DETERMINAÇÃO DO POTENCIAL DE REDUÇÃO DE VARIABILIDADE EM MALHAS SISO ATRAVÉS DA ESTIMAÇÃO DE DISTÚRBIOS NÃO MEDIDOS

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1 DETERMINAÇÃO DO POTENCIAL DE REDUÇÃO DE VARIABILIDADE EM MALHAS SISO ATRAVÉS DA ESTIMAÇÃO DE DISTÚRBIOS NÃO MEDIDOS M. A. F. LIMA 1, J. O. TRIERWEILER 1 e M. FARENZENA 1 1 Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Departamento de Engenharia Química para contato: {mafl,jorge,farenz}@enq.ufrgs.br RESUMO A variabilidade de uma variável de processo pode ser vista como um fator limitante de sua eficiência. O presente trabalho fornece uma metodologia simples, capaz de traduzir o impacto de alterações no ajuste do controlador na sua variabilidade. Análises deste tipo são de natureza intrusiva, porém propõe-se aqui a obtenção desta informação de forma não intrusiva, dispensando testes ou perturbações no sistema. É proposto, a estimação da redução da variabilidade através de método sequencial, por meio de uma estimativa do distúrbio não medido presente no processo e de um modelo representativo da planta real do processo. A fim de avaliar o método sugerido, foi selecionado um conjunto de plantas, sujeitos a dois tipos de distúrbios. A qualidade da metodologia foi testada, analisando sua sensibilidade frente a diferentes condições iniciais. De forma geral, nos casos testados foi possível obter uma boa predição do potencial de redução da variabilidade, diante de um novo ajuste de controle, satisfazendo a proposta do método. 1. INTRODUÇÃO Cerca de 80% dos controladores industriais em atuação apresentam desempenho aquém de seu potencial (Bialkowski, 1992). Este comportamento pode ser creditado, a fatores como: mudanças na matéria-prima; instrumentação defeituosa (i. e., agarramento de válvulas e sensores defeituosos); presença de distúrbios não medidos ao longo do processo; sintonias inadequadas dos controladores. Estes fatores tem influencia sobre o desempenho do sistema de controle. De acordo com Yan et al. (2015), um desempenho insatisfatório da malha de controle pode aumentar a variabilidade do processo, diminuindo a eficiência do mesmo. Na prática é possível verificar que através de uma melhoria no ajuste do controlador é possível obter uma redução na variabilidade (Brand, 2009), conferindo uma maior confiabilidade ao sistema de controle. Tal melhoria permite operar mais próximo aos limites e especificações impostos para o processo. Dada a relação entre variabilidade, desempenho e eficiência tem-se como objetivo obter uma metodologia capaz de estimar o potencial de redução da variabilidade (VRE) de uma variável de saída do processo, decorrente de mudanças no ajuste do controlador. A quantificação de VRE é feita pela razão entre a variância futura do sinal de saída do processo estimado, σ 22, e variância atual deste sinal,

2 σ 1 2, subtraída de 1. Isto é: VRE = σ 2 2 σ (1) Valores de VRE positivos indicam que a malha de controle pode ter sua variabilidade aumentada, enquanto valores negativos indicam que a malha de controle pode ter sua variabilidade reduzida. Farenzena e Trierweiler (2006) introduziram o conceito de Matriz de Variabilidade (VM), que mostra como a variância é transferida entre as malhas e o impacto de uma malha específica na variância de cada uma das outras malhas em atuação (auxiliares e principais). Em Brand (2009) foi proposto um Modelo de Inferência de Variabilidade (MIV), como ferramenta para determinação da alteração de variabilidade, cuja metodologia está fundamentada em duas etapas. A primeira etapa utiliza o Modelo de Inferência para Desempenho e Robustez (IM) proposto em Farenzena e Trierweiler (2006), que permite gerar índices determinísticos (característicos da malha fechada) de forma não intrusiva utilizando como referência o desempenho em malha aberta. Estes índices, servem de entrada para o MIV que é definida como uma função não-linear, capaz de predizer a alteração de variabilidade a partir da variação do desempenho do controlador, expresso pelos índices obtidos