APLICAÇÃO DE REPRESENTAÇÕES EM BLOCOS INTERCONECTADOS EM IDENTIFICAÇÃO CAIXA-CINZA DE SISTEMAS DINÂMICOS NÃO LINEARES

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1 APLICAÇÃO DE REPRESENTAÇÕES EM BLOCOS INTERCONECTADOS EM IDENTIFICAÇÃO CAIXA-CINZA DE SISTEMAS DINÂMICOS NÃO LINEARES ANA PAULA L. SANTOS*, NÁDIA R. L. MILAGRES*, ALINE A. CAMPOS**, LUCIANA M. MARGOTI**, GLEISON F. V. AMARAL**, MÁRCIO F. S. BARROSO** * Laboratório de Estudo em Controle e Modelagem, Universidade Federal de São João del-rei Praça Frei Orlando 170, Centro, , São João del-rei, MG, Brasil s: apsantos87@yahoo.com.br, nadiamilagres@yahoo.com.br ** Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de São João del-rei Praça Frei Orlando 170, Centro, , São João del-rei, MG, Brasil s: sevlaenila@yahoo.com.br, lu_margoti@yahoo.com.br, amaral@ufsj.edu.br, barroso@ufsj.edu.br Abstract This paper presents an application of representations of Hammerstein and Wiener to obtain nonlinear models, in order to compare the results obtained in the two representations. The estimation of model parameters was performed using the method of Least Squares Extended using data from a simulated example. The results indicate the efficiency of the models. Keywords Identification of nonlinear systems; Parameters estimation; Grey-Box Identification; Hammerstein model; Wiener model. Resumo Este artigo apresenta uma aplicação das representações de Hammerstein e de Wiener para a obtenção de modelos não lineares, com o propósito de comparar os resultados obtidos nas duas representações. A estimação dos parâmetros do modelo foi realizada aplicando o método dos Mínimos Quadrados Estendidos utilizando dados de um exemplo simulado. Os resultados indicam a eficiência dos modelos. Palavras-chave Identificação de sistemas não lineares; Estimação de parâmetros; Identificação caixa-cinza; Modelo de Hammerstein; Modelo de Wiener. 1. Introdução Na prática, a maioria dos sistemas dinâmicos são não lineares. Entretanto, em algumas aplicações, aproximações lineares são suficientes. A escolha de qual modelo usar, se linear ou não, será determinada pelas características que se deseja obter do modelo. É sabido que modelos não lineares são capazes de representar dinâmicas que os lineares não conseguem. Essa decisão não é fácil, muitas vezes, requer experiência e conhecimento profundo do sistema e da aplicação do modelo como, por exemplo: análise dinâmica, análise estática (ou em estado estacionário), sintonia de controladores, predição, etc. (Aguirre, 2004). Uma forma de classificar as técnicas de modelagem é dividi-las em três grupos: modelagem caixa-branca, modelagem caixa-preta e modelagem caixa-cinza. Na modelagem caixa branca é necessário conhecer bem o sistema com o qual se está trabalhando, assim como as leis físicas que descrevem o sistema a ser modelado. Dessa forma, devido ao conhecimento e ao tempo para equacionar todos os fenômenos envolvidos, nem sempre é viável seguir esse procedimento (Aguirre, 2004). A modelagem caixa-preta - ou identificação de sistemas - estuda técnicas alternativas à caixabranca. Uma das características dessas técnicas é que pouco ou nenhum conhecimento prévio do sistema é necessário, precisa-se apenas dos dados de entrada e saída medidos do sistema. Atualmente, há interesse no desenvolvimento de métodos que permitam a incorporação de alguma informação que se tenha sobre o sistema durante a sua identificação e que não estejam disponíveis nos dados de entrada e saída, seja por impossibilidade de aplicação de ensaios aos sistemas ou por outro motivo qualquer (Lindskog and Ljung, 1994), (Johansen, 1995), (Lorito, 1998). Os procedimentos com esta característica são designados métodos de "identificação caixa-cinza" e são interessantes, pois não exigem do usuário um intenso conhecimento da física do processo, mas, permitem a utilização de algum conhecimento que não está disponível nos dados medidos, resultando em modelos mais representativos e, principalmente, fisicamente mais significativos (Aguirre, 1998). Dentre os modelos não lineares existem os globalmente não lineares e os localmente lineares 1. Para aplicações de controle, os modelos globalmente não lineares exibem maior complexidade. No entanto, 1 Por globalmente não linear, entende-se modelos cuja estrutura apresenta grau de não linearidade diferente de zero. Modelos localmente não lineares são aqueles que apresentam dinâmica linear, em torno de um ponto de operação, mas apresentam estática não linear, denotando então ganho estático não linear. 4224

