2. Introdução à física quântica

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1 2. Introdução à física quântica Planck e a quantização da energia Lei de Stefan-Boltzmann P = eσ AT ( T ) P = eσ A T. Figura 3.1: Radiância espectral de um corpo negro em função do comprimento de onda para várias temperaturas. Assinalam-se as zonas do visível (faixa colorida), do ultravioleta (UV) e do infra-vermelho (IV). com Lei do Deslocamento de Wien: 3 B = 2,898 1 m K uma constante. B λ max = T catástrofe do ultravioleta 33

2 Figura 3.2: Radiância espectral de um corpo negro à temperatura de 2 K (linha a cheio) e previsão da teoria electromagnética clássica (linha a tracejado). Até que em 19 o físico alemão Max Planck (Figura 3.3) enfrentou o problema da radiação do corpo negro... Figura 3.3: Max Planck explicou a radiação do corpo negro introduzindo o conceito de quantum de energia (plural quanta). E = h f. constante de Planck: 34 h = 6,62 1 J s. E = n h f, n = 1, 2,3,... 34

3 Figura 3.4: Um átomo oscilante, porque contém cargas eléctricas, produz ondas electromagnéticas. Einstein e a teoria dos fotões Uma das consequências das equações do electromagnetismo era a propagação, como ondas, do campo eléctrico e do campo magnético à velocidade da luz. Este resultado confirmava o carácter ondulatório da luz, já antes revelado em várias experiências de interferência e de difracção realizadas no século XIX. Natureza da luz No século XVII, Newton defendeu que as fontes luminosas emitiam pequenos corpúsculos, em todas as direcções, a grandes velocidades. Esta teoria ficou conhecida por teoria corpuscular da luz. Um físico contemporâneo de Newton, o holandês Christian Huygens, defendeu, pelo contrário, que a luz era uma onda, estabelecendo assim a teoria ondulatória da luz. escuro claro escuro claro escuro claro escuro alvo 35

4 Figura 3.5: Experiência da dupla fenda feita numa tina de ondas (à esquerda) e sua interpretação com base na teoria ondulatória (à direita). efeito fotoeléctrico Figura 3.6: No efeito fotoeléctrico electrões são arrancados de um metal quando este é iluminado com certo tipo de luz (normalmente, luz ultravioleta). Figura 3.7: Mesmo com luz muito intensa pode não haver emissão de electrões, mas com uma luz menos intensa mas de maior frequência ( f 2 > f1 ) já pode haver. célula fotoeléctrica para estudar o efeito fotoeléctrico. Luz monocromática de frequência f passa através de uma janela transparente e incide numa placa metálica (fotocátodo) arrancando-lhe electrões. Estes são acelerados por uma diferença de potencial, U, entre o fotocátodo e um eléctrodo a potencial positivo (ânodo), estabelecendo-se no circuito uma corrente eléctrica. 36

5 Figura 3.8: Célula para o estudo experimental do efeito fotoeléctrico: o amperímetro mede a intensidade de corrente na célula e o voltímetro a tensão nos seus terminais. Quando a tensão aplicada é positiva ( U > ), os electrões são atraídos para o ânodo. Se essa tensão for suficientemente elevada, todos os electrões chegam ao ânodo e a intensidade de corrente atinge um valor limite ou patamar (é a chamada corrente de saturação). Mas invertendo o sinal da tensão aplicada ( U < ), os electrões são repelidos pelo ânodo e a intensidade da corrente eléctrica diminui até se anular para um valor de tensão igual a U, sendo U designado por potencial de paragem. Neste caso, apenas os electrões mais energéticos chegam ao ânodo. Se a energia cinética de um electrão à saída do cátodo for superior a eu (diferença de energia potencial entre os eléctrodos), o electrão atingirá o ânodo e contribuirá para a corrente eléctrica (Figura 3.9, à esquerda). Caso contrário, o electrão não chegará a atingir o ânodo (Figura 3.9, à direita). Portanto, U mede a energia cinética máxima dos electrões. 37

