n 1, L n (t): polinômio de Legendre de grau n. Sendo F k (t) de grau menor ou igual a n 1, então (16) é exata F k (t) dt = t k L n (t) dt = n A i F k (t i ), k =, 1,,..., n 1, i=1 n A i t k i L n (t i ), k =, 1,,..., n 1. i=1 Polinômios de Legendre são ortogonais com qualquer polinômio de grau menor 1 1 t k L n (t) dt =, n > k. n A i t k i L n (t i ) =, k =, 1,,..., n 1. i=1 Expressão verdadeira para qualquer valor de A i se L n (t i ) = para todo i.

68 c 9 FFCf 68 Valores de t i e A i Para maior exatidão na fórmula de quadratura (16) é suficiente que t i, i = 1,,..., n sejam os zeros do polinômio de Legendre de grau n. Conhecidas as abscissas t i, sistema não linear se reduz a um sistema linear A 1 t 1 t t 3 t n t 1 t t 3 t A n A = 3.. t n 1 1 t n 1 t n 1 3 t n 1 n A n. Em vez de resolver este sistema via decomposição LU, pesos A i obtidos por A i = L n(t i ): derivada de L n (x) na abscissa t i. (1 t i )(L n(t i )), i = 1,,..., n, ()

69 c 9 FFCf 69 Abscissas e pesos para quadratura de Gauss-Legendre n i t i A i 1 1 ; 1 ±, , ; 1 ±, , ; ±, , ; 1 ±, , , ; ±, , , 1 ±, , ; 3 ±, , ; ±, , ; 1 ±, , , ; 3 ±, , ; ±, , ; 1 ±, , ; 4 ±, , ; 3 ±, , ; ±, , ; 1 ±, ,

70 c 9 FFCf 7 Exemplo de ortogonalidade dos polinômios de Legendre Exemplo 18 Verificar a ortogonalidade dos polinômios L (x) e L 3 (x) de Legendre. Os polinômios serão ortogonais se Assim, L (x)l 3 (x)dx = 1 1 L (x)l 3 (x)dx = L (x)l 3 (x)dx = L (x)l 3 (x)dx = ( ) ( ) 3x 1 5x 3 3x dx, 1 ( ) 15x 5 14x 3 + 3x dx, 4 ( 15 6 x6 7 x4 + 3 ) 1 x L (x)l 3 (x)dx =., 1

71 c 9 FFCf 71 Exemplo 19 Verificar que π = 4 n = 4. Mudança de variável: x i = b a Exemplo de cálculo de π 1 1 dx por intermédio de (17) com n = 3 e 1 + x t i + a + b = 1 t i x i = 1 (t i + 1). t i : zeros do polinômio de Legendre de grau n e A i : n pesos obtidos da tabela. Para n = 3 i t i x i f(x i ) A i 1,7746,117,98746,55556,5,8, ,7746,8873,5595,55556 Usando (17) com n = 3, I 3 = b a 3 A i f(x i ) I 3 =, I 3 = 3,1418 π. i=1.

72 c 9 FFCf 7 Exemplo de cálculo de π cont. Mudança de variável: x i = b a t i + a + b = 1 t i x i = 1 (t i + 1). t i : zeros do polinômio de Legendre de grau n e A i : n pesos obtidos da tabela. Para n = 4 i t i x i f(x i ) A i 1,86114,6943,995,34785,33998,331,9179,6515 3,33998,66999,6919,6515 4,86114,9357,5359,34785 Utilizando (17) com n = 4, I 4 = b a 4 A i f(x i ) I 4 =, I 4 = 3,1416 π. i=1.

73 c 9 FFCf 73 Exemplo Calcular Gauss-Legendre com n = 5. Mudança de variável x i = b a t i + a + b Exemplo de comparação com regra de 1/3 de Simpson π (e x + sen(x)+)dx do Exemplo 11, pela quadratura de = π t i + + π x i = π (t i + 1). i t i x i f(x i ) A i 1,9618, ,356,3693,53847,7497 4,7778, ,578 7,815, ,53847, ,8713, ,9618,994,1166,3693.

