Ajuste de Curvas. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Francisco Beltrão. Disciplina: Cálculo Numérico Professor: Jonas Joacir Radtke

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1 Ajuste de Curvas Campus Francisco Beltrão Disciplina: Professor: Jonas Joacir Radtke

2 Uma forma de se trabalhar com uma função definida por uma tabela de valores é a interpolação. Contudo, a interpolação pode não ser aconselhável quando: É preciso obter um valor da função em algum ponto fora do intervalo de tabelamento (extrapolação). Os valores tabelados são resultado de experimentos físicos, pois estes valores poderão conter erros inerentes que, em geral, não são previsíveis.

3 Problemas Práticos O primeiro passo é a coleta de dados exibindo os valores correspondentes das variáveis. Por exemplo, sejam x e y, respectivamente, a altura e o peso de alunos do sexo masculino. Uma amostra de n indivíduos acusaria alturas x 1, x 2,..., x n e os correspondentes pesos y 1, y 2,..., y n. O segundo passo é criar um gráfico dos pontos (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),...,(x n, y n ) em um sistema de coordenadas retangulares. O conjunto resultante costuma chamar-se de diagrama de dispersão. Pelo diagrama de dispersão, muitas vezes se pode visualizar uma curva aproximativa dos dados.

4 O método dos mínimos quadrados De modo geral, pode-se ajustar mais de uma curva a determinado conjunto de dados. A fim de evitar critérios individuais na escolha de retas, parábolas, etc., é necessário chegar-se a um consenso quanto ao que se deve entender por melhor reta, melhor curva, etc. A fim de motivar uma possível definição, consideremos a figura abaixo, em que os pontos são dados por (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ).

5 Para determinado valor x, digamos x 1, haverá uma diferença entre o valor y 1 e o correspondente valor ajustado, determinado pela curva C. Denotamos tal diferença por d 1, e chamamo-la desvio, erro ou resíduo. Uma medida da aderência, ou validade do ajustamento, da curva C aos dados do problema é dada por d d d 2 n Definição: De todas as curvas que se aproximam de determinado conjunto de pontos, a curva que goza da propriedade é a melhor curva ajustadora. d d d 2 n = mínimo

6 Uma curva com esta propriedade se ajusta aos dados no sentido de mínimos quadrados, e é chamada curva de mínimos quadrados. Temos então reta de mínimos quadrados, parábola de mínimos quadrados, etc. É usual empregar a definição acima quando x é a variável independente e y é a variável dependente. Se x for a variável dependente, modifica-se a definição, considerando-se os desvios horizontais ao invés de verticais. Outra possibilidade consiste em considerar distâncias perpendiculares dos pontos observados à curva, em lugar de distâncias horizontais ou verticais. Tal processo, entretanto, não é muito usado.

7 A reta de mínimos quadrados Pela definição, temos que a reta de mínimos quadrados que aproxima, ou ajusta, o conjunto de pontos (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) tem por equação y = a + bx (1) onde a e b são incógnitas a serem determinadas.

8 Os valores de y na reta de mínimos quadrados, correspondente a x 1, x 2,..., x n são a + bx 1, a + bx 2,..., a + bx n Logo, os correspondentes desvios verticais são d 1 = a + bx 1 y 1 d 2 = a + bx 2 y 2. d n = a + bx n y n

9 Então a soma dos quadrados dos desvios é n i=1 d 2 i = n (a + bx i y i ) 2 i=1 ou, de forma abreviada, d 2 = (a + bx y) 2 é uma função de a e b, isto é, F (a, b) = (a + bx y) 2 A condição necessária para que esta expressão seja mínima é F F a = 0, b = 0.

10 Como F a = F a (a + bx y)2 = 2(a + bx y) F b = F b (a + bx y)2 = 2x(a + bx y) obtemos (a + bx y) = 0 y = an + b x x(a + bx y) = 0 xy = a x + b x 2

11 Portanto, para determinar as incógnitas a e b devemos resolver o seguinte sistema y = an + b x xy = a x + b x 2 (2) que é chamado de equações normais para a reta de mínimos quadrados. Os valores de a e b obtidos de (2) são dados por a = ( y)( x 2 ) ( x)( xy) n x 2 ( x) 2 (3) b = n xy ( x)( y) n x 2 ( x) 2 (4)

12 Exemplo 1: A dureza (HB) para aços comuns recozidos varia com a quantidade de perlita (um tipo de estrutura cristalina do aço) presente. (a) Obtenha um modelo matemático para descrever os dados medidos. (b) Qual a dureza do material com 90% de Perlita? % de Perlita Dureza (HB)

13 Solução (a): Observamos visualmente um comportamento linear da dureza D em relação a porcentagem de perlita P, logo, obteremos um modelo da forma y = a + bx onde y é a dureza e x é a porcentagem de perlita. Da tabela anterior podemos obter x = % de Perlita y = Dureza (HB) x 2 xy

14 As equações normais correspondentes à reta de mínimos quadrados são y = an + b x xy = a x + b x 2 donde Então a = ( y)( x 2 ) ( x)( xy) n x 2 ( x) 2 = 69,0 b = n xy ( x)( y) n x 2 ( x) 2 = 1,648 y = ,648x ou D = ,648P