6 Figura 3.9: Se os electrões tiverem energia cinética suficiente para vencer o potencial de paragem, atingem o ânodo (à esquerda); no caso contrário, não há corrente no circuito (à direita). As curvas da corrente em função da tensão aplicada, I (U ), obtidas experimentalmente (Figura 3.1) mostram que: a intensidade de corrente aumenta com a tensão aplicada entre os eléctrodos até atingir um valor constante (corrente de saturação); fazendo incidir luz da mesma frequência mas com intensidades diferentes, o potencial de paragem, U, é o mesmo mas, quanto mais intensa for a luz, maior será a intensidade da corrente de saturação (Figura 3.1, à esquerda); fazendo incidir luz de frequência diferente, o potencial de paragem é maior para a luz de maior frequência (Figura 3.1, à direita). Figura 3.1: Curvas características de uma célula fotoeléctrica: luz incidente com frequência fixa mas intensidades luminosas diferentes (à esquerda) e luz incidente com a mesma intensidade mas frequências diferentes (à direita). Em 1916 o físico norte-americano Robert Millikan efectuou medidas cuidadosas do efeito fotoeléctrico e mostrou que o declive dessas rectas é igual para todos os metais! 38

7 Figura 3.11: Potencial de paragem em função da frequência da luz incidente para o sódio segundo os dados obtidos por Robert Millikan, que obteve o prémio Nobel da Física em Os estudos experimentais feitos sobre o efeito fotoeléctrico estavam em contradição com as previsões da teoria clássica: Previsões da teoria clássica A corrente fotoeléctrica é tanto maior quanto maior for a intensidade da luz. Aumentando a intensidade da luz, a energia transferida para os electrões aumentaria e portanto a energia cinética máxima dos electrões aumentaria também. Luz de qualquer frequência deverá arrancar electrões da superfície do metal, desde que a intensidade seja elevada ou se espere tempo suficiente para que o electrão acumule energia. Os electrões levam tempo a acumular energia para se libertarem do metal e esse tempo é maior para luz menos intensa. Evidências experimentais Desde que ocorra efeito fotoeléctrico, a corrente fotoeléctrica é tanto maior quanto maior a intensidade da luz. O potencial de paragem e, portanto, a energia cinética máxima dos electrões não dependem da intensidade da luz incidente, mas apenas da sua frequência e do metal onde a luz incide. Se a frequência da luz incidente aumenta, o potencial de paragem aumenta linearmente. Há uma frequência mínima abaixo da qual não há emissão de electrões. A emissão dos electrões é praticamente instantânea: a corrente estabelece-se mal se liga a fonte de luz. 39

8 Albert Einstein, em 195, sugeriu que a luz era constituída por pequenos pacotes (quanta) de energia, E = h f, que mais tarde foram designados por fotões. E = hf W c. A energia W designa-se por função trabalho. Aplicando a conservação da energia ao choque do fotão com o electrão, a energia cinética máxima do electrão é: 1 2 m e v 2 max = hf W. Esta equação do efeito fotoeléctrico mostra que: A energia cinética máxima só depende, para uma dada superfície metálica (mesmo W), da frequência da radiação incidente e não da intensidade da radiação. Há uma frequência mínima da radiação para arrancar electrões, pois tem de se verificar hf W para que ocorra efeito fotoeléctrico. A energia mínima do fotão que consegue arrancar um electrão é igual à função trabalho, hf = W. Por isso a frequência mínima é dada por W f = h. Dualidade onda-corpúsculo para a luz A luz pode comportar-se como onda ou como partículas, ou seja, tem um comportamento dual. 4

9 Figura 3.12: O registo do padrão de interferência na experiência de Young pode ser efectuado por um fotomultiplicador, que conta os fotões. Raios X Figura 3.13: O alemão Wilhelm Roentgen foi o primeiro físico distinguido com o prémio Nobel da Física, em 191, pela sua descoberta dos raios X. Dualidade onda-corpúsculo para a matéria. Relação de De Broglie Se uma onda electromagnética pode ter características corpusculares, não poderá também uma partícula, como o electrão, ter comportamento ondulatório? Esta questão foi colocada pelo físico francês Louis de Broglie (Figura 3.14) que defendeu, em 1923, que todas as partículas deveriam possuir um comportamento 41