2 nos localmente não lineares pode-se separar a estática não linear da dinâmica linear do sistema. Assim, técnicas de controle largamente difundidas podem ser aplicadas, como por exemplo, sintonia de controladores PID, técnicas de compensação em avanço, atraso, avanço-atraso, etc. (Norquay et al., 1997), (Kalafatis et al., 2004), (Shafiee, 2008). A representação de sistemas localmente não lineares pode ser feita através de blocos interconectados. Como exemplos, pode-se citar os modelos de Hammerstein e de Wiener. Em um dos blocos, a não linearidade do sistema é modelada por uma função estática não linear; no outro bloco, modela-se a dinâmica através de um modelo linear (Coelho, 2002). Estes modelos correspondem a processos com dinâmica linear, mas com um ganho não linear, e podem representar adequadamente muitas das não linearidades comumente encontradas em processos industriais. A não linearidade é estática. Assim, pode-se usar a dinâmica que é linear para a sintonia de controladores (Norquay et al., 1997). A maior dificuldade nesse tipo de representação é a obtenção do sinal intermediário aos blocos, fazendo-se necessária a utilização de uma informação prévia e/ou de uma restrição para estimar o sistema, por exemplo, o conhecimento da curva estática (Pearson and Pottmann, 2000). Neste trabalho, pretende-se obter modelos não lineares através das representações de Hammerstein e de Wiener, em que serão utilizados dados simulados de entrada e saída de um sistema de polimerização. A função estática não linear previamente identificada é polinomial. Além disso, os modelos obtidos deverão ser capazes de aproximar tanto a característica dinâmica quanto a estática do sistema em questão. O artigo está organizado da seguinte maneira: na seção 2 será descrito o processo para a obtenção de modelos não lineares a partir das representações de Hammerstein e de Wiener, a seção 3 é destinada às simulações e resultados, na seção 4 é feita uma comparação de resultados e, na seção 5, algumas considerações finais são apresentadas. 2. Desenvolvimento u(k) u(k) Figura 1: Modelo de Wiener Figura 2: Modelo de Hammerstein Em ambos os modelos, os sinais e representam a entrada e a saída do sistema, respectivamente, representa o sinal intermediário, o qual não possui significado físico (Arefi et al., 2007), sendo que define o tempo discreto. O bloco estático não linear é representado por uma função estática não linear, denotada com grau de não linearidade. O bloco dinâmico é representado por uma modelo dinâmico. O sinal de saída do modelo de Wiener é obtido pelo mapeamento do sinal intermediário,, através da função estática não linear,, de modo que (Coelho, 2002): A função estática deverá ser inversível para que os parâmetros do modelo dinâmico linear de Wiener possam ser estimados. Assim, o sinal intermediário, que não está disponível, pode ser estimado através da inversa da função (Coelho, 2002). Assim: em que é o grau de não linearidade da função inversa. Já para o modelo de Hammerstein, o sinal intermediário,, é obtido pelo mapeamento do sinal de entrada,, através da função, em que (Coelho, 2002): ou na forma normal: v(k) v(k) y(k) y(k) (1) 2.1. Modelos de Blocos Interconectados em que: representa o máximo atraso da entrada. Entre os modelos não lineares, os de blocos interconectados são estruturas eficientes em modelagem não linear (Arefi et al., 2007). O modelo de Wiener (Figura 1) apresenta o bloco dinâmico linear precedendo o bloco que contém a não linearidade estática. Já o modelo de Hammerstein (Figura 2) consiste de uma não linearidade estática seguida por um sistema dinâmico linear (Coelho, 2002). É importa deixar claro que o conhecimento prévio da curva estática, seja esta obtida por medição em estado estacionário, para cada um dos pontos de operação de interesse, seja por conhecimento teórico da curva característica em estado estacionário do sistema em estudo, é uma das maneiras de se obter as funções e a priori. Desta maneira, as estimativas de se torna uma tarefa menos árdua, uma vez que aquelas funções podem ser obtidas por ajuste de curva aos dados estáticos de entrada e 4225