a partir do IM e características da planta, tais como tempo morto e a constante de tempo do modelo. O procedimento para a determinação de VRE será apresentado na seção 2. Na seção 3 serão expostos os testes impostos à metodologia em alguns cenários, juntamente com os principais resultados obtidos. Por fim, uma breve conclusão a respeito do trabalho é disposta na seção METODOLOGIA Para obter VRE, sem nenhum tipo de ação intrusiva no sistema, é proposto um mecanismo sequencial, que tem início com a estimação do distúrbio não medido em atuação no processo. Em seguida é realizada a identificação do modelo capaz de representar o processo nas condições atuais. A partir destas informações é possível, por fim, calcular VRE. A metodologia proposta, foi elaborada partindo de um cenário onde se tem conhecimento apenas do ajuste do controlador (parâmetros Kp, Ti e Td) e de dados de processo em condições normais de operação (saída da planta e ação de controle). As metodologias propostas serão apresentadas nas próximas subseções. Em 2.1 é descrita a etapa de estimação de distúrbios, em 2.2 é mostrada a etapa de identificação do modelo representativo para o modelo real da planta, e por fim em 2.3 é apresentada a etapa de determinação de VRE Estimação do Distúrbio não Medido O método foi desenvolvido tomando como base um sistema de controle feedback clássico, representado na Figura 1(a). Onde Gp(s) é o modelo atual do processo, C(s) é o modelo de controlador, d é o distúrbio presente no processo, Gn(s) é um modelo nominal do processo. A ação de controle e a saída do processo são representadas por u e y respectivamente. A saída de Gp(s) por w.

3 Gp(s) G(s) yset u wn w d y C(s) Gn(s) - dw u Gn(s) wn - y dud (a) (b) Figura 1 Esquema representativo (a) do processo geral. (b) da geração do sinal dud. Conforme a Figura 1(a), pode ser obtido a seguinte relação: y wn = d + dw (2) O lado direito da Equação 2 será representado por dud. Assim a partir de y, u e Gn(s) pode-se obter o sinal dud, de forma direta como mostrado na Figura 1(b). Note que o termo dud é a discrepância entre as saídas da planta real e da arbitrária, desta forma quanto menor a discrepância entre os modelos Gn(s) e Gp(s), maior é a correlação entre o sinal dud e d. A metodologia propõe obter o distúrbio estimado (d ) através de regressão linear entre os sinais u e dud, onde o sinal dud será obtido através de um filtro definido como um modelo tão próximo de Gp(s) quanto possível, afim de obter um sinal dud com uma alta correlação com d. O filtro será representado como o modelo aproximado Gn(s) que em conjunto com o sinal u geram dud. A escolha adequada do filtro é fundamental para a qualidade do d obtido. A determinação do filtro é baseada nas relações impostas pelo método de ajuste IMC (Internal Model Control), proposto por Garcia e Morari (1982). Este método estabelece uma relação direta entre os parâmetros de ajuste do controlador e os parâmetros do modelo de processo, a ideia para determinar Gn(s) é realizar o caminho inverso, ou seja, com base nos parâmetros de ajuste do controlador, determinar os parâmetros do modelo da planta. Assim: x = [K, τ 1, τ 2, τ 3, θ, τ cl ] = g(kp, Ti, Td) (3) onde, x é composta pelos parâmetros que compõem o modelo da planta (como ganho (K), constante de tempo (τ), polos ( 1/τ 1 e 1/τ 2 ), zero ( 1/τ 3 ) e tempo morto (θ)) mais a constante τ cl que representa a velocidade desejada para o sistema em malha fechada, seu valor é fixado de acordo com o desempenho desejado para a malha de controle. O número de parâmetros depende do formato do modelo do processo. Dada à possibilidade de obter os parâmetros de Gn(s), através dos parâmetros do controlador e das restrições do método IMC, é necessário então escolher o formato e os parâmetros do modelo do filtro que melhor representam o processo, uma vez que Gn(s) é dado como um modelo tão próximo de Gp(s) quanto possível. Para esta escolha é proposto um teste com quatro candidatos, pré-estabelecidos, a formato do modelo, apresentados na Tabela 1.