10 ondulatório. Segundo a relação de De Broglie o comprimento de onda de uma partícula era inversamente proporcional ao seu momento linear, tal como nos fotões (ver Questão 3.12): λ = h p Figura 3.14: Louis de Broglie, que afirmou que a natureza ondulatória era geral: aplicava-se a toda a matéria. Na altura esta hipótese não passava de uma arrojada especulação teórica. Mas logo veio a ter confirmação experimental. Em 1927, os físicos norte-americanos Davisson e Germer descobriram que um feixe de electrões de baixa energia produzia, ao incidir num cristal de níquel, um padrão de difracção semelhante ao de um feixe de raios X. Variando a energia do feixe e, consequentemente, o momento linear dos electrões, a relação de De Broglie pôde ser confirmada a partir da análise dos padrões de difracção. No ano seguinte G.P. Thomson, filho de J.J. Thomson, em Inglaterra, voltou a confirmá-los. Lançando um feixe de electrões de alta energia sobre folhas muito finas de alumínio, Thomson obteve padrões de difracção semelhantes aos que se obtinham por difracção de raios X dessas mesmas folhas (Figura 3.15). É irónico que, mais de trinta anos após J. J. Thomson ter ganho em 196 o prémio Nobel pela medida da relação carga/massa do electrão, que o identificou como partícula, o seu filho tenha partilhado o prémio Nobel com Davisson e Germer por ter provado que o electrão se comporta, por vezes, como uma onda! 42

11 Figura 3.15: Padrões de difracção de electrões por uma folha de alumínio (à direita) e de raios X (à esquerda). A hipótese de De Broglie foi amplamente testada para muitos outros tipos de partículas como neutrões, protões e até átomos de hidrogénio e de hélio. Todas estas partículas produzem padrões de difracção semelhantes aos que Davisson, Germer e Thomson obtiveram para electrões, tendo sido verificada a relação entre o comprimento de onda e o momento linear para todas estas partículas. Caixa lateral Tal como a luz, a matéria tem uma natureza dual: ora se comporta como uma onda ora como uma partícula. Bohr e o átomo de hidrogénio Espectros riscas Figura 3.16: Espectro de emissão de vapor de mercúrio. Figura 3.17: Niels Bohr, físico dinamarquês que ganhou o prémio Nobel da Física em 1922 pela sua explicação da estrutura dos átomos. 43

12 Vejamos o átomo mais simples, o de hidrogénio, com um só electrão e um núcleo constituído por um único protão. Bohr supôs que este electrão só poderia girar em torno do protão em órbitas com certos raios e que, nestas órbitas, o electrão não perderia energia sob a forma de radiação (diz-se que o electrão está num estado estacionário). À órbita de menor raio corresponde o estado estacionário de menor energia, o estado fundamental. Normalmente, o electrão estará no estado fundamental. Porém, se o electrão receber energia suficiente (por exemplo, com uma fonte de luz), passa para uma órbita de maior raio, ficando num estado excitado. O electrão tende a voltar ao estado de menor energia, emitindo energia sob a forma de luz. Designando por E a energia ganha ou perdida, vem, segundo Bohr, onde h é a constante de Planck. E = hf, Os espectros mostravam que apenas luz de certas frequências era emitida pelos átomos excitados, o que levou Bohr a concluir que os níveis de energia dos electrões nos átomos estariam quantificados, ou seja, só podiam ter determinados valores. Isto corresponde a supor que o electrão só pode ter órbitas com determinados raios. Supondo que os raios das órbitas do electrão no átomo de hidrogénio só podiam tomar os valores (Figura 3.18) onde r = a 2 n, n = 1,2,3,... 1 a =,53 1 m é o raio da órbita do electrão no estado fundamental, Bohr conseguiu reproduzir com notável precisão todas as riscas observadas do espectro do hidrogénio. O número inteiro n é chamado número quântico principal. Isto foi um grande triunfo da teoria dos quanta! n=1 n=2 n=3 Figura 3.18: Primeiras três órbitas do electrão no modelo atómico de Bohr aplicável ao hidrogénio. 44

13 Princípio de Incerteza e Mecânica Quântica Quanto maior for a precisão com que se determina a posição de uma partícula, menor será a precisão com que se conhecerá a sua velocidade nesse instante. Figura 3.19: Werner Heisenberg, físico alemão que formulou o princípio da incerteza e que foi um dos fundadores da Mecânica Quântica. Heisenberg recebeu em 1932 com o prémio Nobel da Física. 45