3 saída do sistema. A única restrição é a existência da função Bloco Dinâmico Linear O modelo ARX (Autoregressive with exogenous input) é tipicamente escolhido para representar a dinâmica linear do modelo (Norquay et al., 1997). Esse modelo é obtido utilizando o par de entrada e saída do bloco dinâmico linear. Descrevendo o modelo ARX por meio do par de entrada e saída do bloco do modelo de Hammerstein, e, respectivamente, tem-se (Coelho, 2002 ): (2) em que: atraso máximo da saída do modelo ARX; atraso máximo da entrada do modelo ARX; parâmetros relacionados a cada regressor de saída do modelo ARX; parâmetros relacionados a cada regressor de entrada do modelo ARX. Substituindo a equação (1) em (2), tem-se: (3) Reescrevendo a forma normal (equação (2)) na forma de função de transferência, tem-se: sendo que: e são polinômios em z. O número de regressores, tanto da entrada quanto do sinal intermediário, é definido, neste trabalho, por método computacional, em que o número de termos do modelo é calculado pelo Critério de Informação de Akaike (1974). Os parâmetros são estimados por Mínimos Quadrados Estendidos (Chen et al., 1989) para garantir a não polarização dos parâmetros (Barroso, 2006). Esta análise pode ser estendida para o caso de Wiener, em que a função de transferência será: não lineares ou ferramentas de otimização. Neste trabalho, a curva estática não linear é obtida por ajuste polinomial dos dados de entrada e saída em estado estacionário Validação do Modelo A validação em identificação de sistemas consiste em verificar se o modelo é capaz de explicar as características desejáveis do sistema. Neste trabalho, deseja-se que os modelos de Hammerstein e Wiener aproximem tanto a característica estática quanto a dinâmica do sistema Validação dinâmica A validação dinâmica consiste em verificar se o modelo estimado é capaz de recuperar a dinâmica do sistema em questão. Para isso os dados usados para a validação devem ser diferentes dos usados para a identificação. Para validar um modelo dinamicamente, podese usar a simulação livre do mesmo, que consiste em usar o conjunto de dados de validação do sistema e as predições passadas da saída da matriz de regressores. Além disso, será usada a análise da correlação dos resíduos de identificação um passo a frente (Aguirre, 2004). Neste caso, deseja-se que os resíduos de identificação sejam ruído branco, ou seja, que a sua autocorrelação seja estatisticamente zero. Desta maneira, é possível conjecturar que o modelo foi capaz de explicar os dados dinâmicos sem incorporar dinâmicas espúrias Validação Estática A validação estática consiste em verificar se o modelo é capaz de recuperar a característica estática do sistema e pode ser verificada tanto quantitativa quanto qualitativamente. Na validação qualitativa é feita uma inspeção visual da curva estática do sistema comparada à estimada pelo modelo. E a validação quantitativa é dada pelo índice de correlação não linear,, entre as funções estáticas do sistema e do modelo. O coeficiente de correlação quantifica o grau de associação não linear entre duas variáveis. Seu valor deve estar entre -1 e 1, sendo que quanto maior for o módulo de, maior a correlação não linear entre as variáveis, o que define boa qualidade de ajuste na curva estática (Coelho, 2002). 3. Resultados 2.3. Função Estática Não Linear A função estática não linear pode ser obtida a- través de ajuste de curva, por exemplo: polinomial ou racional, utilizando mínimos quadrados lineares e Para ilustrar os principais conceitos apresentados neste texto, um exemplo simulado será investigado em detalhe. O modelo utilizado neste exemplo para produzir os dados foi descrito em Doyle III et al. (1994) e Ray (1972). Em suma, a reação em questão é a 4226