74 c 9 FFCf 74 Exemplo de comparação com regra de 1/3 de Simpson cont. Usando (17) com n = 5, I 5 = b a Resultado exato 3, A i f(x i ) I 5 = 3,446. i=1 Erro da quadratura de Gauss-Legendre com n = 5 3,4388 3,446 =,18. Erro da regra do 1/3 de Simpson com m = 6 3,4388 3,43369 =,981. (exemplo)

75 c 9 FFCf 75 Erro de integração da fórmula de Gauss-Legendre Erro de integração da fórmula de Gauss-Legendre E n = (b a)n+1 (n!) 4 ((n)!) 3 (n + 1) f n (θ), a < θ < b, (1) θ: abscissa na qual a derivada f n (x) apresenta o maior valor em módulo no intervalo [a, b]. Cota máxima do erro de integração da fórmula de Gauss-Legendre.

76 c 9 FFCf 76 Exemplo de erro de integração ( ) π x 4 Exemplo 1 Calcular 4 + x + sen(x) dx usando o método de Gauss-Legendre com n = e o respectivo erro de integração. Mudança de variável x i = b a t i + a + b Para n = = π t i + + π i t i x i f(x i ) A i 1,57735,6639 1,155 1,57735, , x i = π (t i + 1).. I = b a i=1 A i f(x i ) I = 7,14733.

77 c 9 FFCf 77 Exemplo de erro de integração cont. Cálculo do erro máximo f(x) = x4 4 + x + sen(x), f (x) = x 3 + x + cos(x), f (x) = 3x + sen(x), f (x) = 6x cos(x) e f iv (x) = 6 + sen(x) θ = π. Por (1), E n = (b a)n+1 (n!) 4 ((n)!) 3 (n + 1) f n (θ) E = (π )5 (!) 4 (4!) 3 (5) ( ( π 6 + sen )) Valor exato da integral: 7, E =, Erro real: 7, ,14733 =,4898 < E.

78 Algoritmo para cálculo das abscissas e pesos para as fórmulas de Gauss-Legendre Algoritmo PesAbsGL { Objetivo: Calcular pesos e abscissas para a fórmula de Gauss-Legendre } parâmetros de entrada n { número de pontos } parâmetros de saída A, T, CondErro { Pesos, abscissas e condição de erro, sendo } { CondErro = se não houve erro (n 1) e CondErro = 1 se n < 1 } se n < 1 então CondErro 1, abandone, fimse CondErro ; pi 3, ; m trunca(,5 (n + 1)) para i 1 até m faça z cos(pi (i,5)/(n +,5)) repita p1 1; p para j 1 até n faça p3 p; p p1 { polinômio de Legendre no ponto z } p1 (( j 1) z p (j 1) p3)/j fimpara { derivada do polinômio de Legendre no ponto z } pp n (z p1 p)/(z 1); z1 z { método de Newton para calcular os zeros do polinômio } z z1 p1/pp se abs(z z1) < 1 15 então interrompa, fimse fimrepita T (m + 1 i) z { abscissa } A(m + 1 i) /((1 z ) pp ) { peso } { somente as raízes não negativas são calculadas devido à simetria } fimpara fimalgoritmo c 9 FFCf 78

79 c 9 FFCf 79 Exemplo de uso do algoritmo Exemplo Calcular os pesos e as abscissas para a fórmula de Gauss-Legendre com n = 5, utilizando o algoritmo. % O parametro de entrada n = 5 % produz os resultados A = T = CondErro =

80 c 9 FFCf 8 Algoritmo para integração numérica pelo método de Gauss-Legendre Algoritmo Gauss-Legendre { Objetivo: Integrar uma função pelo método de Gauss-Legendre } parâmetros de entrada a, b, n { limite inferior, limite superior, número de pontos } parâmetros de saída Integral, CondErro { valor da integral e condição de erro, sendo } { CondErro = se não houve erro (n 1) e CondErro = 1 se n < 1 } Integral { cálculo dos pesos e abscissas } [Avet, Tvet, CondErro] PesAbsGL(n) (ver algoritmo) se CondErro então abandone, fimse { cálculo da integral } e1 (b a)/ e (a + b)/ se resto(n, ) = então c1 1; c,5 senão c1 ; c 1, fimse para i 1 até n faça k trunca(i,5 (n + 1) + sinal(i,5 (n + c1)) c) t sinal(k) Tvet(abs(k)) x e1 t + e y f(x) { avaliar a função integrando em x } c Avet(abs(k)) Integral Integral + y c escreva i, t, x, y, c fimpara Integral e1 Integral fimalgoritmo

81 c 9 FFCf 81 Complexidade: integração pela quadratura de Gauss-Legendre Operações Complexidade adições 7n + multiplicações 6n + 1 divisões n: número de pontos.