4 Modelo de Filtro Tabela 1 Formatos de função de transferência utilizados para determinação de Gn(s). Primeira ordem (1 grau de liberdade) K τs + 1 Segunda ordem (1 grau de liberdade) K (τ 1 s + 1)(τ 2 s + 1) Primeira ordem com tempo morto (2 graus de liberdade) K τs + 1 e θs Segunda ordem com tempo morto (3 graus de liberdade) K(τ 3 s + 1) (τ 1 s + 1)(τ 2 s + 1) e θs Os testes buscam obter o par Gn(s) e d que minimiza a soma da raiz do erro quadrado médio - RMSE (root mean squared error) de y (RMSE y ) e u (RMSE u ). Assim o modelo Gn(s) é equivalente ao modelo que apresenta o menor valor para a função objetivo, apresentada na Equação 4. J I (Kp, Ti, Td, y, u) = min(rmse y + RMSE u ) = min( (y y sim )2 x x n + (u u sim )2 ) (4) n Onde n é o número de amostras, y sim e u sim são obtidos conforme o esquema ilustrado na Figura 2. dˆ y set u sim y sim C(s) Gn(s) Figura 2 Esquema representativo do processo simulado. onde x é o vetor das variáveis de decisão da otimização, neste caso os parâmetros do filtro mais a constante de desempenho τ cl. A otimização é feita com d variável, atualizado a cada iteração da otimização utilizando o Gn(s) encontrado a cada passo. O procedimento é realizado até a obtenção da convergência ou a tolerância ser atingida. O filtro escolhido é aquele que apresenta o menor valor para a função objetivo, dentre os quatro modelos testados. Este filtro será utilizado para geração do sinal dud que juntamente com o sinal da ação de controle possibilita estimar o distúrbio não medido Identificação do Modelo da Planta - O modelo obtido para o filtro apresenta uma boa capacidade de representar a saída do processo e estimar de forma satisfatória o distúrbio não medido, no entanto este modelo pode ainda ser alterado com a finalidade de se obter uma maior aproximação do modelo que descreve o processo real Gp(s). A discrepância entre o modelo encontrado para o filtro e Gp(s) se dá pois, a solução ótima obtida é exata, somente quando d é idêntico a d e isto não ocorrerá, pois o d é obtido por meio de regressão linear o que apresenta sempre um erro variável, implicando num desvio entre os sinais d e d. Para amenizar este fato, e melhorar a precisão da solução de otimização, foi utilizado um fator multiplicador para ajustar o sinal d aproximando-o ainda de d. Este fator, foi determinado para cada um dos formatos dos filtros, utilizando a solução exata como referência, obtendo-se fatores de 0,8 e 0,9 para os modelos de filtro de primeira e segunda ordem com tempo morto, respectivamente. Os modelos sem a presença de tempo morto não tiveram necessidade da utilização deste fator. Vale salientar que este fator é decorrente do formato da função de transferência do filtro e não do tipo de distúrbio.