15 Solução (b): Substituindo P = 90 na expressão anterior temos D = , = 217,32

16 Exercício 1 Ajustar os dados da tabela abaixo através de uma reta. Fazer o diagrama de dispersão dos pontos da tabela juntamente com a reta de regressão obtida. i x i 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0 f (x i ) 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8 Resposta: y = 2, ,52241x Exercício 2 Ajuste os dados abaixo pelo método de mínimos quadrados utilizando: (a) uma reta; (b) uma parábola. Trace as duas curvas no gráfico de dispersão dos dados. Como você compararia as duas curvas com relação aos dados? x y 0,6 0,9 0,8 1,2 1,5 1,7 Respostas: (a) y = 0, ,22000x (b) y = 0, ,04321x + 0,01964x 2

17 Regressão em Funções com Parâmetros Não-lineares Em alguns casos, a família de funções escolhidas pode ser não n linear nos parâmetros, isto é, g(x) não é da forma a i g i (x). Nestes casos é precisa efetuar uma linearização, através de transformações convenientes. Exemplo f (x) a e b x = g(x) i=0 ln(f (x)) ln(a e bx ) = ln(a) + b x = G(x) Fazendo ln(a) = ā e b = b, tem-se: G(x) = ā + b x Desta forma, G(x) ln(f (x)), sendo que G(x) é linear nos parâmetros ā e b.

18 Exemplo Desta forma G(x) 1 a e b. Exemplo 1 f (x) a + b x = g(x) 1 f (x) a + b x = G(x) f (x), sendo que G(x) é linear nos parâmetros f (x) a + b x = g(x) [f (x)] 2 a + b x = G(x) Desta forma G(x) [f (x)] 2, sendo que G(x) é linear nos parâmetros a e b.

19 Observação: os parâmetros assim obtidos não são ótimos dentro do critério dos mínimos quadrados, isto porque estamos ajustando o problema linearizado por mínimos quadrados e não o problema original. Exemplo A tabela abaixo dá os valores observados da pressão P de certa massa de gás correspondente a diversos valores do volume V. De acordo com os princípios da termodinâmica, deve existir entre as variáveis uma relação da forma PV γ = C, onde γ e C são constantes. (a) Determine os valores de γ e C. (b) Escreva a equação que relaciona P e V. (c) Estime P para V = 100 polegadas cúbicas. Volume V (pol 3 ) 54,3 61,8 72,4 88,7 118,6 194,0 Pressão P (lbs/pol 2 ) 61,2 49,5 37,6 28,4 19,2 10,1

20 Solução (a): Como PV γ = C, temos, tomando logaritmos decimais log P + γ log V = log C ou log P = log C γ log V Fazendo log V = x e log P = ȳ a última equação pode ser escrita ȳ = ā + b x onde ā = log C e b = γ

21 A tabela abaixo fornece os valores de x e ȳ correspondentes aos valores de V e P da tabela anterior, juntamente com os cálculos para determinação da reta de mínimos quadrados. x = log V ȳ = log P x 2 xȳ 1,7348 1,7868 3,0095 3,0997 1,7910 1,6946 3,2077 3,0350 1,8597 1,5752 3,4585 2,9294 1,9479 1,4533 3,7943 2,8309 2,0741 1,2833 4,3019 2,6617 2,2878 1,0043 5,2340 2,2976 x = 11,6953 ȳ = 8,7975 x 2 = 23,0059 xȳ = 16,8543

22 As equações normais correspondentes à reta de mínimos quadrados são ȳ = ān + b x xȳ = ā x + b x 2 Resolvendo o sistema linear acima obtemos ā = 4,20 b = 1,40 Como ā = 4,20 = log C e b = 1,40 = γ, C = 1, e γ = 1,40

23 Solução (b): PV 1,40 = Solução (c): Quando V = 100, temos P 100 1,40 = Isonlando P obtemos P = 10 1,40 = 25,1 lb/pol 2

24 Exercício 3 A tabela abaixo fornece o número de habitantes do Brasil (em milhões) desde 1920: Ano (x) População (y) 30,6 41,2 70,2 93,1 146,2 (a) Fazer o diagrama de dispersão dos pontos tabelados. (b) Obter a curva de regressão (y = ae bx ) que melhor se ajusta aos dados amostrais e esboça-la no diagrama de dispersão. (c) Obtenha uma estimativa para a população brasileira no ano Analise seu resultado. (d) Em que ano a população brasileira ultrapassou o índice de 100 milhões de habitantes? Respostas: (b) y = 18,82925 e 0,02142x ; (c) y = 144,1 milhões; (d) x = 78, ou seja, 1978.

25 Exercício 4 O número de bactérias, por unidade de volume, existente em uma cultura após x horas é apresentado na tabela: N o de horas (x) N o de bactérias (y) (a) verifique que uma curva para se ajustar ao diagrama de dispersão é do tipo exponencial; (b) ajuste aos dados as curvas y = a b x, y = a x b e y = a e bx ; compare os valores obtidos por meio destas equações com os dados experimentais; (c) avalie da melhor forma o valor de y(x) para x = 6. Respostas: (b) y = 32,6087 1,4194 x ; y = 32,6087 e 0,35022 (c) 266,6349,??? e 266,6349

26 Exercício 5 Implementar um programa computacional que receba o número de dados experimentais n e os dados experimentais (x, y). Como saída o programa deve fornecer os coeficientes da reta (a e b) que melhor se ajusta aos dados e um diagrama de dispersão dos valores experimentais juntamente com a reta de regressão. Exercício 6 Considere os dados amostrais apresentados na tabela abaixo: x y (a) obtenha a função cúbica que melhor se ajusta aos dados amostrais e esboce-a junto com o diagrama de pontos; (b) resolva o problema com o programa do exercício anterior.