82 c 9 FFCf 8 Exemplo de uso do algoritmo Exemplo 3 Calcular Para n = 5 π sen(x) dx pelo algoritmo com n = 5 e n = 6. % Os parametros de entrada a = b = n = 5 % produzem os resultados Integracao numerica pelo metodo de Gauss-Legendre i t(i) x(i) f(x(i)) A(i) Integral =.113 CondErro =

83 c 9 FFCf 83 Exemplo de uso do algoritmo com n = 6 Para n = 6 % Os parametros de entrada a = b = n = 6 % produzem os resultados Integracao numerica pelo metodo de Gauss-Legendre i t(i) x(i) f(x(i)) A(i) Integral = CondErro =

84 c 9 FFCf 84 Exemplo de uso do algoritmo com n = 1 Exemplo 4 Verificar que π = 1 4 dx com n = 1 utilizando o algoritmo. 1 + x % Os parametros de entrada a = b = 1 n = 1 % produzem os resultados Integracao numerica pelo metodo de Gauss-Legendre i t(i) x(i) f(x(i)) A(i) Integral = CondErro =

85 c 9 FFCf 85 Comparação dos métodos de integração simples π sen(x) dx = cos(x) π =. f(x)=sen(x) y 1,9,8,7,6,5,4,3,,1,5 1 1,5,5 3 x

86 c 9 FFCf 86 Comparação entre Newton-Cotes e Gauss-Legendre Grau do Número de Newton-Cotes Número de Gauss-Legendre polinômio subintervalos pontos 1 1, 1 6, , , , , , , , , , , , , , , Utilizadas regras simples de Newton-Cotes. Número de pontos de Gauss-Legendre igual a m + 1, sendo m o número de subintervalos de Newton-Cotes.

87 c 9 FFCf 87 Comparação dos métodos de integração simples 5 x sen(3x) dx = sen(3x) 9 x cos(3x) 3 5 1,3384. f(x)=x*sen(3*x) y 1 3 4,5 1 1,5,5 3 3,5 4 4,5 5 x

88 c 9 FFCf 88 Comparação entre a regra do 1/3 de Simpson e Gauss-Legendre m 1/3 de Simpson Gauss-Legendre 9, , ,69 1 4, , , , , , , , , , , log1( resultado do método valor exato ) /3 de Simpson X Gauss Legendre 1/3 de Simpson Gauss Legendre 16 4, , número de pontos método exato log 1 ( método exato ) m

89 Integração de uma função não suave 5 x sen(15x) dx = sen(15x) 5 f(x)=x*sen(15*x) x cos(15x) 15 5,39. 1/3 de Simpson X Gauss Legendre 5 4 1/3 de Simpson Gauss Legendre y log1( resultado do método valor exato ) ,5 1 1,5,5 3 3,5 4 4,5 5 x f(x) = x sen(15x) número de pontos 1/3 de Simpson e Gauss-Legendre. c 9 FFCf 89

90 c 9 FFCf 9 Integração numérica iterativa Fórmulas de integração calculam com grau crescente de exatidão à medida que aumenta o número de pontos. Principalmente a quadratura de Gauss-Legendre. Integração numérica iterativa: inicialmente, a integral é calculada com n = 8 pontos; depois calculada com n = 13 pontos; se a diferença relativa entre os dois valores for menor ou igual a uma dada tolerância então o processo termina; senão valor de n é incrementado, seguindo uma seqüência de Fibonacci; a integral é calculada novamente; processo repete até que a diferença relativa entre os dois últimos valores da integral seja menor ou igual à tolerância predefinida.

91 c 9 FFCf 91 Integração iterativa pelo método de Gauss-Legendre Algoritmo Gauss-Legendre iterativo { Objetivo: Integrar uma função iterativamente pelo método de Gauss-Legendre } parâmetros de entrada a, b, Toler, IterMax { limite inferior, limite superior, tolerância e número máximo de iterações } parâmetros de saída Integral, Delta, CondErro { valor da integral, menor diferença relativa obtida e condição de erro, sendo } { CondErro = se Delta Toler e CondErro = 1 se Delta > Toler } Iter 1; n1 5; n 8 [Int, CondErro] Gauss Legendre(a, b, n) (ver algoritmo) escreva Iter, n, Int { sucessivos cálculos das integrais } repita Iter Iter + 1; n n1 + n [Integral, CondErro] Gauss Legendre(a, b, n) se Integral então Delta abs((integral Int)/Integral) senão Delta abs(integral Int) fimse escreva Iter, n, Integral, Delta se Delta Toler ou Iter = IterMax então interrompa, fimse Int Integral; n1 n; n n fimrepita { teste de convergência } se Delta Toler então CondErro senão CondErro 1, fimse fimalgoritmo