5 Desta forma, propõe-se que a identificação do modelo do processo de forma análoga a metodologia de determinação do filtro, no entanto agora o sinal d é mantido fixo a cada iteração da otimização.como o filtro, obtido na etapa de estimação do distúrbio não medido, apresenta capacidade de representar, de forma regular, o processo, seu formato será fixado para etapa de identificação e seus parâmetros servirão de chutes iniciais para esta nova otimização. O modelo identificado é então obtido através das relações impostas pelo método de ajuste IMC e dos parâmetros do controlador Potencial de Redução de Variabilidade Estimado (VRE) Com a finalidade de quantificar o impacto na variabilidade de uma dada variável de processo, decorrente de alterações no ajuste do controlador, o trabalho propõe o índice VRE, que tem por objetivo traduzir o quão da variabilidade da saída do processo pode ser reduzida ou acrescida em decorrência de uma modificação no ajuste do controlador como apresentado na Equação 1. A determinação de σ 22 pode ser feita através de simulação, utilizando o esquema representado na Figura 2, onde Gn(s) é agora fixado como o modelo identificado, através da metodologia apresentada na subseção 2.2, d é o distúrbio estimado, através da metodologia apresentada na subseção 2.1. As saídas futuras são obtidas mediante alteração nos parâmetros do controlador. 3. RESULTADOS E DISCUSSÕES Para validar a metodologia proposta foram analisados cenários com modelos de planta de primeira/segunda ordem com/sem tempo morto e controladores PI e PID, mostrados na Tabela 2. Estes formatos de modelo foram escolhidos levando em consideração que uma grande quantidade de processos pode ser representada, ou aproximada, por meio destas funções de transferência. Tabela 2 Modelos de processos utilizados nas análises. Modelo Modelo de Gp(s) Kp Ti Td τ cl 0 I 1 5s + 1 5/ II 1 15s 2 + 8s /8 4 III 8 15s + 1 e 5s 1/ IV 2(3s + 1) 24s s + 1 e 5s 7/22 7 3/7 6 Os dados considerados reais, y e u na situação atual foram gerados via simulação, utilizando a ferramenta simulink do software Matlab O setpoint, y set, foi mantido constante e igual à zero em todas as situações, para não interferir na variabilidade de y. Para representar o distúrbio d, foram utilizados dois tipos de sinais periódicos, um puramente aleatório (ruído branco) e um determinístico PRBS (sequência binária pseudoaleatória). Ambos os sinais foram filtrados afim de obter uma representação mais real para o distúrbio não medido presente no processo.

6 As análises foram feitas testando a sensibilidade do método proposto perante diferentes chutes iniciais (X 0 ). Para isto, foram utilizados 11 vetores com comprimento igual ao número de graus de liberdade (k) do formato do modelo a ser ajustado, com elementos iguais entre si. Ou seja: X 0,i = [x 0,i x 0,i x 0,i ] 1xj j = 1,2,, k (5) x 0,i = i i = 1,2,,11 (6) O problema de otimização foi resolvido utilizando o método simplex (Nelder e Mead, 1965), que pode ser aplicado a problemas de otimização não lineares, dos quais suas derivadas são desconhecidas. Sob o ponto de vista de sensibilidade, todos os modelos estudados, apresentaram a mesma solução para a otimização na grande maioria dos casos, mostrando-se assim que a metodologia de determinação do modelo do filtro é pouco sensível ao chute inicial. O distúrbio estimado (d ) por cada um dos filtros encontrados, aplicados no respectivo modelo do processo, é comparado com distúrbio real (d) na Figura 3. (a) (b) Figura 3 Distúrbio estimado, através dos filtros encontrados, comparado ao distúrbio real-(a) Ruído Branco. (b) PRBS. A acuracidade do sinal d em relação à d pode ser vista também, através do RMSE entre estes sinais, sendo obtidos valores na faixa de [2,3-28,4]x10-3, estes baixos valores confirmam a alta capacidade de representatividade de d através do sinal d obtido pelo método apresentado. De posse de d é possível então, aplicar a metodologia proposta para identificação do modelo de processo. Os modelos identificados foram comparados com os respectivos Gp(s) através da resposta à uma perturbações do tipo degrau unitário, como apresentado nas Figura 4, onde é possível observar que os modelos identificados apresentam comportamento muito similar ao respectivo Gp(s) analisado. Para verificar a capacidade de estimação de VRE, em função de mudanças de ajuste do controlador, foram analisadas situações onde a velocidade do controlador foi alterada, através do aumento do valor da parcela proporcional do controlador (Kp). Em geral, pequenos aumentos de Kp tendem a melhorar o desempenho da malha.