4 polimerização por radicais livres de metacrilato de metila (MMA), com azo-bisisobutyronitrile (AIBN) como iniciador e tolueno como solvente. O modelo simulado é composto de um conjunto de quatro equações diferenciais não lineares de primeira ordem. A entrada (variável de controle) é a taxa do fluxo volumétrico do iniciador, e a saída (variável controlada) é o número médio do peso molecular. O sistema foi simulado em um período de 30 horas, com um intervalo de integração de 0,01 (36 s) e não foi necessário decimar os dados. A entrada foi um sinal PRBS com amplitude variável, com desvio padrão, adicionado ao ponto de operação. O vetor de condições iniciais foi. Os valores dos parâmetros utilizados foram os de Doyle III et al. (1994). Os dados dinâmicos de entrada e saída do sistema são mostrados na Figura 3: Figura 4: Característica estática. (-) Dados reais, (*) Ajuste de curva. Para a obtenção dos parâmetros do modelo dinâmico linear de Wiener é necessário inverter a função estática, para que, assim, o sinal intermediário possa ser estimado. A inversa da função, obtida numericamente, é um polinômio. O ajuste da curva estática inversa é mostrado na equação (5) e Figura 5: (5) em que: representa o sinal estático estimado de entrada no bloco estático. Figura 3: Dados de entrada e saída do sistema. Em (a) estão os dados de entrada e em (b) os dados de saída Obtenção do Modelo de Wiener O polinômio utilizado para descrever a curva estática foi obtido por meio dos dados estáticos de entrada e saída do sistema e simulados por meio do modelo dinâmico, fixando-se um ponto de operação, aplicando-se este valor como um degrau ao modelo e, após cinco constantes de tempo, obteve-se a saída em estado estacionário. A aproximação polinomial obtida foi: (4) Figura 5: Função inversa da característica estática. (-) Dados reais, (*) Ajuste de curva. A partir da equação (5), pode-se obter uma estimativa do sinal intermediário,, por meio das medições dinâmicas da saída do sistema,. Assim, os parâmetros do modelo ARX podem ser estimados a partir dos dados de entrada e saída do bloco dinâmico linear, e, respectivamente. Descrevendo o modelo ARX, obtido na forma normal, tem-se: O ajuste da curva estática, equação (4), está mostrado na Figura 4: 4227

5 (6) A Figura 5 representa a simulação livre do modelo de Wiener, através da qual pode ser feita a validação dinâmica qualitativa. Para o modelo de Hammerstein, a função estática não linear é a mostrada na equação (4), diferindo apenas as variáveis de entrada e saída do bloco estático das representações. Com isso, o ajuste da curva estática será o mesmo mostrado na Figura 4 2. O modelo ARX, descrito na forma normal, é mostrado na equação (7): (7) A Figura 9 representa a simulação livre do modelo de Hammerstein, por meio da qual pode ser feita a validação dinâmica qualitativa. Figura 6: Simulação livre. (-) Sistema real, (*) Modelo de Wiener. A validação dinâmica quantitativa do modelo de Wiener é mostrada nas Figuras 7 e 8: Figura 9: Simulação livre. (-) Sistema, (*) Modelo de Hammerstein. Figura 7: Função de autocorrelação linear dos resíduos de identificação. A validação dinâmica quantitativa do modelo de Hammerstein é mostrada nas Figuras 10 e 11: Figura 8: Função de autocorrelação não linear dos resíduos de identificação Obtenção do Modelo de Hammerstein Figura 10: Função de autocorrelação linear. 2 É importante deixar claro que a função estática é obtida a priori, ou seja, essa é obtida utilizando-se os dados estáticos de entrada e saída do sistema. No entanto, para que seja possível estimar os parâmetros do modelo dinâmico linear, os dados dinâmicos de entrada e saída são mapeados utilizando-se tal função estática, seguindo o fluxo de sinais mostrados nas Figuras 1 e

6 Comparando os valores obtidos através da validação quantitativa, como mostrado na Tabela 1, a seguir, pode-se verificar que o modelo de Wiener é o que mais se aproxima do modelo obtido em Barroso (2006), mostrando que o mesmo é capaz de representar o sistema de forma eficiente. Modelo Coeficiente de Correlação Bi-Objetivo -0,1462 Hammerstein 0,2297 Wiener -0,1044 Figura 11: Função de autocorrelação não linear. No caso das Figuras 10 e 11, também estão referenciadas aos resíduos de identificação. 4. Comparação de resultados Pode-se fazer uma comparação dos resultados obtidos nas representações de Wiener, Figura 6, e de Hammerstein, Figura 9, com o resultado apresentado em Barroso (2006, 2007), como pode ser visto na Figura 12. Tabela 1: Tabela comparativa entre os modelos através do coeficiente de correlação. 