92 Exemplo 5 Calcular Exemplo de uso do algoritmo x sen(15x)dx utilizando o algoritmo, com uma tolerância de 1 1 e com, no máximo, 1 iterações (ver figura). % Os parametros de entrada a = b = Toler = 1e-1 IterMax = 1 % produzem os resultados Integracao iterativa pelo metodo de Gauss-Legendre Iter n Integral Dif. relativa e e e e e e e-11 Integral = e- Delta = 1.649e-11 CondErro = c 9 FFCf 9

93 c 9 FFCf 93 Cálculo de integral dupla definida Integração dupla pelas fórmulas de Newton-Cotes I = b d a c f(x, y) dy dx. () Função integrando f(x, y) aproximada por polinômio interpolador. Integral deste polinômio é obtida analiticamente. Fazendo G(x) = I = d c b a f(x, y) dy G(x) dx. (3) Cálculo de uma integral dupla consiste na solução de duas integrais simples.

94 c 9 FFCf 94 Fórmulas simples Para resolver uma integral simples aplica-se qualquer uma das fórmulas de Newton-Cotes. Utilizando a regra do 1/3 de Simpson em (3), I = b a G(x) dx = 1 3 h x(g(x ) + 4G(x 1 ) + G(x )), (4) I = 1 3 h x c xi G(x i ), i= onde h x = (b a)/, c x = c x = 1, c x1 = 4 e G(x i ) = d c f(x i, y) dy, i =, 1,.

95 c 9 FFCf 95 Fórmulas simples cont. Para o cálculo de G(x i ) utiliza-se qualquer uma das fórmulas de Newton-Cotes, por exemplo, a regra dos 3/8 de Simpson G(x i ) = d c f(x i, y) dy = 3 8 h y(f(x i, y ) + 3f(x i, y 1 ) + 3f(x i, y ) + f(x i, y 3 )), G(x i ) = h y c yj f(x i, y j ), (5) j= onde h y = (d c)/3, c y = c y3 = 1, c y1 = c y = 3 e f(x i, y j ): função integrando no ponto (x i, y j ). Levando os valores de G(x i ) dados por (5), em (4) I = 1 3 h 3 3 x 8 h y c xi c yj f(x i, y j ). (6) i= j=

96 c 9 FFCf 96 Exemplo 6 Calcular I = Fazendo G(x) = π 4 π Exemplo de integração dupla π 4 sen(x + y) dy dx. sen(x + y) dy I = Utilizando a regra do 1/3 de Simpson em x, Cálculo de G(x i ) = π G(x) dx. I = 1 3 h x(g(x ) + 4G(x 1 ) + G(x )), com h x = b a π 4 utilizando a regra dos 3/8 de Simpson = π 4. sen(x i + y) dy, i =, 1, e x i = a + ih x = i π 4, G(x i ) = 3 8 h y( sen(x i + y ) + 3 sen(x i + y 1 ) + 3 sen(x i + y ) + sen(x i + y 3 )), com h y = d c 3 = π 1 e y j = c + jh y = j π 1.

97 c 9 FFCf 97 Cálculo de G(x i ) Para x = π 4 = G(x ) = 3 π 81 ( sen( + y ) + 3 sen( + y 1 ) + 3 sen( + y ) + sen( + y 3 )), G(x ) = π ( ( π ( π ( π sen() + 3 sen + 3 sen + sen 3 1) 6) 4)) G(x ) =,99. Para x 1 = 1 π 4 = π 4 G(x 1 ) = 3 π ( ( π ) ( π ) ( π ) ( π )) sen y + 3 sen 4 +y sen 4 +y + sen 4 +y 3, G(x 1 ) = π ( ( π ( π sen + 3 sen 3 4) 4 1) + π ( π ( π + 3 sen 4 6) +π + sen 4 4)) +π G(x 1 ) =,771.

98 c 9 FFCf 98 Cálculo de G(x i ) cont. Para x = π 4 = π G(x ) = 3 π ( ( π ) ( π ) ( π ) ( π )) sen 81 +y + 3 sen +y sen +y + sen +y 3, G(x ) = π ( ( π ( π sen + 3 sen 3 ) 1) + π ( π ( π + 3 sen 6) +π + sen 4)) +π G(x ) =,771. Considerando que I = 1 3 h x(g(x ) + 4G(x 1 ) + G(x )), I = 1 3 π (,99 + 4,771 +,771) 4 I = 1,3.