7 (a) (b) (c) (d) Figura 4 Comportamento de (a) Gp(s) e Gn(s), frente à uma perturbação do tipo degrau unitário, para o (a) Modelo (a) I. (b) Modelo II. (c) Modelo III. (d) Modelo IV. ) Os intervalos das alterações de Kp, para cada controlador utilizado, estão dispostos na Tabela 3. A proporção de aumento na velocidade pode ser dada através da razão entre o valor de Kp na condição atual (Kp 1 ) e seu valor na condição futura (Kp 2 ). Tabela 3 Valores utilizados para geração de dados utilizados nas análises de validação do VRE. Modelo Kp Kp 2 /Kp 1 Número de pontos I [1,7:0,94:30] [1:0,1:18] 31 II [2:1,13:36] [1:0,13:18] 31 III [0,125:0,025:0,875] [1:0,025:7] 31 IV [0,3182:0,021:0,9545] [1:0,021:3] 31 Os valores máximos de VRE obtidos, nos casos estudados estão presentes na Tabela 4. Para ilustrar a capacidade de predição do índice VRE, o mesmo foi comparado com os valores obtidos pelo índice tuni (Farenzena e Trierweiler, 2006) e pela alteração real de variabilidade, obtida por simulação utilizando os modelos Gp(s) e d nos lugares de Gn(s) e d, respectivamente. Os valores apresentado na Tabela 4 mostram que o índice VRE apresenta uma boa capacidade de estimar a alteração de variabilidade dos sistemas analisados, uma vez que foi possível obter valores muito próximos dos calculados para alteração real, mostrando-se uma boa alternativa para estimação do potencial de redução de variabilidade de um sistema, sem necessitar de nenhum tipo de perturbação.

8 Tabela 4 Valores utilizados para geração de dados utilizados nas análises de validação do VRE. Modelo VRE tuni Alteração real Ruído Branco PRBS Ruído Branco PRBS Ruído Branco PRBS I 99,31% 99,84% 99% 99% 99,31% 99,83% II 97,58% 96,69% 99% 99% 97,16% 95,79% III 69,21% 75,75% 82% 86% 52,59% 52,02% IV 41,86% 60,52% 79% 83,57% 41,92% 35,74% 4. CONCLUSÕES A estimação do potencial de redução de variabilidade pode ser vista como um caminho para quantificação dos potenciais benéficos de um melhor ajuste de controle sobre o sistema. Dada a importância deste conhecimento o método proposto viabiliza esta quantificação sem a necessidade de testes invasivos, a partir do conhecimento de dados em condições normais de operação. Nos cenários utilizados para validação da metodologia foi possível observar uma boa capacidade de estimação do potencial de redução de variabilidade através do índice VRE. Esta metodologia pode ser aplicada em sistemas que sofrem com a presença de distúrbios não medidos, em contrapartida dos métodos mais clássicos como margem de ganho e reserva de fase, que fornecem informações acerca do desempenho e robustez do sistema, porém não levam em consideração a ação destes distúrbios. Foi observado também a qualidade do distúrbio estimado e do modelo identificado do processo, uma vez que os resultados obtidos permitem uma boa aproximação dos comportamentos para a situação real. 5. REFERÊNCIAS BIALKOWSKI, W. L. Dreams vs reality. A view from both sides of the gap. International Journal for Numerical Methods in Enginnering, p , BRAND, F. R. Modelo de Inferencia de Variabilidade: traduzindo o desempenho de malhas de controle em alteração de variabilidade. Dissertação de Mestrado. Escola de Engenharia, UFRGS, Porto Alegre, RS, Brasil, FARENZENA, M.; TRIERWEILER, J.O. Using the inference model as tool to quantify the loop performance and robustness, SICOP - International Symposium on Advanced Control of Chemical Processes, v. 2, p , GARCIA, C. E.; MORARI, M. Internal Model Controls - A Unifying Review and Some New Results. Ind. Eng. Chem. Process NELDER, J. A.; MEAD, R. A simplex method for function minimization. Computer Journal, v. 7, p YAN, Z.;CHAN, C. L.;YAO, Y. Multivariate Control Performance Assessment and Control System Monitoring via Hypothesis Test on Output Covariance Matrices. Industrial & Engineering Chemistry Research, v. 54, p , 2015.