5. Conclusão Neste trabalho, foram apresentados modelos não lineares, obtidos com as representações de Hammerstein e Wiener utilizando-se dados dinâmicos e estáticos, de entrada e saída, simulados, previamente identificados. Como visto nas seções 3.1 e 3.2 deste texto, esses modelos aproximam tanto a estática não linear quanto a dinâmica linear do sistema. Além disso, pelas equações (6) e (7), pode-se perceber que o modelo dinâmico de Hammerstein para este caso é mais complexo que o de Wiener. No entanto, como pode ser analisado por meio das Figuras 6, 7, 8, 9, 10 e 11, o modelo de Wiener aproximou melhor a dinâmica do sistema, mostrando-se mais eficiente para representá-lo. Isso fica evidenciado quando comparado com o modelo apresentado em Barroso (2006). 6. Agradecimentos Agradecemos à CAPES, ao CNPq e à FAPEMIG pelo apoio financeiro. Figura 12: Simulação livre. (-) Sistema. (--) Estimação de parâmetros (Barroso, 2006). A comparação com o referido trabalho faz-se necessária por este ter sido exaustivamente avaliado no contexto do trabalho de 2006 do autor. Desta maneira, referenciar aos resultados daquele trabalho confere credibilidade aos resultados deste trabalho. No entanto, para que as comparações pudessem ser feitas sem perda de generalidade e utilizando-se a mesma referência de valores, foi utilizado como índice de desempenho dos modelos, o coeficiente de correlação linear dos resíduos de simulação livre dos modelos, em detrimento dos resíduos de identificação, que são um passo a frente. Desta maneira, o menor índice de correlação evidenciará que os resíduos de simulação livre são ruído branco, ou seja, o modelo foi capaz de explicar a dinâmica sem incorporar dinâmicas espúrias. 7. Referências bibliográficas Aguirre, L. A. et al. (1998). Identificação de sistemas não lineares utilizando modelo NARMAX polinomiais uma revisão e novos resultados, SBA Controle & Automação 9 (2): Aguirre, L. A. (2004). Introdução à Identificação de Sistemas: técnicas lineares e não lineares de sistemas reais. UFMG, Belo Horizonte, 2 a Edição. Akaike, H. (1974). A new look at the statistical model identification. IEEE Transactions Automatic Control, 19 (6):

7 Arefi, M. M. et al. (2007). Wiener-neural identification and predictive control of a more realistic plug-flow tubular reactor. Chemical Engineering Journal 138: Barroso, M. F. S. (2006). Otimização bi-objetivo aplicada à estimação de parâmetros de modelos NARX polinomiais: caracterização e tomada de decisão. PhD thesis, Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, Brasil. Barroso, M. F. S. et al. (2007). Multi-objective parameter estimation via minimal correlation criterion, Journal of Process Control 17: Norquay, S. J. et al. (1997). Model predictive control based on Wiener models. Chemical Engineering Science 59 (1): Pearson, R. K. and Pottmann, M. (2000). Gray-box identification of block oriented nonlinear models. Journal of Process Control 10: Ray, W. (1972). On the mathematical modeling of polymerization reactors. J. Macromal. Science Rev. Macromal. Chem. C8: Shafiee, G. et al. (2008). Nonlinear predictive control of a polymerization reactor based on piecewise linear Wiener model, Chemical Engineering Journal 143: Chen, S. et al. (1989). Orthogonal least-squares methods and their application to non-linear system identification. International Journal of Control, 50 (5): Coelho, M. C. S. (2002). Modelos de Hammerstein e de Wiener: conexões com modelos NARX e suas aplicações em identificação de sistemas não lineares. Master s thesis, Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade de Minas Gerais, Belo Horizonte, Brasil. Doyle III, F. J. et al. (1995). Nonlinear model based control using second-order Volterra models. Automatica 31 (5) Johansen, T. A. (1995). Identification of non-linear systems using empirical data and prior knowledge An optimization approach. Automatica 32 (3): Kalafatis, A. D. et al. (2004). Linearizing feedforward-feedback control of ph process based on the Wiener model. Journal of Process Control 15: Lindskog, P. and Ljung, L. (1994). Tools for semiphysical modeling. Report LiTH-ISV-R-1599, Department of Electrical Engineering, Linköping University. Lorito, F. (1998). Identification of a gray-box model of nonlinear current transformers for simulation purposes. Control Engineering Practice 6: Nepomuceno, E. G. (2002). Identificação multiobjetivo de sistemas não lineares. Master's thesis, Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, Brasil. 4230