99 c 9 FFCf 99 Comparação com valor anaĺıtico I = π π 4 sen(x + y) dy dx = π cos(x + y) π 4 dx, π ( ( I = cos x + π ) 4 ) cos(x + ) dx = [ sen ( x + π ) 4 ] π sen(x), I = ( sen ( π + π 4) sen ( π )) + ( sen ( + π ) 4 ) sen() I = 1.

100 c 9 FFCf 1 Dispositivo prático para integração dupla por Newton-Cotes Regra do 1/3 de Simpson utilizada para integração em x. Regra dos 3/8 em y. j 1 3 y j c c + h y c + h y c + 3h y i x i c xi \c yj a 1 c x c y c x c y1 c x c y c x c y3 f(x, y ) f(x, y 1 ) f(x, y ) f(x, y 3 ) 1 a + h x 4 c x1 c y c x1 c y1 c x1 c y c x1 c y3 f(x 1, y ) f(x 1, y 1 ) f(x 1, y ) f(x 1, y 3 ) S = i= a + h x 1 c x c y c x c y1 c x c y c x c y3 f(x, y ) f(x, y 1 ) f(x, y ) f(x, y 3 ) 3 c xi c yj f(x i, y j ), então por (6), tem-se I = 1 3 h 3 x 8 h ys, j= S: soma obtida, tomando-se todas as células da tabela, do produto c xi c yj dos coeficientes de Cotes pelo valor da função f(x i, y j ).

101 Exemplo do dispositivo prático Exemplo 7 Calcular I = h x = b a h y = d c 3 π π 4 = π/ = π/4 3 sen(x + y) dy dx usando o dispositivo prático. h x = π 4 e x i = a + ih x = + i π 4 x i = i π 4, h y = π 1 e y j = c + jh y = + j π 1 y j = j π 1. j 1 3 y j π/1 π/6 π/4 i x i c xi \c yj ,,588,5,771 1 π/ ,771,866,9659 1, π/ ,,9659,866,771 I = 1 3 h 3 x 8 h ys = 1 π 3 π 38,9975 I = 1, c 9 FFCf 11.

102 c 9 FFCf 1 Fórmulas compostas Melhorar a exatidão da integral: subdividir o intervalo [a, b] em m x subintervalos iguais. m x : múltiplo do grau n x do polinômio interpolador utilizado para obter a regra de integração em x. Regra do 1/3 de Simpson: m x deve ser múltiplo de (= n x ). Aplicando (4) a cada 3 (= n x + 1) pontos, I = b a G(x) dx = 1 3 h x(g(x ) + 4G(x 1 ) + G(x )) h x(g(x ) + 4G(x 3 ) + G(x 4 )) h x(g(x mx ) + 4G(x mx 1) + G(x mx )), I = 1 3 h x(g(x ) + 4G(x 1 ) + G(x ) + 4G(x 3 ) + G(x 4 ) G(x mx ) + 4G(x mx 1) + G(x mx ))

103 c 9 FFCf 13 Fórmulas compostas cont. I = 1 3 h x m x i= onde c x = c xm x = 1, c x i = 4 para todo i ímpar, c xi = para todo i par e h x = (b a)/m x. c xi G(x i ), (7) Cálculo de G(x i ), i =, 1,..., m x : pode ser utilizada qualquer uma das fórmulas de Newton-Cotes. Para a regra dos 3/8 de Simpson G(x i )= d c f(x i, y)dy = 3 8 h y(f(x i, y ) + 3f(x i, y 1 ) + 3f(x i, y ) + f(x i, y 3 )). Para uma melhor exatidão: subdivide-se o intervalo [c, d] em m y subintervalos iguais. (8)

104 c 9 FFCf 14 Fórmulas compostas cont. m y : múltiplo do grau n y do polinômio interpolador usado para construir a regra de integração em y. No caso em questão múltiplo de 3 (= n y ). Aplicando-se (8) a cada 4 (= n y + 1) pontos, G(x i ) = d c f(x i, y) dy = 3 8 h y(f(x i, y ) + 3f(x i, y 1 ) + 3f(x i, y ) + f(x i, y 3 )) h y(f(x i, y 3 ) + 3f(x i, y 4 ) + 3f(x i, y 5 ) + f(x i, y 6 )) h y(f(x i, y my 3) + 3f(x i, y my ) + 3f(x i, y my 1) + f(x i, y my )),

105 c 9 FFCf 15 Fórmulas compostas cont. G(x i )= 3 8 h y(f(x i, y ) + 3f(x i, y 1 ) + 3f(x i, y ) + f(x i, y 3 ) + 3f(x i, y 4 ) + 3f(x i, y 5 ) + f(x i, y 6 ) f(x i, y my 3) + 3f(x i, y my ) + 3f(x i, y my 1) + f(x i, y my )), G(x i ) = 3 8 h y m y j= c yj f(x i, y j ), i =, 1,,..., m x, onde c y = c ym y = 1, e para os j s restantes, c y j = se j for múltiplo de 3 e c yj = 3 se j não for múltiplo de 3 e h y = (d c)/m y. Levando os valores de G(x i ) em (7), I = 1 3 h x m x i= c xi 3 8 h y m y j= c yj f(x i, y j ) I = 1 3 h 3 x 8 h y m x i= m y j= c xi c yj f(x i, y j ).

106 c 9 FFCf 16 Equação geral da integração dupla por Newton-Cotes Generalizando para qualquer grau do polinômio interpolador I = n x d nx h x n y d ny h y m x i= m y j= c xi c yj f(x i, y j ), (9) sendo h x = b a e h y = d c. m x m y Valores de d nx, d ny, c xi e c yj, para n = 1,,..., 8, são dados na tabela.

107 c 9 FFCf 17 Algoritmo para integração dupla pelas fórmulas de Newton-Cotes Algoritmo Newton-Cotes-Dupla { Objetivo: Cálculo de integral dupla pelas fórmulas de Newton-Cotes } parâmetros de entrada ax, bx, nx, mx, ay, by, ny, my { limite inferior em x, limite superior em x, } { grau do polinômio em x, número de subintervalos em x, } { limite inferior em y, limite superior em y, } { grau do polinômio em y, número de subintervalos em y } parâmetros de saída Integral, CondErro { valor da integral e condição de erro, sendo } { CondErro = se não houve erro de consistência dos parâmetros dados, } { CondErro = 1 se (n < 1 ou n > 8), } { CondErro = se resto(m, n) e } { CondErro = 3 se ambas as condições ocorreram. } d(1) ; d() 6; d(3) 8; d(4) 9; d(5) 88; d(6) 84 d(7) 178; d(8) 835 c(1) 1; c() 1; c(3) 4; c(4) 1; c(5) 3; c(6) 7; c(7) 3 c(8) 1; c(9) 19; c(1) 75; c(11) 5; c(1) 41; c(13) 16 c(14) 7; c(15) 7; c(16) 751; c(17) 3577; c(18) 133 c(19) 989; c() 989; c(1) 5888; c() 98; c(3) 1496 c(4) 454 { consistência dos parâmetros } CondErro ; Integral se nx < 1 ou nx > 8 ou ny < 1 ou ny > 8 então CondErro CondErro + 1, fim se se resto(mx, nx) ou resto(my, ny) então CondErro CondErro +, fim se se CondErro então abandone, fim se { cálculo da integral } px trunca(,5 (nx (nx + ) + resto(nx, ))) py trunca(,5 (ny (ny + ) + resto(ny, ))) hx (bx ax)/mx; hy (by ay)/my para i até mx faça x ax + i hx; jx px + trunca(,5 nx abs(resto(i, nx),5 nx)) kx 1 + trunca((nx resto(i, nx))/nx) trunca((mx resto(i, mx))/mx) para j até my faça y ay + j hy; jy py + trunca(,5 ny abs(resto(j, ny),5 ny)) ky 1 + trunca((ny resto(j, ny))/ny) trunca((my resto(j, my))/my) fxy f(x, y) { avaliar a função integrando em (x, y) } Integral Integral + fxy c(jx) kx c(jy) ky se j = então escreva i, x, c(jx) kx, j, y, c(jy) ky, fxy senão escreva j, y, c(jy) ky, fxy fim se fim para fim para Integral nx ny hx hy/(d(nx) d(ny)) Integral fim algoritmo

108 % Os parametros de entrada ax = bx = 5 nx = 3 mx = 3 ay = by = 1 ny = my = 4 % fornecem os resultados Integracao dupla por Newton-Cotes i x(i) c(i) j y(j) c(j) f(x(i),y(j)).e+ 1.e e-1 1.5e e-1 5.e e e e e e e+ 3.e e-1 1.5e e-1 5.e e e e e e-1 4.e+ 3.e e-1 1.5e e-1 5.e e e e e e e+ 1.e e-1 1.5e e- 5.e e e e e e-1 Integral = CondErro = c 9 FFCf 18 Exemplo 8 Calcular 5 1 Exemplo de integração dupla sen(x + y ) dy dx, utilizando o algoritmo, com n x = 3 (regra dos 3/8), m x = 3 subintervalos em x, n y = (regra do 1/3) e m y = 4 subintervalos em y.

109 c 9 FFCf 19 Integração dupla via fórmulas de Gauss-Legendre Similar à integração simples: fórmulas de Gauss-Legendre podem ser utilizadas para o cálculo aproximado da integral dupla definida () Fazendo tem-se que I = b a G(x) = I = d c d c b a f(x, y) dy dx. f(x, y) dy, G(x) dx. Cálculo de integral dupla por Gauss-Legendre consiste na determinação de duas integrais simples.

110 c 9 FFCf 11 Fórmula para dois pontos Fazendo mudança de variável de x para t, sendo 1 t 1, Tomando Definindo tem-se I = b a x = x(t) = b a t + a + b G(x) dx = x i = b a t i + a + b. H(t) = b a G(x(t)), 1 1 b a H(t)b a dx = b a dt. dt = 1 1 H(t) dt.

111 c 9 FFCf 111 Fórmula para dois pontos cont. Resolvendo a integral simples por Gauss-Legendre, com n x = pontos, I = 1 1 H(t) dt = A 1 H(t 1 ) + A H(t ), (3) onde A i, i = 1, são os pesos e t i são as abscissas ou os zeros do polinômio de Legendre de grau n x =. Os valores de A i e t i podem ser obtidos na tabela ou gerados pelo algoritmo. Particularmente, para n x = : A 1 = A = 1 e t 1 = 1/ 3 e t = 1/ 3.

112 c 9 FFCf 11 Fórmula para dois pontos cont. Para o cálculo de G(x i ) = d y para u tal que 1 u 1, c f(x i, y) dy é feita uma mudança de variável de y = y(u) = d c u + c + d dy = d c e, então, toma-se y j = d c u j + c + d. Definindo tem-se G(x i ) = d c f(x i, y) dy = F i (u) = d c f(x i, y(u)), 1 1 d c F i(u) d c du = du 1 1 F i (u) du.

113 c 9 FFCf 113 Fórmula para dois pontos cont. Usando a fórmula para n y = pontos, G(x i ) = 1 1 F i (u) du = B 1 F i (u 1 ) + B F i (u ), i = 1,, onde B j, j = 1,, são os pesos e F i (u j ) = d c f(x i, y j ), para j = 1,. Logo, H(t i ) = b a G(x i) = b a (B 1F i (u 1 ) + B F i (u )), i = 1,. Levando-se esses valores de H(t i ) em (3), ( ) ( ) b a b a I =A 1 (B 1F 1 (u 1 )+B F 1 (u )) +A (B 1F (u 1 )+B F (u )).

114 c 9 FFCf 114 Fórmula para dois pontos cont. Substituindo F i (u j ), j = 1,, ( ( b a d c I = A 1 B 1 f(x d c 1, y 1 ) + B ( b a + A )) f(x 1, y ) ( B 1 d c f(x, y 1 ) + B d c f(x, y ) )). Rearranjando, (b a) (d c) I = (A 1 B 1 f(x 1, y 1 ) + A 1 B f(x 1, y ) + A B 1 f(x, y 1 ) + + A B f(x, y )), I = 1 4 (b a)(d c) i=1 A i j=1 B j f(x i, y j ). (31)

115 c 9 FFCf 115 Dispositivo prático para integração dupla por Gauss-Legendre I = 1 (b a)(d c)s, sendo S = 4 i=1 A i j=1 B j f(x i, y j ), j 1 u j 1/ 3 1/ 3 y j y 1 y i t i x i A i \B j / 3 x 1 1 f(x 1, y 1 ) f(x 1, y ) 1/ 3 x 1 f(x, y 1 ) f(x, y ).

116 I = 1 4 (b a)(d c)s = 1 (π/ )(π/4 ) 3,371 I =,9984. c 9 FFCf Exemplo de uso do dispositivo prático Exemplo 9 Calcular π π 4 Gauss-Legendre para n x = n y = pontos. x i = b a t i + a + b y j = d c u j + c + d sen(x + y) dy dx usando a fórmula de = π/ t i + + π/ = π/4 u j + + π/4 j 1 x i = π 4 (t i + 1), y j = π 8 (u j + 1), u j 1/ 3 1/ 3 y j,166,6194 i t i x i A i \B j / 3,3319 1,4776,814 1/ 3 1,388 1,9863,959.

117 c 9 FFCf 117 Fórmula geral para integração dupla por Gauss-Legendre Fórmula (31) para n x = n y = pontos pode ser modificada para um número qualquer de pontos em x e em y. I = b a d c f(x, y) dy dx = 1 n x 4 (b a)(d c) i=1 onde x i = b a t i + a + b e y j = d c u j + c + d. Pesos: A i, i = 1,,..., n x e B j, j = 1,,..., n y. n y A i j=1 B j f(x i, y j ), (3) Abscissas: t i e u j podem ser obtidos na tabela ou gerados pelo algoritmo.

118 c 9 FFCf 118 Dispositivo prático para integração dupla por Gauss-Legendre I = 1 n x 4 (b a)(d c)s, sendo S = i=1 n y A i j=1 B j f(x i, y j ), j 1... n y u j u 1 u... u ny y j y 1 y... u ny i t i x i A i \B j B 1 B... B ny 1 t 1 x 1 A 1 f(x 1, y 1 ) f(x 1, y )... f(x 1, y ny ) t x A f(x, y 1 ) f(x, y )... f(x, y ny ) n x t nx x nx A nx f(x nx, y 1 ) f(x nx, y )... f(x nx, y ny ).

119 I = 1 4 (b a)(d c)s = 1 (4 1)( ) 4,517 I = 6, c 9 FFCf 119 Exemplo 3 Calcular 4 1 Exemplo de uso do dispositivo prático n x = 3 e n y = 4. x i = b a t i + a + b y j = d c u j + c + d (y log 1 (3x)) dy dx usando Gauss-Legendre com = 4 1 t i = u j + + x i = 1,5t i +,5, y j = u j + 1, j u j,8611,34,34,8611 y j,1389,66 1,34 1,8611 i t i x i A i \B j,3479,651,651,3479 1,7746 1,3381,5556,116,69 1,838,97,,5,8889,169,381 1,5713 3,39 3,7746 3,6619,5556,1,4534 1,8689 3,651.

120 Algoritmo para integração dupla pelas fórmulas de Gauss-Legendre Algoritmo Gauss-Legendre-Dupla { Objetivo: Integração dupla de função pelas fórmulas de Gauss-Legendre } parâmetros de entrada ax, bx, nx, ay, by, ny { limite inferior em x, limite superior em x, número de pontos em x, } { limite inferior em y, limite superior em y, número de pontos em y } parâmetros de saída Integral, CondErro { valor da integral e condição de erro, sendo } { CondErro = se não houve erro (nx 1 e ny 1) e } { CondErro = 1 se nx < 1 ou ny < 1 } { cálculo dos pesos e abscissas } [Avet, Tvet, CondErro] PesAbsGL(nx) (ver Figura??) Integral ; se CondErro, abandone, fimse se ny = nx então para j 1 até trunca(,5 (nx + 1)) faça Bvet(j) Avet(j); Uvet(j) Tvet(j) fim para senão [Bvet, Uvet, CondErro] PesAbsGL(ny) se CondErro, abandone, fimse fimse { cálculo da integral dupla } ex1 (bx ax)/; ex (ax + bx)/; ey1 (by ay)/; ey (ay + by)/ se resto(nx, ) = então cx1 1; cx,5, senão cx1 ; cx 1, fimse se resto(ny, ) = então cy1 1; cy,5, senão cy1 ; cy 1, fimse para i 1 até nx faça kx trunca(i,5 (nx + 1) + sinal(i,5 (nx + cx1)) cx) tx sinal(kx) Tvet(abs(kx)); Axx Avet(abs(kx)) x ex1 tx + ex; Soma para j 1 até ny faça ky trunca(j,5 (ny + 1) + sinal(j,5 (ny + cy1)) cy) ty sinal(ky) Uvet(abs(ky)); Ayy Bvet(abs(ky)) y ey1 ty + ey fxy f(x, y) { avaliar a função integrando em (x, y) } Soma Soma + Ayy fxy se j = 1 então escreva i, tx, x, Axx, j, ty, y, Ayy, fxy senão escreva j, ty, y, Ayy, fxy, fimse fim para Integral Integral + Axx Soma fim para Integral ex1 ey1 Integral fim algoritmo c 9 FFCf 1